2021高考复习资料 高三数学试题及答案 专题十 计数原理 §10.1 计数原理与排列、组合
2021高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布102排列与组合课件理20
2021高考数学一轮复习第十章计数原理
2021/4/17
概率随机变量及其分布102排列与组合课
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件理20
悟·技法
求解排列应用问题的 6 种主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
A66种排列方法，共有 5×A66＝3 600(种)． 解法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，有
A26种排法，其他有 A55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)． (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A44种
方法，再将女生全排列，有 A44种方法，共有 A44·A44＝576(种)． (5)(插空法)先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾 5 个空
解析：分两步进行，第一步，先从 1,3,5,7 中选 3 个进行排列，有 A34＝24 种排法；第二步，将 2,4,6 这 3 个数插空排列，有 2A33＝12 种 排法．由分步乘法计数原理得，这样的六位数共有 24×12 ＝288(个)．
答案：288
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概率随机变量及其分布102排列与组合课
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2．组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从 n 个⑥_不__同__的元素中取 m(m≤n)个元 素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从 n 个⑦_不__同__元素中取出 m(m≤n)个元素的 ⑧_所__有__不__同__组__合____的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数，用符号 Cmn 表示．
2024年高考数学复习： 计数原理
2024年高考数学复习：计数原理真题卷题号考点考向2023新课标1卷13计数原理分类加法计数原理2023新课标2卷3组合数组合数公式2022新高考1卷13二项式定理求二项展开式指定项的系数2022新高考2卷5排列问题捆绑法与插空法求排列数2021新高考1卷———2021新高考2卷———2020新高考1卷3计数原理分步乘法计数原理计数2020新高考2卷6排列组合分组分配问题【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_______种(用数字作答).【答案】64本题主要考查至少至多的组合问题，属于基础题．解：当从这8门课中选修2门课时，共有1144.16C C =；当从这8门课中选修3门课时，共有12214444..48C C C C +=；综上，共有64种．2.（2023·新课标II 卷第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有A.4515400200C C ⋅种 B.2040400200C C ⋅种C.3030400200C C ⋅种D.4020400200C C ⋅种【答案】D本题考查比例分配的分层随机抽样方法的应用，考查组合数公式的应用，为基础题.解：结合题意初中部和高中部所占的比例为2:1，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽样结果为4020400200C C ⋅种，故选.D【2022年真题】3.（2022·新高考I 卷第13题）8(1)y x y x-+的展开式中26x y 的系数为__________(用数字作答).【答案】28-本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题.结合8()x y +展开式的通项公式求解即可.解：因为8()x y +展开式的通项818r r r r T C x y -+=，令5r =，则35x y 的系数为5856C =；令6r =，则26x y 的系数为6828C =，所以26x y 的系数为562828.-+=-4.（2022·新高考II 卷第5题）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有()A.12种 B.24种C.36种D.48种【答案】B本题考查排列、组合的运用，属于基础题．解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有23123224A A C =种.【2020年真题】5.（2020·新高考I 卷第3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A.120种 B.90种 C.60种 D.30种【答案】C本题考查组合的应用，属于基础题.根据分步乘法计数原理，结合组合的定义，即可解答.解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有123653C C C 60.=故选：.C 6.（2020·新高考II 卷第6题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()A.2种B.3种C.6种D.8种【答案】C【分析】成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期本题考查不同的安排方法种数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：2123126.C C A 故选：.C。
高考数学复习计数原理：排列与组合考点专项训练WORD版含答案100题
