从一般性角度优化解法-(深圳市大望学校 刘镜波)
导数的应用之优化问题
导数的综合应用－－优化问题广东省和平县福和高级中学高三数学组颜贞1.知识与能力通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题。
2.过程与方法让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法。
3.情感、态度与价值观形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性。
激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力.4.教学重点和难点优化问题的数学建模与求解方法的掌握.上课内容详细分解：一、复习导数作为工具的具体体现：1．解决函数的单调性2．解决函数在某一区间内的极值或最值3．知识点的综合运用二、提出本节课听课要求1．深化理解导数作为工具的卓越表现力2．掌握用导数法解决生活中优化问题的一般步骤3．解决生活中优化问题时应注意的问题三、回顾解决优化问题的一般常用方法1.基本函数型（如二次函数型，指数对数型）2.基本不等式型3.线性规划型….最后提出本节课的目的：用导数法解决实际生活中的优化问题.【设计理念：通过复习知识点，构建学生的知识网络，对开展进一步的教学有一定的好处，也适合学生的学习习惯。
】四、探究实例一（用料最省问题）老师：设圆柱形金属罐的容积一定，请问怎么来设计它的高与底面的关系，才能使所用材料最身？学生：积极探索，寻求关系并初步分析问题。
部分学生可以解决问题. 老师：（详细分析）解：设圆柱的高为h ，底面半径为r ，容积为V 。
则用料最省问题即可转化为求圆柱体的表面积最小问题。
可找函数关系：222r rh S ππ+=，由V=22r V h h r ππ=⇒，有2222222)(r r V r r V r r S ππππ+=+⋅=.令0)(='r S ，可求得时用料最省。
达到最大，即此时r V rV h S V r 24,2323====πππ 【设计理念：探究性学习是我们在新课程改革中一个很重要的成果，通过这道实际例题，既可以培养学生的学习热情，又可以充分调动学生的积极探索的欲望，真正将学生从“要去学”转变到“我要学”.】五、探究实例一的变式 （问题转化为利润型问题）老师：某制造商制造并销售瓶装球形饮料，瓶子的制造成本是0.82r π 分/个，已知每出售1mL 饮料，获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm 。
5：优化法 数学建模
NLP(Non-linear programming ) LSP(The least programming ) DP (Dynamic programming ) MOP(Multiple objectives programming) 实际背景：生产、经济、工程、管理中的优化问题 目标： 产量、质量、成本、工时、效益、风险、环 境、安全性、可靠性等等。
数据是实践中的真实数据；解决问题的人员组成是 多学科的；处理问题的方法渗透着物理学的思想。第二 次世界大战以后最优化方法的应用由军事问题转入民用 问题，提出了现代管理的理论和方法，如计划管理，运 输管理，工程建设管理，库存管理，工业工程管理等等。 1930年苏联数学家Cantolovch首创图上作业法解决 小规模（以二维为类）得线性规划问题，如物资调运方 案，合理下了方案等。而大规模的线性规划（高维问题） 则是在电子计算机问世以后才得发展； 1936年美国的经济学家列昂？夫首创投入产出分析 法，而反映国民经济动态运行的大型投入产出表的制定 也是在大型计算机的支持下才能够实现；
多目标、多变量、大存储量问题对计算机和算法 都提出了更高的要求：
计算代价的估计，计算精度的估计，算法的可靠性， 稳定性的评价等。
2、从线性到非线性的变化
事物的运动和变化一般都是非线性的，但在局部范 围和平缓变化情况下，往往又可以近似地看成是线性的， 因此线性化的数学模型一直得到广泛和充分的研究，在 十九世纪，数、理、化、力等学科都是线性的世界，20 世纪以来，科技和工程技术的迅速发展，出现了大范围、 大变形、大扰动、高速、高温、高能、高精度等涉及非 线性现象的问题，因此，非线性问题的研究已成为当前 科学和数学中研究的主题。
3.2 最优化方法的发展进程 Staticaloptimization） （Staticaloptimization）
数学实验第五次讲稿
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生产计划问题
单耗 材料 工时 工人 利润(元/件) 甲 x1 2 3 3 4 乙 x2 3 2 2 3 丙 x3 1 1.5 5 2 限额 34 36 40
决策变量 目标函数
x1, x2, x3 max
规划模型
Z 4x1 3x2 2x3 2x1 3x2 x3 34 3x1 2 x2 1.5x3 36 3x1 2 x2 5x3 40 x1 , x2 , x3 0
a b d
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1.25 1.25 3
8.75 0.75 5
0.5 4.75 4
5.75 5 7
3 6.5 6
7.25 7.75 11
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二,优化问题建模的基本步骤介绍
在我们的生活中,始终有这样的问题:为 了一定的目的做一些事情,我们可能要考虑 有哪些重要的因素,这些因素和要完成的目 标之间有什么样的关系.也就是说,我们在做 一个决定时,会注意下面的三个要点:
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• 非线性规划问题在实践中也是及其常见的. 标志着这一学科的产生的奠基性工作由美 国的数学家Tucker和Kuhn在1952年的一篇文 章.该文章给出了非线性规划问题的必要条 件和充分条件,后来成为Kuhn-Tucker条件.这 为非线性规划问题的求解算法的提出提供 了理论基础和算法的基本思路. • 相关的规划问题,比如多目标规划,决策论等 等.
