第五章小结及例题概要
部编版高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ）A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20，所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2，如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点，因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO =5，所以r +r sin1=5，所以r =5sin11+sin1，故选：C.2、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（ ）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a 的最大值为π3. 故选：A.3、函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是（ ）A ．(0,0)B ．(0,−√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0) 答案：D分析：解方程2x −π3=kπ,k ∈Z 即得解.解：令2x −π3=kπ,k ∈Z,∴x =12kπ+π6， 令k =0,∴x =π6， 所以函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0).故选：D4、为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度 答案：D分析：根据三角函数图象的变换法则即可求出．因为y =2sin3x =2sin [3(x −π15)+π5]，所以把函数y =2sin (3x +π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y =2sin3x 的图象．故选：D.5、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ），则点P 第一次到达最高点需要的时间为（ ）s .A ．2B ．3C ．5D ．10答案：C分析：设点P 离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果. 设点P 离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt +φ)+2，依题意可得A =4，ω=8π60=2π15，φ=−π6， 所以ℎ(t)=4sin(2π15t −π6)+2， 令ℎ(t)=4sin(2π15t −π6)=6，得sin(2π15t −π6)=1，得2π15t −π6=2kπ+π2，k ∈Z ，得t =15k +5，k ∈Z ，因为点P 第一次到达最高点，所以0<t <2π2π15=15， 所以k =0,t =5s .故选：C6、已知sinθ=45，则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（ ） A ．−169B ．169C ．−43D ．43答案：B分析：由诱导公式和同角关系sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θcos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果.∵ sinθ=45， ∴ cos 2θ=1−sin 2θ=925则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=sinθ(−sinθ)(−cosθ)cosθ=sin 2θcos 2θ=169，故选：B.7、若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα，则tanα=（ ） A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153 答案：A分析：由二倍角公式可得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α，再结合已知可求得sinα=14，利用同角三角函数的基本关系即可求解.∵tan2α=cosα2−sinα ∴tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα， ∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin 2α=12−sinα，解得sinα=14，∴cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=√1515. 故选：A.小提示：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sinα.8、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3 答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y=2sin(x+π3)向左平移m(m>0)个单位长度得：y=2sin(x+m+π3)，∵y=2sin(x+m+π3)图象关于原点对称，∴m+π3=kπ(k∈Z)，解得：m=−π3+kπ(k∈Z)，又m>0，∴当k=1时，m取得最小值2π3.故选：D.多选题9、如图，正方形ABCD的长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为f(x)，则下列说法正确的是（）A．f(π4)=12B．f(x)在(π2,π)上为减函数C．f(x)+f(π−x)=4D．f(x)图象的对称轴是x=π2答案：AC分析：求出当0<tanx≤2时，函数f(x)的解析式，可判断A选项的正误；利用f(x)的单调性可判断B选项的正误；利用对称性可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.对于A选项，当0<tanx≤2时，设OP交AB于点E，tanx=tan∠AOE=|AE||OA|=|AE|，所以，f(x)=12|OA|⋅|AE|=12tanx，∵0<tanπ4≤2，∴f(π4)=12tanπ4=12，A选项正确；对于B选项，当x∈(π2,π)时，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即函数f(x)在(π2,π)上单调递增，B选项错误；对于C选项，取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD=x，所以，∠AOF=π−x，将射线OF绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S=f(x)，因为S+f(π−x)=4，即f(x)+f(π−x)=4，C选项正确；对于D选项，由C选项可知，f(x)+f(π−x)=4，则f(π4)+f(3π4)=4，所以，f(3π4)=4−f(π4)=72≠f(π4)，所以，函数f(x)的图象不关于直线x=π2对称，D选项错误.故选：AC.小提示：关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断问题，在判断函数f(x)的单调性时，需要充分利用f(x)的几何意义，结合面积的对称性来求解，另外在判断某些结论不成立时，可充分利用特殊值来进行否定.10、下列各式中值为12的是（）．