角平分线专题测试
角平分线测试题
《角平分线》测试题一、填空题（每小题3分，共30分）1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为.2．角平分线上的点到________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在__ ________．3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________. 4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________. 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=___ __cm.6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.7．如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．9．点O是△ABC内一点且到三边的距离相等∠A=60°则∠BOC的度数为_________．10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为.二、选择题（每小题3分，共30分）11．三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点第4题第5题第6题第7题12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定 21D A PO E Bl 2l 1l 3 D C E B第12题 第13题 第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ） NT QPM 第15题A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQT16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )ED CB A 第16题 A ．2 cm B ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）E DCB A 第17题A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ） A ．OA =OC B ．点O 到AB 、CD 的距离相等 C ．∠BDA =∠BDC D ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等三、解答与证明（共30分）21．（6分）如图，已知OE 、OD 分别平分∠AOB 和∠BOC ，若∠AOB =90°，∠EOD =70°，求∠BOC 的度数.DC A O第18题22．（6分）如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.23．（7分）如图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .24．（7分）如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠F AC .DFC A E26．（7分）如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .。
《角平分线》单元测试题(带答案)
《角平分线》单元测试题(带答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《角平分线》单元测试题(带答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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基本定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisectorof angle）。
三角形三个角平分线的交点叫做三角形的内心（中心)。
三角形的内心到三边的距离相等,是该三角形内切圆的圆心。
相关性质1.角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。
2.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半.3。
三角形的三条角平分线交于一点,且到各边的距离相等，这个点称为内心,即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
基本作法在角AOB中,画角平分线方法一：1。
以点O为圆心,以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M，N。
2。
分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3.作射线OP.则射线OP为角AOB的角平分线.角平分线试题一、填空题(每小题3分，共30分)1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 .2．角平分线上的点到_________________距离相等;到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1。
5 cm，则M到OB的距离为_________。
4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE，则∠DOC=_________. 5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm,则BC=_____cm。
角平分线专题训练
角平分线专题 2014-11-15
1、 如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD
2、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，点O 是∠A 的平分线上一点，过O 点作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 交AC 的延长线于F ，且BE ＝CF ，若AB ＝12，AC ＝5，求BE 长。
3、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 中点。
A B C D A C B E F O A B C D E
4、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。
5、如图，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ
6、如图，已知△ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于D ，求证：AC ＋CD ＝AB
A B C P Q M N A B C D Q E P A C
B D
7、如图所示，已知AD //BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：（1）E 为DC 的中点；（2）AD ＋BC =AB .
8、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于O 点，求证：AE ＋CD=AC.
A D E C
B D O
C E B A。
七年级数学上册专题提分精练三角板转动求角和角平分线结合(解析版)
专题23 三角板转动求角和角平分线结合1．直角三角形纸板COE的直角顶点O在直线AB上．（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝°；（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝°；（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF＝56°，求∠BOE的度数．【答案】（1）15；（2）40；（3）112°【分析】（1）根据平角的定义求解即可；（2）根据∠COF＝20°，先求解∠EOF＝70°，再根据OF平分∠AOE，求解∠AOE＝140°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可；（3）根据∠COF＝56°，先求解∠EOF＝34°，由OF平分∠AOE，可得到∠AOE＝68°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可．【详解】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝165°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝15°，故答案为：15；（2）∵∠COE＝90°，∠COF＝20°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∴∠EOF＝90°﹣20°＝70°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°，故答案为：40；（3）∵∠COE＝90°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∠COF＝56°，∴∠EOF＝90°﹣∠COF＝90°﹣56°＝34°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝68°，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝112°．【点睛】本题考查了角的计算，平角的定义，角的平分线定义，直角的定义，熟练掌握补角的定义，角的平分线定义，角的和与差是解题的关键．2．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB 的直角顶点O 放在互相垂直的两条直线PQ 、MN 的垂足O 处，并使两条直角边落在直线PQ 、MN 上，将AOB 绕着点O 顺时针旋转()0180αα︒︒<<︒．(1)如图2，若26α=︒，则BOP ∠=_____________，AOM BOQ ∠+∠=_____________； (2)若射线OC 是BOM ∠的角平分线，且POC β∠=︒．①若AOB 旋转到图3的位置，BON ∠的度数为多少？（用含β的代数式表示） ②AOB 在旋转过程中，若∠AOC ＝2∠AOM ，求此时β的值． 【答案】(1)64°，180°； (2)①2β︒；②60°或36°【分析】（1）根据∠BOP =180°-∠AOB -∠AOQ ，可分别计算出结果； （2）①先求∠BOP 与∠PON ，再利用∠BON =∠BOP +∠PON 得出结论；②分两种情况讨论：当OB 旋转到OP 左侧时；当OB 旋转到OP 右侧时解答即可． (1)解：MN ⊥PQ ，∴∠MOQ =90°，∠AOB =90°， ∵∠AOQ =β︒，∴∠BOP =180°-∠AOB -∠AOQ =180°-90°-26°=64°，∠AOM =∠MOQ -∠AOQ =90°-β︒， ∵∠BOQ =∠AOB +∠AOQ =90°+β︒， ∴∠AOM +BOQ =90°-β︒+90°+β︒=180°； (2)①∵∠MOP =90°，∠POC =β︒， ∴∠MOC =90°-β︒，∵OC 是BOM ∠的角平分线，∴∠BOM =2∠MOC =2(90°-β︒)=180°-2β︒，∴∠BOP=90°-∠BOM=2β︒-90°，∵∠PON=90°，∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β︒-90°+90°=2β︒；②当OB旋转到OP左侧时，如图：∠的角平分线，∵OC是BOM∴∠BOC=∠MOC，∵∠AOC＝2∠AOM，∴∠AOM＝∠MOC，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM，∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，∠=︒=90°-∠MOC=60°；∴POCβ当OB旋转到OP右侧时，如图：设∠AOM=x，∵∠AOC＝2∠AOM=2x，∴∠MOC=3∠AOM=3x，∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，∠的角平分线，∵OC是BOM∴∠BOC=∠MOC=3x，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，∴x=18°，∴∠MOC=3x=54°，∠=︒=90°-∠MOC=36°；∴POCβ综上β的值为：60°或36°．【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，分情况讨论是解题关键．3．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2．（1）∠EOC＝；（2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数；（3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝13∠AOE，求此时∠BOD的度数．【答案】（1）40°；（2）10°；（3）30°或60°）解：OC是∠BOC=∠=DOC ∠=BOD ∠+∠350α∴+︒-20α∴=︒②若OD 在设∠DOC 50BOD ∠=BOD ∠+∠350α∴+︒10α∴=︒（1）如图，若28MOC ∠=︒，求BON ∠的度数； （2）若MOC m ∠=︒，则BON ∠的度数为 ；（3）由（1）和（2），我们发现MOC ∠和BON ∠之间有什么样的数量关系？（4）若将三角形MON 绕点O 旋转到如图所示的位置，试问MOC ∠和BON ∠之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）56BON ∠=︒；（2）2m ︒；（3）2BON MOC ∠=∠；（4）不变.理由见解析. 