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二，优化问题的表述
• 决策变量和参数 我们称对应决策者可控的量称为决策变 量,决策变量的取值确定了系统的最终性能, 也是决策者采用决策的依据.在系统中还有 一些量,它不能由决策者所控制,而是由系统 所处的环境所决定,我们称之为参数.
奥数：最优化问题
第十四讲最优化问题我国著名大数学家华罗庚爷爷曾积极推广、普及的“统筹方法”和“优选法“华罗庚曾利用数学知识创造许多优化解决问题的方法。
我们所破到的最优化问题，是通过适当规划安排，在许多方案中，寻找一个最合理、最节约、最省事的方案。
典型例题•例1妈妈让小明给客人烧开水切茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早点和上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能切茶了？先决条件。
这1分钟不能省，而洗茶壶、洗开水杯、拿茶叶等切茶的准备工作都可以放在烧开水的15分钟里完成。
解最省时间的安排是：纤细开水壶（用1分钟），按着烧开水（用15分钟），在等待水烧开的时间里，可以洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就切茶。
这样一共用了16分钟。
•例2在一条公路上，每隔100其千米有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10 吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两仓库是空的。
现在想把所有的货集中存在同一仓库里，如果每吨货物运输1千米需0.5元运费，那么最少要花多少运费才行？分析要做到所花运费最少，必须综合考虑两个因素：（1）运走的货物尽可能少；（2）要运货物运输的路程将可能短。
如果考虑第一因素，就要将货物集中在五仓库；如果考虑第二因素，就要将货物集中在四仓库。
比较这两种情况，选择运费最少的一种。
将货物集中到五号仓库。
解0.5x（10x400+20x300）=5000 （元）• 例3 A、B两批发部分别有电视机70台与60台，甲乙丙三个商店分别需要电视机30 台、40台和50台。
从A、B两批发部每运一台电视到三个销售店的运费如表所示。
如何调运才能使运费最少？分析该题中供应量70+60=130台，需求量为30+40+50=120台。
供求量不等，供大于求。
由表可知，由差价可知，A尽量供应给乙，即A给乙40台。
运筹学的优化算法
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• 赛题发展的特点：
1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题 的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算 不能完成，计算机模拟和以算法形式给出最终结 果。 2. 赛题的开放性增大: 解法的多样性，一道赛题 可用多种解法。开放性还表现在对模型假设和对 数据处理上。 3. 试题向大规模数据处理方向发展 4. 求解算法和各类现代算法的融合
IP
LP
xl*
Yes
xI* = xl*
判别是否整数解 No
去掉非整数域
多个LP ……
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分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。
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分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。 若松驰问题无可行解，则原整数规划 问题也无可行解，计算结束。
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若松驰问题有最优解，但其各分量不全 是整数，则这个解不是原整数规划的最 优解，转下一步。
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若松驰问题有最优解，但其各分量不全 是整数，则这个解不是原整数规划的最 优解，转下一步。 从不满足整数条件的基变量中任选 一 个xl进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或 xl [xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加进 原问题中，形成两个互不相容的子问题 （两分法）。
这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似， 可看一下与计算机算法有关的书。
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分枝定界法
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
自习教室照明用电的优化数学模型
自习教室开放的优化管理摘要大学校园用电浪费的情况主要体现在学生上晚自习上，为解决该问题，本文通过对学生人数、学校教室资源以及宿舍区分布的分析，给出合理的满意程度的度量办法，在保证学生上自习满足和满意程度较高的情况下，全局考虑，制定出最优的教室分配方案，达到节约用电目的；另外，针对临近期末时教室资源紧缺问题，给出临时教室的规格及地址选择方案。
对于问题一，考虑到总功率的多少主要取决于教室是否开放，教室内灯管的多少以及灯管的功率大小。
我们以此为约束条件列出消耗总功率的目标函数，根据给出的各个教室的灯管数目及功率数据，用LINGO 软件编程求得教室的分配方案，共关闭9个教室，编号为：1，2，7，15，16，41，42，44，45；具体情况见文中第5页表[1]和表[2]。
这个和方案将会满足自习同学的要求，消耗总功率最低，最小总消耗功率为74525.000w。
