求解变分不等式算例
解变分不等式问题的QP-free方法
（ ． ｅａｔ ｎ ｆ ｔ￣ａｔ ，Ｔ ｎｊＵｎｖｒｉ ， ｈ ｎ ｈｉ ０ ０ ２， ｈｎ ； １ Ｄ ｐｒ ｍｅｔ ｈ ａｉ ｏ Ｍａ ｓ ｃ ｏ ｇｉ ｉｅ ｔ Ｓ ａ ｇａ ０ ９ Ｃ ｉａ ｓｙ ２
３ Ｄ ｐｒｍｅｔ ｆ ｐ ｌｄＭａｈｍａｉ ，Ｓ ａｇ ａ Ｓｃｎ ｏｙｅｈ ｉＵｎｖｒｉ ，Ｓ ａ ｇａ ２ １２ ，Ｃ ｉ ） ． ａｔ ｎ ｐｉ ｔｅ ｔｓ ｈｎ ｈｉ ｅｏ ｄＰ ｌｔｃｎｃ ｉ ｅ ｔ ｈ ｎｈ ｉ ０ ０ ９ ｈｎ ｅ ｏＡ ｅ ｃ ｓ ｙ ａ
Ａｂ ｔ ｃ ：Ａ ｅ ＱＰ ｆｅ ｔ ｏ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｏ ｈ ｏｕ ｉｎ ｏ ａ ｉｔ ｎ ｌｉｅ ｕ ｌ ｉｓｐ ｏ ｌｍ．Ｂｙ ｓｒ ｔ ａ ｎ ｗ —ｒｅ ｍｅｈ ｄ ｉ ｒｐ ｓｄ ｆ ｒｔｅ ｓｌ ｔ ｆｖ ｒ ｉ ａ ｎ ｑ ａｉ ｅ ｒ ｂｅ ｏ ａｏ ｔ
摘 要 ： 出一种新的 Ｑ ｆ ｅ方法 解 变分 不 等 式 问题 ． 提 Ｐ—ｒ ｅ 通过 光 滑化 的 Ｆｓｈｒ ｕｍｅ ｔ ｉ ｅ－ ｒ ｉ ｅ ｃ Ｂ ｓ ｒ函数 ， 把变 分不 等式 的 Ｋ ＫＴ优化条件转换为一个简单的约束优化 问题 ， 并给 出了解这个约束 优化 问题 的迭代算 法 ． 这个方法 的主要 优点 是： ①能够解任意的变分不等式问题 ； ②每步迭代只 需解一个 线性 方程组 ； ③算法 是全 局收敛 的 ， 一定 条件 下是 在 超线性 收敛 的 ． 数值试验结果表 明， 这个 算法是有效 的．
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第 ３ 卷第 ６ ５ 期 ２０ ０ ７年 ６ 月
同 济 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自
Ｊ Ｕ ＮＡ ＦＴ Ｎ Ｊ Ｉ Ｏ Ｒ ＬＯ ０ Ｇ Ｉ Ⅵ ＳＴ （ １ ＩＡ ＣＥ Ｃ ） ＵＮ ＩＹ ＮＡ １Ｉ ＩＳ ＩＮ Ｅ ｉ
变分不等式 pde
变分不等式pde摘要：1.变分不等式的概念及意义2.变分不等式的基本原理3.变分不等式的应用领域4.偏微分方程（PDE）与变分不等式的关系5.变分不等式在实际问题中的解决方案6.总结与展望正文：变分不等式是一种数学工具，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
它的核心思想是通过最小化一个泛函来求解某个问题。
在这个基础上，我们可以得到一个优化问题，进而找到问题的解。
本文将介绍变分不等式的基本概念、原理及其在实际问题中的应用。
一、变分不等式的概念及意义变分不等式源于泛函分析，它通过求解一个泛函的最小值来解决对应的问题。
给定一个函数f(x)，我们可以通过求解以下最优化问题来找到最小值：minimize J(x) = f(x) + λg(x)其中，λ为拉格朗日乘子，g(x)为约束条件。
当满足某些条件时，这个问题有一个唯一的解，这个解被称为变分不等式的解。
二、变分不等式的基本原理求解变分不等式的问题可以分为以下几个步骤：1.构建泛函：根据问题的特点，构建一个合适的泛函J(x)。
2.求导数：对泛函J(x)求导，得到关于x的方程。
3.求解方程：解导数方程，得到可能的解。
4.验证解：检验求得的解是否满足原始问题中的约束条件。
5.应用数学方法：根据求得的解，应用数学方法解决问题。
三、变分不等式的应用领域变分不等式在许多领域具有广泛的应用，如优化理论、信号处理、图像处理、物理学、经济学等。
通过求解变分不等式，我们可以找到问题的最优解，从而为实际问题提供解决方案。
四、偏微分方程（PDE）与变分不等式的关系偏微分方程（PDE）是一种描述物理、工程等现象的数学工具。
在某些情况下，PDE的解可以通过求解变分不等式来找到。
事实上，许多PDE问题可以通过构造适当的泛函来转化为变分不等式问题。
五、变分不等式在实际问题中的解决方案以下是一些实际问题中的例子，这些问题可以通过求解变分不等式来解决：1.求解电磁场问题：在电磁学中，Maxwell方程可以通过求解一个泛函的极小值来得到解。