【分析】（1）根据90MOC NOC ∠+∠=︒，28MOC ∠=︒，即可求出62NOC ∠=︒，根据角平分线的性质得到2124AON NOC ∠=∠=︒，即可求出BON ∠的度数． （2）根据（1）中的步骤进行求解即可． （3）根据（1），（2）的结果直接进行计算即可．（4）根据90MOC NOC ∠+∠=︒，得到90NOC MOC ∠=︒-∠,根据角平分线的性质得到2AON NOC ∠=∠，根据180180218029018018022BON AON NOC MOC MOC MOC ∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒-︒+∠=∠（），即可求解．【详解】解：（1）90MON ∠=︒， 90MOC NOC ∴∠+∠=︒．又28MOC ∠=︒， 62NOC ∴∠=︒．OC 平分AON ∠，2124AON NOC ∴∠=∠=︒． 180BON AON ∠+∠=︒， 56BON ∴∠=︒．（2）90MON ∠=︒， 90MOC NOC ∴∠+∠=︒．又MOC m ∠=︒，90NOC m ∴∠=︒-︒． OC 平分AON ∠，21802AON NOC m ∴∠=∠=︒-︒．180BON AON ∠+∠=︒，2BON m ∴∠=︒．故答案为：2m ︒．（3）2BON MOC ∠=∠． （4）不变，理由如下： 90MON ∠=︒， 90MOC NOC ∴∠+∠=︒， 90NOC MOC ∴∠=︒-∠，OC 平分AON ∠，2AON NOC ∴∠=∠， 180BON AON ∠+∠=︒，180BON AON ∴∠=︒-∠1802NOC =︒-∠180290MOC （）=︒-︒-∠2MOC =∠， 即2BON MOC ∠=∠．【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线的性质及邻补角等知识，熟练掌握直角三角形与角平分线的性质进行计算是解题的关键．5．如图1，点A 、O 、B 在同一直线上，∠AOC=60°，在直线AB 另一侧，直角三角形DOE 绕直角顶点O 逆时针旋转（当OD 与OC 重合时停止），设∠BOE=α： （1）如图1，当DO 的延长线OF 平分∠BOC ，∠α=______度；（2）如图2，若（1）中直角三角形DOE 继续逆时针旋转，当OD 位于∠AOC 的内部，且∠AOD=13∠AOC ，∠α=__度；（3）在上述直角三角形DOE 的旋转过程中，（∠COD+∠α）的度数是否改变？若不改变，请求出其度数；若改变，请说明理由．【答案】（1）30 ；（2） 110；（3）（∠COD+∠α）的度数不变，见解析.60角的三角板的上方，其中A 60∠=，另一块含45角的三角板POQ 的一边OQ 在直线MN 上，另一边OP 在直线MN 的下方．()1现将图1中的三角板POQ 绕点O 按顺时针方向旋转，当直线MN 恰好为POQ ∠的平分线时，如图2所示，则AOP ∠的度数______度；()2继续将图2中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图3的位置，使得边OA 落在QOB∠的内部，且AO 恰好为POQ ∠的平分线时，求BOP ∠的度数；()3在上述直角三角板从图1按顺时针方向旋转至图位置为止，这个过程中，若三角板POQ绕点O 以每秒15的速度匀速旋转，当三角板POQ 的OP 边或OQ 边所在直线平分AOB ∠，则求此时三角板POQ 绕点O 旋转的时间t 的值(请直接写出答案)．15；（3）当)1直线MN 90， 45，又AOB 60∠=且MOB ∠POA 180POM AOB 180456075∠∠∠=--=--=，故AOP ∠的度数为75； 故答案为75)2AO 恰好为POQ ∠的平分线，1AOP 452∠=，AOB 30∠=，BOP AOP BOP 15∠∠∴=-=；()3根据题意可知，分两种情况，①当OP AOB 时，136090AOB2∠--或1902∠-AOB 30∠=，∴时间()t 36090151517(=--÷=秒)9015155(-÷=秒②当OQ 边所在直线平分AOB ∠时，三角板PQO 绕点O 旋转的度数为13602∠-1180AOB 2∠-，AOB 30∠=，∴时间)t 360151523(=-÷=秒)180151511(-÷=秒∠时旋转时间为5秒或17秒，当OQ边所在直线平综合①②得当OP边所在直线平分AOB∠时旋转时间为11秒或23秒．分AOB【点睛】此题考查了角平分线的定义，根据题意找到各个量之间的关系是解题的关键．7．将一三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图1，若∠BOD=35°，则∠AOC=______°；若∠AOC=135°，则∠BOD=_____°；（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=_____°；（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图1说明理由；（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．【答案】（1）145°，45°；（2）40°；（3）∠AOC与∠BOD互补，理由详见解析；（4）∠AOD 角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【详解】解：解：（1）若∠BOD=35°，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD=90°+90°﹣35°=145°，若∠AOC=135°，则∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC=90°+90°﹣135°=45°；（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD=40°；（3）∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，∴∠AOC+∠BOD=180°，即∠AOC与∠BOD互补．（4）OD⊥AB时，∠AOD=30°，CD⊥OB时，∠AOD=45°，CD⊥AB时，∠AOD=75°，OC⊥AB时，∠AOD=60°，即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°；故答案为（1）145°，45°；（2）40°．【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义等知识，解题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．8．如图1，将三角板如图放置，∠AOC=60°．将另一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=45°．(1)将图1中的三角尺MON绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；(2)将图1中的三角尺MON绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第＿＿＿＿秒时，直线MN恰好与直线OC垂直；在第＿＿秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；(3)将图1中的三角尺MON绕点O顺时针旋转使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．(4)通过操作我们发现，将图1中三角形AOC绕点O顺时针旋转一定角度α（0<α<180°）时，三角形AOC会被直线AB或ON分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合条件的旋转角度α．【答案】(1)∠CON=150°(2)1.5或19.5；12或30(3)∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．理由见解析(4)45︒或60︒或135︒或150︒如图，当OMN旋转到直线如图，当OMN在直线当OMN旋转到当OMN旋转到∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．(4)解：其中一个三角形是等腰三角形①OC在直线OB上方：当45AOH AHO∠=∠=︒时，α=︒-︒=︒∴904545的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．【点睛】本题考查了角平分线，与三角板有关的计算，对顶角等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系．10．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF ＝45°．(1)如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，则∠ACE= ；(2)在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；(3)如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转．写出∠ACD与∠BCF之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)45°(2)∠ACE＝∠BCF(3)∠BCF-∠ACD =45°【分析】(1) 根据CF平分∠ACB，得到∠BCF=∠ACF=45°，结合∠EDF＝90°，计算即可．(2) 根据∠ACB＝∠EDF＝90°，得∠ACE=90°-∠ACF，∠BCF=90°-∠ACF，根据互余的性质证明即可．(3)根据∠ACF+∠ACD =45°，∠ACF=90°-∠BCF，代入等式消去∠ACF，整理可得证．(1)∵CF平分∠ACB，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴∠BCF=∠ACF=45°，∴∠ACE=∠EDF-∠ACF=90°-45°=45°，故答案为：45°．(2)∠ACE=∠BCF．理由如下：∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∴∠ACE=90°-∠ACF，∠BCF=90°-∠ACF，∴∠ACE =∠BCF ． (3)∠BCF -∠ACD =45°．理由如下： ∵∠ACB ＝∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°， ∴∠ACF +∠ACD =45°，∠ACF =90°-∠BCF ， ∴∠BCF -∠ACD =45°．【点睛】本题考查了互余的性质，两个角的和，角的平分线即从角的顶点出发的射线把这个角分成相等的两个角，熟练掌握两个角互余的性质是解题的关键．11．将两块直角三角板的顶点A 叠在一起，已知∠BAC ＝30°，∠DAE ＝90°，将三角板ADE 绕点A 旋转，在旋转过程中，保持∠BAC 始终在∠DAE 的内部．(1)如图①，若∠BAD ＝25°，求∠CAE 的度数．(2)如图①，∠BAE 与∠CAD 有什么数量关系，请说明理由．(3)如图②，若AM 平分∠BAD ，AN 平分∠CAE ，问在旋转过程中，∠MAN 的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围． CAE 12，∠BAC 130902即可．＝30°，∠DAE ＝90°，∠DAE -∠BAD -∠BAC =90°CAE 12， BAM ， CAE 12， BAD CAE 1302，BAC 130902，3030，60=︒．【点睛】本题考查三角板中角度计算，余角性质，角的和差，角平分线有关计算，掌握三角板中角度计算，角的和差，角平分线有关计算是解题关键．12．如图1，O 为直线AB 上一点，的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．(1)将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t 秒后，OM 恰好平分BOC ∠． ①t 的值是_________；②此时ON 是否平分AOC ∠？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分MON ∠？请说明理由； (3)在（2）的基础上，经过多长时间，10BOC ∠=︒？请画图并说明理由． 【答案】(1)①5；②是，理由见解析则有30°+6t+10°=180°，或30°+6t-10°=180°，∠COD＝60°．(1)求图1中∠BOD的度数．(2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)75(2)①旋转角α的值为30°，90°，105°；②当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD．【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．＝30°）的直角顶点放在点O处，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合？（2）如图2，经过秒后，MN∥AB；（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？请并说明理由．（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分∠MOB？请说明理由．顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝14∠AOM，求∠NOB的度数．的量．16．如图1，已知50ABC ∠=︒，有一个三角板BDE 与ABC ∠共用一个顶点B ，其中45EBD ∠=︒．（1）若BD 平分ABC ∠，求EBC ∠的度数；（2）如图2，将三角板绕着点B 顺时针旋转α度（090α︒<<︒），当AB BD ⊥时，求EBC ∠的度数． ）BD 平分12DBC ABC =∠ABC ∠=︒1502ABD DBC ∴∠==⨯EBC EBD DBC ∴∠=+∠（2）当AB ABD ∠=ABC ∴∠+EBC ∴∠=【点睛】本题考查角平分线的性质、与三角板有关的角的和差计算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝；（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝（用含α的式子表示）；（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF 与∠ACE的度数．∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，∵点C在DE上，【点睛】考查了角的计算和角平分线的定义，主要考查学生的计算能力，求解过程类似． 18．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使80BOC ∠=︒，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处(注：90DOE ∠=︒)()1如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE ∠= ．()2如图②，将直角三角板DOE 绕点O 逆时针方向转动到某个位置，若OC 恰好平分∠BOE ，求COD ∠的度数；()3如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC ∠的内部，试猜想BOD ∠与COE ∠有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）10°；（2）10°；（3）∠COE －∠BOD ＝10°，理由见解析．（3）猜想：∠COE－∠BOD＝10°理由：∵∠COE＝∠DOE－∠COD＝90°－∠COD∠COD＝∠BOC－∠BOD＝80°－∠B OD∴∠COE＝90°－（80°－∠B OD）＝10°＋∠B OD即∠COE－∠BOD＝10°【点睛】本题考查了角的度数问题，掌握角平分线的性质、余角的性质是解题的关键．。
