《高等数学》第八章 重积分(电子讲稿)

第八章 重积分本章和下一章是多元函数积分学的内容．在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限．这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念．本章将介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、性质、计算以及它们的一些应用．第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1．曲顶柱体的体积设有一个立体，它的底是xOy 面上的闭区域D （为简便起见，本章以后除特别说明外，都假定平面闭区域和空间闭区域是有界的，且平面闭区域有有限面积，空间闭区域有有限体积），它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，它的顶是曲面(,)z f x y =，这里(,)0f x y ≥且在D 上连续（图8-1），这种立体叫做曲顶柱体．现在我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V .我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积=底面积×高来定义和计算．关于曲顶柱体，当点(,)x y 在区域D 上变动时，高度(,)f x y 是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算．但如果回忆起第五章中求曲边梯形面积的问题．就不难想到，那里所采用的解决方法，原则上可以用来解决目前的问题．首先，用一组曲线网把D 分成n 个小闭区域12,,,,n σσσ∆∆∆分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体．当这些小闭区域的直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于(,)f x y 连续，对同一个小闭区域来说，(,)f x y 变化很小，这时细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体．我们在每个i σ∆（这小闭区域的面积也记作i σ∆）中任取一点(,)i i ξη，以(,)i i f ξη为高而底为i σ∆的平顶柱体（图8-2）的体积为(,)(1,2,,).i i if i n ξησ∆=这n 个平顶柱体体积之和1(,)niiii f ξησ=∆∑可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值．令n 个小闭区域的(,)i i ξηi∆σO xy图8-3直径中的最大值（记作λ）趋于零，取上述和的极限，所得的极限便自然地定义为所讨论曲顶柱体的体积V ，即1lim (,).ni i i i V f λξησ→==∆∑2. 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D ，它在点(,)x y 处的面密度为(,)x y μ，这里(,)0x y μ>且在D 上连续．现在要计算该薄片的质量M .我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量可以用公式 质量=面密度×面积来计算．现在面密度(,)x y μ是变量，薄片的质量就不能直 接用上式来计算．但是前面用来处理曲顶柱体体积问题的 方法完全适用于本问题．由于(,)x y μ连续，把薄片分成许多小块后，只要小块 所占的小闭区域i σ∆的直径很小，这些小块就可以近似地 看作均匀薄片．在i σ∆上任取一点(,)i i ξη，则(,)i i i μξησ∆(1,2,i =,)n可看作第i 个小块的质量的近似值（图8-3）．通过求和、取极限得出01=lim (,).ni i i i M λμξησ→=∆∑上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限．在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限．因此，我们有必要研究这种和的极限的一般形式，抽象出下述二重积分的定义．设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数．将闭区域D 任意分成n 个小闭区域12,,,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积．在每个i σ∆上任取一点(,)i i ξη，作乘积(,)(1,2,,)i i i f i n ξησ∆=，并 作 和 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑． 如果当每个小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在， 则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(,)d Df x y σ⎰⎰，即1(,)lim (,).ni i i i Df x y d f λσξησ→==∆∑⎰⎰ (1)其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)d f x y σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x 与y 叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f ξησ=∆∑叫做积分和．在二重积分的定义中对闭区域D 的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计），其余的小闭区域都是矩形闭区域．设矩形闭区域i σ∆的边长为j x ∆和k y ∆，则i j k x y σ∆=∆⋅∆，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素d σ记作d d x y ，而把二重积分记作(,)d d ,Df x y x y ⎰⎰其中d d x y 叫做直角坐标系中的面积元素．这里我们要指出，当(,)f x y 在闭区域D 上连续时，（1）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数(,)f x y 在D 上的二重积分必定存在．