2018届苏教版(文科数学) 三角恒等变换与解三角形 单元测试
三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形问题中经常用到的重要工具。
在解三角形问题中，我们常常需要求解三角函数的值，而三角恒等变换则可以帮助我们将一个三角函数的值转换为其他三角函数的值，从而简化计算过程。
本文将介绍三角恒等变换的概念和常见的恒等变换公式，并结合实例讲解如何利用三角恒等变换解决实际问题。
一、三角恒等变换的概念三角恒等变换是指将一个三角函数的值转换为其他三角函数的值的变换过程。
在三角恒等变换中，我们利用三角函数的基本关系和性质，通过代数运算和恒等式的推导，将一个三角函数的表达式转换为其他三角函数的表达式。
三角恒等变换在解三角形问题中起到了重要的作用，可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
二、常见的三角恒等变换公式1. 正弦函数的恒等变换正弦函数的恒等变换公式如下：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBsin2A = 2sinAcosAsin(A + B)sin(A - B) = cos2B - cos2A这些恒等变换公式可以帮助我们将一个正弦函数的值转换为其他正弦函数的值，从而简化计算过程。
2. 余弦函数的恒等变换余弦函数的恒等变换公式如下：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBcos2A = cos^2A - sin^2Acos(A + B)cos(A - B) = cos2A - sin2B利用这些恒等变换公式，我们可以将一个余弦函数的值转换为其他余弦函数的值，从而简化计算过程。
3. 正切函数的恒等变换正切函数的恒等变换公式如下：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些恒等变换公式可以帮助我们将一个正切函数的值转换为其他正切函数的值，从而简化计算过程。
2018届苏教版(理) 简单的三角恒等变换 单元测试
专题21简单的三角恒等变换1．已知sin2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.13 B ．－13C.23 D ．－23解析：cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23，故选C 。
答案：C2．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32C.32 D ．1＋ 3 解析：f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎫2x －π6＋12。
又x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， ∴f (x )max ＝1＋12＝32.故选C 。
答案：C3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝π6C ． x ＝－π12D ．x ＝－π24解析：对函数进行化简可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6，则由4x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π12，k ∈Z 。
当k ＝0时，x ＝π12.故选A 。
答案：A4．如图，已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，BP ⊥AC ，BP ＝PC ，CD ＞AB ，则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是( )A ．AB 与AD B ．AB 与BCC ．BD 与BC D ．AD 与APC 选项：假设BD ＝BC ，则有2sin θ＝1＋sin 2θ sin θ＋cos θ 2，即1＋2sin 3θcos θ＝sin 2θ，无解。
三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换与解三角形三角恒等变换（Trigonometric Identities）是数学中重要的基本概念之一，它们在解三角形等相关问题中发挥着重要的作用。
在本文中，我们将探讨三角恒等变换的基本概念以及如何利用它们解决三角形的问题。
1. 引言三角恒等变换是指在三角函数之间的相等关系。
通过运用这些恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而更容易解决与三角函数相关的问题。
2. 基本的三角恒等变换2.1 正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1对于任意角θ，有sin^2θ + cos^2θ = 1。
这个恒等变换被称为三角函数的基本恒等变换，它表明正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1。
2.2 余弦函数与正弦函数的互补关系对于任意角θ，有sin(π/2 - θ) = cosθ 和cos(π/2 - θ) = sinθ。
这表明余弦函数与正弦函数在π/2之间具有互补关系。
2.3 正切函数与余切函数的互补关系对于任意角θ，有tan(π/2 - θ) = cotθ 和cot(π/2 - θ) = tanθ。
这表明正切函数与余切函数在π/2之间具有互补关系。
3. 利用三角恒等变换解三角形利用三角恒等变换，我们可以简化和变换三角函数的表达式，从而解决与三角形相关的问题。
以下是一些常用的例子：3.1 例子1：已知一个角的正弦值，求解这个角的余弦值和正切值。
假设已知角θ的正弦值为sinθ = 3/5。
根据正弦函数的平方和余弦函数的平方等于1，我们可以得到cos^2θ = 1 - (sinθ)^2 = 1 - (3/5)^2 = 16/25。
因此，cosθ = ±4/5，取决于角θ的实际情况。
同样地，根据正切函数的定义，我们可以得到tanθ = sinθ/cosθ = (3/5)/ (±4/5) = 3/4。
3.2 例子2：已知一个角的余弦值，求解这个角的正弦值和余切值。
假设已知角θ的余弦值为cosθ = 4/5。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.若，则．【答案】【解析】【考点】1．二倍角公式；2．同角三角函数2.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为．【答案】2【解析】由题意得：，因为在上为增函数，所以，即的最大值为2【考点】三角函数图像变换与性质3.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【解析】由图可知则，又，结合可知，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度．【考点】函数图象、图象的平移．4.在中，角所对的边分别为，满足，且．（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的值．【答案】（1）；（2）当时，取到最大值．【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用三角形的内角和定理转化为A的三角函数，利用两角和的正弦公式求解，结合正弦定理把边转化为角，求出表达式，求出结果即可；第二问，由余弦定理以及基本不等式求出的最值，注意等号成立的条件即可．试题解析：（1）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，因为，所以0，从而，即．（2）由余弦定理，得，又，所以，于是，--10当时，取到最大值．【考点】余弦定理、正弦定理、两角和的正弦公式、基本不等式．5.下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A，B、，C、， D、，故选择C【考点】三角恒等变换6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则c＝．【答案】【解析】由余弦定理可得【考点】余弦定理解三角形7.