专题2.3 角平分线模型(压轴题专项讲练)(浙教版)(原卷版)
专题2.3 角平分线模型【典例1】在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点．（1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数．（2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数．（3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB．（1）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据角平分线的定义得到∠ABO＝30°，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）连接OC，根据角平分线的性质得到OM＝ON，根据全等三角形的性质得到∠EOM＝∠FOH，根据角平分线的定义即可得到结论；（3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OD＝OG＝OH，根据三角形的面积公式即可得的结论．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°；（2）如图2，连接OC，∵AE、BF是角平分线，交于O点，∴OC是∠ACB的角平分线，∴∠OCF＝∠OCE，过O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM＝ON，在Rt△OEM与Rt△OFN中，OE=OF OM=ON，∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL），∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+12∠ACB，即90°+12∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°；（3）如图3，连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，∵AE、BF是角平分线，交于O点，∴OD＝OG＝OH，∴S△ABC=12×8×6=12×10OD+12×6×OG+12×8×OH，∴OD＝2，∴S△AOB=12×10×2＝10．1．（2022春•振兴区校级期末）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC 三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：52．（2021秋•藁城区校级月考）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ ）A．2B．1C．4D．33．（2022春•海州区校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，则∠1+∠2的度数为（ ）A．116°B．100°C．128°D．120°4．（2021秋•全椒县期末）如图，在△ABC 中，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N ，且PM ＝PN ，点Q 在AC 上，∠PAQ ＝∠APQ ，则下面结论中不一定正确的是（ ）A ．AM ＝ANB ．∠BAP ＝∠CAPC ．PQ ∥ABD ．PQ ＝PC5．（2022春•南岗区校级期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列四个结论：①∠BOC ＝90°+12∠A ，②∠EBO =12∠AEF ，③∠DOC +∠OCB ＝90°，④设OD ＝m ，AE +AF ＝n ，则S △AEF =mn 2．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2021秋•黄石期末）如图，△ABC 中，∠ACF 、∠EAC 的角平分线CP 、AP 交于点P ，延长BA 、BC ，PM ⊥BE ，PN ⊥BF ．则下列结论中正确的个数（ ）①BP 平分∠ABC ；②∠ABC +2∠APC ＝180°；③∠CAB ＝2∠CPB ；④S △PAC ＝S △MAP +S △NCP ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2020秋•永城市期末）如图，∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，C 是OB 上的动点，连接PC ，若PD ＝4，则PC 的最小值为 ．8．（2022春•双峰县期末）如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，只需添加 ，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线．9．（2021秋•樊城区月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED 的面积分别为27和16，则△EDF的面积为 ．10．（2021秋•兴城市期末）如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且知BM⊥AE．有下列结论：①∠AMC＝135°；②△AMH≌△BME；③∠AGC+∠BAC＝180°；④BC＝BH+2MH；⑤AH+CE＝AC．其中，正确的结论有 ．（填序号）11．（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．12．（2021秋•龙江县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．13．（2021秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．（1）求∠APC的度数；（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．14．（2021秋•南沙区期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．15．（2021秋•聊城期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．16．（2021秋•台江区校级期中）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为 ；（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求CMDO的值．17．（2021秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝ °．（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知S1S2=23，则BC的长为 ．（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．18．（2022春•海陵区校级期末）△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．（1）如图1，求∠BOD的度数；（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．①求证：BF∥OD；②若∠F＝50°，求∠BAC的度数；③若∠F＝∠ABC＝50°，将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜360°）后得△B'O′D′，B′D′所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值．19．（2021秋•沂水县期中）【问题提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，探究线段AB，AC，CD的数量关系．【问题解决】如图1，当∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得AB＝AC+CD；由此，如图2，当∠ACB≠90°时，猜想线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？给出证明．【方法迁移】如图3，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，探究线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明．20．（2021秋•江汉区校级月考）如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP．（1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝ °；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由；（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为： ．。
角平分线性质的应用练习题(含答案)
专题5：角平分线性质的应用【典例引领】例：在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=√3，AN=√2+1，则BM=，CF=．【强化训练】1．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=√3，请直接写出线段AD和DF的长．2．（2017辽宁省抚顺市，第25题，12分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设APOQ=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．3．如图，已知正方形ABCD的边长为√2，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．4．已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝√2OC；当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．①②③专题5：角平分线性质的应用【典例引领】例： 在等腰△ABC 中，∠B=90°，AM 是△ABC 的角平分线，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，∠EMF=135°．将∠EMF 绕点M 旋转，使∠EMF 的两边交直线AB 于点E ，交直线AC 于点F ，请解答下列问题： （1）当∠EMF 绕点M 旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM ；（2）当∠EMF 绕点M 旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE ，CF ，BM 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan ∠BEM=√3，AN=√2+1，则BM= ，CF= ．【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+√33或1﹣√33【分析】(1)由等腰△ABC 中，∠B=90°，AM 是△ABC 的角平分线，过点M 作MN ⊥AC 于点N ，可得BM=MN ，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME ≌△NMF ，可得BE=NF ，NC=NM=BM 进而得出结论； （2）①如图②时，同（1）可证△BME ≌△NMF ，可得BE ﹣CF=BM ， ②如图③时，同（1）可证△BME ≌△NMF ，可得CF ﹣BE=BM ； (3) 在Rt △ABM 和Rt △ANM 中，，可得Rt △ABM ≌Rt △ANM ，后分别求出AB 、 AC 、 CN 、BM 、 BE 的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF 的长. 