高考数学复习计数原理：排列与组合考点专项训练WORD版含答案100题一、选择题1.若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（）个. A. 71 B. 66 C. 59 D. 532.已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（）A． 240种 B．360种 C.480种 D．600种3.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 64种4.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的选取方案共有（）A. 10种B. 15种C. 4种D. 5种5.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A类课外书，则不同的借阅方案种类为（）A．48 B．54 C．60 D．726.《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．因为前四场播出后反响很好，所以节目组决定《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（ ）A ．144种B ．48种C ．36种D ．72种7.高考结束后6名同学游览我市包括皇家湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择皇家湖景区的方案有( )A.2465A A ⨯种B.2465A ⨯种C.2465C A ⨯种D.2465C ⨯种 8.某商场有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有40种、30种和20种, 现采用 分层抽样的方法抽取样本进行安全检测，若果蔬类抽取8种，则奶制品类应抽取的种数为A. 4B. 5C. 6D. 79.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为A. 48B. 96C. 132D.14410.用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ▲ ）A ．48 B. 60 C. 72 D.12011.将数字“124470”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）A ．180B ．192C ．204D ．26412.已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。
2021届高考数学一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第2节排列与组合训练理新人教版20210
2021届高考数学一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第2节排列与组合训练理新人教版202108102273【选题明细表】知识点、方法题号排列1,5,12组合2,7排列与组合的综合应用3,4,6,8,9,10,11,13,141.(2021·濮阳市一模)某电视台曾在某时刻段连续播放5个不同的商业广告,现在要在该时刻段只保留其中的2个商业广告,新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告,且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有( B ) (A)60种(B)120种(C)144种(D)300种解析:要在该时刻段只保留其中的2个商业广告,有=20种方法,增播一个商业广告,利用插空法有3种方法,再在2个空中,插入两个不同的公益宣传广告,共有2种方法,依照分步乘法计数原理,共有20×3×2=120种方法.故选B.2.(2021·太原市一模)现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同的取法种数为( C )(A)135 (B)172 (C)189 (D)162解析:由题意,不考虑专门情形,共有种取法,其中每一种卡片各取三张,有4种取法,两张红色卡片,共有种取法,故所求的取法共有-4-=189种.故选C.3.(2021·郑州市三模)为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( A )(A)150 (B)180 (C)200 (D)280解析:人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3.若是1,1,3,则有×=60种,若是1,2,2,则有×=90种,因此共有150种不同的方法.故选A.4.某班班会预备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言,要求甲、乙2人至少有一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种数为( C ) (A)720 (B)520 (C)600 (D)360解析:依照题意,分2种情形讨论:若甲、乙其中一人参加,有=480种;若甲、乙2人都参加,共有=240种发言顺序,其中甲、乙相邻的情形有=120种,故有240-120=120种.则不同的发言顺序种数为480+120=600. 故选C.5.某高校从5名男大学生理想者和4名女大学生理想者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名理想者),要求这3名理想者中男、女大学生都有,则不同的选派方案共有( B ) (A)210种(B)420种(C)630种(D)840种解析:从这9名大学生理想者中任选3名派到3所学校支教,则有种选派方案,3名理想者全是男生或全是女生的选派方案有+种,故符合条件的选派方案有-(+)=420种.故选B.6.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为( D )(A)24 (B)28 (C)36 (D)48解析:穿红色衣服的人相邻的排法有=48种,同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种.而红色、黄色同时相邻的有=24种.故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有-2×48+24=48种.故选D.7.将7个相同的球放入4个不同的盒子中,则每个盒子都有球的放法共有种.解析:将7个相同的球放入4个不同的盒子,即把7个球分成4组,因为要求每个盒子都有球,因此每个盒子至少放1个球,不妨将7个球摆成一排,中间形成6个空,只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开,即分成4组,不同的插入方法共有=20种,因此每个盒子都有球的放法共有20种.答案:208.(2021·长春市二模)某班主任预备请2021届毕业生做报告,要从甲、乙等8人中选4人发言,要求甲、乙两人至少一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言中间需恰隔一人,那么不同的发言顺序共有种.(用数字作答)解析:依照题意,分2种情形讨论:①若甲、乙同时参加,先在其他6人中选出2人,有种选法,选出2人进行全排列,有种不同顺序,甲、乙2人进行全排列,有种不同顺序,甲、乙与选出的2人发言,甲、乙发言中间需恰隔一人,有2种情形,现在共有2=120种不同顺序;②若甲、乙有一人参与,在甲、乙中选1人,有种选法,在其他6人中选出3人,有种选法,选出4人进行全排列,有种不同情形,现在共有=960种,从而总共的发言顺序有1 080种不同顺序.答案:1 080能力提升(时刻:15分钟)9.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有( B )(A)252个(B)300个(C)324个(D)228个解析:(1)若仅仅含有数字0,则选法是,能够组成四位数=12×6=72个;(2)若仅仅含有数字5,则选法是,能够组成四位数=18×6=108个;(3)若既含数字0,又含数字5,选法是,排法是若0在个位,有=6种,若5在个位,有2×=4种,故能够组成四位数(6+4)=120个.依照加法原理,共有72+108+120=300个.故选B.10.