已知面积为，，则BC长为．【答案】【解析】由三角形面积公式可知【考点】三角形面积公式8.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2．（1）求角C；（2）求边a的长【答案】（1）；（2）5；【解析】（1）角C在直角三角形ADC中，根据定义求解即可；（2）由（1）知的值，利用余弦定理即可．本题注意活用余弦定理．试题解析：（1）由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，，则．（2）由余弦定理，可知则，即所以或（舍）因此边长为5．【考点】1．正弦的定义；2．余弦定理；9.△ABC中，，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可知，，整理得，所以，则△ABC为等腰三角形．【考点】正弦定理的应用．10.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．11.（2011•安徽）已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．【答案】15【解析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积．解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．12.（2015秋•醴陵市校级期末）正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为．【答案】【解析】先求导函数，利用导函数在x=处可知切线的斜率，进而求出切点的坐标，即可求得切线方程．解：由题意，设f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx当x=时，∵x=时，y=∴正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为即故答案为：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．13.如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问:乙船每小时航行多少海里？【答案】【解析】连接，则∴△是等边三角形，求出，在△中使用余弦定理求出的长，除以航行时间得出速度试题解析：如图，连接A1B2，由题意知，A1B1＝20，A2B2＝10，A1A2＝×30＝10（海里）又∵∠B2A2A1＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∠B1A1B2＝105-60°＝45°．在△A1B2B1中，由余弦定理得＝202＋（10）2－2×20×10×＝200，∴B1B2＝10（海里）．因此乙船的速度大小为×60＝30（海里/小时）．【考点】解三角形的实际应用；余弦定理14.（2015春•东城区期末）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【答案】B【解析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选B【考点】演绎推理的基本方法．15.在△ABC内部有任意三点不共线的2017个点，加上A、B、C三个顶点，共有2020个点，把这2020个点连线，将△ABC分割成以这些点为顶点，且互不重叠的小三角形，则小三角形的个数为（）A．4037 B．4035 C．4033 D．4032【答案】B【解析】三个点时，有1个三角形，4个点时有3个三角形，5个点时有5个三角形，每加一个点，三角形的个数加2，因此2020个点时三角形的个数为1＋（2020－3）×2＝4035．【考点】归纳推理．16.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得的值，再由题意可得的大小；（2）由已知条件代入余弦定理可求得的值，代入面积公式可得三角形的面积.试题解析：（1）∵中，，∴根据正弦定理，得∵锐角中，，∴等式两边约去，得∵是锐角的内角，∴；（2）∵，，∴由余弦定理，得，化简得，∵，平方得，∴两式相减，得，可得.因此，的面积.【考点】正弦定理、余弦定理.17.设函数，若为奇函数，则= ；【答案】【解析】，函数为奇函数，所以【考点】三角函数性质18.已知的三内角所对的边分别为，且，则．【答案】【解析】由正弦定理及得，所以，所以．【考点】正弦定理与余弦定理．19.函数的部分图像如图所示，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象可知，，所以，当时，，故选A．【考点】函数的图象．20.在锐角中，分别为角所对的边，且．（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据正弦定理化简已知的式子求出，在由锐角三角形的特征求出角的大小；（2）根据余弦定理和条件，可得，利用三角形的面积公式和条件求出和的值，由完全平方公式即可求出的值．试题解析：（1）由及正弦定理得，，∵，∴．∵是锐角三角形，∴．（2）∵，由面积公式得，即．．．．①由余弦定理得，即，∴．．．．②，由①②得，故．【考点】正弦定理与余弦定理．21.已知：f（x）=2cos2x+sin2x﹣+1（x∈R）．求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期；（Ⅱ）f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．【答案】见解析【解析】解：f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T==π（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+得2kπ﹣≤2x≤2kπ+∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z（Ⅲ）因为x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴f（x）∈[0，3]．【点评】本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．22.在中，三内角的对边分别为，面积为，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，化为，又因为，解得或（舍去），所以．【考点】余弦定理．23.已知函数，（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数的极小值和最大值，并写明取到极小值和最大值时分别对应的值．【答案】（1）;（2）详见解析．【解析】（1）先求函数的导数，并且根据辅助角公式化简函数，并求导数在的零点，同时讨论零点两侧的单调性，确定函数的单调递减区间；（2）根据（1）的讨论，可求得极值点和极值以及端点值的大小，经比较可得函数的最大值以及极小值．试题解析：（1）f′（x）＝cosx＋sinx＋1＝sin（x＋）＋1 （）令f′（x）＝0，即sin（x＋）＝－，解之得x＝π或x＝π．x，f′（x）以及f（x）变化情况如下表：（π，π）π（π，2π）－0＋∴f（x）的单调减区间为（π，π）．＝f（）＝．（2）由（1）知f （x）极小而f（π）＝π＋2，，所以．【考点】导数的简单应用24.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距，低潮时水深为，高潮时水深为．每天潮涨潮落时，该港口水的深度（）关于时间（）的函数图象可以近似地看成函数的图象，其中，且时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意分析可知函数的最大值为15，最小值为9，周期T=12，所以，又当t=3时，函数取得最大值，所以答案为A。
全国重点高中2018-2019学年高三数学 第1章 解三角形章末过关检测卷 苏教版必修5