A．2sin75°cos75°B．1−2sin25π12C．sin45°cos15°−cos45°sin15°D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°答案：AC分析：选项A利用二倍角的正弦求值；选项B利用二倍角的余弦求值；选项C逆用两角差的正弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值.因为2sin75°cos75°=sin (2×75°)=12，故选项A 正确； 因为1−2sin 25π12=cos (2×5π12)=−√32，故选项B 错误；因为sin45°cos15°−cos45°sin15°=sin (45°−15°)=12，故选项C 正确；因为1=tan (20°+25°)=tan20°+tan25°1−tan20°tan25°，整理得，tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1，故选项D 错误；故选：AC.11、已知函数f(x)=3sin(ωx +π3)(ω>0)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，则下列结论正确的是（ ） A ．f(x)的最小正周期为2πB ．f(x)的图象关于(−π6,0)对称C ．f(x)在(−5π12,π12)上单调递减D ．f(x)的图象关于直线x =7π12对称答案：BD 分析：先利用f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离和周期的关系求出ω值，再利用整体思想求其周期、单调性和对称轴.因为f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，所以T 4=π4，即T =π，即选项A 错误； 由T =2πω=π，得ω=2，即f(x)=3sin(2x +π3)， 因为f(−π6)=3sin(−π3+π3)=3sin0=0， 所以f(x)的图象关于(−π6,0)对称，即选项B 正确；当−5π12<x <π12时，则−π2<2x +π3<π2， 所以f(x)=3sin(2x +π3)在(−5π12,π12)上单调递增，即选项C 错误；因为f(7π12)=3sin(7π6+π3)=3sin 3π2=−3，所以f(x)的图象关于直线x=7π12对称，即选项D正确.故选:BD.填空题12、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若cosA(sinC−cosC)=cosB,a=2,c=√2，则角C大小为_____.答案：π6解析：根据三角形内角和以及诱导公式将B转化为A,C，利用两角和公式，可求出A，再用正弦定理，即可求解.因为cosA(sinC−cosC)=cosB,所以cosA(sinC−cosC)=−cos(A+C),所以cosAsinC=sinAsinC,所以sinC(cosA−sinA)=0,因为C∈(0,π),∴sinC≠0，所以cosA=sinA，则tanA=1，所以A=π4，又asinA =√2sinC，则sinC=12，因为c<a，所以0<C<π4，故C=π6.故答案为:π6.小提示：本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，属于基础题.13、已知sinα−3cosα=0，则sin2α+sin2α=__________.答案：32##1.5分析：首先根据同角三角函数的基本关系求出tanα，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；解：因为sinα−3cosα=0，所以tanα=sinαcosα=3，所以sin2α+sin2α=sin2α+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α+2tanαtan2α+1=32+2×332+1=32所以答案是：32。
2024年人教版七年级数学上册 第五章 小结与复习(课件)
√ ，④ 5x < 7，⑤ 3x - 2y = 2，⑥ x = 3，其中是一元一
次方程的有 ( D )
√
A. 5 个
B. 4 个
C. 3 个
D. 2 个
分析：② 等号右边不是整式；③ 未知数次数不为 1 ； ④ 不是等式；⑤ 含两个未知数.
练一练 1. 下列方程中，是一元一次方程的是 ( C ) A. = 2 B. x + 2 = y + 2 C. x - 1 = 2x D. x2 - 1 = 0
例3 (1)
解：去分母，得 2(2x - 1) - (10x + 1) = 12
去括号，得 4x - 2 - 10x - 1 = 12
移项，得 4x - 10x = 12 + 2 + 1 合并同类项，得 -6x = 15 系数化为 1，得 x = -2.5 .
(2)
分子分母同
解：
3x 5 3 5 4x
32 6
去分母，得
2(3x - 5) + 9 = 5 + 4x
时乘10，分 数大小不变
小数化分数
去括号，得
6x - 10 + 9 = 5 + 4x
移项，得 6x - 4x = 5 + 10 - 9
合并同类项，得 x = 3.
练一练 4. (高台县城关初级中学期末) 解方程：
(1) 3(1 - x) = 1 + 2x
二、等式的性质 1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或
式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± c ＝ b±c. 2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一 个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac
第5章 一元一次方程单元小结
本 章知 识 架 构
知识归类
一、认识一元一次方程 1.一元一次方程的概念 在一个方程中，只含有一__个__未__知__数___，并且未 知数的指数都是__1__，这样的整式方程叫做 一元一次方程．
2.方程的解的概念 使方程左、右两边的值相等 的未知数的
值，叫做方程的解．
3.等式的基本性质
性质 1：等式两边同时加上(或减
考点四 一元一次方程的应用 2016年里约奥运会，小李在网上预定了小组赛和淘汰 赛两个阶段的球票共10张，总价为5800元．其中小组赛 球票每张550元，淘汰赛球票每张700元，则小李预定了 小组赛和淘汰赛的球票各多少张？
解：设小李预定了小组赛球票x张，则淘汰赛球票 (10－x)张，
由题意得：550x＋700(10－x)＝5800， 解得x＝8，
[归纳总结] 一元一次方程的解法，主要依据等式的基本性
质，将方程进行变形，最后化为x＝a的形式，得到 方程的解．
解一元一次方程的一般步骤是(1)去分母；(2)去 括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1，
对其步骤不要死搬硬套，要根据各题特点采 用适当的步骤.
另外，去分母时，常数项也要乘各分母的最 小公倍数；分数线具有除号和括号的双重作用．
北师大版 数学七年级上册
中物理
第五章 一元一次方程
单元小结
学习目标
1．能说出本章的知识要点及其联系，体会方程是刻 画现实世界的有效数学模型； 2．通过解一元一次方程，能说出解一元一次方程的 一般步骤以及每一步的依据，发展有条理地思考与 表达的能力，提高运算能力； 3．会判断一个数是否是方程的解，能列方程解决实 际问题，会判断方程的解是否符合要求，体验数学 与生活的联系.
