《物理光学》第一章 第一节 麦克斯韦方程组

第一节 麦克斯韦方程组
四、微分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义
在场矢量对空间的导数存在的地方，利用数
学中的格林公式和斯托克斯公式积分形式的麦克斯
（韦5）方：程组可写 成E 微分B形 式 ：
（6）： （7）： （8）：
t
• D
•B 0
H j
D
第一节 麦克斯韦方程组
麦克斯韦的工作：以上4式只适用于稳恒场情 况，要应用到交变场的情况，必须对它们作适 当修正和推广。麦克斯韦完成了这一工作。
1.他假定在交变场情况下：第1、3式仍成立； 2.第2式以法拉第电磁感应定律来代替； 3.第4式需要修改。
第一节 麦克斯韦方程组

法拉第电磁感应定律：
第一节 麦克斯韦方程组
2：积分形式的麦克斯韦方程组及其物理意义
(1):

D
•
d

Q
(2):

B•
d

0
B•d 0
(3): (4):

• dl 0
H • dl I

E• H•
ddll IBtDt••dd
d
dt


d dt

B•
d


B • t
d
感应电动势的定义：单位正电荷沿闭合回路移动一
周时，涡旋电场所作E的• d功l。即
因此得到：

E•
dl



B t
•
d
此式即为法拉第电磁感应定律的数学表达式
第一节 麦克斯韦方程组
第二节 电磁场的波动性
利用物质方程，还可得到同样的形式的D和H的方 程。将这些方程与标准波动方程
2 A 1 2 A V 2 t 2
相比较，可见： E, B, D, H , 都分别满足同一形式的波动微分方程.
所以:B,E这些场可以以三维波的形式在空间传播， 形成电磁波 。反过来说，电磁波所对应的“振 动物理量”或“扰动”就是电场和磁场，两者相 伴而行，缺一不可。
第一节 麦克斯韦方程组
位移电流强度：为电通量的变化率。
表达式：
ID

d dt

D
•
d


D t
• d
位移电流密度定义：
jD

D t
位移电流强度与位移电流密度联系
ID


jD
• d
交变场情况：磁场包括由传导电流和位移电
流两部分产生H的• d磁l场 I，故第Dt4式• d应t 改写为：
麦克斯韦认为（猜想）： （1）感应电动势的产生是一种电场对线圈中自由电
荷作用的结果； （2）这种电场由变化的磁场产生，与静电场不同，
它是涡旋电场； （3）这种电场的存在不依赖于线圈，即使没有线圈，
只要在空间某一区域磁场变化，就会产生这种涡旋 电场。 （4）法拉第电磁感应定律实质上是表示变化的磁场 和变化的电场之间联系的普遍规律。
利用公式（363页附录）



( E) ( E) 2E 并由1式得到关于E的方程：

2
E



2
E
t 2

模仿上述过程：可得到关于B的方程：

2
Baidu Nhomakorabea


2B t 2
上式中的符号2称为拉普拉斯算符2

2 x 2

2 y 2

2 z 2
五、物质方程：
麦克斯韦方程组中涉及的函数有E，D，B，H，和J，
等除上四个等式外，他们之间还有一些与电磁场所 在媒质的性质有关的联系，称为物质方程。
在各向异性 媒质中这些关系比较复杂
在各向同性媒质中物质方程为：
j

E
电导率

D E
介电常数
H

1

B
磁导率
第一节 麦克斯韦方程组
(1) (2) (3)
(4)

D E
介电常数
H

1
B

磁导率
第二节 电磁场的波动性
对4式两端对时间求导数，则



B



2
E
t
t 2
对上式左端变换求导顺序，并考虑到第（3）
式：



B

t




(

E)


