2019届吉林省重点中学高三第二次联(月)考数学试题 扫描版
2019届高三第二次月考数学(理)试题
一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{A x y ==，集合{1}B y y =>，全集U R =，则()R C A B 为（ ）A. [1,3]B. (3,)+∞C. (1,3)D. [1,)+∞2.已知i 为虚数单位，且满足2(1)32i z i +=+，则z 所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.下列命题中，为真命题的是（ ） A ．0x ∃∈R ，使得00≤x e B ．1sin 2(π,)sin x x k k x+≠∈Z ≥ C ．22,x R x x >∈∀D ．若命题p ：0x ∃∈R ，使得20010x x -+<，则p ⌝：x ∀∈R ，都有012≥+-x x4.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x ＋3，则⎪⎭⎫⎝⎛21f ＝( ) A ．－32 B ．－52 C ．－72 D ．－2 5.若4.0log ,2log ,4333.0===c b a ，则( )A. c b a >>B. c a b >>C. b c a >>D. a b c >>6.函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3)7. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）B.38.已知二项式((0)na >的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中2x 项的系数为84，则a 为（ ）A. 2B. 1C.15 D. 3109.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若满足4b =，则三角形ABC △周长的取值范围为（ ）A. (5,14]B.C. (8,12]D. (6,12] 10.当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是( )11. 已知2a b +=，若对∀,0a b >，都有220182018310081008t t a b +≥-++成立，则t 的取值范围为（ ）A. [2,4]-B. [3,3]-C. [2,4]-D. [1,4]-12.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，满足321()23f x x ax bx =+++，'(2)'(4)f x f x +=-，且函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [64ln 3,)++∞B. [5ln5,)++∞C. [66ln 6,)++∞D. [4ln 2,)++∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）13. .已知(1,2),(3,4)a b ==，则a b +与 a b -夹角的 余弦值为 .14. 《九章算术》记载了一个这样的问题，“今有男子善射，日益功疾，初日射3只，日增倍多一”，下图是源于该思想的一个程序框图，.如图所示，程序框图的输出值a 为.15. 已知函数)(0,120,)(R a x x x a e x f x ∈⎩⎨⎧>-≤+=，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是16.已知BCD AB ⊥平面，∠︒BC=2,BD=4,CBD=120,AB=2，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为________. 三、解答题17.（本题满分12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且满足2123262316,4a a a a a +==，数列{}n b 前n项的和为2n S n =.（1）求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列nn nb c a =的前n 项和n T 的最小值18.（本题满分12分）已知在四棱锥P ABCD -中，PDC ABCD ⊥面面，,,2,4AD DC AB CD AB DC ⊥==，E 为PC 的中点，PD PC =，BC =（1）求证：PAD BE 面（2）若PB 与面ABCD 所成角为45︒，P 在面ABCD 射影为O,问是否在BC 上存在一点F ，使面POF 与面PAB 所成的角为60︒，若存在，试求点F 的位置，不存在，请说明理由.19.（本题满分12分）某学校为了研究期中考试前学生所做数学模拟试题的套数与考试成绩的关系，统计了五个班做的模拟试卷套数量及期中考试的平均分如下：(Ⅰ) 若x 与y 成线性相关，则某班做了8套模拟试题，预计平均分为多少元？（2）期中考试对学生进行奖励，考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的学生生将不能获得奖学金。
2019-2020学年高三第二次月考数学理科试题+解析答案+评分标准
2019-2020学年高三第二次月考数学理科试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集R U =，集合{}{}1|,lg |+====x y y B x y x A ，那么)(B C A U I =( )A.φB.]10(，C.)10(，D.),1(+∞ 2. 下列选项中，说法正确的是( ) A ．若0>>b a ，则b a 2121log log >B ．向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈r r共线的充要条件是0=mC ．命题“1*2)2(3,-⋅+>∈∀n nn N n ”的否定是“1*2)2(3,-⋅+≤∈∀n n n N n ”D ．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的充要条件3. 已知,2,1==→→b a ，且⎪⎭⎫⎝⎛-⊥→→→b a a ，则向量→a 在→b 方向上的投影为（ ）A.21B. 22C. 1D.24．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26712a a a ++=，则9S =（ ） A ．20B ．27C ．36D ．455．已知mn 、是两条不同直线,αβ、是两个不同平面,下列命题中的假命题是（ ） A ．若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥B ．若α⊥m n m ,//则n α⊥C ．