【解答】（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠C=45°，∵AM 是∠BAC 的平分线，MN ⊥AC ， ∴BM=MN ，在四边形ABMN 中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°， ∵∠ENF=135°，， ∴∠BME=∠NMF ， ∴△BME ≌△NMF ， ∴BE=NF ，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵CN=CF+NF，∴BE+CF=BM；（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=NF﹣CF，∴BE﹣CF=BM；针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=CF﹣NF，∴CF﹣BE=BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB=AN=+1，在Rt△ABC中，AC=AB=+1，∴AC=AB=2+，∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，在Rt△CMN中，CM=CN=，∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，在Rt△BME中，tan∠BEM===，∴BE=，∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，∴CF=BM﹣BE=1﹣②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，∴此种情况不成立；③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，∴CF=BM+BE=1+，故答案为1，1+或1﹣．【强化训练】1．（2017辽宁省葫芦岛市）如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=√3，请直接写出线段AD和DF的长．【答案】（1）①BC=BD；②AD+AC=√3BE；（2）AD=5√3，DF=31√37．【分析】（1）①结论：BC=BD．只要证明△BGD≌△BHC即可．②结论：AD+AC=√3BE．只要证明AD+AC=2AG=2EG，再证明EB=√32BE即可解决问题；（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH，AH，BC，CH，AD的长，由sin∠ACH=AKAC =BHBC，推出AK的长，设FG=y，则AF=2√3﹣y，BF=√4+y2，由△AFK∽△BFG，可得AFBF =AKBG，可得关于y的方程，求出y即可解决问题．【解答】（1）①结论：BC=BD，理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；②结论：AD+AC=√3BE，∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE•cos30°=√32BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH ﹣CH=2AG=√3BE，∴AD+AC=√3BE；（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH=GB=2，AH=AG=EG=2√3，BC=BD=√BH2+CH2=√31，CH=DG=3√3，∴AD=5√3，∵sin∠ACH=AKAC =BHBC，∴√3=√31，∴AK=√3√31，设FG=y，则AF=2√3﹣y，BF=√4+y2，∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，∴△AFK∽△BFG，∴AFBF =AKBG，∴√3−y√4+y2=2√3√312，解得y=10√37或3√10（舍弃），∴DF=GF+DG=10√37+3√3，即DF=31√37．2．（2017辽宁省抚顺市，第25题，12分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设APOQ=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．【分析】试题分析：（1）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；（2）存在．证明方法类似（1）；（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出APOQ=ABOB，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，ABOB的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；【解答】解：（1）连接：AB=PB．理由：如图1中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（2）存在，理由：如图2中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（3）连接BQ．易证△ABO≌△PBQ，∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，∵∠OPB+∠BPQ=180°，∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，∵∠MON=60°，∴∠ABP=120°，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=30°，∵BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO=30°，∴△ABP∽△OBQ，∴APOQ=ABOB，∵∠AOB=30°，∴当BA⊥OM时，ABOB的值最小，最小值为0.5，∴k=0.5．3．如图，已知正方形ABCD的边长为√2，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．【答案】（1）2-√2；（2）2-√2；（3）3√2-4.【分析】（1）求出BC=BE，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；（2）求出△FEB≅△ECD，根据全等三角形的性质得出BF=DE即可；（3）延长GE交AB于F，证△GDE∼△FBE，得出比例式，代入即可求出答案.【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，∵∠DBC=45°，∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE，∴BE=BC=，在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD==2，∴DE=BD﹣BE=2﹣；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF=90°，∴∠FEB=∠CEF﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE，∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD，∴△FEB≌△ECD，∴BF=DE=2﹣；（3）延长GE交AB于F，由（2）知：DE=BF=2﹣，由（1）知：BE=BC=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴△DGE∽△BFE，∴=，∴=，解得：DG=3﹣4．4．已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD＋OE＝√2OC；当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．①②③【答案】图②中OD＋OE＝√2OC成立．证明见解析;图③不成立，有数量关系：OE－OD＝√2OC【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得到结论．【解答】图②中OD＋OE＝√2OC成立．证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q.有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，又∵OP＋OQ＝√2OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝√2OC，∴OD＋OE＝√2OC.图③不成立，有数量关系：OE－OD＝√2OC过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB，∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，∴∠KCD=∠HCE，∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，由（1）知：OH+OK=√2OC，∴OD，OE，OC满足OE-OD=√2OC．。
角平分线专题训练
《角平分线》专题班级姓名业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随。
——韩愈一、填空题1．___ __叫做角的平分线．2．角的平分线的性质是__________ _________________．它的题设是_____ ____，结论是___ __．3．到角的两边距离相等的点，在___ __.所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是___ __．4．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．（1）如果一个点在角的平分线上，那么__ ___；（2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么__ ___；（3）综上所述，角的平分线是__ ___的集合．图7－1 5．（1）三角形的三条角平分线___ __它到___________________________．（2）三角形内，到三边距离相等的点是___ __．6．如图7－1，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长为_____cm．一、解答题10．已知：如图7－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F.求证：DE＝DF．图7－511．已知：如图7－6，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．求证：OB＝OC.图7－612．已知：如图7－7，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）图7－7拓展、探究、思考13．已知：如图7－8，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？图7－814．已知：如图7－9，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．图7－9一、选择题1．如图8－1，若OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论中错误的是 （ ）A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．∠CPO ＝∠DPO D ．OC ＝PC图8－1 图8－2 图8－32．如图8－2，在RtΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ）A ．mn 31B ．mn 21 C ．mn D ．2mn 二、填空题3．已知：如图8－3，在RtΔABC 中，∠C ＝90°，沿着过点B 的一条直线BE 折叠ΔABC ，使C 点恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A 的度数等于_____．4．已知：如图，在ΔABC 中，BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠ACB ，且BD 、CE 交于点O ，过O 作OP ⊥BC 于P ，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC于N ，则OP 、OM 、ON 的大小关系为_____． 图三、解答题5．已知：如图8－5，OD 平分∠POQ ，在OP 、OQ 边上取OA ＝OB ，点C 在OD 上，CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N .求证：CM ＝CN ．图8－56．已知：如图，ΔABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线BF 、CF 交于点F .求证：点F 必在∠DAE 的平分线上．7．已知：如图8－7，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△P AB的面积与△PCD的面积相等．求证：射线OP是∠MON的平分线．8．如图8－8，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA 的面积比为3∶8，求△ADE与△BCA的面积之比．图8－89．已知：如图8－9，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证明你的结论．图8－9 10．已知：如图8－10，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC 上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．。
角平分线定理专题
角平分线定理专题（基础题）1.如图，AD是的角平分线，，垂足为F，
，和的面积分别为60和35，则
的面积为A. 25B. C. D.