人教版七年级下册数学第五章归纳总结
人教版七年级下册数学第五章归纳总结5.1 相交线（一）邻补角与对顶角邻补角是互为补角的一种特殊情况：数量上互补，位置上有一条公共边。
（相邻的两个角并且互补→邻补角）一个角的邻补角有两个，一个角的补角可以有很多对顶角相等（二）垂线与垂线段垂线性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直垂线段直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线距离性质：点到直线，垂线段最短（三）同位角、内错角、同旁内角（两条直线被第三条直线所截构成的特殊位置关系的角）这三种角都是成对出现的，没有公共的顶点，但是却有公共的边，且公共边在截线上。
识别这三种角的时候要首先看这两个角是否在同一直线（截线）上，如果有，再根据角的位置关系判断同位角：形如字母“F”内错角：形如字母“Z”同旁内角：形如字母“U”教材P7 习题5.1 1 、P8习题5.1 5例1：如图所示，直线AB，CD 相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE=40°，求∠BOD 的度数____________例2：如图所示，直线AB，CD 相交于点O，∠DOE=∠BOD，OF 平分∠AOE，∠AOC=30°，求∠EOF的度数，判断OF与CD的位置关系例4：已知∠1与∠2 互余，∠2与∠3是邻补角，如果∠1=63°，那么∠3=_______ （2014河南中考）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数_________（2014?上海）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是__________5.2平行线及其判定（一）平行线在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（二）公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：平行的传递性（三）判定1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补，两直线平行（2013?扬州）下列图形中，由∠1=∠2 能得到AB//CD的是（）A B C D（2014年广东汕尾）如图，能判定EB∥AC的条件是（）A．∠C=∠ABE B．∠A=∠EBD C．∠C=∠ABC D. ∠A=∠ABE5.3平行线的性质（一）性质（学会运用符号语言∵∴）1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补（二）命题，定理，证明命题的组成：题设，结论；题设：已知的事项；结论：由已知项推到出来的事项表达形式：如果...那么...；分为真命题和假命题P20 1、P36 8（2）例1 如图所示，OP平分∠MON，A，B分别在OP，OM上，∠BOA=∠BAO，求证AB∥ON例2 如图所示，已知∠BAE+∠AED=180°，AM平分∠BAE，EN 平分∠AEC，求证：∠M=∠N（2015年浙江宁波4分）如图，直线a∥b，直线c分别与a，b 相交，∠1=50°，则∠2的度数为A. 150°B. 130°C. 100°D. 50°例3：如图所示，AC⊥AB，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，求证：AC⊥DG5.4 平移（一）概念定义：把一个图形整体沿一直线移动，得到新的图形，图形的这种移动，叫做平移要素：平移的方向，平移的距离性质：新图形与原图形形状大小完全相同，各组对应点的线段平行且相等（二）作图1、定：确定平移的方向和距离2、找：找出表示图形的关键点3、移：找出关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点4、连：按原图形顺序连接对应点P30 3（2015 黑龙江齐齐哈尔中考节选）如图所示，在边长为1和单位长度的小正方形网格中，画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A?B?C?。
新人教七年级数学下册_第五章_相交线与平行线_全章讲与练
第五章相交线与平行线第一节、知识梳理：相交线与平行线一、学习目标1.理解对顶角、邻补角的概念，掌握其性质，会用其性质进行有关推理和计算；2.掌握垂线、垂线段、点到直线的距离的概念；3.掌握“三线八角”的内容.二、学习重点与难点学习重点：1.邻补角、对顶角以及点到直线距离的概念；2.掌握两直线平行的三个判定方法.学习难点： 1.对顶角的性质、垂线性质；2.灵活运用平行线的判定方法来解题.三、知识概要1.要正确理解邻补角、对顶角的含义：（1）判断两个角是否是邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是公共边，另外两边是互为反向延长线；（2）邻补角是成对的，是具有特殊位置关系的两个互补的角；（3）判断两个角是否是对顶角，看这两个角是不是有公共顶点且有相同的邻补角，只有符合这两个条件时，才能确定这两个角是对顶角.2.垂线、垂线段和点到直线的距离是三个不同的概念，不要混淆：（1）两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在交角都为直角，垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼；（2）垂线是直线，垂线段是一条线段，是图形.（3）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说成垂线段是距离.3.两条直线的位置关系，是在两条直线在“同一平面内”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：一是相交（有一个公共点），二是平行（没有公共点）：（1）识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”，只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角；（2）判定两条直线平行时要正确判断出是什么角，什么关系，由此可以推出哪两条直线平行.