(2021·鹰潭市一模)用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有种不同的涂色方法.解析:A,C,E用同一颜色,现在共有4×3×3×3=108种方法.A,C,E用2种颜色,现在共有×6×3×2×2=432种方法.A,C,E用3种颜色,现在共有×2×2×2=192种方法.共有108+432+192=732种不同的涂色方法.答案:73211.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列,设第一行的数为N1,其中N2,N3分别表示第二、三行中的最大数,则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是.解析:(元素优先法)由题意知6必在第三行,安排6有种方法,第三行中剩下的两个空位安排数字有种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把那个最大数安排在第二行,有种方法,剩下的两个数字有种排法,依照分步乘法计数原理,所有排列的个数是=240.答案:24012.六个人按下列要求站成一排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站在两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间恰有两人;(5)甲不站在左端,乙不站在右端;(6)甲、乙、丙三人顺序已定.解:(1)=480.(2)=240.(3)=480.(4)=144.(5)-2+=504.(6)=120.13.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?解:(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有=144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,因此共有144种放法.14.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.解:(1)无序不平均分组问题.先选1本,有种选法;再从余下的5本中选2本,有种选法;最后余下3本全选,有种选法.故共有=60(种).(2)有序不平均分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有=360(种).(3)无序平均分组问题.先分三步,则应是种方法,然而那个地点显现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有种情形,而这种情形仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有=15(种).(4)有序平均分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·==90(种).(5)无序部分平均分组问题.共有=15(种).(6)有序部分平均分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式·=90(种).(7)直截了当分配问题.甲选1本,有种方法;乙从余下的5本中选1本,有种方法,余下4本留给丙,有种方法,故共有分配方式=30(种).。
2021-2022年高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第1节排列与组合高考AB卷理
2021年高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第1节排列与组合高考AB卷理排列与组合1.(xx·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9解析从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E 点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.答案B2.(xx·全国Ⅲ，12)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A24种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C34种，共2＋8＋4＝14.答案C3.(xx·大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种解析从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.答案C4.(xx·大纲全国，11)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法有( )A.12种B.18种C.24种D.36种解析第1列排a，b，c三个字母，共有A33种，第2列还有2种，因此共有2A33＝12种.答案A5.(xx·大纲，14)6个人排一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种(用数字作答).解析法一第一步：先排除甲、乙的4人共有A44种.第二步再排甲、乙，插空共A25种.由乘法原理共有A44A25＝480种.法二6人的全排列共有A66＝720种，甲、乙相邻的排法共有A22A55＝240种，因此甲乙不相邻的排法共有720－240＝480种.答案480排列与组合1.(xx·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13·A44＝72.选D.答案D2.(xx·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个解析由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A34＝72个；若万位是4，则有2×A34个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.答案B3.(xx·辽宁，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144B.120C.72D.24解析3人中每两人之间恰有一个空座位，有A33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A33×A22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法.答案D4.(xx·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168解析依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.答案B5.(xx·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A.24对B.30对C.48对D.60对解析法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.法二间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48.