2.如图如图,,P是∠AOB平分线OC上一点上一点,,PD⊥OB,垂足为D,若PD=2,2,则点则点P到边OA的距离是
A.1 B.2 C. D.4
3.3.如图如图如图,,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,20,30,40,其三条角平分线将△其三条角平分线将△其三条角平分线将△ABCABC分为三个三角形为三个三角形,,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于等于________. ________.
4．(2016·怀化)如图如图，，OP为∠AOB的角平分线的角平分线，，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是()
A．PC＝PD B．∠CPD＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD 5．(2016·淮安)如图如图，，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心为圆心，，适当长为半径画弧适当长为半径画弧，，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心为圆心，，大于12MN的长为半径画弧的长为半径画弧，，两弧
交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是() A．15 B．30 C．45 D．60
6．如图．如图，，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.已知BD∶CD＝3∶2，点D到AB的距离是6，则BC的长是______ 7．如图所示如图所示，，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于
点D，且OD＝3，则△ABC的面积是. ______ 8．如图，在．如图，在 ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，
PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）的大小关系是（ ）
角平分线辅助线专题练习
角平分线专1、轴对称性：内容：角是一个轴对称图形,它的角平分线所在的直线是它的对称轴. 思路和方法:边角等根本结构：如图,2、角平分线的性质定理：注意两点⑴距离相等〔2〕一对全等三角形3、定义：带来角相等.4、补充性质：如图,在AABC中.AD平分NBAC,那么有AB: AC=BD:DC例题2：如图,在△ABC中,NA等于6(r.BE平分NABC.CD平分NACB求证：DH=EH例题3:如图1, BC>AB.BD平分NABC,且NA+/C=180O, 求证:AD=DC.:思路一:利用“角平分线的对称性〞来构造由于角是轴对称图形,角平分线是其对称轴,因此,题中假设有角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形.证法1：如图1,在BC上取BE = AB,连结DE,〈BD平分B耳佟1ZAB C, AZAB D = ZDBE, X BD=BD.AAABD^AEBD (SA S),,NA=NDBE,A D =D E,又NA+NC=1 8 0°, ZDE B+ZDEC=1 8 0°,,NC=NDEC.DE = DC,那么AD=DC. A n证法2：如图2,过A作BD的垂线分别交BC、81)于£、F, ?\连结DE,由BD平分NABC,易得4ABF/△ EBF,那么AB=B E, 1 / \BD 平分NABC,BD=BD, AAABD^AEB D(SAS ) , / \/ \,AD = ED, NBAD=NDEB.又NBAD+NC=1 8 0., B 图CZBED+ ZCED = 180°,A ZC= ZDEC,那么DE=DC, A AD=DC. g 说明:证法1,2,都可以看作将△ ABD沿角平分线BD折向BC而构成/'、、全等三角形的. / \证法3:如图3,延长BA至E,使BE=BC,连结DE, J\r)YBD 平分NABC,,NCBD=NDBE,又BD=BD, /•△CB D/aEBDA ZC=ZE, CADE,又NBA D+NC= 1 8 0(),NDAB + ND A E= 1 80°, \ AZE=ZDA E, DE=DA,那么AD=DC. R 图3C 说明：证法3是4CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的.思路二:利用“角平分线的性质〞来构造由于角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以根据这个性质,可以过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形.证法4:如图4.从D分别作BC、BA的垂线,垂足为E、F,・.,BD平分NABC,,DE=DF,又NB AD+NC = 18O°, ZBAD+ZFAD=I 8 00, A ZFAD=Z CAFAD^AEC D〔AA S 〕,那么AD=DC.例题4:如图 5 ,在△血中, 求证：AC^CD= AB证实：在AB上截取AE二AC, 丁月〃平分NC45,,NC月氏NDAB, AD=AD, ：.ACAD^AEAD9AZZ»E4=90O ,VZC=90°, AU5C,,N6=45°,,/年N BDE^X 5 °,密BE, ：.AaCkg密AE+BE=AB,即AC+CI^A 13.例题5.己知：如图6,在Rt△月3.中,NG=9〔T ,沿过6点的一条直线班折会这个三角形,使.点与四边上的一点,重合,当N月满足什么条件时,点〃恰为力6中点?写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证实 .为四中点.解：当N#30°时,点.恰为弱的中点・, Z C=90°〔〕,,N烟二6 0.〔直角三角形两锐角互余〕.又△外〔〕,,/第F/%后30°,且/£〃后NX9 0°〔全等三角形对应角相等〕,・・・N〃8斤N/〔等量代换〕.•・•用后月£〔等角对等边〕,又N 劫5=900 , 即及ZLHR,〃是月夕的中点〔三线合一〕.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、角平分线,构造三角形例题、如下图,在AA BC中,NAR C=3NC, AD是NBAC的平分线,BE_L AD于求证:3E」(AC-AB) 2证实:延长BE交AC于点F.由于角是轴对称图形,对称轴是角的平分线所在的直线, 所以A D为NBA C的对称轴,又由于BE_LA D于F,所以点B和点F关于AD对称,所以BE=FE=1B F.AB=AF,NABF=NAFB°2由于NABF+NFBC=NABC = 3NC,ZABF = ZAFB=ZFBC+ZC,所以ZFBC+ ZC+ZF B C=3 NC,所以NFBC=NC,所以FB=FC,所以BE=1 F C = L(AC-AF) =,(AC-AB), 2 2 2所以BE = g(AC — A8).二、一个点到角的一边的距离,过这个点作另一边的垂线段如下图,N1 = N2,P为BN上的一点,并且PD_LBC于D, AB+BC=2BDo求证:NBAP+NB C P = 180 °. 证实：经过点P作PE_LAB于点E.由于PE_L AB.PD_LBC, N1 = N2, 所以PE=PD,R t APBE 和RtZkPBC 中BP = BPPE = PD所以R t △PBETRt^PBC(HL),所以BE=BD Q由于AB+BC=2BD.BC = CD + BD,A B =B E-AE.所以AE=CDc由于PE_LAB.PD_L BC,所以NPEB = NPDB=9 0 0 .在AP AE 和RtZ^PCD 中PE = PDNPEB = ZPDCAE = DC所以APAEgR t APCD.所以NPCB=NEAP.j由于NBAP+NEAP= 180°,所以NBAP+NBCP=18O° °三、角平分线和其上面的一点,过这一点作角的两边的垂线段例题、如下图,在△ ABC中,PB、PC分别是NAB C的外角的平分线,求证：Z 1 =Z2证实:过点P作PE1AB于点E, P G ±AC于点G. PF±BC 于点F.由于P在NEBC的平分线上,PE_LAB. PH± BC,所以PE=PFo同理可证PF=PG0所以PG=PE.又PE_LAB.PGJ. AC,所以PA是NBAC的平分线,所以N1 = N2.与三角形的角平分线有关的结论的探究三角形的内角和等于18 0*三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论.