四、知识链接1.本周相交线、平行线是以前学的直线的位置关系的延伸.2.通过内错角、同位角、同旁内角等角度的比较得到平行线.而由平行线又可得到下周的平行线性质.五、中考视点平行与相交线中的垂直是经常考的内容.一般考其基础知识，以填空选择为主.平行线的性质与平移一、学习目标1.掌握平行线的性质并会应用.2.理解命题并会判断.3.理解平移的定义并会应用平移的特征.二、知识概要1.平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.2.两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.对于这个概念，应注意三点：（1）两条直线必须是平行的；（2）第三条直线同时垂直于它们；（3）距离是线段的长度，是个具体的数，而不是线段这个图形.3.关于命题判断一件事情的语句叫做命题.每个命题都是由条件和结论两部分组成的.4.平移的概念在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动就称做为平移. 5.平移的基本特征平移的基本特征是：经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.三、重点难点学习重点：1.平行线的性质及其应用.2.平移的特征.学习难点：1.命题的判断.2.平移变换及其性质应用.四、知识链接平行线的性质与判定定理有互逆性，平移变换及性质是研究动态几何的基础内容之一.五、中考视点平行线的知识是每年必考的内容，在填空选择中经常直接考平行线的性质.在解答题中经常与其他知识联系，综合考查.平移知识也是考的比较多的内容，尤其是在做辅助线时经常用到.第二节、教材解读:理解“三线八角”当两条直线AB和CD被第三条直线EF所截（如图），可得到八个角.根据位置特征不同，把∠1和∠5、∠2和∠6、∠4和∠8、∠3和∠7这样的称作同位角；把∠4和∠6、∠3和∠5这样的称作内错角；把∠4和∠5、∠3和∠6这样的称作同旁内角.在数学中也常把与同位角、内错角、同旁内角相关的问题称作“三线八角”问题.1.所谓同位角也就是位置特征相同，如∠1和∠5同在“左上”（AB和CD左侧，EF上方）；∠2和∠6同在“左下”（AB和CD左侧，EF下方）；∠4和∠8同在“右上”（AB和CD右侧，EF上方）；∠3和∠7同在“右下”（AB和CD右侧，EF下方）.2.所谓内错角是指在两条被截直线之内，在第三条直线左右错开的位置的角，如∠4和∠6在AB和CD之内，而在EF左右两边错开的角；∠3和∠5在AB和CD之内，而在EF左右两边错开的角.3.所谓同旁内角是指在第三条直线同旁，而在两条被截直线之内的位置的角，如∠4和∠5同在EF 上边而在AB和CD之内；∠3和∠6同在EF 下边而在AB和CD之内.第三节、错解剖析【例1】填空：从直线外一点到这条直线的 ____，叫做点到直线的距离．错解：垂线段．【思考与分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，它是一个数量而不是图形．错误的原因是概念不清.正解：垂线段的长度．【例2】判断正误：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．错解：正确．【思考与分析】此题错在没有抓住对顶角概念的实质，出现了扩大概念实质和概念外延的错误，把一些不是对顶角的角看成了对顶角，如下图中∠1和∠2有公共顶点且没有公共边，但它们不是对顶角．错误的原因是概念不清.正解：如果一个角与另一个角有公共端点且两边分别是这个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角．【例3】如图，若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF.理由是什么？错解：等量代换．【思考与分析】上面的回答把相等和平行混为一谈，相等说的是两个量的大小关系，平行说的则是两条直线的位置关系，完全不是一码事，所以，平行线的传递性是不能用"等量代换"来表达的．错误的原因是位置关系和数量关系混淆正解：平行于同一条直线的两条直线平行．【例4】判断正误：同一平面内不相交的两条线是平行线．错解：正确.【思考与分析】平行线是讲同一平面内两条直线的位置关系.不相交的两条射线或线段有可能延长或反向延长后相交．错误的原因是没有分清“三线”的区别和联系.正解：同一平面内不相交的两条直线是平行线．【例5】判断正误：不相交的两条直线是平行线．错解：正确．【思考与分析】在同一平面内不相交的两条直线是平行线，但在空间里很容易找到不相交的两条直线，而且它们并不平行，错误的原因是思考不周.正解：在同一平面内不相交的两条直线是平行线．第四节、思维点拨【例1】已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，你能求出∠AOC的度数吗？【思考与分析】观察图形我们可知，∠AOE与∠BOE是邻补角，所以∠BOE的度数可求，又由OE是∠BOD的角平分线可求得∠BOD=2∠BOE，而∠AOC与∠BOD是对顶角，故∠AOC 可求.解：∵ AB是直线（已知），∴∠AOE与∠BOE 是邻补角（邻补角定义）.∴∠AOE+∠BOE=180°（补角定义）.又∠AOE=150°（已知），∴∠BOE=180°-∠AOE=180°－150°=30°（等式性质）.∵ OE平分∠BOD（已知），∴∠BOD=2∠BOE（角平分线定义）.即∠BOD=2×30°＝60°.∵∠AOC与∠BOD是对顶角（由图可知），∴∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）.∴∠AOC＝60°.反思：在思考过程中抓住角平分线DE与各个角的关系是解题的关键.【例2】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（）.A.∠2=45°B.∠1=∠3C.∠AOD与∠1互为补角D.