如无特别说明，本章总是假定函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，所以(,)f x y 在D 上的二重积分都是存在的．由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分(,)d ,DV f x y σ=⎰⎰平面薄片的质量是它的面密度(,)x y μ在薄片所占闭区域D 上的二重积分(,)d .DM x y μσ=⎰⎰一般地，如果(,)0f x y ≥，被积函数(,)f x y 可解释为曲顶柱体的顶在点(,)x y 处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果(,)f x y 是负的，曲顶柱体就在xOy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果(,)f x y 在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么，(,)f x y 在D 上的二重积分就等于xOy 面上的曲顶柱体体积减去xOy 面下方的曲顶柱体体积所得之差．二、二重积分的性质比较定积分与二重积分的定义可以想到，二重积分与定积分有类似的性质，现叙述如下： 性质1 设αβ、为常数，则[(,)(,)]d (,)d (,)d .DDDf x yg x y f x y g x y αβσασβσ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质2 如果闭区域D 被有限条分段光滑曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和．例如分D 为两个闭区域1D 与2D ， 则12(,)d (,)d (,)d .DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰该性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．性质3 如果在D 上，(,)1f x y =，σ为D 的面积，则1d d .DDσσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰该性质表明被积函数为1的二重积分在数值上就等于积分区域D 的面积． 性质4 如果在D 上，(,)(,)f x y x y ϕ≤，则有(,)d (,)d .DDf x y x y σϕσ≤⎰⎰⎰⎰特殊地，由于(,)(,)(,),f x y f x y f x y -≤≤又有(,)d (,)d .DDf x y f x y σσ≤⎰⎰⎰⎰性质5 设M m 、分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有(,)d .Dm f x y M σσσ≤≤⎰⎰上述不等式是对于二重积分估值的不等式．因为(,)m f x y M ≤≤，所以由性质4有d (,)d d ,DDDm f x y M σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰再应用性质1和性质3，便得此估值不等式．性质6 （二重积分的中值定理） 设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)d (,).Df x y f σξησ=⎰⎰证 显然0σ≠．把性质5中不等式除以σ，得1(,)d .Dm f x y M σσ≤≤⎰⎰这就是说，确定的数值1(,)d Df x y σσ⎰⎰介于函数(,)f x y 的最大值M 与最小值m 之间．根据闭区域上连续函数的介值定理，在D 上至少存在一点(,)ξη使得函数在该点的值与这个确定的数值相等，即1(,)d (,).Df x y f σξησ=⎰⎰所以(,)d (,).Df x y f σξησ=⎰⎰●●例1 设D 是圆环域：2214x y ≤+≤，证明2243πe e d 3πe .xy Dσ+≤≤⎰⎰证 在D 上，22(,)e xyf x y +=的最小值e m =，最大值4e M =．而D 的面积()S D =4ππ3π-=．由性质５得2243πe e d 3πe .xy Dσ+≤≤⎰⎰习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系． 3. 利用二重积分定义证明：（1） d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；（2） (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；（3）12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =，1D ，2D 为两个无公共内点的闭区域.4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1） 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成； （2） 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；（3） ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三个顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)；（4） ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)35,01}D x y x y =≤≤≤≤.5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(2) 22sin sin d DI x y σ=⎰⎰其中{(,)0π,0π}D x y x y =≤≤≤≤；(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰其中{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤；(4) 22(49)d DI x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.