答案C6.(xx·山东，10)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279解析组成无重复数字的个数为C19C19C18＝648，10个数共组成三位数的个数为9×10×10＝900，故组成有重复数字的个数为900－648＝252(个).答案B7.(xx·辽宁，5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!解析此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3！种排法，三个家庭共有3！×3！×3！＝(3！)3种排法；再把三个家庭进行全排列有3！种排法，因此不同的坐法种数为(3！)4.故选C.答案C8.(xx·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).解析依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560条毕业留言.答案 1 5609.(xx·北京，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.解析将A、B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A、B、C3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有48－12＝36种.答案3610.(xx·浙江，14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).解析分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).答案60排列组合中的创新问题11.(xx·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.答案B12.(xx·福建，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.答案A13.(xx·广东，8)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A.60B.90C.120D.130解析易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C15C12＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C25＋C25C12＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C35＋C35C13＋C35C23＝80种情况.由于10＋40＋80＝130，故答案为D.答案D14.(xx·四川，8)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.20解析 首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A 25＝20种排法，因为31＝93，13＝39，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是：20－2＝18，故选C. 答案 C。
专题10-1排列组合与二项式定理第一季 高考数学压轴题必刷题(解析版)
专题10-1排列组合与二项式定理第一季1．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法.例如：137可表示为“”，26可表示为“”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9个数字表示三位数的个数为（）A．10 B．20 C．36 D．38【答案】D【解析】分情况讨论，当百位数为1时，十位数为1有2种，十位数为2有2种，十位数为3有2种，十位数为4有1种，为6有2种，为7有2种，为8有1种；当百位数为2时，十位数为1有2种，为2有2种，为3有1种，为6有2种，为7有1种；当百位数为3时，十位数为1有2种，十位数为2有1种，为6有1种；当百位数为4时，只有1种；当百位数为6时，十位数为1有2种，为2有2种，为3有1种，为6有2种，为7有1种；当百位数为7时，十位数为1有2种，为2有1种，为6有1种；当百位数为8，只有一种，一共有38种，故选D。
2．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，分四种情况讨论：_网①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；此时有种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排数字1，可以排出个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排1，可以排出个四位数，则一共有个四位数，故选C.3．如图，用种不同颜色给图中标有、、、各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）．A．种B．种C．种D．种【答案】C4．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知（）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，．倒霉和李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有（）种．A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可判断出树枝部分顺序，还剩下，，，先看树枝在之前，有种可能，而树枝在之间，在之后，若在之间，有种可能：①若在之间，有种可能，②若在之间，有种可能，③若在之间，有种可能．若不在之间，则有种可能，此时有种可能，可能在之间，有种可能，可能在之间，有种可能，综上共有．故选．5．已知二项式，则展开式的常数项为（）A．B．C．D．【答案】D6．已知，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【详解】由积分的几何意义知，在中，，令，则，∴．故选B．7．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（）A．300种B．150种C．120种D．90种【答案】B【解析】根据题意：分两步计算（1）将5名教师分成三组，有两种方式即1，1，3与1，2，2；①分成1，1，3三组的方法有②分成1，2，2三组的方法有一共有种的分组方法；（2）将分好的三组全排列有种方法.则不同的派出方法有种.故选B.8．某科研小组有20个不同的科研项目，每年至少完成一项。
2021年高三数学(理)同步双测：专题10.1两个原理与排列组合《二
