齐次线性方程组
齐次线性方程组解法
齐次线性方程组解法
矩阵分析非常普及，并且被用于解决各种线性规划问题。
其中最重要的技术就是齐次线性方程组矩阵解法（CLFS）。
从它的定义，就可以推测出它可以更好地帮助企业、学校和科技行业等组织团体解决许多复杂的高级数学问题。
齐次线性方程组矩阵解法是由一组一般的线性方程组组成的多项式问题，主要用于求解若干多项式的根。
简而言之，就是一系列的方程的集合，称为齐次方程。
每一组方程都可以用相应的系数向量来表示，通过组合矩阵和变量矩阵，便可建立一个矩阵表达式来表示这组方程。
解决这一类数学问题，一般来讲亦分三大步骤：首先要把一组多项式方程转化为一组方程组，然后将该方程组转换为齐次线性方程组矩阵，最后便可以采用矩阵分解算法来求解。
可以以Kronecker积的矩阵分解算法，根据矩阵的特点，将原矩阵的表达形式转换成更加适合求解的格式，这时问题就更加易于求解，也就是得到需要的正确答案。
谈到互联网，齐次线性方程组矩阵解法能够为搜索引擎、数据库、移动应用程序等互联网技术开发提供极大的帮助。
例如，搜索引擎在构建搜索引擎索引池时，需要解决各种复杂的数学问题求总结数据库相关信息，或者对移动应用程序开发同样需要做大量的数学运算，而这些难以解决的线性规划问题，均可通过使用齐次线性方程组矩阵解决，从而使得开发运算更加简单，优化得到更准确的结果。
总而言之，齐次线性方程组矩阵解法在解决线性规划问题上有着举足轻重的地位，可以大大减少运算量，优化求解的正确性和可解性，并且是解决网络、数据库和移动信息技术开发等问题的有效方法，因而已被广泛应用。
齐次线性方程组的基础解系所含向量个数
齐次线性方程组的基础解系所含向量个数
齐次线性方程组的基础解系含向量个数，主要用来解决线性方程组:
1. 当方程组的解为空集时，也就是说没有任何一组解满足齐次线性方
程组的约束条件时，这个基础解系中含向量的个数就是零。
2. 当方程组有唯一解时，也就是说只有一个解满足齐次线性方程组的
约束条件时，这个基础解系中含向量的个数就是一个。
3. 当方程组的解有成正比的无限多个解时，那么这个基础解系中含向
量的个数就与方程组的未知量的个数一样多。以n阶的齐次线性方程
组为例，方程组的未知量就有n个，因此基础解系中含向量的个数也
就是n个。
因此，可以总结出，齐次线性方程组的基础解系含向量的个数，取决
于方程组的未知量的个数，以及解的个数，和方程组的约束条件。
齐次线性方程组解的性质
,
0
0
x5 0 0 1
即得对应的齐次线性方程组的基础解系
(1, 2,1, 0, 0) , 1
(1, 2, 0,1, 0) , 2
(5, 6, 0, 0,1). 3
于是所求通解为
k11 k22 k33 *
(4) 利用C写出导出组的同解方程组得到导出 组的基础解系
(5) 利用特解和基础解系写出通解
四、小结
１．齐次线性方程组基础解系的求法
（1）对系数矩阵 A进行初等变换，将其化为
最简形
1 0 b11 b1,nr
0 A~
1
br1
br
,nr
0
,
x5
0
0 1 0
(k
,
1
k
,
2
k
3
R).
由例（2）可归纳出求解非齐次线性 方程组的步骤：
(1) 对增广矩阵 B 进行初等行变换，将其化 为行最简形矩阵C
(2) 写出C对应的原方程组的同解方程组
(3) 确定自由未知量，对自由未知量取零值得 到一个特解
向
量b能
由
向
量组
1
,
2
,
,
线
n
性
表
示;
向量组1, 2 ,, n与向量组1, 2 ,, n , b等价;
矩阵A 1,2 ,,n 与矩阵B 1,2 ,,n , b
的秩相等.