若m α⊥，β⊂m ，则αβ⊥ D ．若n m =⋂βαα,//,则n m // 6.将函数sin()12y x π=-的图象上所有的点向右平移4π个单位长度,再把图象上各点 的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，则所得图象的的一条对称轴方程为（ ） A ．524x π=B ．512x π= C ．6x π= D ．3x π=7．函数()()22ln xxf x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称g 10药品，他先将g 5的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将g 5的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ． 大于g 10B ．小于g 10C ． 大于等于g 10D ． 小于等于g 109. 已知1a b >>，若ln ,ln ,ln x b b a y a a b z a b b =-=-=-，则（ ） A.z x y << B.z y x << C.x z y << D.y z x <<.10已知三棱锥ABC D -的所有顶点都在球O 的球面上,22,2===AC BC AB ,若三棱锥ABCD -体积的最大值为2,则球O 的表面积为（ ） A ．π8B ．π9C ．325πD ．9121π11.已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,1-- B ．()1,0- C ．()()2,11,0---UD ．()0,112.将函数sin2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13.已知==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈απαππαcos ,534sin ,,2.14．若0m >，0n >，1m n +=，且()10t t m n+>的最小值为9，则t =______. 15. 如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AB |=|AC |=1，∠A =120°，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，且μλ==,,其中）（、1,0∈μλ且14=+μλ，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则||MN 的最小值是 .16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1)2n n n nS a =--，*n N ∈，则12100S S S +++=L .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（本题满分12分） 如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，6CD =ACD ∆33． （Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）若AD AB ⊥，4B π∠=，求BC 的长．18.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为()()*121,N n a n n S S n n ∈-+=，且7,1,531+-a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（本题满分12分）已知函数()cos xf x e x =，x x xg sin 3cos )(+=. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.（Ⅱ）120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦使得不等式()()12g x f x m +≥成立， 求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点. （Ⅰ）求证：AG ⊥平面ADF ；（Ⅱ）若3AB BC =，求二面角D CA G --的余弦值．21.（本小题满分12分） 已知函数()1,af x nx a R x =+∈（Ⅰ）当1a =-时，若直线y kx b =+是函数()f x 的图像的切线，求k b +的最小值；（Ⅱ）设函数()1()f x g x x-=，若()g x 在2[1,]e 上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．22. （本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221,93x y +=在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点P 在C 上，点Q 在l 上，求PQ 的最小值．23. （本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】 己知0a >，函数()f x x a =-.（Ⅰ）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；（Ⅱ）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题 13.102-14.4 15.77 16.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1213110017．⑴∵23D π∠=，CD =ACD ∆∴11333sin 622ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=∴6AD =.................................................................................................................3分∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-= ∴32AC = .....................................................................................................................6分 ⑵由（1）知ACD ∆中6AD =，6CD =，23D π∠=∴6π=∠DAC∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠= ............................................................................................8分又∵4B π∠=，32AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC ACBAC B=∠ 即3232=,∴33BC =.....................................................................................................12分18.（1）∵，又∴……………………………………………………………..2分又成等比数列．∴，…………………………………….3分 即，解得，………………………………………………………..5分∴。