2021年高三数学（理）同步双测：专题10.1两个原理与排列组合《二精品班级姓名学号分数《两个原理与排列组合二项式定理》测试卷（B卷）（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，不同的排法共有（） A．1440种 C．720种【答案】AB．960种 D．480种考点：排列的运用2. 若(x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，则(a0?a2?a4)2?(a1?a3)2A．?16 B．16 C．3?1 D．3?1 【答案】B 【解析】试题分析：令x?1得：a0?的值为a1?a2?a3?a4?(1?3)4，令x??1得：精品a0?a1?a2?a3?a4?(?1?3)4，则(a0?a2?a4)2?(a1?a3)2?(a0?a1?a2?a3?a4)(a0?a1?a2?a3?a4)?4(1?3)(?1?3)4?24?16，选B考点：二项式定理 3. 已知(5x?1n)的展开式中二项式系数之和是64，则它的展开式中常数项是（） xA．15 B．?15 C．?375 D．375 【答案】D 【解析】1??n试题分析：因为?5x??的展开式中二项式系数之和是64，所以2?64，解得：x???1?rn?6，所以二项展开式的通项是?r?1?C6??5x?????x??r6?rn???1?6?r?C?5?xr6r3?3?r2，令342?52?375，故选D． ?3?r?0得：r?2，所以它的展开式中常数项是??1??C62考点：二项式定理．4. 若(2?3x)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，则a0?a1?a2?a3?a4?a5等于（）A．5 B．-l C．2 D．?2 【答案】A555考点：二项式定理．5. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有33A．C11种 B．A8种 C．C39种 D．C8种3【答案】D精品【解析】试题分析：由分析题意可知：最终剩余的亮着的等共有9盏，且两端的必须亮着，所以可用插3空的方法共有8个空可选，所以应为C8种.考点：排列组合的应用.6. 学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A.36种B.30种C.24种D.6种【答案】B【解析】试题分析：先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为2，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种C423数为C4-1，再将这3组分给3节课有A3种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安23排方法共有(C4-1)A3=30，故选B.考点：分步计数原理，排列组合知识 7. 二项式(ax?A.3 B.a362xdx的值为（）的展开式的第二项的系数为，则?3)??267710 C.3或 D.3或? 333【答案】B考点：1.二项式定理；2.微积分定理.8. 用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）（A）12 （B）24 （C）30 （D）36感谢您的阅读，祝您生活愉快。
(北师大版理)2021届高考数学复习课件：排列与组合
题型二 组合问题
师生共研
典例 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从 35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ 解 从余下的34种商品中， 选取 2 种有 C234＝561(种)取法， ∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
解答
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ 解 从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335－C234＝C334＝5 984(种) 取法. ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种. (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解 从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C120C215＝2 100(种) 取法. ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × )
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( √ )
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ )
(5)若组合式
排法；
第二步，将 2,4,6 排成一排，共 A33种排法；
第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共 A24种排法.
综上，共有 C23A22A33A24＝3×2×6×12＝432(种)排法，故选 D.
解析 答案
2.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，
乙不能在排尾，丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有
A.1 108种 C.960种
B.1√008种
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1 / 11 专题十 计数原理 【考情探究】
课标解读 考情分析 备考指导 主题 内容
一、计数原理、排列、组合 1.分类加法计数原理,分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用两个原理分析和解决一些简单的实际问题. 2.排列与组合 (1)理解排列、组合的概念. (2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. (3)能解决简单的实际问题. 从近几年高考命题情况来看,这一部分主要考查分类加法、分步乘法计数原理以及排列、组合的简单应用.题型以选择题、填空题为主,在解答题中一般将排列、组合知识综合起来,有时也与求事件概率,分布列问题相结合考查. 1.求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数求解所求的项. 2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解. 1.用排列、组合知识解决计数问题时,如果遇到的情况较为复杂,即分类较多,标准也较多,同时所求计数的结果不太容易计算时,往往利用表格法、树状图法将其所有的可能一一列举出来,这样会更容易得出结果. 2.求解二项展开式的特定项时,即求展开式中的某一项,如第n项,常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项,先准确写出通项Tr+1=𝐶nran-rbr,再把系数与字母分离出来(注意符号),最后根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征,列出关系式求解即可. 二、二项式定理 1.能用计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【真题探秘】 2 / 11 §10.1 计数原理与排列、组合 基础篇固本夯基 【基础集训】 考点 计数原理、排列、组合 1.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学站成一排照毕业相,要求甲不站在两侧,而且乙和丙相邻、丁和戊相邻,则不同的站法种数为( ) A.60 B.96 C.48 D.72
