2.2.1综合法与分析法
2.2.1《综合法和分析法》区教研课课件
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已 知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号 语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与 ， 与 ， 与 均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2， ＋ 2 ， ＋ 2 ， 由重要不等式得： ＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
人教版数学选修1-2第二章2.2.1综合法和分析法
[证明] 要证 a－ a－1< a－2－ a－3， 只需证 a＋ a－3< a－2＋ a－1， 只需证( a＋ a－3)2<( a－2＋ a－1)2， 只需证 2a－3＋2 a2－3a<2a－3＋2 a2－3a＋2， 只需证 a2－3a< a2－3a＋2，
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第二章
推理与证明
只需证 a2－3a<a2－3a＋2， 只需证 0<2，而 0<2 显然成立， 所以 a－ a－1< a－2－ a－3(a≥3)．
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第二章
推理与证明
b2 2× a 2a ＝ ＋ b2 a＋b b＋ a 2a 2b ＝ ＋ ＝2， a＋b a＋b a c 即 ＋ ＝2. x y
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第二章
推理与证明
综合法的证明步骤 (1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合 理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证 明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.
1 1 1 1.(1)设 a＞0， b＞0， a＋b＝1， 求证： ＋ ＋ a b ab ≥8. (2)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已 知 sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.求证：a，b，c 成等差 数列．
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分析法 要证明 的结论出 从_________ 发，逐步寻求使它成立 的充分条件， 直至最后， 把要证明的结论归结为 判定一个明显成立的条 件(已知条件、 定理 、 定义 、 _________ _________ 公理 等)为止，这 _________ 种证明方法叫做分析法
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第二章2.2.1(一)综合法和分析法(一
§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法(一)课时目标 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法.2.理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法证明数学问题．综合法分析法定义利用__________和某些数学______、______、______等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的______，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、______、______、______等)，这种证明方法叫做分析法框图表示 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (P 表示________、已 有的______、______、 ______等，Q 表示 ________________) Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→ P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法一、选择题1．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证法3．如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( )A ．32B ．23－2C ．1＋ 3D ．2－ 34．要证明a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．类比法C ．分析法D ．归纳法5．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定二、填空题6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．7．已知a 、b 、u ∈R *，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是__________．8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为__________．三、解答题9．已知a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .10．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).能力提升11．a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值为________．12．已知a >0，b >0，用两种方法证明：a b ＋ba≥a ＋b .1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．§2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法(一)答案综合法 分析法定利用已知条件和某些数学定义、定理、从要证明的结论，逐步寻求使它成立的充分条1．D [f (x )＝x －22＋12(x －2)∵x －2≥12，∴f (x )≥2·x －22×12(x －2)＝1.当x ＝3时，f (x )min ＝1.]2．B [从证明的过程来看是从已知条件入手经过推导得到结论，符合综合法．] 3．B [由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3.∵x >0，y >0，∴x ＋y 的最小值为23－2.] 4．C [要证a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4， 只要证a ＋a ＋7＋2a (a ＋7) <a ＋3＋a ＋4＋2(a ＋3)(a ＋4)， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证0<12.由此可知，最合理的是分析法．]5．B [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0，∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.又abc >0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc<0.]6．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b .7．(－∞，16]解析 ∵a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9a b ≥10＋2b a ×9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab即3a ＝b 时取等号，若a ＋b ≥u 恒成立，则u ≤16. 8．a >c >b解析 b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c . 而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48 <8－36＝2＝a 2， ∴a >c .9．证明 ∵b 2a ＋a 2b ＝a 3＋b3ab＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)ab，又∵a >0，b >0，∴a 2－ab ＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2－ab ＋b 2≥ab ，∴a 2－ab ＋b 2ab≥1，∴(a ＋b )·a 2－ab ＋b 2ab≥a ＋b .∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 10．证明 ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立． ②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立， 只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2. 即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①、②知，命题得证． 11．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.若1a －b ＋1b －c ≥n a －c 恒成立， 即a －c a －b ＋a －c b －c≥n 恒成立． a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c ＝4.∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号． ∴n 的最大值为4.12．证明 方法一 (综合法)： 因为a >0，b >0，所以a b ＋ba －a －b＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫ba －a ＝a －b b ＋b －aa＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋ba≥a ＋b .方法二(分析法)：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a>0，b>0，a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0成立，所以ab＋ba≥a＋b成立．。
第2章 2.2.1(二)2.2.1 综合法和分析法(二)
2.2.1
【学习要求】
本 课 时 栏 目 开 关
综合法和分析法(二)
加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问 题． 【学法指导】 通过本节课的学习，比较两种证明方法的优点，进而灵活 选择证明方法，规范证明步骤，养成言之有理、论之有据 的好习惯，提高思维能力.
试一试· 双基题目、基础更牢固
也就是证明 2 a＋2 b＋2 c<2bc＋2ac＋2ab. 因为 a、b、c 为互不相等的正数且 abc＝1， 所以 bc ＋ ac>2 abc2 ＝ 2 c ； ac ＋ ab>2 a2bc ＝ 2 a ； ab ＋ bc>2 ab2c＝2 b；
相加得 2 a＋2 b＋2 c<2bc＋2ac＋2ab. 所以，原不等式成立．
2.2.1(二)
跟踪训练 3 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝ 2，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面 BDE；
本 课 时 栏 目 开 关
(2)求证：CF⊥平面 BDE.