【金版学案】2015-2016学年高中数学 第1章 解三角形章末过关检测卷 苏教版必修5(本部分在学生用书中单独成册) 第1章 解三角形(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝(C )A .1010 B .105 C .31010 D .55解析：由余弦定理得AC 2＝32＋22－2×3×2cos π4⇒AC ＝ 5.再由正弦定理5sinπ4＝3sin ∠BAC ⇒sin ∠BAC ＝31010. 2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦是(C )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由c 2＝72＋82－2×7×8×1314，得c ＝3，∴B 是最大角，cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝(B )A ．5B . 5C ．2D ．1解析：利用三角形面积公式可求角B ，再利用余弦定理求得B 的对边AC. ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22.∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.4．已知三角形的两边之差是2，这两边夹角的余弦值为35，且这个三角形的面积为14，那么这两边的长分别为(D )A ．3，5B ．4，6C ．6，8D ．5，7解析：设三角形的两边为a ，b ，夹角为α，由cos α＝35可知，sin α＝45，由三角形面积公式，得12ab ×45＝14，得ab ＝35，观察选项知选D .5．(2013·辽宁卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B＝(A )A .π6B .π3C .2π3 D .5π6解析：由正弦定理得，sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即 sin A cos C ＋cos A sin C ＝12⇒sin (A ＋C)＝12，亦即sin B ＝12，又a ＞b ，∴B ＝π6.6．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为(D )A ．19B ．－14C ．－18D ．－19解析：AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos 〈AB →，BC →〉＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B)＝－|AB →|·|BC →|·cos B ＝－|AB →|·|BC →|·|AB →|2＋|BC →|2－|AC →|22·|AB →|·|BC →|＝－49＋25－362＝－19.7．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于(A )A .63 B .62 C .12 D .32解析：由大边对大角知A ＝75°，故边a 最长，边b 最短，由正弦定理bsin B ＝csin C ，得b ＝63. 8．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为(B )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：求最大、最小角之和即求中间角大小，由余弦定理知，cos B ＝52＋82－722×5×8＝12，∴B ＝60°，即最大角、最小角之和为A ＋C ＝180°－B ＝120°.9．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为(C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：∵A＝60°，∴第三边即为a ，又b ＋c ＝7，bc ＝11， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c)2－3bc ＝72－3×11＝16. ∴a ＝4.10．在某海域，一货轮航行到M 处，测得灯塔P 在货轮的北偏东15°并与灯塔P 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°方向航行30分钟，又测得灯塔P 在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B )A ．20(6＋2) n mile /hB ．20(6－2) n mile /hC ．20(6＋3) n mil e /hD ．20(6－3) n mile /h解析：如图由题意可知，∠M ＝15°＋30°＝45°，∠N ＝60°＋45°＝105°，故知∠P＝30°，由正弦定理，得20sin 105°＝MNsin 30°，∴MN ＝10sin （60°＋45°）＝406＋2＝10(6－2)．故知速度为20(6－2) nmile /h .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝13，则其外接圆半径为________．解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×13＝9，∴c ＝3，sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. ∴R ＝c 2sin C ＝98 2.答案：98212．在△ABC 中，A 、B 、C 是三个内角，C ＝30°，那么sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cosC 的值是________．解析：sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B co sC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2×(a 2＋b 2－2ab cos C)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12R 2×c2＝sin 2C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：1413．(2014·山东卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．解析：由向量知识求出|AB →||AC →|的值，代入三角形面积公式求解．已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积 S ＝12|AB→||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.答案：1614．(2013·安徽卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，且3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________．解析：由3sin A ＝5sin B ⇒3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ⇒b ＝35a ，c ＝75a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴C ＝2π3.答案：2π3三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 15．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cosA 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值．解析：(1)cos A ＝2cos 2A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35， ∴sin A ＝45，AB →·AC →＝bc×35＝3.∴bc＝5.故面积S ＝12bc sin A ＝12×5×45＝2.(2)由bc ＝5和c ＝1得b ＝5， ∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋1－2×5×1×35＝2 5.16．