答案 C
2.在我国第一艘航空母舰“辽宁舰”的某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼-15”飞机甲、乙、丙、丁、戊准备着舰,规定乙机不能最先着舰,且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻),那么不同的着舰方法种数为( ) A.24 B.36 C.48 D.96 答案 C
3.中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强小组赛中以1比0力克韩国国家队,赛后有六名队员打算排成一排照相,其中队长主动要求排在排头或排尾,甲、乙两人必须相邻,则满足要求的排法有( ) A.34种 B.48种 C.96种 D.144种 3 / 11
答案 C 4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有( ) A.72种 B.36种 C.24种 D.18种 答案 B 5.将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,则不同放法共有( ) A.480种 B.360种 C.240种 D.120种 答案 C 6.高考结束后6名同学游览某市包括日月湖在内的6个景区,每名同学任选一个景区游览,则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有( ) A.A62×A54种 B.A62×54种 C.C62×A54种 D.C62×54种 答案 D 7.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有 种.
答案 180 8.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙两名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为 . 答案 12 综合篇知能转换 【综合集训】 4 / 11
考法一 排列、组合问题的解题方法 1.(2019重庆万州二模,6)某中学某班主任要从7名同学(其中3男4女)中选出两名同学,其中一名担任班长,另一名担任学习委员,且这两名同学中既有男生又有女生,则不同的安排方法有( ) A.42种 B.14种 C.12种 D.24种 答案 D 2.(2018安徽合肥调研性检测,9)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数,这样的四位数有( ) A.250个 B.249个 C.48个 D.24个 答案 C 3.(2018豫北名校联考,9)2018年元旦假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( ) A.18种 B.24种 C.48种 D.36种 答案 B 4.(2019甘肃嘉峪关一中模拟)在高三某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场顺序的排法种数为 . 答案 60 5.(2020届广东广州执信中学10月月考,14)有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,2,从中任取4张,可排出的四位数有 个. 答案 14 考法二 分组分配问题的解题方法 6.(2018福建福州二模,8)福州西湖公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( ) 5 / 11
A.90种 B.180种 C.270种 D.360种 答案 B 7.(2019广东肇庆第一次统测,11)将甲、乙、丙、丁、戊共5人分配到A、B、C、D共4所学校,每所学校至少一人,且甲不去A学校,则不同的分配方法有( ) A.72种 B.108种 C.180种 D.360种 答案 C 8.(2018甘肃张掖一模,5)某学校为了更好地培养尖子生,使其全面发展,决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”,要求每名教师的“包教”学生不超过2人,则不同的“包教”方案有( ) A.60种 B.90种 C.150种 D.120种 答案 B 9.(2020届福建厦门一中10月月考,7)小明和小红都计划在国庆节的7天假期中,到厦门“两日游”,若他们不同一天出现在厦门,则他们出游的不同方案共有( ) A.16种 B.18种 C.20种 D.24种 答案 C 【五年高考】 考点 计数原理、排列、组合 1.(2017课标Ⅱ,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 答案 D 2.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) 6 / 11
A.24 B.18 C.12 D.9 答案 B 3.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 答案 B 4.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( ) A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 答案 C 5.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 答案 16 6.(2017天津,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 答案 1 080 7.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 答案 660 8.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 答案 1 560 7 / 11
教师专用题组 考点 计数原理、排列、组合 1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
答案 C 2.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A.72 B.120 C.144 D.168 答案 B
3.(2014安徽,8,5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 答案 C
4.(2014广东,8,5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( ) A.60 B.90 C.120 D.130 答案 D
5.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 答案 D
6.(2014四川,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 答案 B