2019届吉林省延边州高三复习质量检测(2月)文科数学参考答案及评分标准
文科数学参考答案及评分标准13. 2； 14. -1； 15. 384； 16. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21### 填空题的结果必须与参考答案一致，否则不得分17.解（1）根据题意设m BD 2=，则)0(6,3>==m m AD m DC ..............1分 在ADB Rt ∆中31tan ==∠DA BD BAD .....................................................2分 在ADC Rt ∆中21tan ==∠DA CD CAD ...........................................................3分又CAD BAD BAC ∠+∠=∠，所以..........5分4π=∠BAC ............................................................................6分（2）因为1521=∙=AD BC S ABC ∆即156521=⨯⨯m m ，解得1=m ...........7分 所以6,3,2===AD DC BD ，由此可解的102,532222=+==+=AD BD AB DC AD AC ........................9分又因为E 是AB 的中点，所以1021==AB AE ....................................10分由余弦定理4cos2222π∙∙-+=AC AE AC AE CE1213112131tan tan 1tan tan )tan(tan =⨯-+=∠∠-∠+∠=∠+∠=∠CADBAD CAD BAD CAD BAD BAC即25225310245102=⨯⨯-+=CE ...........................11分所以5=CE ............................................................12分 18.解析：（1）由题意，寄出方式有以下三种可能：所有 种可能中，有 种可能快递费未超过 元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为........5分（2）将题目中的数据转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润为 （元）； .........8分若裁员 人，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润为 （元）. ...........11分 故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利. ................12分19．（1）证明：设F 为PD 的中点，连接EF ，FA ．因为EF 为PDC ∆的中位线，所以CD EF //， 且221==CD EF ． 又CD AB //，2=AB ，所以EF AB //，且EF AB =故四边形ABEF 为平行四边形，所以AF BE //．又⊂AF 平面PAD ，⊄BE 平面PAD ，所以//BE 平面PAD ……4分 （2）解：因为E 为PC 的中点，所以三棱锥BCD P BCD E PBD E V V V ---==21……6分 又AB AD =，60=∠BAD ，所以ABD ∆为等边三角形．因此2==AB BD ，又4=CD ，60=∠=∠BAD BDC ，所以BC BD ⊥……8分因为⊥PD 平面ABCD ，所以三棱锥BCD P -的体积 3343222123131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-B C D B C D P S PD V ……10分所以三棱锥PBD E -的体积332=-PBD E V …… 12分 ### 方法不唯一,请阅卷老师按步骤灵活给分20.解（1）由于1ln )(2+-=x ax x f故)0(1212)(2>-=-='x x ax x ax x f ..........................1分当0≤a 时，0)(<'x f 在),0(∞+上恒成立，ABCDP EF所以)(x f 在),0(∞+上是单调递减函数.........................2分 当0>a 时，令0)(='x f ，得a x 21=......................3分当x 变化时，)(,)(x f x f '随的变化情况如表：由表可知，)(x f 在)21,0(a 上是单调递减函数，在),21(∞+a上是单调递增函数..5分综上所述，当0≤a 时，），的单调递减区间为（∞+0)(x f ，无单调递增区间； 当0>a 时，),21),210)(+∞a a x f 单调递增区间为（，的单调递减区间为（....6分（2）当1=a 时，21ln 2123211ln )(222--=--+-=x x x x x x F ............7分则0)1_)(1(11)(2>+=-=-='xx x x x x x x F 在),1(∞+上恒成立，.......9分 所以011)(=∞+）（）上为增函数，且，在（F x F ............10分 即）上恒成立，在（（∞+>10)x F所以当）上恒成立，在（时，∞++>=12321)(12x x f a .......................12分21.