微分变分不等式及相关问题
微分变分不等式及相关问题
微分变分不等式是一类用来描述系统动态行为的数学不等式，它可以用来刻画变量之间的关系，并限制变量取值范围，使得系统保持稳定。
微分变分不等式通常由一组微分方程组成，包括一个或多个未知函数，它们可以用来描述系统中动力学及其状态变量随时间变化情况。
相关问题包括如何求解微分变分不等式，如何用微分变分不等式刻画系统动态行为，以及如何应用微分变分不等式来优化系统性能等。
半正定单调变分不等式的预测校正算法
足：
n n A∗ ∈ S + ， < F ( A∗ ), A − A∗ >= 0 ∀A ∈ S +
在 IR
n
中，变分不等式问题 VI ( F , Ω ) [3]即为： 找向量 u ∈ Ω 满足
∗
(u − u ∗ )T F (u ∗ ) = 0 ∀ u ∈ Ω. Ω ⊆ IR
n
(1.2)
为了书写方面，在下面的文章中假定
设 B = A − βF ( A) ，代入到 (2.1) ， 根据(2.2)， 得到
(2.3)
< E ( A, β) − βF ( A), PK [ A − βF ( A)] − A∗ >= 0 ∀A ∈ S n ∀β > 0
又因为 F 是单调的， 所以得到 < βF ( PK [ A − βF ( A)]) − F ( A∗ ), PK [ A − βF ( A)] − A∗ >= 0 ∀A ∈ S n , ∀β > 0 记
≥ 2 ห้องสมุดไป่ตู้ < E ( A , β ), D ( A , β ) > − α
+ + || A − A G (α ) − α D ( A , β ) || 2
|| D ( A , β ) || 2
+ + 2 α < A − AG (α ) − E ( A , β ), E ( A , β ) − β F ( A ) >
+ 2 ∗ 2 + 2
因此，
θG
(α ) ≥ || A − A
∗
|| − || A − α G ( A , β ) − A || +
hardy不等式
hardy不等式Hardy不等式是由英国数学家G.H.Hardy（18771947）于1914年提出的，是一个非常重要的数学定理。
它的全称是Hardy-Littlewood-Pólya不等式，是关于不相交的变分及求解它们内积的关系。
Hardy不等式可以表述为：设$f，g$两个函数的变分（可导的偏导数的函数）在区间[a, b]上互不相交，则有：$int_{a}^{b}left|f(x) g(x)right| d xleqslantleft(int_{a}^{b}left|f(x)^{2}right| d xright)^{1 / 2}left(int_{a}^{b}left|g(x)^{2}right| d xright)^{1 / 2}$Hardy不等式是一个具有最优性质的定理，它将函数的内积限制在最优的一个范围内，也就是最小于一定值。
Hardy不等式，由它提供的约束和结论，对科学界具有特别重要的意义。
首先，Hardy不等式可以用来研究信号处理中的信号和噪声关系，具体来说，可以从此研究信号的信噪比的最大值。
此外，它还可以用来研究不完备信息，例如找出一个不完整的向量的最大值。
此外，Hardy不等式也可以用来求解具有多个变量的复杂函数集合的局部最小值。
这是因为，Hardy不等式可以用来近似求解这些变量之间的内积，而局部最小值常常可以证明它们的内积的最大值。
其次，Hardy不等式可以用来解决多维空间的最优化问题。
一般来说，多维空间的最优化问题往往具有复杂的运算复杂度，由于Hardy 不等式的有效性，它可以以一种有效的方式简化这种复杂的最优化问题，并给出一个较优的结果。
最后，Hardy不等式也可以用来研究函数表达式中部分求和和整体求和之间的关系。
例如，如果有两个函数$f（x）$和$g（x）$，其中$f（x）=g（x）+s（x）$，Hardy不等式可以用来研究$s（x）$的最大值，这有助于系统确定和优化满足函数表达式全部约束条件的最优可能。
混合变分不等式