从结论的探究过程中,希望同学们能从中得到有益的启示：在平时的数学学习中,要学会运用所学知识去探索新的结论,学会探究,从而不断地提升自己的数学发现与创新的水平,提升数学学习水平.探究一:在A48C中,NA, NB的平分线交于点P,试探究ZBPC与NA的关系？探究：由于NBPC在ABPC中,由三角形的内角和定理,有:NBPC = 180°-(ZPBC + ZPCB)而由B P, CP分别是NABC和NAC B的角平分线知：ZPBC=-ZABC, ZPCB=-ZACB2 2(\ \ 1所以ABPC = 180°- -ZABC +-ZACB = 180° -一(NA8C + ZACB) \ 2 2 7 2而在在A48C中,ZABC+ ZA = 180° - ZA所以/BPC = 180°--(180°-zS4)= 90°+-ZA2 2故有结论一:在中,NA, NB 的平分线交于点P,那么有N8PC=90°+L/A, 2探究二:在AA8C 中,BP 是NABC 的平分线,C P 是A ABC 的外角/ ACE 的平分线, 试探究：N BPC 与NA 的关系？探究：由CP 是△ A B C 的外角ZAC E 的平分线, 所以有：NBPC=NPCE-NBPC又BP 是NABC 的平分线,CP 是NAC E 的平线所以：NPBC=L Z ABC, ZPC E = -ZACE 22 所以 NBPC 二 2 2= -(ZACE-ZABC )=-ZA 2 2故有结论二：在AA8C 中,BP 是NABC 的平分线,CP 是AABC 的外角NACE 的平分线,探究三：在AA8C 中,BP, CP 分别是A ABC 的两个 外角的平分线,试探究：NBPC 与NA 的关系？探究：由于NBPC 在ABPC 中,由三角形的内角和定 理,有：NBPC = 180° -(ZPBC + ZPCB )由BP, CP 分别是A ABC 的两个外角的平分线,有：NP BC 二ZPCB=izBCF 2 2WZABC+ZCBE=18 0 °, ZAC B + ZBCF=1 8 0°,所以NA BC+ZCBE+ZACB+ZBC F=36 00所以NEBC+/FCB= 3 6 0°-(ZACB+ZABC) = 360° -(180° -zL4)= 180° + ZA所以 /BPC = 180° - l(ZEBC+ ZFCB) = 180°-1(180° + ZA )= 90(,-|zA故有结论三：在A48C 中,BP, CP 分别是A ABC 的两个外角的平分线,那么有 N8PC=900—L/A . 2线段垂直平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其逆定理水平测试一、选择题1.以下说法,错误的选项是(那么有：ABPC = -^A. 2AA.三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等B.三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上C.三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等D.三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部2.假设一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是〔.〕3.如下图,在RtZXABC中,NAC8 = 90,3C的中垂线交斜边A3于.,A8 = 7.8, AAC = 3.9,那么图中有多少个角等于60.3〕A.2[ZB. 3 个C. 4 个.D. 5 个4.等腰△A8C两腰A8, AC的垂直平分线交于点.,以下各式不正确的选项是〔〕A. OA_L8CgB. OA平分N8AC*C. = O4 = 3C5.△A8C中,A8 = AC, A3的垂直平分线交AC于£〕,△A8C和△08.的周长分别是6 0 cm和38cm,那么△ ABC的腰长和底边的长分别是〔〕A. 24cm 和12cmB. 1 6 cm 和22cm C . 2 0cm 和16cm D . 22 cm 和16 cm6.将一张长方形纸片按如下图的方式折叠,BC, BD为折痕,那么NCBD的度数为〔〕A. 60°B. 75°C. 90°D. 9 5°7.假设△A8C三条角平分线的交点到三顶点的距离相等,那么该三角形一定为〔〕A.等腰三角形,但不一定是等边三角形.B.直角三角形.C.等腰直角三角形.D.等边三角形.8.如图,△ ABC中,AD为NBAC的平分线,DE±AB, DF±AC,E. F为垂足,在以下结论中:①AAD Eg4ADF;②^BDE乌ZkCDF ；③△ABDgZkACD;④AE=AF；⑤BE=CF：⑥BD二CD.其中正确结论的个数是〔〕A. UB.2<3oD. 49.产点在ZAO3的平分线上,NAO8 = 60 , OP = 10cm,那么P点到边OA , OB的距离分别是〔〕A. 5cm, 5>/3 cm B . 4cm, 5cm C. 5cm, 5cm D. 5 cm, 10 c m1 0.如图,Z^ABC中,/C=90〕BD平分NABC交AC于D, D E是AB的垂直平分线,DE二1B2 D,且DE=L5cm,那么AC等于〔〕A. 3cm°B・ 7. 5 c m C. 6cm D. 4. 5 cmC D二、填空题1.线段AB和它外一点P,假设P A=PB,那么点P在A B的；假设点P 在A B 的,那么PA=PB.2.如图,△ ABC中,E歹是A8的垂直平分线交于O, BF = 12 , C尸=3H那么AC =・A3. 如图,448c = 50" AO垂直平分线段8C于点.,NABC的平分线8石交AO于点E,连结EC,那么NAEC的度数是4.如下图,在△A3C中,NC = 90 , OE是A3的垂直平分线,AB = 2AC .3c = 18cm,那么CE的长度为,..5.在锐角三角形A8C中,NA = 60 , A3, AC两边的垂直平分线相交于点.,那么N3OC 的度数是.3.6.ZXA8C中,NC = 90 , AO平分N84C,交BC于D,假设DC = 7 ,那么.到A3的距离是•7.ZkA8C的三边长分别为3cm、4cm、5cm,假设.为△ 48C三内角平分线交点,那么点.到斜边AB的距离等于.8.如图,30平分NC8A, CO平分NAC3, MN〃8C,且过点O,假设A3 = 12, AC = 14,那么AAMN的周长是A9 .如图,3.是Z48C 的平分线,.七于E, S/版.=36m? , AB = 18cm >BC = 12cm,那么DE 的长是.1 0.如图,△ABC 中,ZC = 90 , AC = BC f AO 平分 N84c 交 BC 于.,DE LAB 于E,且AB = 10cm,那么△0E3的周长是“ »三、解做题1 .如下图,直线.4,表示两条相互交叉的公路.点何,N 表示两个蔬菜基地.现 要建立一个蔬菜批发「6场,要求它到两个基地的距离相等,并且到公路04,的距离相 等,请你作图说明此批发市场应建在什么地方？2 . 如图△ A8C 中,胡= 3C, N8 = 120°, A8的垂直平分线交AC 于.,求3 .用三角尺画角平分线:如图,NA0B 是一个任意角,在义M N 作0&0B 的垂线,交点为P,画射线0P,那么这条射线即%角平分 线.请解释这种做法的道理.你还能举出哪些作角平分线的方法, 并说明这种做法的道理.证：AO = ‘OC. 2 BA4.如下图,是△A3C的角平分线,.石_LA3,_L AC,垂足分别是E , F.求证：AO垂直平分族.四、探索题1 .如图,在△ABC中,N4 = 90 , AB = AC,是NA3C的平分线,请你猜测图中哪两条线段之和等于第三条线段,并证实你的猜测的正确性(证实你的猜测需要用题中所有的2.如下图,在等腰△ABC中,AB = AC, ZBAC = 120 .(1)请你作出两腰的垂直平分线.(2)假设A3边的垂直平分线与A8, 3c分别交于点.,E, AC边上的垂直平分线与AC, 8c分别相交于点G, F ,那么△4后是什么形状?你能证实吗？(3)连结.6, DG与BC有什么关系？(4)假设ZX7 = 5cm,试求的周长.答案：一、1 D； 2 C; 3D： 4D； 5D： 6C;7D;8 B ；9C; 10D.二、1 .垂直平分线上;垂直平分线上;2. 15； 3. 115°； 4. 12cm； 5. 120 ； 6. 7 ； 7.112c m;8. 26： 9. —cm ; 10. 10cm .三、L解:分别作ZAOB的平分线OC和线段MN的垂直平分线DE,那么射线OC与直线DE的交点、P即为批发巾场应建的地方.2.