证明线段相等或成倍数关系的巧妙方法

如何证明线段相等或成倍数关系
一
【典型例题】
（一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。

另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。

在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。

下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。

例1. 已知：四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD。

求证：OA＝OB
2. △ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，
DE交BC于F。

求证：DF
＝EF
AB＝AD
求证：
求证：DE＝BF
例5. 已知：在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB ＝8，DE ＝3，求BE 两点间的距离。

6. 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。

（二）线段倍、倍或、倍的关系：24121
4
这部分证明中常用到的定理有：
（1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。

（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（3）中位线定理。

下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。

例1. 已知：在△ABC 中，M 是BC 的中点，CE ⊥AB ，BF
⊥AC 。

求证：EM ＝FM
例2. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，
CD 是AB 边上的高。

求证：BD AB
14
D 。

9. 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B =︒15，求证：AB 上的高线等于AB 的一半。

【试题答案】
1. BF FC BC CE FC EF +=+=，
BF CE
BC EF
=∴=
在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，
2. MQ PN MNP ⊥∠=︒，45
∴=︒∴=∴==︒--=︒--==∴=∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠NMQ MNP NMQ QM QN
PMQ MRH MHR HNQ NHQ NQH MHR NHQ MRH NQH PMQ HNQ
45180180
∠∠∠∠PMQ HNQ MQ NQ
NQH MQP MPQ NHQ HN PM
===⎧⎨⎪
⎩
⎪∴≅∴=∆∆
3. 过B 作BG//CD 交EF 于G
DE DF E GB CD E EB GB BE CF GB CF
=∴=∴=∴=∴==∴=，∠∠，∠∠∠∠112
2//
∠∠，∠∠3456=∴=GB CD //
∴≅∴=∆∆GBA ACF AC AB
4. AB AC =，AD 平分BC ∴==︒∠∠BAD CAD 60 ∵AE 平分∠BAD
∴==︒∠∠BAE EAD 30 ∵AB//DF
∴==︒∴==︒∴==︒∴=︒
∠∠∠∠∠∠BAE F EAD F DF AD ADC C 30309030
在Rt △ADC 中，AD AC cm ==1
2
45. ∴=DF cm 45. 5. ∵∠CBM ＝∠CBA ∵CD//MN
∴∠CBM ＝∠DCB ∴∠CBA ＝∠DCB ∴OC ＝OB
同理可证：OB ＝OD ∴OC ＝OD ∵OA ＝OB
∴ADBC 是平行四边形
∠∠∠∠CBM CBO OBD DBN +++=︒180 ∵∠OBC ＝∠CBM ，∠OBD ＝∠DBN
∴+=︒∴+=︒
2218090∠∠∠∠CBO OBD CBO OBD
∴ADBC 是矩形 ∴CD ＝AB
6. ∵BE ＋EC ＋BC ＝24，BC ＝10 ∴BE ＋EC ＝14
∵DE 是AB 垂直平分线 ∴BE ＝AE
∴AC ＝BE ＋EC ＝14 ∵AB ＝AC ∴AB ＝14
7. 延长DC 、AE 交于O 点
∵ABCD 是正方形
∴==︒∴====⎧⎨⎪
⎩⎪
∴≅∴=∴=∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠B BCO EB CE AEB OEC EB EC B ECO
ABE OCE BAE COE O FAE 90∆∆
∴===∴=∴=+CO AB BC
FAO O AF FO AF FC BC
∠∠
8. ∵EFCD 是平行四边形
∴===︒=∴=
∴=EF DC BC BAC BD CD AD BC AD EF 12
9012
∠，
9. ∵AB ＝AC
∴==︒∴=︒∴=︒⊥∴=
∴=∠∠∠∠B C BAC DAC CD DA
CD AC CD AB
1515030121
2
10. 取CD 中点F ，连接EF ，则EF 为∆ACD 中位线 ∵EF 为△ACD 中位线
∴=∴⊥∠=︒∴=
∴=EF AD
EF BC
EBD EF BE AD BE //1
23012。