解：（1）设切点),(00y x A 则有p x y 220=................................1分由切线l 的斜率为px k 0=得l 的方程为p x x p x y 220-=...............................2分又点)2,0(-D 在l 上所以px 222=即20=y所以点A 的纵坐标20=y ......................................4分 （2）由（1）得)2,2(p A -，切线斜率pk 2-=设),(11y x B ，切线方程为2-=kx y由23=e 得4322=ac 又222b a c -=所以224b a =.......................................6分所以椭圆方程为142222=+by b x 且过)2,2(p A -所以42+=p b .............................7分由⎩⎨⎧=+-=222442by x kx y 得041616)41(222=-+-+b kx x k 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+2210210414164116k b x x k k x x .............................................9分 又因为k k k 421=+即k b k k k b k kk x x x x k x x kx x kx x x x y x y x x y x y 44163224141641322)(22)2()2(222210011010011010011100--=+-+-=+-=-+-=+=+......10分解得82=b ，所以32422==b a ............................................................................11分所以椭圆方程为183222=+y x ..............................................................12分22.解：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程得02=-+m y x .......................................................1分化曲线C 的参数方程为普通方程得9)2()1(22=-+-y x 从而得到圆心为（1,2），半径为3.......................3分（1）根据题意知圆心（1,2）在直线l 上则0221=-⨯+m 即5=m ..................................................................5分（2）设圆心到直线l 的距离为d,则4922222≤-=-=d d R PQ ............6分所以解得5≥d 由点到直线距离公式得5552122122≥-=+-⨯+=m m d解得100≥≤m m 或...............................................................8分 又直线与圆必须相交，则3<d 即355<-m解得535535+<<-m .............................................9分综上，满足条件的实数m 的取值范围是(][)535,100,535+- ................10分 23.解:（Ⅰ）不等式()0f x ≤，即221x x -≤+，即2244441x x x x -+≤++整理得23830x x +-≥，解得13x ≥或3x ≤- 所以不等式()0f x ≤的解集为1{3x x ≥或3}x ≤-.........................5分（Ⅱ）()=221f x x x --+=13,21{31,2 23,2x x x x x x +<--+-≤≤--> 故()f x 的最大值为1522f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.........................7 因为0x R ∃∈，()2024f x m m -≥，即0x R ∃∈，()2024f x m m ≥+所以25242m m +≤，即24850m m +-≥，24850m m +-≤解得5122m-≤≤，所以实数m的取值范围为51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.........................10分。
2019-2020年高三上学期第二次月考试题 数学(理) 含答案
2019-2020年高三上学期第二次月考试题 数学（理） 含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若复数z ＝－12(1＋i)，则z 的共轭复数的虚部是(D)(A)－12i (B)12i (C)－12 (D)12(2)“||x －1<2成立”是“x (x －3)<0成立”的(B) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(B)(A)3π4 (B)π4 (C)0 (D)－π4(4)执行如图所示的程序框图，输出P 的值为(A)(A)－1 (B)1 (C)0 (D)2 016(5)今年杭州峰会期间，中、美、俄等20国领导人合影留念，他们站成两排，前排9人，后排11人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有(D)(A)A 1717种 (B)A 2020种 (C)A 32A 176A 1111种 (D)A 22A 1717种(6)已知log 2x ，log 2y ，2成等差数列，则M (x ，y )的轨迹表示的图象为(A)(7)如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为16π9＋233，则圆锥的母线长为(A)(A)2 2 (B)2 3 (C)4 (D)2＋ 3【解析】根据三视图知几何体如图所示，底面所在圆的半径r ＝12＋（3）2＝2，圆锥的高为l 2－r 2＝l 2－4，几何体的底面面积为23π×22＋12×23×1＝8π3＋3，则由题意知13⎝⎛⎭⎫8π3＋3·l 2－4＝16π9＋233，解得l ＝22，故选A.