∠1的余角等于75°30′思考与解: ∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°.∵OF平分∠AOE，∵∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3.∴B正确.∵∠AOD与∠1互为补角.∴C正确.∵∠1=15°30′，∴∠1的余角=90°-15°30′=74°30′.∴D不正确.故选D.【小结】我们在做这类选择题时，首先把题中条件与图形一一对应，然后看每个结论是否与条件冲突.【例3】已知，如图，直线AB、CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF＝32°，你能求出∠AOE的度数吗？【思考与分析】我们由AB⊥CD可知∠AOC＝90°，因此，∠AOE与∠EOC 互余.又因为∠EOC与∠DOF是对顶角，于是∠EOC=32°，于是∠AOE可求.解法一：∵直线CD与EF交于O（已知），∴∠EOC=∠DOF （对顶角相等）.∵∠DOF＝32°（已知），∴∠EOC=32°（等量代换）.∵AB、CD互相垂直（已知），∴∠AOC＝90°（垂直定义）.∴∠AOE+∠EOC=90°.∴∠AOE=90°-∠EOC=90°-32°=58°.解法二：∵直线AB、CD互相垂直（已知），∴∠BOD＝90°（垂直定义）.∴∠BOF+∠DOF=90°.∵∠DOF＝32°（已知），∴∠BOF=90°-∠DOF=58°.∵直线AB与直线EF交于点O（已知），∴∠AOE=∠BOF（对顶角相等）.∴∠AOE＝58°.反思：第一种解法先用对顶角后用互余，第二种解法先用互余后用对顶角，我们在平时做题时也应该多想多做，多角度分析解决问题.【例4】如图3，直线AB与CD相交于点F，EF⊥CD，则∠AFE与∠DFB之间的关系是______.【思考与分析】我们由所给的条件EF⊥CD，得∠CFE=90°，也就是说∠AFE＋∠AFC=90°，又根据对顶角相等，得∠AFC＝∠DFB，所以∠AFE＋∠DFB=90° .本题也可利用平角的定义来解，即由∠AFE＋∠DFB＋∠EFD=180°，又因为∠EFD=90°，所以∠AFE＋∠DFB=90°.解：∠AFE与∠DFB互为余角（或∠AFE＋∠DFB=90°）.【小结】这类题目的特点是有条件而无结论，要从所给的条件出发，通过分析、比较、猜想，寻找多种解法和结论，再进行说理证明.这类题目具有较强的探索性，思维空间较大且灵活，突破了死记概念的传统模式.【例5】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）对.A. 4对B. 8对C. 12对D. 16对【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例题】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是°.（2）已知：如图2，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P．你能说明∠P=90°吗？（3）如图3，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为 .【思考与解】（1）解法一：由题意我们知BD∥AC.所以∠ABD+∠BAC=180°.所以∠CBD=180°-50°-90°=40°.解法二：由题意我们知∠C=90°-∠A=90°-50°=40°.又因为BD∥AC. 所以∠CBD=∠C=40°.（2）因为AB∥CD.所以根据平行线的性质得：∠BEF+∠EFD=180°.又因为EP、FP分别平分∠BEF和∠EFD.所以∠P=180°-（∠1+∠2）= 180°-90°=90°.（3）因为AB∥CD. 所以∠BFE=∠C=75°.所以∠AFE=180°-∠BFE= 180°-75°=105°.所以∠E=180°-∠A-∠AFE=180°-25°-105°=50°反思：我们在做这类题的时候，一定要想是不是这样做最简单，是不是只有这一种解法？【例6】如图1，如果∠B＝∠1=∠2＝50°，那么∠D＝ .【思考与分析】我们通过观察图形，由∠B＝∠1=∠2＝50°可得AB∥DC、AD∥BC，再利用其性质同旁内角互补可得∠D的度数.解：因为∠B＝∠1，所以AB∥DC，所以∠B＋∠BCD=180°，∠BCD=130°.又因为∠B＝∠2，所以AD∥BC，所以∠BCD＋∠D=180°，∠D=50°.反思：我们解题时用的是同旁内角互补.还可以利用∠D＝∠1＝∠B＝50°.也可以利用∠D＝∠2＝∠B＝50°.大家可以试一试.【例7】如图2，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4＝125°，则∠3＝ .思考与解：因为∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，所以∠1＋∠2＝180°.所以l1∥l2.所以∠3＝∠5＝180°－∠4＝55°.反思：我们难以理解的是为什么∠1＋∠2＝180°？我们可由题意列式∠1＋∠3＝90°，90°－∠3＋∠2＝180°.两个式子相加可得∠1＋∠2＝180°.在解决有关平行问题的时候，有时需要添加必要的辅助线，而添加平行线作为辅助线，更是解决此类问题好的帮手.下面举几例说明.【例8】如图1所示，直线a∥b，∠ACF＝50°，∠ABE＝28°，求∠A的大小.【思考与分析】要求∠A的大小，关键是确定辅助线的位置.于是我们会想到过点A作AD∥b，这样利用平行线的知识即可求解.解：过点A作AD∥b，则∠DAC＝∠ACF＝50°.又因为a∥b，所以AD∥a.所以∠DAB＝∠ABE＝28°.所以∠BAC＝∠DAC－∠DAB＝50°－28°＝22°，即∠A的大小是22°.反思：在解题时我们做AD∥b，那么是不是必须要做辅助线呢？我们继续思考：∠A在△ABG中，∠ABE也在△ABG中且等于28°，那么只要求出∠AGB的度数，就可求∠A的度数.【例9】如图2，AB∥CD，EO与FO相交于点O，试猜想∠AEO、∠EOF、∠CFO之间的关系，并说明理由.【思考与分析】由于∠BEO、∠EOF、∠DFO三个角的位置较散，设法通过辅助线使之相对集中，我们可以考虑AB∥CD，可以过点O作MN∥AB，这样即可找到三个角之间的关系了.