2 t
E
2
第二节 电磁场的波动性
电磁波在真空中的速度与在介质中的速度之 比称为绝对折射率n （简称折射率）即
n
c v
(

1
)2
0 0
1
( r r ) 2
第二节 电磁场的波动性
外，r (大r多)相数对物介质电的常数（r 磁1 导率）除了磁性物质之
因此： n r
此式称为麦克斯韦关系式，由于色散的影响，上 式有时会有较大出入
式（1）：电荷可以单独存在，电场是有源的;
式（2）：磁荷不可以单独存在，磁场是无源的;
式（3）：变化的磁场产生电场;
式（4）：变化的电场产生磁场。
第一节 麦克斯韦方程组
3：麦克斯韦的贡献： 贡献在于麦克斯韦方程组指出了函数E，
B和电荷分布及其运动的关系，特别指出了E 和B变化之间的关系。
t
第一节 麦克斯韦方程组
符号的意义： 哈密顿算符：


i

j

k
x y z
具有矢量和求导的双重功能。
散度
•D
：
是“标量积”
•D
Dx

Dy

Dz
x y z
一个矢量在某点的散度表征了该点“产生”
或“吸收”这种场的能力,若一个点的散度为零
则该点不是场的起止点。
否则,电磁波在媒质中会引起电流消耗电磁波的能量，
媒质不可能“透明”;无源是指 0 这样：
第二节 电磁场的波动性
麦 克斯BDH E韦j方0程jE的Bt形D式t 变电为导：率 BEBE00BtEt
第一节 麦克斯韦方程组
旋度 E： 是“矢量积”
一个矢量场在某点的旋度描述了场在该点周围的 旋转情况。
旋度的计算：

i jk
E

x
y
z


Ez y

Ey z
i


Ex z
Ez x

j

Ey x

第一节 麦克斯韦方程组
三、积分形式的麦克斯韦方程组
1来源：静电场和稳恒电流的磁场的基本规律
高斯定理：
电场是有源场；


B••ddl 00
静电场是无旋场； 磁场是无源场；
安培环路定理: H • dl I 电流能产生环形磁场
D=0E+P P:极化强度 P= ε0[χ]E [χ] :电极化率 ,标量\张量
从波动方程可知电磁波在介质中的传播速度
由下式给出：
v 1

在真空的速度 ：c 1
0 0
0和0是真空中的介电常数和磁导率
第二节 电磁场的波动性
在历史上麦克斯韦曾以计算的波速与实测光 速数值的相近为依据，预言光是一种电磁波。
现在知道，电磁波谱上，光波只是一个很小 的波带。
Ex y
k
Ex Ey Ez
第一节 麦克斯韦方程组
物理意义： （5）式表明：磁感应强度（磁通密度）的变
化会引起环行电场； （6）式表明：电位移矢量起止于存在自由电
荷的地方； （7）式表明：磁场没有起止点； （8）式表明：位移电流和传导电流一样都能
产生环行磁场。
第一节 麦克斯韦方程组
由此可见，电场和磁场互相激 发形成统一的场----电磁场。变化的 电磁场 可以以一定的速度向周围传 播出去。这种交变电磁场在空间以 一定的速度由近及远的传播即形成 电磁波。
第一章 光的电磁理论
第二节 电磁场的波动性
第二节 电磁场的波动性
一、 电磁场波动方程：
从麦克斯韦方程出发，可以证明电磁场的传播具有波 动性。
第二节 电磁场的波动性
二、 电磁波 麦克斯韦理论关于电磁波的的结论是由后人
的实验证实的。 1889年赫兹在实验室中得到了波长为60CM
的电磁波，并观察到了电磁波的反射，折射 以及干涉现象。实验室不仅证实了电磁波的 存在，而且也证实了电磁波和光波的行为完 全一样。
第二节 电磁场的波动性
为简便起见我们讨论在无限大的、各向均匀、透明、 无源媒质中的电磁波。虽然这里对媒质的性质做了许 多规定，但是空气、玻璃等光学媒质确实近似地满足 这些要求.
“均匀”和 “各项同性”意味着, , 是与位置无关的标量。可以把它们从微分方程中微分
符透号明的意后 味面 着提到前面。0和 j 0
六、由麦克斯韦方程可得到两个基本结论：
第一：任何随时间变化的磁场在周围空间产
生电场这种电场具有涡旋性电场的方向由右
左手定则决定。


E

B
t
第二：任何随时间变化的电场（位移电流）
在周围空间产生磁场，磁场是涡旋的，磁场
的方向由右手定则决定
。
H
j D
t
第一节 麦克斯韦方程组