(8)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0x ＋y －1≤0x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝(B)(A)1 (B)2 (C)4 (D)8【解析】(9)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝1＋sin βcos β，则(B)(A)3α－β＝π2 (B)2α－β＝π2 (C)3α＋β＝π2 (D)2α＋β＝π2(10)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a, b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值范围是(D)(A){3，4} (B){2，3} (C){3，4，5} (D){2，3，4}(11)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)与两条平行直线l 1：y ＝x ＋a 与l 2：y ＝x －a 分别相交于点A 、B 与C 、D ，所得的平行四边形的面积为6b 2，则双曲线的离心率为(B)(A) 2 (B)233(C) 3 (D)2【解析】如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －a x 2a 2－y 2b 2＝1，得点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a （a 2＋b 2）a 2－b 2，2ab 2a 2－b 2，C (a ，0)，于是由S ABCD＝2S △ACD ＝2·12·2a ·2ab 2a 2－b 2＝4a 2b 2a 2－b 2，所以由4a 2b 2a 2－b 2＝6b 2，得a 2＝3b 2，即⎝⎛⎭⎫b a 2＝13，所以e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝233，故选B.(12)对于正实数α，记M α是满足下列条件的函数f (x )构成的集合：对于任意的实数x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，都有－α(x 2－x 1)<f (x 2)－f (x 1)<α(x 2－x 1)成立．下列结论中正确的是(C)(A)若f (x )∈M α1，g (x )∈M α2，则f (x )·g (x )∈M α1·α2(B)若f (x )∈M α1，g (x )∈M α2且g (x )≠0，则f （x ）g （x ）∈M α1α2(C)若f (x )∈M α1，g (x )∈M α2，则f (x )＋g (x )∈M α1＋α2(D)若f (x )∈M α1，g (x )∈M α2且α1>α2，则f (x )－g (x )∈M α1－α2选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝2，b ＝3，c ＝4，则sin 2Csin A＝__－1__．(14)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为__3__．(15)如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…，P 10，记M i ＝AB 2→·AP i →(i ＝1，2，…，10)，则M 1＋M 2＋…＋M 10＝__180__．(16)一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是__163π__．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋a n －1＝4n －2(n ≥2)． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n ＝2n －1（2）an(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】(Ⅰ)由a n ＋a n －1＝4n －2(n ≥2)，化为：(a n －2n )＋(a n －1－2n ＋2)＝0，所以(a n －2n )＝－(a n －1－2n ＋2)，又因为a 1－2×1＝0，所以a n －2n ＝0 ，即a n ＝2n (n ∈N *).5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n ＝2n －12n (n ∈N *)S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ①12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1 ② 由①－②得12S n ＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n 1， ∴12S n ＝12＋2·14⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝12＋1－12n －1－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1， ∴S n ＝3－2n ＋32n .12分(18)(本小题满分12分)今年国庆节长假期间，某旅游景点的门票面值为50元．为了吸引更多的游客，管理部门决定在景区内举行如下中奖活动：每位游客凭门票按规则同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子一次，点数之和为12中一等奖，获奖金150元；点数之和为11或10中二等奖，获奖金60元；点数之和为9或8中三等奖，获奖金30元；点数之和小于8不中奖．(Ⅰ)求某三位游客中1人获一等奖，另2人获三等奖的概率；(Ⅱ)预计国庆节长假期间共有2万人来该旅游景点观光旅游，假设每位游客都参与中奖活动，求该旅游景点在此期间总收益的期望值．【解析】(Ⅰ)记抛掷两枚正方体骰子所得的点数为(x ，y )，则中一等奖只有(6，6)一种可能，其概率为16×6＝136.2分中三等奖有(6，3)，(3，6)，(5，4)，(4，5)，(6，2)，(2，6)，(5，3)，(3，5)，(4，4)9种可能，其概率为96×6＝14.4分设“某三位游客中1人获一等奖，另2人获三等奖”为事件A ，则 P (A )＝C 31×136×⎝⎛⎭⎫142＝1192.6分(Ⅱ)设每位游客的中奖金额为ξ元，则ξ的可能取值为150，60，30，0. 由(Ⅰ)知，P (ξ＝150)＝136，P (ξ＝30)＝14.因为中二等奖有(6，5)，(5，6)，(6，4)，(4，6)，(5，5)5种可能， 所以P (ξ＝60)＝536.从而P (ξ＝0)＝1－136－536－14＝2136＝712.8分所以Eξ＝150×136＋60×536＋30×14＋0×712＝20.10分所以每位游客中奖金额的期望值为20元，旅游景点对每位游客收益的期望值为50－20＝30元．故该旅游景点在此期间总收益的期望值为60万元.12分(19)(本小题满分12分)在等腰梯形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AD ＝BC ＝ 2.沿EF 将梯形AFED 折起，使得∠AFB ＝60°，如图．(Ⅰ)若G 为FB 的中点，求证：AG ⊥平面BCEF ；(Ⅱ)求二面角C －AB －F 的正切值．【解析】(Ⅰ)因为AF ＝BF ，∠AFB ＝60°，△AFB 为等边三角形． 又G 为FB 的中点，所以AG ⊥FB .2分在等腰梯形ABCD 中，因为E 、F 分别是CD 、AB 的中点， 所以EF ⊥AB .于是EF ⊥AF ，EF ⊥BF ，则EF ⊥平面ABF ， 所以AG ⊥EF .