由此猜想∠AEO+∠CFO+∠EOF=360°.解：过点O作MN∥AB.因为AB∥CD，所以CD∥MN.所以∠AEO+∠EOM=180°，∠MOF+∠CFO=180°.所以∠AEO+∠CFO+∠EOF=∠AEO+∠EOM＋∠MOF+∠CFO＝180°＋180°＝360°.反思：我们解这道题是用的两组同旁内角之和.其实我们还可以连结EF，正好把这三个角分成一组同旁内角和一个三角形的三个内角.由同旁内角和三角形内角和可得出同样的结论.【例10】如图3，已知AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D.试探索β与2α的数量关系，并说明你的理由.【思考与分析】我们由已知条件AB∥ED可知α＝∠A+∠E＝180°，于是只需知道β＝∠B+∠C+∠D的大小即可探索出β与2α的数量关系.此时可以过点C作CF∥AB，从而求出β＝∠B+∠C+∠D＝360°，即有β＝2α.解：猜想β＝2α.理由是：过C作CF∥AB，因为 AB∥ED，所以∠α＝∠A+∠E＝180°.又因为AB∥ED，所以CF∥DE，即（∠B+∠1）+（∠2+∠D）＝360°.故β＝2α.【小结】这道题的思路与我们做的上题是相同的，也可以连结BD来解.第五节、竞赛数学在竞赛试题中，平行和垂直是做为基础知识应用在一些综合性的题目之中，单独出题的情况很少，但当平行和垂直的性质与实际情况结合时，往往也会被做为新题型来考查.【例1】请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点个数.【思考与分析】本题有多种分类，如以两条直线的位置关系分类，再考虑第三条直线的位置；又如以三条直线交点的个数分类等.下面我们就第二种分类加以说明.解：（1）如图1，三条直线互相平行，此时交点个数为0；（2）如图2，三条直线相交于同一点，此时交点个数为1；（3）如图3，三条直线两两相交且不交于同一点，此时交点个数为3；（4）如图4，其中两条直线平行，都与第三条直线相交，此时交点个数为2.综上所述，平面内三条直线的交点个数为0或1或2或3个.（如果按第一种情况进行分类研究，又该如何呢？请大家思考一下.）反思：求解中（2）、（3）两种情况称为三条直线两两相交.当题目中图形不全或不确定时，我们一定要注意分类.【例2】（1）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法.（2）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.【思考与分析】“6条直线相交且任意3条都不共点”，要解决这个问题，我们可以首先画出两条相交直线，这样可以发现若不出现3条直线共点可以出现平行线.对于（2）中所求，可以根据（1）得到的结论先对其进行推理，不要盲目的画图.解：（1）在平面上任取一点A，过A作两直线m1与n1.在n1 上取两点B、C，在m1上取两点D、G.过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四点，如图所示.由于彼此平行的直线不相交，所以，图中每条直线都恰与另3条直线相交.（2）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其它3条相交，因两直线相交只有一个交点，又因没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.根据直线去数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为因为这与交点个数应为整数矛盾.所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的.反思：本题在说明理由时应用了假设法.利用假设推导出结果是否与题中条件冲突.这与我们以后要学的反证法相类似.【例3】平行直线AB和CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）对.A. 4对B. 8对C. 12对D. 16对【思考与解】我们可将原图分解为八个“三线八角”即“直线AB和CD 被直线EF所截”、“直线AB和CD 被直线GH所截”、“直线EF和GH被直线AB所截”、“直线EF和GH被直线CD所截”、“直线AB和EF被直线GH所截”、“直线EF和CD 被直线GH所截”、“直线AB和GH被直线EF所截”、“直线GH和CD 被直线EF所截”.每一个“三线八角”都有两对同旁内角，故原图中共有16对，因此选择D.【小结】解这类问题，关键是如何用图形分解法把图形分成若干个“三线八角”.【例4】有10条公路（假设公路是笔直的，并且可以无限延伸），无任何三条公路交于同一个岔口，现有31名交警，刚好满足每个岔口有且只有一名交警执勤，请你画出公路示意图.【思考与解】我们可以把公路想象成直线，岔口想象成交点，由警察的人数及题意可知，10条直线刚好有31个交点.根据前面所学知识，平面上的10条直线，若两两相交，最多出现45个交点，现在只要求出现31个交点，就要减去14个交点，这种情况下，通常采取两种办法：（1）多条直线共点；（2）出现平行线.根据题意，方法（1）不能实现，所以想到使用平行线.在某一方向上有5 条直线互相平行，则减少10个交点，若6条直线平行，则可减少15个交点，所以这个方向上最多可取5条平行线，这时还有4个点要去掉，换一个方向取3条平行线，即可再减少3个交点，这时还剩下2条直线与1个要减去的点，只须让其在第三个方向上互相平行即可，如图所示：【小结】本题考查我们对知识的综合应用能力，在做题时，要牢牢把握平行线的性质，与图形结合，从简单的图形推理找出问题的入手点.【例5】把正方形ABCD边AD平移得到EF，作出平移后的正方形能有几种作法？【思考与分析】据题意，平移是指正方形整体平移，只有一个.我们根据以前学过的作图方法和本周学的平移作图，作法有如下几个：作法1：过E作EF的垂线，截取EG＝EF，过G点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接FH就得到平移后的正方形.如图（1）.