４．线性方程组的解法
（1）应用克莱姆法则
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题．
齐次和非齐次线性方程组的解法
线性方程组的解法注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点;但是同学们学得时候要系统;要全面;要完整..下面是解线性方程组各种情况的标准格式;请同学们以此为准;进行练习..一、齐次线性方程组的解法定理齐次线性方程组一定有解：1 若齐次线性方程组()=;则只有零解；r A n2 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()<.注：当r A n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式m nA=.注：1、基础解系不唯一;但是它们所含解向量的个数相同;且基础解系所含解向量的个数等于()-.n r A2、非齐次线性方程组AX B=的同解方程组的导出方程组简称“导出组”为齐次线性方程组AX O=所对应的同解方程组..由上面的定理可知;若m是系数矩阵的行数也即方程的个数;n是未知量的个数;则有：1当m n<时;()≤<;此时齐次线性方程组一r A m n定有非零解;即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；2当m n=时;齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A=；3当m nA≠;故齐次线性=且()r A n=时;此时系数矩阵的行列式0方程组只有零解；4当m n >时;此时()r A n ≤;故存在齐次线性方程组的同解方程组;使“m n ≤”.例 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵显然有()4r A n ==;则方程组仅有零解;即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数即m n =注意：方程组的个数不等于未知量的个数即m n ≠;不可以用行列式的方法来判断;从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---;知方程组仅有零解;即12340x x x x ====.例 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为 134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩其中3x ;4x ;5x 为自由未知量令31x =;40x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;41x =;50x =;得121,2x x ==-；令30x =;40x =;51x =;得125,6x x ==-;于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦;356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以;原方程组的通解为112233X k k k ξξξ=++1k ;2k ;3k R ∈.例3 求齐次线性方程组12341234123420,20,250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=⎩的一个基础解系;并以该基础解系表示方程组的全部解. 解：将系数矩阵A 化成简化阶梯形矩阵可得()2r A n =<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为12342,0,x x x x =-⎧⎨=⎩其中2x ;3x 为自由未知量令21x =;30x =;得142,0x x ==；令20x =;31x =;得141,0x x =-=;于是得到原方程组的一个基础解系为12100ξ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;21010ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以;原方程组的通解为1122X k k ξξ=+其中1k ;2k 为任意实数.二、非齐次线性方程组的解法⑴ 唯一解：()()r A r A n == ⇔线性方程组有唯一解例 解线性方程组12312312321,224,44 2.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=-⎩解：2113(2)(4)11211121()2124032641420346r r r r A A B ⨯-++-+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦可见()()3r A r A ==;则方程组有唯一解;所以方程组的解为1231,2,0.x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⑵ 无解：()()r A r A ≠⇔线性方程组无解或若阶梯形方程组出现100r d +=≠;则原方程组无解例 解线性方程组12312312321,22,2 4.x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩ 解：1212132(1)21111212()1212033311240336r r r r r r A A B ↔⨯+⨯-+---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦23r r +−−−−→ 121203330003--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦;可见()3()2r A r A =≠=;所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解：()()r A r A n =<⇔线性方程组有无穷多解例 解线性方程组123412413423,231,2210 4.x x x x x x x xx x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩解：1213(2)21112311123()21031012752021040241410r r r r A A B ⨯-+⨯+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦可见()()24r A r A ==<;则方程组有无穷多解;其同解方程组为13423425,527.x x x x x x =--+⎧⎨=+-⎩ 其中3x ;4x 为自由未知量令340,0,x x ==得原方程组的一个特解2500η-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1342345,27.x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩其中3x ;4x 为自由未知量令31x =;40x =;得121,2x x =-=；令30x =;41x =;得125,7x x ==-;于是得到导出组的一个基础解系为11210ξ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦;25701ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦..所以;原方程组的通解为1122X k k ηξξ=++1k ;2k R ∈.例 求线性方程组 的全部解.解： 21111()1211211213A A B -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121213(2)(1)r r r r r r ↔⨯-+⨯-+−−−−→ 121120333301121-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可见()()34r A r A ==<;所以方程组有无穷多解;其同解方程组为14243431,23,211.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令40x =;可得原方程组的一个特解1010η⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.又原方程组的导出组的同解方程组为1424343,23,21.2x x x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩其中4x 为自由未知量令42x =-注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数;得;1233,3,1x x x ==-=;于是得到导出组的一个基础解系为3312ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以;原方程组的通解为X k ηξ=+ k R ∈.。
齐次线性方程组解
则方程组(1)与下面方程组(2)同解（为什么？）
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
(2)
ar1x1 ar2 x2 arn xn 0
(1)若r=n，则方程组只有零解，没有基础解系
(2)若r<n，则方程组(2)可以变化为
a11x1 a12 x2 a1r xr a1,r1xr1 a1n xn
证明 对于齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1
a22x2
a2n xn
0
(1)
as1x1 as2 x2 asn xn 0
设其系数矩阵的秩为r，不失一般性，设其 左上角的 r 级子式不等于零，即
a11 a12 a1r a21 a22 a2r 0, ar1 ar2 arr
定义 齐次线性方程组(1)的一组解
1,2,…,r ，若满足
1) 1,2,…,r 线性无关；
2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可由
1,2,…,r 线性表出， 则称1,2,…,r 为齐次线性方程组(1) 的一个基
础解系.