证实：连接8..A3的垂直平分线交AC于•••QA = O3又BA = BC, N8 = 120 , ZA = ZC = 30 ••• ZA = ZABD = 30 , /DBC = 90RtZXOBC中,有8.= !..,A AD = -DC.2 23.解:30M=ON, 0P=0P, A RtAOMP^RtAONP〔HL〕 , AZM0P=ZN0P,,射线OP是ZAOB 的平分线.4.证实：♦・♦4〕是△ABC的角平分线,DE-LAB,.产_LAC,二.七=./〔角平分线上的点到角的两边距离相等〕.••• NDEF = /DFE 〔等角对等边〕.: NAEZ〕 = NAEO = 90 〔垂直定义〕,••• ZAEF = ZAFE〔等角的余角相等〕.AE = AF〔等角对等边〕•••A,.在族的中垂线上〔和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上〕.即AO是七厂的中垂线.四、1 .解：猜测结论：A8 + A£> = 8C,过.作.E_L3C于E.•••3.平分ZA8C, ZA = 90 , ：.AD = DE.：.Z\ABD 94EBD,, AB = BE.•.・ AB = AC, ：. ZC = 45、：.DE = EC.：.AD = EC. AB + AD = BC.2.解：〔1〕如下图.（2）△AE/是等边三角形.证实：•・• AB = AC , ABAC = 120 , J ZB = ZC = 30 .•・• DE垂直平分线AB, ：.EB = EA,：./BAE = /B = 30 , ••• AAEF = 60 .同理可证NAEE = 60.•♦•△AE尸是等边三角形.⑶由于点D、G分别是AB、AC的中点,所以DG是中位线,那么0G =L B C.2〔4〕*：AE = BE, AF = FC f的周长为：AE+EF + AF = BE+EF + FC = BC.又••♦8C = 2ZX7 = 10cm.,八4£月的周长为10cm.选做题1. AiABC中,ZB = 22.5J , ZC = 60 , A3的垂直平分线交8.于.,交AB于F, BD = 60, AE_L3C于心求反?的长.解:连结AO.月是A8的垂直平分线,••• AD = BD = 672 〔线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等〕•\ Nl = NB = 22.5 〔等边对等角〕••• N2 = N1 + N8 = 45"••• Z3 = 90 - Z2 = 90 -45° = 45 ,,Z2 = N3••• A七二.石〔等角对等边〕9：DE2+AE2=AD2〔勾股定理〕2AE2 = 〔6yj2〕29：.AE = 6.在R t/\ACE中,ZC = 60,•二Z4 = 30•♦.AC = 2CE〔30所对的直角边等于斜边的一半〕9： AC2-EC2 =AE2〔勾股定理〕A 〔2CE〕2一CE2 = AE2,•二3CE2 = AE2,：.CE2=\l y：.CE = 2y/3.2 .如图,NA = 90.. AD//BC. P 是AB的中点,P 1〕平分NADC.求证：CP平分NDCB.证实:过点P作P E _L D C,垂足于E, ,N3 = N4 = NA = 90°,•••PD平分NADC, A Z1 = Z2,,PA = PE,•・・P为AB的中点,、:• PA = PB, PE = PB,•: AD // BC, ZA = 90° ,•・・P点在NDCB的平分线上.,CP 平分NDCB.3. CE, 3尸分别是锐角三角形ABC的NAC8, NA8C的平分线,AFL3F于尸,AELC石于E,试说明：(1) EF//BC ; (2) EF = -(AB + AC-BC).提示：由于8/是角平分线,且A所,所以延长A尸交8c于N,那么有△A8V是等腰三角形,从而尸是AN的中点,且A3 = 8N,同理E是AW的中点,且AC = CM,所以EF 〃 BC,且EF = L 〔BN + CM - CB〕 = L 〔AB + AC - BC〕.2 2备用题1.如果三角形内的一点到三边的距离相等,那么这点是〔〕CA.是三条边中垂线的交点B.是三角形三条边的中线的交点C.是三角形三个内角平分线的交点D.是三角形三条边上的高的交点2.如图,ZXABC中,NC AB=120° , AB, AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,那么NEAF等于3.如果△ABC的边3c的垂直平分线经过顶点A,与3c相交于点.,且A8 = 2AQ,那么△A8C中必有一个内角的度数为〔〕DA. 45、B. 60 *C. 90 oD. 1204 .如图,RtZkACB, NC = 90 , AO平分NC43, 于E,那么以下结论中不正确的是〔〕BA. BD+ED = BCB. DE 平分NADBC. A.平分NEOCA D. ED + AC>AD5.等腰三角形内有一点P到底边的两端点距离相等,那么连结顶点和P的直线一定把底边.垂直平分5 .如图,在Rt^ABC中,N8 = 90>,石.垂直平分AC交AC于点.,交BC于息E,已知N£AB:4AC = 2:5,求NC 的度数.解：设ZE48=2A-,那么々AC = 5x, ：.ZC = ZEAC = 3x.而NC + N8AC = 90 , A5x + 3x = 90 , x = 11.25\ ZC = 33.75?6 .如下图,AO是N84c的平分线,DE±AB于E,.尸_L AC于尸,且80 = 8. 求证：BE = CF.证实：♦「A.是N84C的平分线,.石_LA3, DF A.AC ,.七=.尸.(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)又•/ BD = CD y：. RtADBE • RtADCF(HL)：.BE = CF.7.如图,在△A8C中,NC = 90 ,点.是斜边A8的中点,AB = 2BC, DE±AB交47于£求证：8E平分乙43c.E证实：是A8的中点,2•/ AB = 2BC, /. BC = -AB, ：.BD = BC .2又,? DE .LAB, ZC = 90,, ZC = ZBDE = 90 ,又BE = BE, ：・RtABDEMRtABCE(HL), ：.NDBE = /EBC, ：・BE斗分/ABC.角平分线性质定理之应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一,它在几何的计算或证实中,起着“桥梁〞的作用.那么如何利用三角形的角平分线解题呢?下而举例说明.一、由角平分线的性质联想两线段相等例1如图1, AB>AC, NA的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE_LAB, DFJ_AC,垂足分别为E, F.求证：BE=CF.证实连结DB, DC.•••D在NA的平分线上,,DE=DF.••• D在BC的垂直平分线上,.・.BD=DC.又NBED=/CFD=90° ,/.RtABDE^ R tACD F , ABE=CF.二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2,BC>AB, BD平分NABC,且A D二DC 求证：ZA+ZC= 1 8 0° .图1证实延长BA至F,使BF=BC.由BD平分NABC在△ F B D 与ZkCBD 中,BF=B C ZABD=Z C BD BD= B D AAFBD^ACBD,A ZC=Z F , DF=CD=AD, NF=DAF, .-.ZA + ZC=ZBAD+ZDAF=180° . 三、过角平分线上一点作一边的平行线,构成等腰三角形例3 ：如图3, NABC的平分线BF与NACB的平分线CF相交于点F,过F作DE 〃BC,交AB 于D,交AC于E,求证：BD+CERE.证实：TBF是N ABC的平分线AZDBF=ZCBF 又•.•DE〃BC 万.\ZDFB=ZCBF,NDBF=NDFB,BD二FD,同理C E= F E.ABDrC E=DF+FE=DE四、实际生活中的应用例4如图4,有三条公路I＞.两两相交,要选择一地点建一座加油站,是加油站到三条公路的距离相等,应如何选择建加油站的地址?这样的位置有几种选择?解析：分别作△ A 两内角的平分线,它们相交于一点,根据角图4 性质知,这个点到三条公路的距离相等：或者分别作△ A8C相邻两外角的平分线,它们的交点到三条公路的距离也相等,这样点共有三个,所以建加油站的位置共有4种选择.