(本小题满分12分)(2014·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33，又因为B ＝A ＋π2， 所以sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理，得b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2，得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B)．所以sin C ＝sin [π－(A ＋B)]＝sin (A ＋B)＝sin A ·cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322. 17．(本小题满分14分)在△ABC 中，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，sin C 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，且m 与n的夹角为π3.(1)求C ；(2)已知c ＝3，三角形面积S ＝433，求a ＋b .解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos C2，－sin C 2，∴m·n ＝cos 2C2－sin 2C2＝cos C .又m·n ＝|m|·|n |cos π3＝cos π3＝12，∴cos C ＝12，C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝3，∴9＝a 2＋b 2－ab .由S ＝12ab sin C ＝34ab ＝433，得ab ＝163，从而(a ＋b )2＝9＋3ab ＝25，∴a ＋b ＝5.18．(本小题满分14分)如图，货轮在海上以35 n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为122°.半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．解析：在△ABC 中，∠B ＝152°－122°＝30°，∠C ＝180°－152°＋32°＝60°，∠A ＝180°－30°－60°＝90°，BC ＝352，∴AC ＝352sin 30°＝354.∴船与灯塔间的距离为354n mile.19．(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解析：由A ＋B ＋C ＝π，得cos B ＝－cos(A ＋C )，于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ＝1⇒sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 得sin A ＝2sin C ．②由①②得sin C ＝12，又a ＝2c ＞c ，∴C ＝π6.20．(本小题满分14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＝223.(1)求tan2B ＋C2＋sin 2A2的值； (2)若a ＝2，S △ABC ＝2，求b 的值．解析：(1)在锐角三角形ABC 中，由sin A ＝223，得cos A ＝13，∴tan2B ＋C2＋sin 2A2＝sin 2B ＋C2cos2B ＋C 2＋sin 2 A 2＝1－cos （B ＋C ）1＋cos （B ＋C ）＋12(1－cos A )＝1＋cos A 1－cos A ＋12(1－cos A )＝1＋131－13＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝73.(2)因为S △ABC ＝2，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·223＝2，则bc ＝3.将a ＝2，cos A ＝13，c ＝3b 代入a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 4－6b 2＋9＝0，解得b ＝ 3.。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
第7讲 三角恒等变换与解三角形
第6讲 三角恒等变换与解三角形自主学习导引 真题感悟1．(2018·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝（ ）A ．－53B ．－59 C.59D.53答案 A解析 利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sin α＋cos α＝33， ∴(sin α＋cos α)2＝13， ∵2sin αcos α＝－23， 即sin 2α＝－23. 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，∴2k π＋π2＜α＜2k π＋34π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜2α＜4k π＋32π(k ∈Z )，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.2．(2018·浙江)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56，由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝ 3. 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.考题分析新课标高考对本部分的考查，一般多以小题考查三角变换在求值、化简等方面的应用，而解答题常常有以下三种：三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问题、三角变换在实际问题中的应用问题．网络构建高频考点突破考点一：三角变换及求值【例1】设π3＜α＜3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值． [审题导引] 解答本题的关键是求出sin α与cos α，观察所给的条件式会发现求sin α与cos α的方法有两个，一是利用角的变换，二是解关于sin α与cos α的方程组．[规范解答] 解法一 由π3＜α＜3π4，得π12＜α－π4＜π2， 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝45.∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝210. ∴sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α()1＋2sin α＝14＋5250.【规律总结】sin α、cos α的求值技巧当已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin α＋cos α或sin α－cos α，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin αcos α，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin α，cos α的值．或者把sin α＋cos α、sin α－cos α与sin 2α＋cos 2α＝1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin α、cos α的值．[易错提示]三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据sin 2α＝1－cos 2α2求sin α的值时，sin α＝± 1－cos 2α2中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sin α≥0时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．【变式训练】1．(2018·烟台一模)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12，则tan α＝（ ）A ．