混合变分不等式（Mixed Variational Inequality）是数学中的一个概念，它涉及到变分不等式和混合变分不等式的求解。
变分不等式是一种描述系统状态变化的数学模型，它可以用来描述物理、工程和经济等领域中的许多问题。
混合变分不等式是变分不等式的一种扩展，它可以同时考虑多个变分不等式，从而更准确地描述复杂系统的行为。
求解混合变分不等式的方法有多种，其中一种常用的方法是梯度投影法。
该方法的基本思想是通过迭代的方式逐步逼近问题的解，每次迭代中，先对问题进行一次梯度下降运算，然后将结果投影到可行域上，以保证解的可行性。
除了梯度投影法，还有其他的求解方法，如拉格朗日乘子法、牛顿法等。
这些方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法进行求解。
总之，混合变分不等式是一种描述复杂系统行为的数学模型，其求解方法需要根据具体问题选择合适的方法进行求解。
变分不等式的几类求解方法
变分不等式的几类求解方法
简金宝; 赖炎连
【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》
【年(卷),期】1999(014)002
【摘要】本文较为系统地分析和概述了变分不等式问题中几类占有重要地位的求解方法，包括方法产生的背景，主要结果及应用等．这几类算法分别为连续算法，（拟）牛顿型算法，一般迭代模型，投影算法，投影收缩算法等．
【总页数】1页(P197)
【作者】简金宝; 赖炎连
【作者单位】西安交通大学理学院; 中国科学院应用数学研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O224
【相关文献】
1.加权期望残差极小化方法求解一类随机拟变分不等式 [J], 周武;谢川;黄南京
2.基于蒙特卡洛方法求解随机变分不等式 [J], 张小娟
3.随机增广Lagrange变分不等式的一种求解方法 [J], 王炜;刘玉兵;毕天骄
4.次梯度外梯度方法求解随机变分不等式 [J], 张小娟
5.次梯度外梯度方法求解随机变分不等式 [J], 张小娟;
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求解一类变分不等式问题的内点信赖域方法
求解一类变分不等式问题的内点信赖域方
法
内点信赖域方法是一种求解一类变分不等式问题的方法。
它利用内点信赖域来求解最优化问题，从而解决变分不等式问题。
内点信赖域方法的思路很简单，就是对于一个满足约束条件的变分不等式，从内点信赖域中选取一组解，将其带入变分不等式中，通过求解变分不等式的最优解，最终得到近似最优解。
内点信赖域方法的主要思想是通过构造一个满足约束条件的内点信赖域，在此域内迭代求解变分不等式问题，以寻找最优解。
其中，内点信赖域是一个数学概念，指的是满足约束条件的内部点的集合，这些内部点的位置是可以通过多种方式确定的。
内点信赖域方法的优点是可以快速求解变分不等式问题的最优解，缺点是由于内点信赖域的构造方式非常复杂，容易出现误差，从而影响最终的结果。
因此，在使用内点信赖域方法求解变分不等式问题时，需要结合其他方法，如梯度下降法等，以避免误差的产生。
总之，内点信赖域方法是一种有效求解变分不等式问题的方法，其优点是可以快速求解变分不等式问题的最优解，缺点是由于内点信赖域的构造方式非常复杂，容易出现误差，因此，
在使用内点信赖域方法求解变分不等式问题时，需要结合其他方法，以避免求解结果的偏差。
求解单调变分不等式的两类迭代算法
Ｒ 是凸的且连续， ．在 ｃ上可以取到最小值． １ 则 厂 定理 １ ［］ 设 是一个 自 ．１ ６１ 反的 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间， ） ｛ 是 中的任意一个有界点列， ｛ ）的 若
所有 的弱收敛子列均有相 同的弱极限 ２１１ 设 是 一个 实内积空间， 为 的非空子集， ： — 在 上单调 ， ．【】 ２ ｃ Ｆ Ｃ 则对任意
第１ 期
荣 祯： 求解单调变分不等式的两类迭代算法