基础解系存在性
定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解 向量的个数等于nr, 其中r 为方程组系数矩阵 的秩.
注 定理的证明过程实际上就是一个具体 找基础解系的方法.
a21x1 a22 x2 a2r xr a2,r1xr1 a2n xn
...............................................
(3)
ar1x1 ar2 x2 arr xr ar,r1xr1 arn xn
齐次方程组的解的三种情况
齐次方程组的解的三种情况
齐次方程组是指系数矩阵为零矩阵的线性方程组，即形如Ax=0的方程组，其中A为一个m×n的矩阵，x为一个n维列向量，0为一个m维列向量。
齐次方程组的解有三种情况：
1.唯一解：当齐次方程组只有零解时，即x=0时，齐次方程组的解是唯一的。
2.多解：当齐次方程组有非零解时，即存在x≠0满足Ax=0时，齐次方程组的解是多解的。
3.无解：当齐次方程组存在自由变量时，即存在非基础变量时，齐次方程组的解是无解的。
对于一个m×n的矩阵A，如果它的秩r(A)<n，则齐次方程组有自由变量，解是无解的；如果r(A)=n，则齐次方程组只有零解，解是唯一的；如果r(A)<m，则齐次方程组有自由变量，解是多解的。
- 1 -。
齐次线性方程组的一般理论
c2
x
2 0
,
由解的惟一性知
(t ; c1x10
c2
x
2 0
)
c1(t ; x10 )
c2
(t
;
x
2 0
)
因此
T (c1x10
c2x02 )
(t ; c1x10
c2
x
2 0
)
c1(t ; x10 )
c2
(t
;
x
2 0
)
c1T (x10 )
c2T
(x
2 0
)
所以 T 是线性映射.
（2）T 是同构映射.
证明:
取
R n的一组基 1 (t0 )
0
0
,
2 (t0 )
1 0
,
,
n (t0 )
0
1
其对应的一组解 1(t) ,2 (t),, n (t) ( t I )将构成解集 Q
的一组基（解的存在唯一性）.为此只需要证明1(t) ,
2 (t),, n (t) 在区间 I 上线性无关即可.
必存在非奇异的 n 阶方阵 C, 使Ψ(t) Φ(t.)C
,
证明:
.
（1）容易验证任何基解矩阵 Φ(t)
满足矩阵方程:
所以 并且
Φ(t) A(t)Φ(t)
{Φ(t)C} Φ(t)C A(t)Φ(t)C
det{Φ(t)C} detΦ(t) det C 0
所以Φ(t)C 也是基解矩阵;
（2）由于 Φ(t) 是基解矩阵, 故Φ1(t)存在且可微, 记 B(t) : Φ1(t)Ψ(t) , 则B(t) 是可逆且可微的矩阵.
c j j (t0 ) 0 ,
齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组（homogeneous linear equation systems）是数学中的一个
重要专业话题，在互联网应用领域也有广泛的运用。
首先，齐次线性方程组指几个变量的线性关系，其系数律都是常数，可以用向量表示，这些关系称作齐次方程组，如：
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0
其中，a1、a2...an为常数，x1、x2...xn则是无穷多个变量。
而基础解系，
则是当变量令它们相等时，方程组正好有解的情形，即对于一个方程，存在恰好有个解的基础解系。
例如基础解系可以满足方程组的系数不变的情况，而且可以利用线性变换后构成标准型解，它与原方程组享有同一基础解系，是多个有限解所构成的线性空间。
在互联网应用领域，齐次线性方程组和其基础解系都具有极其重要的意义。
比如，在计算机科学中，线性系统可以利用齐次线性方程构建模型，来描述现实环境中的各种实体概念、情况与变化。
而基础解系的出现，则解决了系数矩阵特征值的问题，也可以用来计算非线性方程组的解。
此外，齐次线性方程组的基础解系还在网络安全、大数据分析等方面得到了广
泛的应用。
比如，基于网络安全的大数据分析，可以使用多元方程组来模拟、分析系统中可疑攻击行为；在搜索引擎算法中，可以利用基础解系中一系列子定理来加速搜索任务。
总而言之，齐次线性方程组及其基础解系都是数学中非常重要的概念，在各式
各样的互联网应用中也有着重要的地位。
面对当今越来越复杂的网络环境，我们有理由相信齐次线性方程组与其基础解系的研究和应用会取得更多的成果。
齐次线性方程组的基础解系及其应用
齐次线性方程组的基础解系及其应用齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有：（1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。
有非零解的充要条件是R(A)<n ；（2）齐次线性方程组AX=0解的线性组合还是它的解，因而解集合构成向量空间，向量空间的极大线性无关组，叫基础解系；（3）齐次线性方程组AX=0，当系数矩阵的秩r(A)小于未知量的个数n 时，存在基础解系，并且基础解系中含有n-r(A)个解向量；（4）对于齐次线性方程组AX=0，如果r(A)<n ，则任意n-r(A)个线性无关的解都是 基础解系。
定理1:设A 是n m ⨯的矩阵，B 是s n ⨯的矩阵，并且AB=0，那么r(A)+r(B)n ≤分析：这是一个非常重要的结论，多年考试题与它有关。