第二节 二重积分的计算方法按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，这种方法不是最优方法，有时甚至行不通．为此，本节介绍一种将二重积分化为二次积分（即二次定积分）的计算方法．一、利用直角坐标计算二重积分下面用几何观点来讨论二重积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰的计算问题．在讨论中假定(,)0f x y ≥．设积分区域D 可以用不等式12()(),x y x a x b ϕϕ≤≤≤≤ 来表示（图8-4），其中1()x ϕ，2()x ϕ函数在区间[,]a b 上连续．按照二重积分的几何意义，(,)d d Df x y x y ⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面z =(,)f x y 为顶的曲顶柱体（图8-5）的体积．下面我们应用第五章中计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积．先计算截面面积．为此，在区间[,]a b 上任意取定一点0x ，作平行于yOz 面的平面0x x =．这平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间1020[(),()]x x ϕϕ为底、曲线0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形（图8-5中阴影部分），所以这截面的面积为2010()00()()(,)d .x x A x f x y y ϕϕ=⎰一般地，过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为21()()()(,)d .x x A x f x y y ϕϕ=⎰再计算曲顶柱体的体积．应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为21()()()d [(,)d ]d .bbx aax V A x x f x y y x ϕϕ==⎰⎰⎰这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式21()()(,)d d [(,)d ]d .bx ax Df x y x y f x y y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰（1）上式右端的积分叫做先对y 、后对x 的二次积分，就是说，先把x 看作常数，把(,)f x y 只看作y 的函数，并对y 计算从1()x ϕ到2()x ϕ的定积分；然后把算得的结果(是x 的函数)再对x 计算在区间[,]a b 上的定积分，这个先对y 、后对x 的二次积分也常记作21()()d (,)d .bx ax x f x y y ϕϕ⎰⎰因此，等式(1)也写成21()()(,)d d d (,)d ,bx ax Df x y x y x f x y y ϕϕ=⎰⎰⎰⎰（1'）这就是把二重积分化为先对y 、后对x 的二次积分的公式.在上述讨论中，我们假定(,)0f x y ≥，但实际上公式(1)的成立并不受此条件限制. 类似地，如果积分区域D 可以用不等式12()(),y x y c y d ϕϕ≤≤≤≤ 来表示(图8-6)，其中函数1()y ϕ，2()y ϕ在区间[,]c d 上连续，则有21()()(,)d [(,)d ]d .dy cy Df x y f x y x y ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰（2）上式右端的积分叫做先对x 、后对y 的二次积分，这个积分也常记作21()()d (,)d ,dy cy y f x y x ϕϕ⎰⎰因此，等式(2)也可写成21()()(,)d d (,)d ,dy cy Df x y y f x y x ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰（2'）这就是把二重积分化为先对x 、后对y 的二次积分的公式.以后我们称图8-4所示的积分区域为X -型区域，图8-6所示的积分区域为Y -型区域，应用公式(1)时，积分区域必须是X -型区域， X -型区域D 的特点是:穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交不多于两点；而用公式（2）时，积分区域必须是Y -型区域，Y -型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界相交不多于两点．如果积分区域D 如图8-7那样，既有一部分，使穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交多于两点；又有一部分，使穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界相交多于两点，即D 既不是X -型区域，又不是Y -型区域．对于这种情形，我们可以把D 分成几部分，使每个部分是X -型区域或是Y -型区域．例如，在图8-7中，把D 分成三个部分，它们都是X -型区域，从而在这三部分上的二重积分都可应用公式（1）．各部分上的二重积分求得后，根据二 重积分的性质2，它们的和就是在D 上的二重积分．如果积分区域D 既是X -型的，又是Y -型的，既可用不等式1()x ϕ≤y ≤2()x ϕ，a ≤x ≤b 表示，又可用不等式1()y ϕ≤x ≤2()y ϕ，c ≤y ≤d 表示(图8-8)，则由公式（1'）及（2'）就得2211()()()()d (,)d d (,)d .bx dy ax cy x f x y y y f x y x ϕϕϕϕ=⎰⎰⎰⎰（3）上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分(,)d .Df x y σ⎰⎰●●例1 计算积分2d d Dyx y x⎰⎰，其中D 是正方形区域: 1≤x ≤2,0≤y ≤1. 解212222101111d d d d d .24Dy y x y x y x x x x ===⎰⎰⎰⎰⎰y图8-7图8-8y●●例2 计算221d Dy x y σ+-⎰⎰，其中D 是由直线y x =，1x =-和1y =所围成的闭区域．