又EF 与FB 交于一点F ，所以AG ⊥平面BCEF .5分 (Ⅱ)解法一：连接CG ，因为在等腰梯形ABCD 中， CD ＝2，AB ＝4，E 、F 分别是CD 、AB 中点， 所以EC ＝FG ＝BG ＝1，从而CG ∥EF . 因为EF ⊥面ABF ，所以CG ⊥面ABF .过点G 作GH ⊥AB 于H ，连结CH ，据三垂线定理有CH ⊥AB ， 所以∠CHG 为二面角C －AB －F 的平面角.8分因为在Rt △BHG 中，BG ＝1，∠GBH ＝60°，所以GH ＝32. 在Rt △CGB 中，CG ⊥BG ，BG ＝1，BC ＝2，所以CG ＝1. 在Rt △CGH 中，tan ∠CHG ＝CG GH ＝233，故二面角C －AB －F 的正切值为233.12分解法二：如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得，点B (2，0，0)，A (1，0，3)，C (1，1，0)．因为EF ⊥平面ABF ，所以n 1＝(0，1，0)为平面ABF 的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )为平面ABCD 的法向量，因为AB →＝(1，0，－3)，CB →＝(1，－1，0)，由n 2⊥AB →，n 2⊥CB →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →＝0n 2·CB →＝0，即⎩⎨⎧x －3z ＝0x －y ＝0. 令x ＝3，则y ＝3，z ＝1，所以n 2＝(3，3，1)．(9分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝217.从而tan 〈n 1·n 2〉＝233，故二面角C －AB －F 的正切值为233.(12分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为12. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N ，记△F 1MN 的内切圆的面积为S ，求当S 取最大值时直线l 的方程，并求出最大值．【解析】(Ⅰ)由题意得1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(Ⅱ)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，△F 2MN 的内切圆半径为r ，则 S △F 1MN ＝12(||F 1M ＋||F 1N ＋||MN )r ＝4r ，所以要使S 取最大值，只需S △F 1MN 最大．又S △F 1MN ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，将x ＝ty ＋1代入x 24＋y 23＝1可得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0(*)，因为Δ>0恒成立，所以方程(*)恒有解， 故y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4.S △F 1MN ＝|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12t 2＋13t 2＋4.记m ＝t 2＋1(m ≥1)， S △F 1MN ＝12m 3m 2＋1＝123m ＋1m在[1，＋∞)上递减， 所以当m ＝1即t ＝0时，(S △F 1MN )max ＝3，此时直线l 的方程为：x ＝1，S max ＝π⎝⎛⎭⎫342＝9π16.12分 (21) (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－(m ＋2)x ，m ∈R .(Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)设a ，b 是函数f (x )的两个极值点，其中a <b . ①求f (a )＋f (b )的取值范围；②是否存在实数m ，使得函数f (x )的极小值大于－e 22？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】(Ⅰ) f ′(x )＝1x ＋x －(m ＋2)＝x 2－（m ＋2）x ＋1x (x >0)．∵x >0，∴1x＋x ≥2，当m ＋2≤2即m ≤0时，f ′(x )＝1x ＋x －(m ＋2)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当m ＋2>2即m >0时，f ′(x )＝x 2－（m ＋2）x ＋1x ＝0有两个不等正根m ＋2－m 2＋4m2和m ＋2＋m 2＋4m2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m ＋2－m 2＋4m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2＋m 2＋4m 2，＋∞上f ′(x )>0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2－m 2＋4m 2，m ＋2＋m 2＋4m 2上f ′(x )<0， 所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m ＋2－m 2＋4m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2＋m 2＋4m 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2－m 2＋4m 2，m ＋2＋m 2＋4m 2上单调递减， 综上所述：当m ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当m >0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m ＋2－m 2＋4m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2＋m 2＋4m 2，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2－m 2＋4m 2，m ＋2＋m 2＋4m 2上单调递减.4分 (Ⅱ)①因为a ，b 是函数f (x )的两个极值点，其中a <b ，由(Ⅰ)知m >0且a ，b 是方程x 2－(m ＋2)x ＋1＝0的两根，则a ＋b ＝m ＋2，a ·b ＝1， 所以f (a )＋f (b )＝ln ab ＋12(a 2＋b 2)－(m ＋2)(a ＋b )＝12[(a ＋b )2－2ab ]－(m ＋2)(a ＋b )＝－12(m ＋2)2－1<－3，所以f (a )＋f (b )的取值范围是(－∞，－3).8分②假设存在实数m ，使得函数f (x )的极小值大于－e 22，由①可知方程x 2－(m ＋2)x ＋1＝0有两个不等正根a ，b ，且ab ＝1，所以必有0<a <1，b >1，f (x )在x ＝b 处取得极小值，由b 2－(m ＋2)b ＋1＝0，得(m ＋2)b ＝b 2＋1，所以函数f (x )的极小值为f (b )＝ln b ＋12b 2－(m ＋2)b ＝ln b －12b 2－1.