证明 (1)如图，设 AC 与 BD 交于点 G. 1 因为 EF∥AG，且 EF＝1，AG＝ AC＝1， 2 所以四边形 AGEF 为平行四边形．
研一研· 题型解法、解题更高效
2.2.1(二)
题型二 例2
选择恰当的方法证明等式
已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，对应 1 1 3 的三边为 a，b，c，求证： ＋ ＝ . a＋b b＋c a＋b＋c
本 课 时 栏 目 开 关
a＋b＋c a＋b＋c 证明 要证原式，只需证 ＋ ＝3， a＋b b＋c c a 即证 ＋ ＝1， a＋b b＋c bc＋c2＋a2＋ab 即只需证 ＝1， 2 ab＋b ＋ac＋bc
最新人教版高中数学选修2.2.1-综合法和分析法ppt课件
3用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要 证”、“只需证”、“即证”等词语.
变式训练2 已知sin(2α＋β)＋2sinβ＝0， 求证：tanα＝3tan(α＋β)． 分析 因结论中为正切函数，而已知条件中为正弦函 数，因此可用切化弦逆推，用分析法证明．
证明 ∵a＋b＋c＝1， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 又∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. ∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋ 2bc＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)． ∴ab＋bc＋ca≤13.
证明 要证tanα＝3tan(α＋β)， 只需证csoinsαα＝3csoisnαα＋ ＋ββ， 只需证3sin(α＋β)cosα＝sinαcos(α＋β)， 只需证sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝2cos(α＋β)sinα－ 2sin(α＋β)cosα，
只需证sin[(α＋β)＋α]＝2sin[α－(α＋β)]， 即sin(2α＋β)＝－2sinβ， 只需证sin(2α＋β)＋2sinβ＝0. 因为sin(2α＋β)＋2sinβ＝0成立， 故等式tanα＝3tan(α＋β)成立．
成立的条件
执果索因法
想一想 1.综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得 到的结论是正确的． 2．分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗？ 提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理,而是寻求使结论成立 的充分条件．
2.2.1综合法与分析法 (2).pdf
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标 让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用 二、学习过程：
例1． 已知 a,b∈R+，求证：
学海无涯 例 2．已知 a,b∈R+，求证：
例 3.已知 a,b,c∈ R，求证（I）
课 后练习与提高
1．（A
级）函数
f
(x)
=
sin x2 ,−1
e
x
−1
,
x
0
x
3．（A 级）设 a,b R, a 2 + 2b2 = 6,则a + b 的最小值是
（）
A． − 2 2
B． − 5 3 3
C．－3
4．（A 级）下列函数中,在 (0,+) 上为 增函数的是
D． − 7 2
（）
A． y = sin 2 x
B． y = xex
C． y = x3 − x D． y = ln(1+ x) − x
10．（B） ABC的三个内角 A, B,C 成等差数列，求证： 1 + 1 = 3 a+b b+c a+b+c
七、板书设计 八、教学反思
0;， 若
f
(1) +
f则 a 的所有可能值为
A．1 B． − 2 C．1,或 − 2
2
2
D．1,或 2 2
2．（A 级）函数 y = x cos x − sin x 在下列哪个区间内是增函数
（） （）
学海无涯
A．
(
,
3
)
22
C． (3 , 5 ) 22
B． ( ,2 ) D． (2 ,3 )
2.2.1综合法与分析法 教案
综合法与分析法
一、教材分析
综合法与分析法作为高中数学中常用的两种基本方法，一直被学生所熟悉和应用，通过这节课的学习，学生将对这两种方法的掌握更加系统。
同时也复习了有关的其他数学知识。
二、教学目标
知识目标：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
能力目标：提高证明问题的能力。
情感、态度、价值观：养成言之有理论证有据的习惯。
三、教学重点难点
教学重点：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
教学难点：提高证明问题的能力。
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
例1．已知a,b∈R+，求证：
例2．已知a,b∈R+，求证：
）
例3.已知a,b,c∈R，求证（I
七、板书设计
八、教学反思
第 1 页。
学案1：2.2.1综合法和分析法
(2)分析法
①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．
②框图表示： .
自我检测
1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的()
(2)证明 由题意知即证 ＞ 成立．[6分]
∵a≠b，且a、b都为正数，
∴ ＝ ＝ ＝(a －b )2，
＝ ＝ab( － )2＝(a －b )2，[8分]
即证(a －b )2－(a －b )2＞0，
即证(a －b －a ＋b )(a －b ＋a －bБайду номын сангаас)＞0，
需证 ＞0，[10分]
即证(a＋b)(a－b)2＞0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立．故原命题成立．[12分]
探究点一
例1【解析】综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用．这里可从基本不等式相加的角度先证得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立，再进一步得出结论．
【答案】∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)
《综合法和分析法》导学案
导学目标：
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程及特点
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点．
自主梳理
1．直接证明
(1)综合法
①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．