解 画出积分区域D （图8-9），若把D 看成X -型，则利用公式（1）得112222131221211311301d d 1d 1[(1)]d 31(||1)d 321(1)d .32xDx y x y x y x y y x y xx xx x σ---+-=+-=-+-=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰若把D 看成Y -型（图8-10），则利用公式（２）得12222111d d 1d ,yDy x y y y x y x σ--+-=+-⎰⎰⎰⎰其中关于x 的积分计算比较麻烦，所以这里用公式（1）计算较为方便． ●●例3 计算d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x=及直线2y x =-所围成的闭区域．解 画出积分区域D （如图8-11），若把D 看成Y -型，则利用公式（２）得2222222112251246321d d d d 21[(2)]d 214452.24368y y y Dy x xy y xy x y y y y y y y y y y σ++----⎡⎤==⎢⎥⎣⎦=+-⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰若把D 看成X -型利用公式（1），则由于在区间[0,1]及[1,4]上表示1()x ϕ的式子不同，所以要用经过交点(1,1)-且平行于y 轴的直线1x =把区域D 分成1D 和2D 两部分（图8-12），其中12{(,)|,01},{(,)|2,14}.D x y x y x x D x y x y x x =-≤≤≤≤=-≤≤≤≤因此，根据二重积分的性质2，就有121412d d d d d d d .DD D xxxx xy xy xy x xy y x xy y σσσ--=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由此可见，这里用公式（1）来计算比较麻烦．●●例4 求110sin d d y xy x x⎰⎰.解 由不定积分可知，因为sin x dx x ⎰的被积函数sin xx的原函数不能用初等函数表示，因此依题中所给积分次序不能计算出二重积分．对此类问题考虑采用交换积分次序的方法来解决，计算如下：11111000000sin sin sin sin d d d d d d d 1cos1.x x y x x x x y x x y x y x x x x x x ===⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰交换积分次序方法的一般步骤为：（1）先依给定的二次积分限，写出积分区域D 的范围，并依此作出D 的图形； （2）再依区域D 的图形确定出另一种积分次序的积分限．上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序．这时，既要考虑积分区域D 的形状，又要考虑被积函数(,)f x y 的特性. ●●例5 求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的立体的体积.解 设这两个圆柱面的方程分别为222x y R +=及222x z R +=.利用立体关于坐标平面的对称性，只需算出它在第一卦限部分(图8-13(a ))的体积1V ，然后再乘以8就行了.所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为{}22(,)|0,0,D x y y R x x R =≤≤-≤≤如图8-13(b )所示，它的顶是柱面22z R x =-.于是222222222210222230d d d d 2[]d ()d .3RR x DDRRRxV R x R x x R x yy R x x R -x x R σσ--=-=-=-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而所求立体的体积为31168.3V V R ==图8-14i θ二、利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量ρ，θ表达比较简单．这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰．按二重积分的定义1(,)d lim (,),niiii Df x y f λσξησ→==∆∑⎰⎰ 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式．假定从极点O 出发且穿过闭区域D 内部的射线与D 的边界曲线相交不多于两点．我们用以极点为中心的一族同心圆：ρ=常数，以及从 极点出发的一族射线：θ=常数，把D 分成n 个小闭区域（图8-14）．除了包含边界点的一些小闭区域外，其余小闭区域的面积i σ∆可计算如下：22_11()221(2)2()2,i i i i i ii i i i i i i i i i i i σρρθρθρρρθρρρρθρρθ∆=+∆⋅∆-⋅∆=+∆⋅∆⋅∆++∆=⋅∆⋅∆=⋅∆⋅∆其中_i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值，在这小闭区域内取圆周_i ρρ=上的一点__(,)i i ρθ，该点的直角坐标设为(,)i i ξη，则由直角坐标与极坐标之间的关系有__cos i i i ξρθ= ，__sin i i i ηρθ=，于是_____11lim (,)lim (cos ,sin ),nni i i i i i i i i i i i f f λλξησρθρθρρθ→→==∆=⋅∆⋅∆∑∑即(,)d (cos ,sin )d d DD f x y f σρθρθρρθ'=⎰⎰⎰⎰．由于在直角坐标系中(,)d Df x y σ⎰⎰也常记作(,)d d Df x y x y ⎰⎰，所以上式又可写成(,)d d (cos ,sin )d d .DD f x y x y f ρθρθρρθ'=⎰⎰⎰⎰ （4）这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中D '是区域D 径极坐标变换后在极坐标系下的区域，d d ρρθ就是极坐标系中的面积元素．公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标，只要把被积函数中的x ，y 分别换成cos ρθ，sin ρθ，并把直角坐标系中的面积元素d d x y 换成极坐标系中的面积元素d d ρρθ．