同学们还要掌握本定理的证明方法。
证：设s B B B B ,,,21 的列向量为，则),,,(21s B B B B =，AB=0，即0),,,(21=s B B B A 所以 s j AB j ,,2,1,0 ==所以，s B B B ,,,21 都是齐次线性方程组AB=0的解r(B)=秩)(),,,(21A r n B B B s -≤所以 r(A)+r(B)n ≤评论：AB=0，对B 依列分块，时处理此类问题的惯用方法。
例1：要使,110,20121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，只要系数矩阵A 为(A)[-2 1 1 ] (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110102 (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--110201 (D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110224110 解：由答案之未知量的个数是3。
,110,20121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ都是线性方程组0=AX 的解，并且21,ξξ线性无关，所以 1)(2)(3≤≥-A r A r ，从而，.只有（A ）是正确的。
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
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齐次线性方程组概念：右端全为0的线性方程组叫做齐次线性方程组： , 01212111=+++n n x a x a x a, 02222121=+++n n x a x a x a。
02211=+++n mn m m x a x a x a她的矩阵形式为 AX= 0，其中, 212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 。
21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x xx X也可以用向量来表示齐次线性方程组, , , , 记21222122121111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n m m a a a a a a a a a ααα则齐次线性方程组可表示为。
02211=+++n n x x x ααα常用的齐次线性方程组的表示方法还有。
) , ,2 ,1 ( 01m i x a njj j i ==∑=齐次线性方程组的性质性质1：齐次线性方程组的两个解之和任然是该齐次方程组的解证明如下：是齐次线性方程组 ) ,, ,( 和 ) ,, ,( 设2121n n ηηηξξξ02211=+++n n x x x ααα则有 , 的两个解)()()(222111n n n αηξαηξαηξ±++±+±)()(22112211n n n n αηαηαηαξαξαξ+++±+++=, 000=±=即两个解的和仍是该齐次方程组的解性质2：齐次方程组的解与任意实数的乘积仍是该齐次方程组的解。
证明：是齐次线性方程组 ) ,, ,( 设21n ξξξ02211=+++n n x x x ααα有 , 则对任意实数 , 的一个解k)()()(2211n n k k k αξαξαξ+++ , 0)(2211=+++=n n k αξαξαξ 。
仍是该齐次方程组的解 ) ,, ,( 即21n k ξξξ性质3：齐次方程组的有限个解的线性组合仍是该齐次方程组的解，性质3是性质1和性质2的综合。
齐次方程组有非0解的条件齐次方程组的特征是右端全部为零：显然，称之为平凡解。
, 是它的一个解 0 1.21====n x x x。
)()( . 2A r A r =定理1：设齐次线性方程组, 01212111=+++n n x a x a x a, 02222121=+++n n x a x a x a02211。
=+++n mn m m x a x a x a) (n m ≤, 01212111=+++n n x a x a x a , 02222121=+++n n x a x a x a02211。
=+++n mn m m x a x a x a) (n m ≤, )( 的秩为 的系数矩阵A r A只有唯一的零解。
)2( 则方程组 , )( , 若 .1*n A r n m == 有无穷多个非零解。
)2( 则方程组 , )(0 若 .2*n A r <<证明：,时 )( , .1n A r n m == 。
0det :是一个满秩的方阵 的系数矩阵 )2( 方程组*≠A A :知故由克莱姆法则立即可 , 的右端全为零 )2( 因为方程组* 只有唯一的一个零解。
)2( 方程组*, 时 )(0 .2n A r <<阶子式 的左上角的 且不妨设系数矩阵 , )( 设r A r A r = :与下面的方程组同解 )(2 可将 ) 由消元法 ( 则 , 不为零*个变量 且右端的 , 的系数矩阵是满秩的 (3) 方程组r n -, 值每取定一组不全为零的 , 可以任意取值 , , ,21n r r x x x ++ 而由 。