1 B.33 C.36 D. 3答案 A解析 cos 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＋cos 2α＝2cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2－tan 2α1＋tan 2α＝12，即tan 2α＝1. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＞0，∴tan α＝1.2．(2018·南京模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos α＝________. 答案33－410解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝12sin α＋32cos α＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－435， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.又∵－π2＜α＜0，∴－π3＜α＋π6＜π6，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33－410.考点二：正、余弦定理的应用【例2】 (2018·湖南师大附中模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若cos A ＝22，a ＝2，求△ABC 的面积． [审题导引] (1)把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求B (2)利用(1)的结果求b 及c ，利用公式求面积．[规范解答] (1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A .∵0＜A ＜π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12. 又∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝6，由cos A ＝22可得A ＝π4，由B ＝π3，可得sin C ＝6＋24，∴S ＝12ab sin C ＝12×2×6×6＋24＝3＋32【规律总结】解三角形的一般方法是(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解题时可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C .【变式训练】 3．(2018·北京东城11校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin A ＝3sin C ，B＝30°，b ＝2，则边c ＝________. 答案 2解析 由正弦定理得a ＝3c ，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即4＝3c 2＋c 2－23c 2×32，解得c ＝2.考点三：解三角形与实际应用问题【例3】(2018·宿州模拟)已知甲船正在大海上航行．当它位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，乙船当即也决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．(供参考使用：取tan 41°＝32) (1)试问乙船航行速度的大小 (2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，譬如北偏东……度)．[审题导引] 据题意作出示意图，把实际问题转化为解三角形，利用正、余弦定理求解． [规范解答] 设乙船运动到B 处的距离为t 海里．则t 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC cos 120° ＝102＋202＋2×10×20×12＝700，∴t ＝107，又设∠ACB ＝θ， 则tsin 120°＝20sin θ，10732＝20sin θ， 则sin θ＝217＝0.65，∴θ＝41°，∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B 处求援．速度为57海里/小时．【规律总结】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案【变式训练】4．如图所示，小丽家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD 内，她家河对岸新建了一座大厦BC ，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A 处测得大厦顶部B 的仰角为60°，爬到楼顶D 处测得大厦顶部B 的仰角为30°，已知小丽所住的电梯公寓高82米，请你帮助小丽算出大厦高度BC 及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC .解析 设AC ＝x 米，则BC ＝3x 米， 过点D 作DE ⊥BC ，易得BE ＝33x ， ∴3x －33x ＝82. ∴x ＝413米． ∴BC ＝3×413＝123米． 名师押题高考【押题1】已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ()π＋2α＝2，则sin α＋cos α＝________.答案12解析sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－cos 2α＝22α－cos αsin 2α－cos 2α＝22·1sin α＋cos α＝2，则sin α＋cos α＝12.[押题依据] 诱导公式、倍角公式等都是高考的热点，应用这些公式进行三角恒等变换是高考的必考内容．本题考点设置恰当、难度适中，体现了对基础知识和基础能力的双重考查，故押此题． 【押题2】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列．(1)若b ＝13，a ＝3，求c 的值； (2)设t ＝sin A sin C ，求t 的最大值．解析 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.因为b ＝13，a ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以c 2－3c －4＝0. 所以c ＝4或c ＝－1(舍去)． (2)因为A ＋C ＝23π， 所以t ＝sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A＝34sin 2A ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2a 2＝14＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6. 因为0＜A ＜2π3，所以－π6＜2A －π6＜7π6. 所以当2A －π6＝π2，即A ＝π3时，t 有最大值34.[押题依据] 本题将三角函数、余弦定理、数列巧妙地结合在一起，综合考查了三角恒等变换及余弦定理的应用，体现了高考在知识的交汇处命题的理念，故押此题．。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题1.已知⊿ABC和⊿BCD均为边长等于的等边三角形，且，则二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】略2.锐角中，已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以．因为为锐角三角形，所以．即．故C正确．【考点】1正弦定理；2三角函数化简求值．3.在中，三内角、、的对边分别是、、．（1）若求；（2）若，，试判断的形状．【答案】（1）或；（2）等边三角形【解析】（1）由题根据正弦定理得到，因为，所以，可得或；（2）根据正弦定理化简可得，结合条件，得到，判断三角形为等边三角形．试题解析：（1）由正弦定理得：又∴∴或（2）由得又是等边三角形．