Ｓｅ 求解 ｖ （ ， ）得解 （ ； ｔ １ ｐ ｉ ， ｃ ） Ｓｅ 令 Ｘ＋ ＝（一ｔ （ｋ ＋ｔｋ ｔ ２ ｐ ｋｌ １ ） ｘ） ｘ； ｈ
Ｓｅ 令 ＝ｋ＋１ 转 Ｓｅ １ ｔｐ３ ， ｔｐ ．
定理 ２２ 设 是一个实 Ｈｌｅｔ空间， ｃ 为 给定非空有界 闭 凸集， ： — 在 上 ． ｉ ｒ ｂ ‘ Ｃ Ｆ Ｃ
单调且全局 Ｌｐｃｉ 连续， ｉ ｈｚ ｓ ｔ 则对任意的 ｔ ０１， ∈（，） 由迭代算法 （ 产生的点列 ｛ ）ｃ Ｃ弱收敛到 Ｉ ）
ｖＩｃ Ｆ （， ）之解． 证明 这是引理 ２３ 定理 ２１ ．、 ．及定理 １４的直接推论． ．
引理 ２６ ２ 设 是一个 实 Ｈ ｌｅｔ空间， 为给定非 空闭凸集， ： — 在 上单调 ．［ 】 ｉ ｒ ｂ Ｃｃ Ｆ
Ｉ （） Ｉ 一Ｒ（） ≤（ 凡 ｌ Ｌ＋１ Ｉ —ｙ （ Ｙ ） ｌ ）ｘ ｌＶ ， ∈Ｃ Ｉ Ｉ
这表明对任意的 Ｕ∈Ｃ， 也是全局 Ｌｐｃｉ 连续的． ｉ ｈｔ ｓ ｚ 其次依引理 ２ 知， ． １ 对任意的 钆ＥＣ 映 ， 射 在 上强单调， 再由定理 １ 知对任意的 Ｕ∈Ｃ Ｖ （ ， ） ． １ ， ＩＣ 有唯一解． 为了下文讨论的方便， 我们把引理 ２ ． ｙ （ ， （ ＥＣ 的唯一解记作 （） ∈ ． ２中 ｉｃ 凡） ） （ ）
求解变分不等式问题的一种新投影方法
、 ．５ ２ Ｎｏ． ５ Ｓ ｐ． ｅ ２０ ０７
文章 编 号 ：０８ ４２２ｏ ）５—０７ １０ —１ｏ （ｏ７ ｏ ６９—０ ２
求解 变分 不 等 式 问题 的一 种新 投 影 方 法
岳 丽 ， 邵珠艳 ， 古鲁峰
（ 宁医学院信息科 学技术 系。山东 日照 ２ ６２ ） 济 ７８６
（） ３
Ｐ ＜ Ｔ ）一 （ 一 Ｒ（ ）Ｒ（ （ ｕ） ． ｕ）
（ ｕ一面 一ｄ ， ）＝（ ｕ一瓦 Ｔ ｕ ＋ｐ ［ （ ）） ， （ ） Ｔ ｕ一 ｕ］
＞≤ ｌ （ ）ｌ ｛ ｌ Ｒ 。 那么通过
“
≥ （ ） Ｒ ｕ Ｉ １一 （ ）Ｉ 。
又因为 ： 日一 日是伪单调算子 ， 所以由上式知
（ 口一面 （ ） ≥０ ， 口）
所 以
（） ５
（ ｕ一面 ｐ ［ ，Ｔ ｕ一， ｕ ］ １ ）） Ｒ（
１ 算 法
步 Ｏ任给 ｕ ∈ Ｋ ， ∈ （ ，） ｋ ． 。 ， Ｏ １ ， ：＝Ｏ ； 步 １ ．
≥ （ （ ） Ｔ ｕ一 （ ）） Ｒ ｕ ，［ ｕ］
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第２卷 第５ ５ 期
２０ 年 ０ 月 ０７ ９
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｕｎｌ ｆｉ ｕｉ ｎ ｅ ｉ Ｎｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ） ｏｒａ ｏＪ ｍ ｓ Ｕ ｉ ｒｔ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ ａ ｖ ｓｙ（ ｕ ｅ ｉ
一 日是伪单调算子 ， 则有 （ ｕ一面 ｄ ≥ （ 一 Ｒ ｕ ｌ ， Ｈ （） ，） １ ） （ ）ｌ ｖｕ∈ 。 ４ 证明： 由于 瓦是变分不等式 （ 的解 ， １ ） 则有
（ 口一瓦 （ ） ≥ Ｏ Ｖ ∈ Ｋ ， 瓦） ，
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求解变分不等式： 例2：.]5,5[,0)(,0),(**nwwgvwvF（n可以是维数，在我们计算的过程中，可以取100,200,……1000维）
nvnvevev
vF11)(，wAwwg,)(，A是一个nn对称矩阵，可随机生成。
例 1：.]5,5[,0)(,0),(**nwwgvwvF 其中34680211220210421224)(4321vvvvxF,wwwg,)(. 其解为（4/3,7/9,4/9,2/9）。(不变) 用迭代序列编程求解：
高维迭代 clc; k=0; k_inner=1000; time0=cputime; n=4; v0=0*rand(n,1); p0=1; Q=eye(n); b=5*diag(Q);%盒子的上界 a=-5*diag(Q)%盒子的下届 mu=0.03; %F函数的输入如下 F=zeros(n,1) for i=1:n F(i,1)=v0(i)+exp(v0(i)); end