设g (x )＝ln x －12x 2－1(x >1)，则g ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x<0，于是g (x )在(1，＋∞)上单调递减，而g (e)＝－e 22，要使得函数f (x )的极小值大于－e 22，即使f (b )>－e 22，即g (b )>－e 22＝g (e)，∴b <e ，从而极小值点b 满足1<b <e ，又m ＋2＝b ＋1b ∈⎝⎛⎭⎫2，e ＋1e ，即m ∈⎝⎛⎭⎫0，e ＋1e －2. 所以存在实数m ，使得函数f (x )的极小值大于－e 22，此时m ∈⎝⎛⎭⎫0，e ＋1e －2.12分 请考生在第(22)～(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条割线P AB ，PMN ，其中PMN 过圆心O ，过P 再作⊙O 的切线PT ，切点为T .已知PM ＝MO ＝ON ＝1.(Ⅰ)求切线PT 的长； (Ⅱ)求AM ·BM AN ·BN的值．【解析】(Ⅰ)由切割线定理可知PT 2＝PM ·PN ＝1×3＝3， 所以PT ＝ 3.4分(Ⅱ)∵∠ABM ＝∠ANM ，∠BPM ＝∠NP A ， ∴△P AN ∽△PMB ，∴BM AN ＝PBPN ， ①6分∵∠P AM ＝∠PNB ，∠PMA ＝∠PBN ， ∴△P AM ∽△PNB ，∴AM BN ＝P APN ， ②8分由①②，可知BM ·AM AN ·BN ＝PB ·P A PN 2＝PM ·PN PN 2＝13.10分 (23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－2ty ＝2＋2t(t 为参数)．(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；(Ⅱ)设点Q (1，2)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|QA |·|QB |的值． 【解析】(Ⅰ)由ρ＝6cos θ＋2sin θ，得ρ2＝6ρcos θ＋2ρsin θ，所以x 2＋y 2＝6x ＋2y ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.由⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋2t，消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋y －3＝0.5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l 的参数方程可化为⎩⎨⎧x ＝1－22t ′y ＝2＋22t ′(t ′为参数)，7分代入曲线C 的直角坐标方程x 2＋y 2－6x －2y ＝0得t ′2＋32t ′－5＝0.9分 由韦达定理，得t ′1t ′2＝－5，则|QA |·|QB |＝|t ′1t ′2|＝5.10分 (24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |＋4x ，a >0.(Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f (x )≥2x ＋1的解集；(Ⅱ)若x ∈(－2，＋∞)时，恒有f (2x )≥7x ＋a 2－3，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f (x )≥2x ＋1，即|x －2|≥－2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥－2x ＋1x －2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥－2x ＋1x －2<0， 解得{x |x ≥－1}．(5分)(2)f (2x )≥7x ＋a 2－3可化为f (2x )－7x ≥a 2－3，令F (x )＝f (2x )－7x ，因为F (x )＝f (2x )－7x ＝|2x －a |＋x ＝⎩⎨⎧3x －a ⎝⎛⎭⎫x ≥a 2a －x ⎝⎛⎭⎫x <a 2，由于a >0，x ∈(－2，＋∞)，所以当x ＝a 2时，F (x )有最小值F ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 2，若使原命题成立，只需a 2≥a 2－3，解得a ∈(0，2].10分。
吉林省辽源高中2019届高三第二次模拟考试卷文科数学Word版含答案
三、解答题：本大题共
6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分） [2019 ·潍坊期末 ] 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 2 ， an ， Sn 成等差数列．
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）数列 bn 满足 bn log 2 a1 log 2 a2
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共
12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
a bi
2
1． [2019 ·乐山调研 ]若
a, b R 与 1 i 互为共轭复数，则 a b 的值为（
）
i
A． 2
B． 2
9
y2 1
x2 C．
9
y2 1
3
x2 y2
D．
1
99
6．[2019 ·武邑中学 ] 在 △ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，若 a 1 ，b 2 ， B 45 ，
则角 A （ ） A ． 30
B． 60
C． 30 或 150
D． 60 或 பைடு நூலகம்20
7．[2019 ·新乡调研 ] 某医院今年 1 月份至 6 月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示： （ ）
C．3
D． 4
x2 y2 12． [2019 ·宜昌调研 ] 已知椭圆 C ： a2 b2 1 a b 0 上存在 A 、 B 两点恰好关于直线 l ：
x y 1 0 对称，且直线 AB 与直线 l 的交点的横坐标为 2，则椭圆 C 的离心率为（