αβ2()ρϕθ=1()ρϕθ=O()a αβ2()ρϕθ=1()ρϕθ=OD()b 图8-15ρϕθ=()αβOD图8-17图8-16αβ2()ϕθ1()ϕθθEFD O图8-18OD ()ρϕθ=极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算． 设积分区域D 可以用不等式12()(),ϕθρϕθαθβ≤≤≤≤ 来表示（图8-15），其中函数1()ϕθ，2()ϕθ在区间[,]αβ上连续．先在区间[,]αβ上任意取定一个θ值，对应这个θ值， D 上的点(图8-16中这些点在线段EF 上)的极径ρ从1()ϕθ变到2()ϕθ．又θ是在[,]αβ上任意取定的，所以θ的变化范围是区间[,]αβ．这样就可以看出，极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为21()()(cos ,sin )d d [(cos ,sin )d ]d .Df f βϕθαϕθρθρθρρθρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰（5）上式也写成21()()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .Df f βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（5'）如果积分区域D 是图8-17所示的曲边扇形，那么可以把它看作图8-15(a )中当1()0ϕθ≡，2()()ϕθϕθ=时的特例．这时闭区域D 可以用不等式0(),ρϕθαθβ≤≤≤≤ 来表示，而公式（5'）成为()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .Df f =⎰⎰⎰⎰βϕθαρθρθρρθθρθρθρρ如果积分区域D 如图8-18所示，极点在D 的内部， 则可以把它看作图8-17中当0α=，2πβ=时的特例， 这时闭区域D 可以用不等式0≤ρ≤(),0ϕθ≤θ≤2π 来表示，而公式（5'）成为2π()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d .Df f ϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰●●例6 计算二重积分22ln(1)d d Dx y x y ++⎰⎰，其中D 是单位圆域：221x y +≤． 解 采用极坐标222ln(1)d d ln(1)d d ,DDxy x y ρρρθ++=+⎰⎰⎰⎰原点在D 内部，故02πθ≤≤，而01ρ≤≤．故()2π122122100ln(1)d d d ln(1)d π[(1)ln(1)]2d π(2ln 21).Dρρρθθρρρρρρρ+=+=++-=-⎰⎰⎰⎰⎰●●例7 计算22e d d xyDx y --⎰⎰，其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域．解 在极坐标系中，闭区域D 可表示为0,02π.a ρθ≤≤≤≤ 由公式（4）及（5）有22222222π02π2π000e d d e d d d e d 11e d (1e )d π(1e ).22ax y DDaa a x y ρρρρρθθρρθθ-------==⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰本题如果用直角坐标计算，由于积分2e d x x -⎰不能用初等函数表示，所以算不出来．现在我们利用上面的结果来计算工程上常用的广义积分20e x dx +∞-⎰．设22212222{(,)|,0,0},{(,)|2,0,0},{(,)|0,0}.D x y x y R x y D x y x y R x y S x y x R y R =+≤≥≥=+≤≥≥=≤≤≤≤ 显然12D S D ⊂⊂（图8-19），由于22e 0x y -->，从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式22222212e d d e d d e d d .xy xy xy D S D x y x y x y ------<<⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （６）因为2222220e d d e d e d (e d ),RRRxy x y x Sx y x y x -----=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰由例７知2221πe d d (1e ),4x y R D x y ---=-⎰⎰ 22222πe d d (1e ),4x y R D x y ---=-⎰⎰ 于是不等式（６）可写成222220ππ(1e )(e d )(1e ).44R R x R x ----<<-⎰令R →+∞，上面两端趋于同一极限π4，从而 2πe d .x x +∞-=⎰ ●●例8 求球体22224x y z a ++≤被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积（图8-20）．解 由对称性，22244d d ,DV a x y x y =--⎰⎰其中D 为半圆周22y ax x =-及x 轴所围成的闭区域，在极坐标系中，闭区域D 可用不等式π02cos ,02a ρθθ≤≤≤≤来表示．于是π2cos 222220π3332044d d 4d 4d 3232π2(1sin )d ().3323a DV a a a a θρρρθθρρρθθ=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰习 题 8-21. 计算下列二重积分：(1) 22()d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)||| 1,|| 1}D x y x y =；(2) (32)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；(3)323(3)d D xx y y σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；（4） cos()d Dx x y σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域． 2. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1)d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区域；图8-20OyxzD2aOθxyaD2cos a ρθ=()b(2) 2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由圆周224xy +=及y 轴所围成的右半闭区域；(3) ed x yD σ+⎰⎰，其中{(,)||||| 1}D x y x y =+；(4)22()d Dxy x σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．3. 化二重积分(,)d DI f x y σ=⎰⎰为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域D 是：(1) 由直线y x =及抛物线24y x =所围成的闭区域；(2) 由x 轴及半圆周222(0)x y r y +=≥所围成的闭区域；(3) 由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x=>所围成的闭区域；(4) 环形闭区域22{(,)|14}x y x y ≤+≤． 4. 改换下列二次积分的积分次序： （1） 1d (,)d yy f x y x ⎰⎰ ；(2) 2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰ ； （3） 221101d (,)d y y y f x y x ---⎰⎰；(4)22212d (,)d x x xx f x y y --⎰⎰；（5）eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (6)πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰．5. 计算由四个平面0x =，0y =，1x =，1y =所围成柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体的体积．6. 求由曲面222z x y =+及2262z x y =--所围成的立体的体积．7. 画出积分区域，把积分(,)d Df x y σ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：(1) 222{(,)|}(0)x y x y a a +≤>； (2) 22{(,)|2}x y x y x +≤；(3) 2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤，其中0a b <<； (4) {(,)|0x y ≤y ≤1,0x -≤x ≤1}． 8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1) 110d (,)d x f x y y ⎰⎰ ； (2)230d (,)d xxx f x y y ⎰⎰；(3)21101d (,)d x xx f x y y --⎰⎰； (4)21d (,)d x x f x y y ⎰⎰．9. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： (1) 222220d ()d aax x x x y y -+⎰⎰； (2)2200d d axx x y y +⎰⎰；(3) 211222d ()d xxx x y y -+⎰⎰ ； (4) 22220d ()d aa y y x y x -+⎰⎰．10. 利用极坐标计算下列各题：(1) 22e d x y Dσ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域；(2) arctan d Dyx σ⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=，221x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限内的闭区域.11. 选用适当的坐标计算下列各题：(1) 22d D x y σ⎰⎰，其中D 是由直线2x =，y x =及曲线1xy =所围成的闭区域；(2) 22221d 1Dx y x yσ--++⎰⎰，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) 22()d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由直线y x =，y x a =+，y a =，3(0)y a a =>所围成的闭区域；(4) 22d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是圆环形闭区域2{(,)|x y a ≤22x y +≤2}b ．12. 求由平面0y =，(0)y kx k =>，0z =以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图8-21）．第三节 三重积分一、三重积分的概念定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.设(,,)f x y z 是空间有界闭区域Ω上的有界函数．将Ω任意分成n 个小闭区域，其12,,,,n v v v ∆∆∆中i v ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的体积，在每个i v ∆上任取一点(,,)i i i ξηζ，作乘积(,,)(1,2,,)i i i i f v i n ξηζ∆=，并作和1(,,)ni i i i i f v ξηζ=∆∑．如果当各小闭区域直径中的最大值λ趋于零时，这个和的极限总存在，则称此极限为函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上的三重积分，记作(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰，即1(,,)d lim (,,),ni i i i i f x y z v f v λξηζ→=Ω=∆∑⎰⎰⎰ （1）其中d v 叫做体积元素.