barp0=max(0,p0-mu*sum(v0.^2)); % barv0=zeros(4,1);
for i=1:n if v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))<=a(i) barv0(i)=a(i); elseif v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))>=b(i) barv0(i)=b(i); else barv0(i)=v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i)); end end while norm(v0-barv0)>1e-5 | norm(p0-barp0)>1e-5 && k<=k_inner
p0=max(p0-mu*sum(barv0.^2)); F=zeros(n,1) for i=1:n F(i,1)=barv0(i)+exp(barv0(i)); end
for i=1:4 if v0(i)-mu*(F(i)+barp0*barv0(i))<=a(i) v0(i)=a(i); elseif v0(i)-mu*(F(i)+barp0*barv0(i))>=b(i) v0(i)=b(i); else v0(i)=v0(i)-mu*(F(i)+barp0*barv0(i)); end end
F=zeros(n,1) for i=1:n F(i,1)=v0(i)+exp(v0(i)); end
barp0=max(0,p0-mu*sum(v0.^2)); % barv0=zeros(4,1);
for i=1:4 if v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))<=a(i) barv0(i)=a(i); elseif v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))>=b(i) barv0(i)=b(i); else barv0(i)=v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i)); end end k=k+1;
end fprintf('vk is:%d\n',v0); fprintf('p is:%d\n',p0); fprintf('time used is:%d\n',cputime-time0); fprintf('k is:%d\n',k); 迭代程序有限维 clc; k=0; k_inner=1000; time0=cputime; v0=[0;0;0;0]; p0=1; A=[4,2,2,1;2,4,0,1;2,0,2,2;-1,-1,-2,0]; b=[5;5;5;5];%盒子的上界 a=[-5;-5;-5;-5];%盒子的下届 mu=0.03; q=[-8;-6;-4;3];
F=A*v0+q; barp0=max(0,p0-mu*(v0(1)^2+v0(2)^2+v0(3)^2+v0(4)^2)); % barv0=zeros(4,1);
for i=1:4 if v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))<=a(i) barv0(i)=a(i); elseif v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))>=b(i) barv0(i)=b(i); else barv0(i)=v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i)); end end
while norm(v0-barv0)>1e-5 | norm(p0-barp0)>1e-5 && k<=k_inner