, , , 一的一组相应值由克莱满法则可解得唯21r x x x 此构成的数组 , , , , , , ,2121n r r r x x x x x x ++ 且为非零解。
, 的一个解 )2( 即为原齐次线性方程组*, 12211111212111n n r r r r r r x a x a x a x a x a x a ----=+++++++ , 22221122222121n n r r r r r r x a x a x a x a x a x a ----=+++++++22 11 22 11 。
n n r r r r r r r r r r r r x a x a x a x a x a x a ----=+++++++)3( , 12211111212111n n r r r r r r x a x a x a x a x a x a ----=+++++++ , 22221122222121n n r r r r r r x a x a x a x a x a x a ----=+++++++22 11 22 11 。
n n r r r r r r r r r r r r x a x a x a x a x a x a ----=+++++++)3(有无穷多个非零解。
)(2 , 的任意性 , , , 由*21n r r x x x ++齐次方程组有非零解的条件由定理1可知：有无穷多个非零解。
)2( 齐次线性方程组 , 时 当*n m <。
0det 有非零解 )2( 齐次线性方程组 , 时 当*=⇐⇒=A n m齐次方程组的通解:的证明过程可知 1 由定理的同解方程组为 )(2 , 时 )( )(0 当*n m n r A r ≤<=<（r c c c 11211 , , ,， 0 , ,0 ,1 ） （r c c c 22221 , , ,， 0 , ,1 ,0 ） （， ） （r r n r n r n c c c 2 1 , , ,--- ， 1 , ,0 ,0 ） , )0 , ,0 ,1 , , , ,( 令 112111 r c c c =α, )0 , ,1 ,0 , , , ,( 222212 r c c c =α, 01212111=+++n n x a x a x a , 02222121=+++n n x a x a x a02211。
=+++n mn m m x a x a x a) (n m ≤)2(*, 12211111212111n n r r r r r r x a x a x a x a x a x a ----=+++++++, 22221122222121n n r r r r r r x a x a x a x a x a x a ----=+++++++22 11 22 11 。
n n r r r r r r r r r r r r x a x a x a x a x a x a ----=+++++++)3( , , , , , , ,2121n r r r x x x x x x ++)2(*的解, )1 , ,0 ,0 , , , ,( 21 r r n r n r n r n c c c ----=α 个线性无关的解。
这是齐次线性方程组的r n -)(2 是方程组 ) , , , , , , ,( 设*2121 n r r r λλλλλλα ++=则 , 的任意一个解 的解。
)(2也是*2211r n n r r -+++++=αλαλαλβ : 与 比较βα, ) , , , , , , ,(2121 n r r r λλλλλλα ++=2211r n n r r -+++++=αλαλαλβ, ) , , , , , , , (2121 n r r r b b b λλλ ++=。
) , ,2 ,1 ( , 其中 22 11r n i c c c b i r n n i r i r i -=+++=-++ λλλ即 , , 所以 , 个数值相同 后面的 与 由于βαβα=-r n。
2211n n r r αλαλαλα+++=++中所定义 )3( 程组的任何一个解均可由方 )2( 方程组 , 就是说* 中的这一组向 )3( 于是称方程组 线性表出。
, , , 的21r n -ααα 的基础解系。
)2( 量为齐次线性方程组*小结：:础解系的步骤求齐次线性方程组的基。
的系数矩阵 )2( 写出 .1*A阶的阶梯形矩阵。
化为相应的 运用初等变换将 .2r A, 01212111=+++n n x a x a x a , 02222121=+++n n x a x a x a02211。
=+++n mn m m x a x a x a ) (n m ≤)2(*个自由变量 并依次取右端的 , 的方程组 )3( 写出形如 .3r n - 。
(3)求解 , )1,,0 ,0( , , )0,,1 ,0( , )0,,0 ,1( 的值为 构 )1,,0 ,0( , , )0,,0 ,1( 组解与相应的 将求得的 .4 r n - 的基础解系。
)2( 成*齐次方程组的通解的基础解系为 )2( 若齐次线性方程组* , , ,21r n -ααα )(r A r = 的通解为 )2( 则*, 2211r n r n C C C --+++=αααα 。
) , ,2 ,1 ( 为任意常数 , 其中r n i C i -=。