：对于问题二，这是一个多目标整数规划问题。
我们做出合理假设，利用比值法，给出新的满意度的度量方法，即最小距离与该宿舍区到其他自习区的距离的比值即可作为学生满意程度的度量,比值越大，满意程度越高。
由此生成满意指数矩阵，建立如下的多目标的整数规划模型，其过程如下：（1）以满意程度最大为目标，得出满意度为6003.172，满意指数为100%，最小总消耗功率为79615.000w，4个不开放的教室编号为29，39，40，45；教室分配的具体情况见第8页表[5]；（2）以耗电的总功率最小为目标，得出满意度为4289.227，满意指数为71.4%，最小总消耗功率为75773.000w，9个不开放的教师的编号为2，11，15，16，25，41，42，44，45。
教室分配方案见第9页表[6]；（3）综合考虑满意程度最大和总功率最小这两个目标，取二者的比值为目标函数，即可在满意程度尽量高的情况下，达到省电的目的，通过LINGO运算，得出满意度为5434.280，满意指数为90.5%，最小总消耗功率为79400.000w，7个不开放的教室编号为1，2，15，16，25，44，45；教室分配见页表[10]。
Lec1---一些优化问题介绍
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件
min f (x)
s.t. hi (x) 0, i 1,...,m g j (x) 0, j 1,...,l
决策变量
x D n
目标函数
约 束 条 件
• 无约束优化(没有约束)与约束优化(有约束) • 可行解（只满足约束）与最优解(取到最优值)
二次规划模型(QP) : 目标为二次函数、约束为线性
min q x 1 xTGx rT x
2 s.t aiT x bi, i E {1,L ,l}
aiT x bi, i I {l 1,L ,l m}
其中G是 nn对称阵． 注：(1)若Hesse阵是半正定的，则称为凸二次规划，
此问题有时并不比求解线性规划困难．
股票C 1.149 1.260 1.419 0.922 1.169 0.965 1.133 1.732 1.021 1.131 1.006 1.908
股票指数 1.258997 1.197526 1.364361 0.919287 1.057080 1.055012 1.187925 1.317130 1.240164 1.183675 0.990108 1.526236
14.00000 2
Variable
Value
X1 4.000000
X2 2.000000
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例2：某工厂用三种原料生产三种产品，已 知的条件如下表所示，试制订总利润最大的生 产计划
单位产品所需原 产品 产品 产品 原料可用量 料数量（公斤） Q1 Q2 Q3 （公斤/日）
原料P1
2 3 0 1500
优
二次规划(QP): 目标为二次函数、约束为线性
优化方法之建模实验篇
(6)数学的结论能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象，或用某 种方法(例如，历史数据、实验数据或现场测试数据等)来验证结论是否 合理、正确，这也是很不容易的。
(7)如果第(6)步的结果是肯定的，那么就可以付之试用;如果是否定的， 那就要回到第(1)~(6)步进行仔细分析，重复上述建模过程。
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2.2数学建模的初级战法--线性规划问题
二、单纯形法的基本思路 对于二维空间有图解法，但三维空间或更高维的空间就无法用图解法了，
单纯形法正是用于解决高维伞间的最有效的算法，且具有一般性。其基 本思路是:用迭代法从一个顶点转换到另一个顶点，每一个转换应使目标 函数下降较多。单纯形法的具体步骤可参阅线性规划书籍。由于计算机 的普及和时间关系，我们对工科学生更强调用数学软件包Matlab优化工 具箱、Lingo等软件计算模型。 图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。如图2. 2. 2所示. 从上面的图解过程可以看出，并不难证明以下断言: (1)可行域R可能会出现多种情况。R可能是空集一也可能是非空集合， 当R非空时，它必定是若干个半平面的交集(除非遇到空间维数的退化)。 R既可能是有界区域，也可能是无界区域。
数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤： (1)对某个实际问题进行观察、分析(是否抓住主要方面)。 (2)对实际问题进行必要的抽象、简化，做出合理的假设(往往是很不容
易的)。 (3)确定要建立的模型中的变量和参数。
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2. 1 什么是数学模型和数学建模
(4)根据某种“规律”(已知的各学科中的定律，甚至是经验的规律)建立 变量和参数间确定的数学关系(明确的数学问题或在这个层次上的一个数 学模型)，这可能是一个非常具有挑战性的数学问题。
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从一般性角度优化解法
深圳市大望学校 刘镜波
题目 如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你
在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证
明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两
条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出
s
的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．
分析 本题是基于复杂作图下的探究型题，主要考查学生综合运用切线的性
质，角平分线的性质，勾股定理等解决问题的能力.