【考点】正弦定理；余弦定理4.圆锥的表面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的弧度数为．【答案】【解析】设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=，底面面积=，侧面面积，∵侧面积是底面积的3倍，∴，【考点】扇形和圆锥的相关计算5.在中，内角A 、B、C对的边长分别是a、b、c．（1）若c=2,C=,且的面积是，求a,b的值；（2）若,试判断的形状．【答案】（1）a=2, b=2（2）等腰三角形【解析】（Ⅰ）根据余弦定理，得，再由面积正弦定理得，两式联解可得到a，b的值；（Ⅱ）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC 的形状的形状加以判断，可以得到结论试题解析：（1）由余弦定理得又的面积为，得ab=4 解得 a=2, b=2（2）得得,为直角三角形；当时，A="B," 为等腰三角形【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角函数基本公式6.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．7.在△ABC中，A=60°，，，则B=（）A．45°B．135°C．45°或135°D．以上答案都不对【答案】A【解析】由正弦定理，得，即，因为，所以，所以；故选A．【考点】正弦定理．【易错点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题；在三角形中，若已知两边及其中一边的对角，则选用正弦定理求另一边的对角，但满足该条件的三角形并非唯一，可能一解、两解或无解，要根据题目中的条件合理取舍，如本题中由正弦定理得到后，部分学生会出现选C的错误答案，要注意利用“大边对大角”进行取舍．8.已知的三边长分别为，则的面积为__________．【答案】【解析】的边长由余弦定理得，，所以三角形的面积为．【考点】1、余弦定理的运用；2、三角形的面积公式．9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A． B． C． D．【解析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【考点】余弦定理；等比数列．10.（2015秋•河南期末）已知△ABC的三内角A，B，C成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为（）A．B．2C．2D．4【答案】A【解析】由A，B，C成等差数列A+B+C=π可求B，利用三角形的面积公式S=bcsinA可求．解：∵△ABC三内角A，B，C成等差数列，∴B=60°又AB=1，BC=4，∴；故选A．【考点】三角形的面积公式．11.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°【答案】B【解析】长为7的边对应的角满足，，所以最大角与最小角之和为120°【考点】余弦定理解三角形12.（2015秋•珠海期末）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则B= ．【答案】45°．【解析】由已知及正弦定理可得sinB==，根据大边对大角由b＜a可得B∈（0，60°），即可求B的值．解：△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＜a，∴B∈（0，60°），∴B=45°．故答案为：45°．【考点】正弦定理．13.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）4【解析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2﹣bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．【考点】余弦定理；正弦定理．14.在中，角对边分别是，且满足.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理，化边为角，利用两角差的正弦公式，可得进而得，即可求解角的大小；（2）利用三角形的面积公式得，再利用余弦定理得，联立方程组即可求解的值.试题解析：（1）；（2）①，利用余弦定理得：即②，联立①②，解得：.【考点】正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式.15.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）如果，求面积的最大值，并判断此时的形状。
2018届苏教版 平面向量、解三角形 单元检测
1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=.【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=. 【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cosA sinB=2×35+2×45=10，又由正弦定理得sinaA=sincC，即=，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=. (第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC 交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AC=由余弦定理得32=(2+2-2×cos A ，解得cosA=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD =12BC ，AE =13AC，AD 与BE 交于点P ，则P B ·PD的值为.(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，3，E (1，，P 02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，所以P B ·PD =|PD |2=2⎝⎭=274.一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b|=a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM =2MD .若AC ·BM =-3，则AB ·AD=.(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO =x AB +y AC(x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值；(2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B. (1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3 【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin a A ，解得b=2113.4. 1 【解析】设AC=x ，由余弦定理得cos 120°=29-1323x x +⋅⋅=-12，即x 2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5. 32 【解析】方法一：设AB =4a ，AD =3b ，其中|a |=|b |=1，则DC =2a ，AM=2b .由A C ·BM =(AD +DC )·(B A +AM )=-3，得(3b +2a )·(2b -4a )=-3，化简得a ·b =18，所以AB ·AD=12a ·b =32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A (0，0)，B (4，0)，设D (3cos α，3sin α)，则C (3cos α+2，3sin α)，M (2cos α，2sin α).