作法2：过E、F分别作EF的垂线，截取EG＝EF，FH＝EF（注意截取方向），连接GH，就得到平移后的正方形.如图（1）.作法3：过F作EF的垂线，截取FH＝EF，过H点作EF的平行线，截取GH＝EF（注意截取方向），连接EG就得到平移后的正方形.如图（1）.作法４：过E作AC的平行线，过F作BD的平行线，截取EH=AC，FG=BD（注意截取方向）.连接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.如图（2）.作法5：连接EA，FD，过B点作EA的平行线，过C作FD的平行线.截取BG=EA，CH=FD （注意截取方向）.如图（3）.连接EG，GH，HF，就得到平移后的正方形.【小结】平移变换不改变图形的形状、大小和方向.连结对应点的线段平行且相等.要描述一个平移变换，必须指出平移的方向和移动的距离．【例6】电脑游戏上有一种俄罗斯方块的游戏，游戏规则：在所给各种各样的方块中，通过平移、旋转的方式，罗列方块使之排满每一横行，每排满一行，便消去一行，得100分，依次类推（本题特殊规定，只准平移），小方块在屏幕顶端居中出现（奇数列时居中偏左）．现在电脑屏幕上显示（如图所示）.（1）若按规定，想得分，甲方块需要怎样平移，才可能直接得分或为以后打下得分基础？乙方块呢？（2）若你把甲方块放到左侧，发现屏幕已暗示出丙方块为形状，在这种情况下，丙方块只需如何移动，便可得多少分？（注：屏幕上一共有10行10列）【思考与分析】第（1）题观察甲方块与底部方块的特点，我们可得出平移方式.第（2）题将丙方块通过平移嵌入空隙之中，即可得分.解：（1）甲方块可左移3个单位，下移7个单位放到屏幕左侧；乙方块需向右平移3个单位，下移8个单位，放到屏幕右侧.（可用其他平移方式）（2）丙方块下移7个单位，便可排满2行，得200分.【小结】解本题的关键是将各个方块通过平移嵌成一个长方形，需根据方块和现有图形选择合理的平移方式.【例7】如图1，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系又是如何？【思考与分析】若P点在C、D之间运动时，我们只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC+∠PBD；若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则可以分为如图2和如图3两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD －∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.解：若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：如图1，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：（1）如图2，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠BPE-∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.（2）如图3，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又因为l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB＝∠APE-∠BPE，即∠APB ＝∠PAC-∠PBD.【小结】我们做这类题的时候可以发现：点的移动带动角的位置变化，角的位置变化决定了角之间的关系.因此我们可以利用分类思想来分析题意，解决多种情况的讨论.第六节、本章训练基础训练题一、选择题（每题5分，共35分）1.两条平行线被第三条直线所截，那么一组同位角的平分线的关系是（）.A.互相垂直B.互相平行C.相交但不垂直D.不能确定2.下列说法正确的是（）.A.相等的角是对顶角B.两直线平行，同位角相等C.同旁内角互补D.两直线平行，同位角互补3.如图1所示，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝72°，∠ACB＝40°，那么∠BDC等于（）.A.78°B.90°C.88°D.92°4.下列说法：①两条直线平行，同旁内角互补；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④垂直于同一直线的两直线平行，其中是平行线的性质的是（）.A.①B.②和③C.④D.①和④5.船向北偏东50°方向航行到某地后，依原航线返回，船返回时方向应该是（）A.南偏西40°B.北偏西50°C.北偏西40°D.南偏西50°6.线段AB是由线段CD经过平移得到的，那么线段AC与BD的关系为（）.A.平行B.相交C.相等D.平行且相等7.如果两个角有一条边在同一条直线上，而另一条边互相平行，那么这两个角的关系是（）.A.相等B.互补C.相等或互补D.没有关系二、填空题（每题5分，共35分）8. a∥b，a∥c则_______∥_______，根据______.9.经过平移后的图形与原来图形的______.和______.分别相等，图形的______.和______.没有发生改变.10.在同一平面上，如果AB⊥EF，AC⊥EF，那么点C与直线AB的位置关系是______.11.把△ABC向右平移4cm得△A1B1C1，再把△A1B1C1向下平移3cm得△A2B2C2，若把△A2B2C2看成是由△ABC经一次平移得到的，请量一量，其平移的距离是______.cm.12.船的航向从正北方向依逆时针方向驶向西南方向，它转了_____度.13.已知梯形ABCD，AD∥BC，BC＝6，AD＝3，AB＝4，CD＝2，AB平移后到DE处，则△CDE的周长是_____14.如果△ABC经过平移后得到△DEF，若∠A＝41°，∠C＝32°，EF＝3cm，则∠E＝______，BC＝ ______ cm三、解答题（每题10分，共30分）15.如图，AC⊥AB，∠1=30°，∠B＝60°，（1）你能确定AD与BC平行吗?（2）能确定AB平行于CD吗?16.