解法一 （1）略；
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点
P
是∠ABC的平分线BM上的点.
如图3，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1 (不为∠ABC的顶点)，
∵ OX ＝BOsin∠ABM, P1Z＝BP1sin∠ABM．
当 BP1＞BO 时 ，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点.
如图4，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，
即这时的⊙P是符合题意的圆，这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE，
第23题
图2
图1
Y
X
C
B
BCA
A
图1
ZOYX
C
B
A
P
1
图3
2
∴BCPEABPA.
∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝5.
设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x, PC＝PE，
∴251xx， ∴x＝522 ．
②如图5，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，
设PC＝y，则 152yy，∴y= 512.
③如图6，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，
设PF＝z，则122zz， ∴z=32.
由①，②，③可知：∵ 5 ＞2，∴ 5＋2＞5＋1＞3，
∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，
∴52251232，
∴ z＞y＞x. ∴⊙P的面积S的最大值为94.
以上解法一是该题的参考答案，不难看出本题进行了分类讨论，还用到了相
似三角形，有一定的计算量.其实，我们分析题意，抓住两个关键：一是P是这
个Rt△ABC上和其内部的动点；二是准确理解“以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的
两条边相切”这句话.首先，我们要明确，“圆与边相切”指圆与边所在的直线相
切，这是一个特定的概念.“切点在边上”指切点一定在边上而不能在边的延长
线（或反向延长线）上.因此，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切不受
到切点在Rt△ABC的边上的“束缚”.
我们拿任意三角形来分析，如图7，在ABC中，ABC的平分线BM与
AC
交于点M,若以P为圆心的⊙P与ABC的两边BA、BC相切，则点P一定在
ABC
的平分线BM上.当点P远离点B时，与两边相切的⊙P的半径越来越大，
又因为P是△ABC上和其内部的动点，所以点P和ABC的平分线与AC的交点
M
重合时，⊙P的半径达到最大且满足条件.
图2
D
E
C
B
A
P
图4
图3
D
P
B
C
A
图5
图4
F
E
P
C
B
A
图6
3
∵BMCABMABCSSS,
∴)(21BCABrSABC, ∴BCABSrABC2.
显然，当ABCS一定时，两边之和越小，满足条件的半径r就越大.基于前面
的分析，就有了下面的简捷解法.
解法二 如图8，当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性
质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.
当点P远离点B时，与两边AB 、BC相切的⊙P的半径越来越大，又因为
P
是△ABC上和其内部的动点，所以点P和ABC的平分线与AC的交点M重合
时，⊙P的半径达到最大且满足条件.
同理，对于⊙P与两边AB、AC相切，⊙P与两边CB、AC相切这两种情况，当
点P是角平分线与对边的交点时，才能使满足条件的⊙P的面积最大.
设⊙P与ABCRt的两边相切并达到面积最大时的半径为r.
∵BMCABMABCRtSSS,
∴)(21BCABrSABCRt, ∴BCABSrABCRt2.
∵2AB,1AC,
∴由勾股定理可得2221BC5.
∵525121,即BCABACBCACAB,
∴满足条件的⊙P的最大半径是212ABCRtSr32,
∴⊙P的面积S的最大值为94.
不难看出，解法二采用了面积分割法，得到r与两边之和成反比例，相对于
解法一而言，回避了复杂的分类讨论和相似三角形的有关计算，显得更具有一般
性，即采用解法二可以推广到任意三角形.
r
r
2
1
E
M
A
B
C
P
图8
r
r
2
1
E
M
A
B
C
P
图7