由A C ·BM=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以AB ·AD=12cos α=32.6.03⎛ ⎝⎦，【解析】如图，设α=AB，β=A C ，则β-α=B C ，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=3sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤3.(第6题)7. 4 【解析】ba +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan C B =sin cos C C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c =2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin CO CAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以C O =3O E ，即A O -A C =3(AE -A O )，即4A O =3AE +A C，所以4A O =32AB +A C ，从而A O =38AB+14AC .因为A O =x AB +y A C ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cosA=45，所以tanA=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2. 方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos45，所以tan A=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sinB=5，cosB=5， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sinB=25，由正弦定理sin b B =sin c C ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=5，cos ∠ADC=-5. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=10，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=5，sin ∠BCD=sin ∠ADC=5.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ，即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×75=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=3，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅ =sin sin sin B A C ⋅=2sin sin B B =1sin B=4.。
苏教版2018年高考一轮复习《第4章三角函数与解三角形》测试题
第04章 三角函数与解三角形班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、填空1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知4tan 3α=-，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________． 【答案】7【解析】41tan tan34tan()7441tan tan 143παπαπα----===+-．2. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222,sin 3sin a b bc C B -==，则A =________．【答案】3π3. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于___________． 【答案】3【解析】平移后得22()sin[()]sin()3333g x x x πππωπωω=-+=+-，由题意22,3k k Z ωππ-=∈，3(0k k Z ω=-∈且k ＜），最小值为3．4. 【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】函数y ＝2sin (2)6x π-与y 轴最近的对称轴方程是▲ ． 【答案】6x π=-【解析】由题意得2()()6232k x k k Z x k Z πππππ-=+∈⇒=+∈，因此与y 轴最近的对称轴方程是6x π=-5. 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知π(0,)2α∈，π(,π)2β∈，1cos 3α=，53)sin(-=+βα，则cos β= ▲ ．【答案】15264+-413cos cos()cos()cos sin()sin 535βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-=15264+-6. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】函数3sin(2)4y x π=+的图象向左平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数图象关于原点成中心对称，则ϕ= ．【答案】38π【解析】由题意得3sin(2())4y x πϕ=++关于原点成中心对称，即2()()428k k k Z k Z πππϕπϕ+=∈⇒=-∈，因为02πϕ<<，所以ϕ=38π 7. 【南京市2017届高三年级学情调研】若函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 . 【答案】12【解析】2212,()sin()3362f ππππωπ===+= 8. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知角α的终边过点(8,6sin30)P m --︒，且4cos 5α=-，则m 的值为 ．【答案】12【解析】由题意得41cos 52m α==-⇒=9. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若(0,)2πα∈，cos()24παα-=，则sin 2α= ．【答案】1516【解析】试题分析：cos()2sin )sin )(cos sin )4παααααααα-=+=-+，因为(0,)2πα∈，所以11152(cos sin )1sin 2sin 221616αααα=-⇒=-⇒=10. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m 使得()()f m g m =，则a b += ．【答案】411. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】设ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，若,,A B C 依次成等差数列且222a c kb +=，则实数k 的取值范围是____________．【答案】(]1,2【解析】∵,,A B C 依次成等差数列，∴3B π=，222222cos 2a c a c b ac B ac ++-==≤，22202a cb +-≤，2202kb b -≤，2k ≤，又2222cos a c b ac B +-=0>,1k >，所以12k <≤。
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第2讲 三角恒等变换与解三角形
一、选择题
1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β
的值为( )
A.13 B．3 C.913 D.139
解析：由α为锐角，cos α＝35，
得sin α＝45，
所以tan α＝43，因为tan(α－β)＝－13，
所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan（α－β）1＋tan α·tan（α－β）＝3.