在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分Ω，那么除了包含Ω的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域i v ∆为长方体．设长方体小闭区域i v ∆的长、宽、高为i x ∆，i y ∆，i z ∆，则i i i i v x y z ∆=∆∆∆，因此在直角坐标系中，有时也把体积元素d v 记作d d d x y z ，此时也把三重积分记作(,,)d d d ,f x y z x y z Ω⎰⎰⎰其中d d d x y z 叫做直角坐标系中的体积元素.当函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上连续时，（1）式右端的极限必定存在，也就是函数(,,)f x y z在闭区域Ω上的三重积分必定存在．以后我们总假定函数(,,)f x y z 在闭区域Ω上是连续的．关于二重积分的一些术语，例如被积函数、积分区域等，也可相应地用到三重积分上．三重积分的性质也与本章第一节中所叙述的二重积分的性质类似，这里不再重复了.如果用(,,)f x y z 表示某物体在点(,,)x y z 处的密度，Ω是该物体所占有的空间闭区域， 若(,,)f x y z 在Ω上连续，则1(,,)ni i i i i f v ξηζ=∆∑是该物体的质量M 的近似值，当0λ→时，这个和的极限就是该物体的质量M ，所以(,,)d .M f x y z v Ω=⎰⎰⎰如果(,,)1f x y z =时，用V 表示空间闭区域Ω的体积，则1d d .V v v ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、三重积分的计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算.下面在不同的坐标系下分别讨论将三重积分化为三次积分的方法，且只限于叙述方法.1.在直角坐标系中计算三重积分假设平行于z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域Ω的边界曲面相交不多于两点．把闭区域Ω投影到xOy 面上，得一平面闭区域xy D (图8-22)．以xy D 的边界为准线作母线平行于z 轴的柱面．这柱面与曲面S 的交线从S 中分出的上、下部分，它们的方程分别为11:(,),S z z x y =22:(,),S z z x y =其中1(,)z x y 与2(,)z x y 都是xy D 上的连续函数，且12(,)(,)z x y z x y ≤．过xy D 内任一点(,)x y 作平行于z 轴的直线，这直线通过曲面1S 穿入Ω内，然后通过曲面2S 穿出Ω外，穿入点与穿出点的竖坐标分别为1(,)z x y 与2(,)z x y ．在这种情形下，积分区域可表示为{}12(,,)|(,)(,),(,).xy x y z z x y z z x y x y D Ω=≤≤∈先将x ，y 看作定值，将(,,)f x y z 只看作z 的函数，在区间12[(,),(,)]z x y z x y 上对z 积分．积分的结果是x ，y 的函数，记为(,)F x y ，即21(,)(,)(,)(,,)d .z x y z x y F x y f x y z z =⎰然后计算(,)F x y 在闭区域xy D 上的二重积分21(,)(,)(,)d [(,,)d ]d .xyxyz x y z x y D D F x y f x y z z σσ=⎰⎰⎰⎰⎰假如闭区域{}12(,)|()(),,xy D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式:2211()(,)()(,)(,,)d d d (,,)d .by x z x y ay x z x y f x y z v x y f x y z z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）公式⑵把三重积分化为先对z 、次对y 、最后对x 的三次积分.如果平行于x 轴或y 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面S 相交不多于两点，也可把闭区域Ω投影到yOz 面上或xOz 面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分．如果平行于坐标轴且穿过闭区域Ω内部的直线与边界曲面S 的交点多于两个，也可像处理二重积分那样，把Ω分成若干部分，使Ω上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和．●●例1 计算三重积分d d d x x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域． 解 作闭区域Ω如图8-23所示.将Ω投影到xOy 面上，得投影区域xy D 为三角形闭区域OAB ．直线OA ，OB 及AB 的方程依次为0y =，0x =及21x y +=，所以1{(,)|0,01}.2xy xD x y y x -=≤≤≤≤ 在xy D 内任取一点(,)x y ，过此点作平行于z 轴的直线，该直线通过平面0z =穿入Ω内，然后通过平面12z x y =--穿出Ω外． 于是，由公式⑵得1112200011201230d d d d d d d (12)d 11(2)d .448x x yx x x y z x y x zx x x y y x x x x ---Ω-==--=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰有时，我们也可以把一个三重积分化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即有下述计算公式．设空间闭区域12{(,,)|(,),},z x y z x y D c z c Ω=∈≤≤其中z D 是竖标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域(图8-24)，则21(,,)d d (,,)d d .zc c D f x y z v z f x y z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）●●例2 计算三重积分2d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由椭球面2222221x y z a b c ++=所围成的空间闭区域.