角平分线携“截长补短〞显精彩角的平分线具有其特有的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法〞又是解决这一类问题的一种特殊方法,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1 如图1-1,月〃〃5C,点6在线段也上,4ADF4CDE, 4DCF4 E CB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD-BC y可考虑用“截长补短法〞中的“截长〞,即在.〃上截取C5, 只要再证£代期即可,这就转化为证实两线段相等的问题,从而到达简化问题的目的.证实：在⑦上截取.尸二6G如图1一2在△尸CE与△屈为中,CF = CB•ZFCE = ZBCECE = CEJXFCMXBCE (SAS) , AZ2=Z1.又,：AD〃BC, ：.ZADC+ZBCI^ 1 80 °,,/〃口+N C 〃品9 0° , AZ2+Z3 = 9 0° , Z 1 +Z4=9 0° , AZ3 = Z4.在与△山店中,ZFDE=ZADEDE = DEN3 = N4:AFD厘AADEgSA) , ：.DF^DA,•/ CD= D F+ CF, ：. CH2 BC.图1-1 B图1-2例2,如图2-1, N1 = N2,尸为民V 上一点,且尸于点〃/夕+/U2放求证：/8“斗N5C 尸=1800.分析:证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角, 后4因而此题适用“补短〞进行全等三角形的构造.证实:过点尸作PE 垂直B A 的延长线于点瓦如图2-2• ••/1 = /2,且产〃,BC,:・PE=PD,在 RtXB P E 与 RtABPD 中,PE = PDBP=BP:.RtABP 的 RtABPDim, ：・BFBD.• ： A 历B C=2BD, ：. AB+ B D+g B 步% ；.A 济DC=BE 即 DC= B&AB =AS.在了亡△ APE 与RtXCP 〃中,PE=PD• ZPEA = ZPDCAE=DC:.RtXAP 厘Rt4CPD0&,：.N/MFN PCD又♦： NBA 用NR1£=18O° , ；♦/8AP+NBC 尸=180°例3己知：如图3-1,在△嫉中,NO2N6, Z1=Z2.求证:冷力C+ CD.分析:从结论分析,“截长〞或“补短〞都可实现问题的转化,即延 长月.至£使.48 或在月月上截取止 证实:方法一(补短法)延长力.到左 使〃RCE,那么=NC£〃 /.』ACB=24E,• :乙AC B 之4 B, ：. Z5= Z F,在 4ABDW4AED 中,21 = Z2• NB = NEAD=AD:.XABDQXAED (AAS) , ：.AB=AE.又 A E=AC+C 匹AC+DC, ：. AB^AC^r DC. 方法二〔截长法〕在四上截取AF^A C,如图3- 3在与△?! C,中, AF = AC< Zl = Z2AD=AD:AAF 哈△ACD(SAS ) , ：.DF=DC, N /尸氏N / CD. 又•： 4ACB= 2/B,：・/FD 斤4B, :.FD= FB.即证实N6c AN BD图3-2<: AB = AF〞 B=AHFD, ：. A&^A&CD.上述两种方法在实际应用中,时常是互为补充,但应结合具体题目恰中选择适宜思路进行分析.让掌握学生掌握好“截长补短法〞对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助.角平分线问题中的一题多解如图1 所示,在△ ABC 中,/C=2NB./ 1 =Z 2 o求证：AB=AC+C D o证法一：截取法.就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等, 然后证实另一段等于加法运算的另一条线段.如图2所示,在AB上截取AE=AC,连结DE.在aAED和4ACD中AE = AC<Z1 = Z2AD = AD所以△AEDgAACD.所以ED=CD, Z3=ZC<,图2由于N3=NB+N4,NC=2NB,所以NB=N4,所以BE=DE0所以AB=AE+BE=AC+DE=AC+C D.证法二、补短法.就是在较短的一条线段的根底上通过延长在截取的方法将求和的两条线段连结在一起.本种方法是延长AC,再在延长线上截取CF=CD O如图3所示,延长AC到点F,使CF=CD,连结DF.由于C F=CD,所以N3 = NF,由于NACB=N3+NF, 所以NACB=2NF0 又由于NACB=2 NB, 所以NB=NF,在4ABD和4AFD中Z1 = Z2<NB ="AD = AD所以△ABDTZkA FD,所以AB=AF.由于AF=AC+CF=AC+CD,所以AB= A C+CDo第三种方法：也是属于补短法,本种方法是延长DC,再在延长线上截取CM=AC.证实:延长DC,在DC的延长线上截取CM=AC,连结AM.由于由于CM=CA,所以N3=NM.由于NAC B = N3 +NM, 所以NACB=2 NM=2N3,又由于N ACB=2NB,所以NB = NM=N3,所以AB=AM.由于N4=NB + N1,N D AM=N2+N3,N 1=Z2所以N4=NDAM,所以AM= DM=DC+CM=DC + AC,所以AB = DC+AC0练习：如图5所示,在AABC中,BC边的垂直平分线DF交△ B A C的外角平分线AD于点D.F为垂足.DE_L AB 于E,并且AB>AC,求证：BE-AC=AEo提示:可以将减法运算转化为加法运算,然后利用“截长〞或者“补短〞法解决问题,。
专题12.3 角的平分线的性质(解析版)
专题12.3 角的平分线的性质1.角平分线的定义将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。
2.作角平分线（尺规作图，四弧一线）角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．3.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.4.角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.5.角平分线的综合应用（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）实际生活中的应用．6.证明命题基本方法（1）明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）（2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.【例题1】已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．【答案】见解析。
【解析】证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB【例题2】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．【答案】见解析。
【解析】证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA=PB OP=OP∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．【例题3】已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．【答案】见解析。
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角平分线专题测试
姓名：
1、如图：已知BP 、CP 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BP 、CP 相交于P ，试探索∠BPC 与∠A 之间的数量关系，并说出你的理由．
2、如图：已知：△ABC 的内角平分线BD 的延长线与△ABC 的外角平分线CQ 交于点Q ，试探索∠Q 与∠A 的数量关系，并说出你的理由．
3、如图：已知BP 、CP 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BP 、CP 相交于P ，试探索∠BPC 与∠A 之间的数量关系，并说出你的理由． B
C
B C E
A
4、AD 是角平分线，AE 是高，求的关系
B C
B
C
5、直线AD 是角平分线，点P 是AD 上一动点，过点P 做PE BC ，求
的
关系
B
6、如图，O是△ABC的3条角平分线的交点，0G⊥BC，垂足为G．(1)猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；(2)∠DOB与∠GOC相等吗?为什么?。