答案：B
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则
△ABC的面积是( )
A．3 B.932 C.332 D．33
解析：c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
因为C＝π3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②
由①和②得ab＝6，
所以S△ABC＝12absin C＝12×6×32＝332.
答案：C
3．(2017·德州二模)已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0＜β＜α＜π2，那么
β＝( )
A.π12 B.π6 C.π4 D.π3
解析：由cos α＝35，0＜α＜π2，
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得sin α＝45，
又cos(α－β)＝7210，0＜β＜α＜π2，
得sin(α－β)＝210，
则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×7210＋
45×210＝2
2
，
由0＜β＜π2，得β＝π4.
答案：C
4．(2017·韶关调研)已知cosx－π3＝13，则cos2x－5π3＋sin2π3－x的值为( )
A．－19 B.19 C.53 D．－53
解析：cos2x－5π3＋sin2π3－x＝－cos2x－23π＋sin2(x－π3)＝1－2cos
2
x
－
π
3
＋1－cos2x－π3＝2－3cos2x－π3＝53.
答案：C
5．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三
角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是( )
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
解析：因为2sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin
B
.
所以等式左边去括号，得
sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B，
则2sin Bcos C＝sin Acos C，
因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0.
所以2sin B＝sin A，根据正弦定理变形，得a＝2b.
答案：A
二、填空题
6．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝
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6，c＝3，则A＝________．
解析：由正弦定理，得sin B＝bsin Cc＝6×323＝22.
又b＜c，则B为锐角，所以B＝45°.
因此A＝180°－(B＋C)＝75°.
答案：75°
7．(2017·池州模拟)已知sinπ3－α＝130＜α＜π2，则sinπ6＋α＝________．
解析：因为sinπ3－α＝13，
所以cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α；
又0＜α＜π2，所以π6＜π6＋α＜2π3.
所以sinπ6＋α＝ 1－cos2π6＋α＝ 1－132＝
22
3
.
答案：223
8．△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－b2c－a＝sin Asin B＋sin C，则
B
＝________．
解析：由c－b2c－a＝sin Asin B＋sin C及正弦定理，
得c－b2c－a＝ab＋c，则a2＋c2－b2＝2ac，
所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝22，从而B＝π4.
答案：π4
三、解答题
9．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos
A＝0，a＝27，b
＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
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解：(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0得tan A＝－3，
又0＜A＜π，所以A＝2π3.
由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos 2π3.
则c2＋2c－24＝0，解得c＝4或－6(舍去)．
(2)由题设AD⊥AC，知∠CAD＝π2.
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝23π－π2＝π6.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·ADsin π612AC·AD＝1.
又△ABC的面积为12×4×2sin ∠BAC＝23，
所以△ABD的面积为3.
10．(2017·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin
A
＝4bsin B，ac＝5(a2－b2－c2)．
(1)求cos A的值；
(2)求sin(2B－A)的值．
解：(1)由asin A＝4bsin B及asin A＝bsin B，得a＝2b.
由ac＝5(a2－b2－c2)及余弦定理，得
cos A＝b2＋c2－a22bc＝－ac5ac＝－55.
(2)由(1)知A为钝角，且sin A＝255，
代入asin A＝4bsin B，
得sin B＝asin A4b＝55，
易知B为锐角，
cos B＝1－sin2B＝255.
则sin 2B＝2sin Bcos B＝45，cos 2B＝1－2sin2B＝35，
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所以sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2B·sin A＝45×－55－35×255＝－255.
11．(2017·衡水中学调研)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若(
a
－c)sin A－bsin B＋(a＋b－c)sin C＝0.
(1)求角A；
(2)当sin B＋sin C取得最大值时，判断△ABC的形状．
解：(1)由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R，
可得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.
代入(a－c)sin A－bsin B＋(a＋b－c)sin C＝0，
化简整理得b2＋c2－a2＝bc，
则b2＋c2－a22bc＝12，所以cos A＝12.
又因为A为三角形内角，所以A＝π3.
(2)由(1)得B＋C＝23π，
所以sin B＋sin C＝sin B＋sin23π－B＝sin B＋sin 23πcos B－cos 23πsin B＝32sin
B＋32cos B
＝
3sinB＋π6.
因为0＜B＜23π，所以π6＜B＋π6＜56π，
所以当B＝π3时，B＋π6＝π2，
sin B＋sin C取得最大值3，
因此C＝π－(A＋B)＝π3，所以△ABC为等边三角形．