解 空间闭区域Ω可表为222222{(,,)|1,},x y z x y z c z c a b c+≤--≤≤如图8-25所示．由公式（3）得Oxyz (,,)M x y z zρθ()P ρ,θOxyzd θd ρd ρθd zρ图8-27图8-262222324d d d d d d π(1)d π.15zccc c D z z x y z z z x y ab z z abc c --Ω==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2.在柱面坐标系中计算三重积分设(,,)M x y z 为空间内一点，并设点M 在xOy 面上的投影P 的极坐标为(,)ρθ，则这样的数组,,z ρθ就叫做点M 的柱面坐标(图8-26)，这里规定,,z ρθ的变化范围为:0≤ρ,0<+∞≤θ≤2π,.z -∞<<+∞三组坐标面分别为ρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z 轴的半平面； z =常数，即与xOy 面平行的平面.显然，点M 的直角坐标与柱面坐标的关系为cos ,sin ,.x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩（4）现在要把三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰中的积分变量变换为柱面坐标．为此，用三组坐标面ρ=常数，θ=常数，z =常数， 把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界点的一些不规则小 闭区域外，这种小闭区域都是柱体．今考虑由,,z ρθ各取得微 小增量d ,d ,d z ρθ所成的柱体的体积(图8-27)．这个体积等于 高与底面积的乘积．现在高为d z 、底面积在不计高阶无穷小 时为d d ρρθ (即极坐标系中的面积元素)，于是得d d d d ,v z ρρθ=这就是柱面坐标系中的体积元素．再注意到关系式⑷，并设经变换后，Ω变为'Ω，得 (,,)d d d (,,)d d d ,f x y z x y z F z z ρθρρθ'ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （5）其中(,,)(cos ,sin ,)F z f z ρθρθρθ=．（５）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式．至于积分变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行．化为三次积分时，积分限是根据,,z ρθ在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明．●●例3 利用柱面坐标计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域.解 把闭区域Ω投影到xOy 面上，得半径为2的圆形闭区域{(,)|02,02π}xy D ρθρθ=≤≤≤≤.在xy D 内任取一点(,)ρθ，过该点作平行于z 轴的直线，此直线通过曲面22z x y =+穿入Ω内，然后通过平面4z =穿出Ω外．因此闭区域Ω可用不等式24,02,02πz ρρθ≤≤≤≤≤≤图8-28图8-30来表示．于是22π2422π2426000d d d d d d d d d 11164d (16)d 2π8π.2263z x y z z z z zρρρθθρρθρρρρρΩΩ==⎡⎤=-=⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.在球面坐标系中计算三重积分设(,,)M x y z 为空间内一点，则点M 也可用这样三个有 次序的数,,r ϕθ来确定，其中r 为原点O 与点M 间的距离，ϕ为有向线段OM 与z 轴正向所夹的角， θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段OP 的角，这里P 为点M在xOy 面上的投影(图8-28).这样的三个数,,r ϕθ叫做点M 的球面坐标，这里,,r ϕθ的变化范围为0≤r ,0<+∞≤ϕ≤π,0≤θ≤2π,三组坐标面分别为r =常数，即以原点为球心的球面； ϕ=常数，即以原点为顶点、z 轴为轴的圆锥面； θ=常数，即过z 轴的半平面.设点M 在xOy 面上的投影为P ，点P 在x 轴上的投影为A ，则OA x =，AP y =，PM z =.又sin ,cos .OP r z r ϕϕ==因此，点M 的直角坐标与球面坐标的关系为 cos sin cos ,sin sin sin ,cos .x OP r y OP r z r θϕθθϕθϕ==⎧⎪==⎨⎪=⎩（6） 为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐 标，用三组坐标面r =常数，ϕ=常数，θ=常数，把积分 区域Ω分成许多小闭区域.考虑由,,r ϕθ各取得微小增量 d ,d ,d r ϕθ所成的六面体的体积(图8-29).不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为d r ϕ ，纬线方向的宽为sin d r ϕθ，向径方向的高为d r ，于是得2d sin d d d ,v r r ϕϕθ=这就是球面坐标系中的体积元素.再注意到关系式（6）， 并把区域Ω在球坐标系下的区域记为'Ω，就有2(,,)d d d (,,)sin d d d ,f x y z x y z F r rr ϕθϕϕθ'ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （7）其中(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )F r f r r r ϕθϕθϕθϕ=.⑺式就 是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式. 要计算积分变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化r 、对ϕ及对θ的三次积分.若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，球面坐标方程为(,)r r ϕθ=，则。