p0=max(p0-mu*(barv0(1)^2+barv0(2)^2+barv0(3)^2+barv0(4)^2)); F=A*barv0+q; for i=1:4 if v0(i)-mu*(F(i)+barp0*barv0(i))<=a(i) v0(i)=a(i); elseif v0(i)-mu*(F(i)+barp0*barv0(i))>=b(i) v0(i)=b(i); else v0(i)=v0(i)-mu*(F(i)+barp0*barv0(i)); end end F=A*v0+q; barp0=max(0,p0-mu*(v0(1)^2+v0(2)^2+v0(3)^2+v0(4)^2)); % barv0=zeros(4,1);
for i=1:4 if v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))<=a(i) barv0(i)=a(i); elseif v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))>=b(i) barv0(i)=b(i); else barv0(i)=v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i)); end end k=k+1;
用微分方程命令求解： function xdot=variational(t,x)
A=[4,2,2,1;2,4,0,1;2,0,2,2;-1,-1,-2,0]; b=[5;5;5;5];%盒子的上界 a=[-5;-5;-5;-5];%盒子的下届 mu=0.03;
q=[-8;-6;-4;3]; F=A*[x(1);x(2);x(3);x(4)]+q;%相当于变分不等式中的F(x)函数
for i=1:4 if x(i)-mu*(F(i)+x(5)*x(i))<=a(i) phi(i)=a(i)-x(i); elseif x(i)-mu*(F(i)+x(5)*x(i))>=b(i) phi(i)=b(i)-x(i); else phi(i)=-mu*(F(i)+x(5)*x(i)); end end
xdot=[phi(1);phi(2);phi(3);phi(4); max(0,x(5)+mu*(x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2+x(4)^2))-x(5)]; t_final=100;x0=[0;0;0;0;1]; [t,x]=ode45('variational',[0,t_final],x0); plot(t,x), figure;plot5(x(:,1),x(:,2),x(:,3),x(:,4),x(:,5));axis([10 40 -20 20 -20 20 ]); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 线性方程组的表达式：函数G
function G=variationalfunction(x) x=[0;0;0;0;1]; A=[4,2,2,1;2,4,0,1;2,0,2,2;-1,-1,-2,0]; b=[5;5;5;5];%盒子的上界 a=[-5;-5;-5;-5];%盒子的下届 mu=0.03;
q=[-8;-6;-4;3]; F=A*[x(1);x(2);x(3);x(4)]+q;%相当于变分不等式中的F(x)函数
for i=1:4 if x(i)-mu*(F(i)+x(5)*x(i))<=a(i) phi(i)=a(i)-x(i); elseif x(i)-mu*(F(i)+x(5)*x(i))>=b(i) phi(i)=b(i)-x(i); else phi(i)=-mu*(F(i)+x(5)*x(i)); end end
G=[phi(1);phi(2);phi(3);phi(4); max(0,x(5)+mu*(x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2+x(4)^2))-x(5)];