如图，AD平分∠EAC，AD∥BC，你能确定∠B与∠C的数量关系吗?17.如图所示，AB∥CD,AD∥BC，∠A的2倍与∠C的3倍互补，求∠A和∠D的度数.答案一、 1.B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.D 7.C二、 8. b，c，平行于同一条直线的两条直线平行9. 对应角、对应边，形状、大小10. 在直线AB上11. 512. 13513. 914. 107°，3三、15.【思考与分析】通过观察图形并结合题中条件我们可以得到：∠ACB=180°-∠BAC －∠ABC＝180°－90°－60°＝30°.由此可得AD∥BC.但是由题中条件我们求不出∠D或者∠ACD，因此不能判定AB与CD是否平行.解：（1）因为∠BAC=90°，∠B＝60°，且∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°，所以∠ACB=180°－∠BAC－∠B＝180°－90°－60°＝30°.所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.（2）不能确定.因为求不出∠D或者∠ACD，找不到两直线平行的判定条件，所以AB与CD不一定平行.16.【解题思路】我们通过观察图形并结合题中条件可知，要想知道∠B与∠C的数量关系，就得利用AD∥BC，从而得到∠B＝∠1，∠C＝∠2.只要∠1＝∠2，那么∠B＝∠C.而题中给出了AD平分∠EAC，正好得到∠1＝∠2！解：因为AD∥BC，所以∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等）.所以∠C＝∠2（两直线平行，内错角相等）.又因为AD平分∠EAC，所以∠1＝∠2.所以∠B＝∠C.17.【思考与分析】经过仔细分析我们可知，题目要求∠A和∠D的度数，而条件只给出了∠A和∠C的关系.因此，分清∠A、∠C和∠D三者之间的关系是解题的关键.解：因为AB∥CD，所以∠A＋∠D＝180°.所以∠A＝180°－∠D.因为AD∥BC，所以∠C＋∠D＝180°.所以∠C＝180°－∠D.所以∠A＝∠C.再由2∠A＋3∠C＝180°解得∠A＝∠C＝36°.所以∠D＝144°.提高训练题一、填空题1. 直线l1，l2在同一平面内不相交，则它们的位置关系是.2. 若直线l1// l2，l2// l3，则 ____ // ____，其理由是.3. 若直线l1//l2，一条射线与l1有交点，那么这条射线与l2的位置关系是___________ .二、选择题1. 下列哪种情况，直线l1和l2不一定是平行线（）A. l1和l2是不相交的两条直线B. l1和l2都平行于直线l3C. 在同一平面内l1和l2没有一个公共点D. 在同一平面内，l1⊥l3，l2⊥l32. 若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（）A. 40°B. 140°C. 40°或140°D. 不确定3. 下列说法正确的是（）A.若两个角相等,则这两个角是对顶角B.若两个角是对顶角,则这两个角是相等C.若两个角不是对顶角,则这两个角不相等D.所有的对顶角相等三、解答题1. 如图，已知三角形ABC，分别过A，B，C三点作它们的对边BC，CA，AB的平行线.。
第五章_小结与复习(新版人教版)
7、已知∠AOB和OB上一点P，过点 P分别画OA、OB的垂线。 A A P
O
P 画垂线的关键:(1)经过哪一点； (2)与哪一条线垂直。
B
B
O
知识及运用
8、分别过点A、B、C画对边BC、 AC、 AB的垂线，垂足分别为D、E、F。 A C B
知识及运用
9、直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB 于点O ，且∠COE= 5∠EOD，求 ∠COB的度数。 E D ∵ OE⊥AB(已知) ∴ ∠AOE=90° (垂直定义) A C
知识及运用
12、(1)小勇准备在C处牵牛到河边AB 饮水，请你画出最短线路； (2)若他要到D处，线路又怎样？
A C
BA C
B D
知识及运用
2、“过一点有且只有一条直线与已 知直线平行”这句话对吗？为什么？
P
l 直线外一点 P l
知识及运用
3、如图，AB∥CD，EF分别交AB、 CD于M、N，∠EMB=50°，MG平 分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的 E 度数。 M ∵ MG平分∠BMF( 已知) A B 1 ∴ ∠BMG= ∠BMF 2 (角平分线定义) 1 C D N G F
知识梳理
（5）什么是命题？如何判断一个命题是真 命题还是假命题？请结合具体例子说明． （6）图形平移时，连接各对应点的线段有 什么关系？
体系建构
问题 2 请同学们整理一下本章所学的主要 知识，您能发现它们之间的联系吗？你能 画出一个本章的知识结构图吗？
体系建构
知识及运用
1、平面内两条直线的位置关系 是 。 m n
O 相交 平行 a b
知识及运用
2、“同一平面内两条直线的位置关 系有相交、垂直、平行三种。”这 句话对吗？为什么？ a m
人教版七年级下册数学第五章 小结与复习课件
.相交时形成了两对对顶角和四对邻补角.其中垂直是
相交的特殊情况，它将一个周角分成了四个直角.
【迁移应用1】如图,AB,CD,EF相交于点O,
∠AOC=70°,OF平分∠COB,求∠COE的度数.
答案：∠COE=125°.
F B
C
O
D
A E
专题二 点到直线的距离
【例2】如图，AD为三角形ABC的高，能表示点到直
【例5】如图所示，l1,l2,l3 交于点O,∠1=∠2,∠3∶∠1 =8∶1,求∠4的度数.
解：设∠1的度数为x°,则∠2的度数为x°,
∠3的度数为8x°. 根据题意可得x°+x°+8x°=180°, 解得x=18.即∠1=∠2=18°.
l1
3
2 1
4O
l2
l3
而∠4=∠1+∠2（对顶角相等）,
故∠4=36°.
A
B
F Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图2
E D
D
5. 如图,直线AB、CD相交于O,∠AOC=80°,∠1=30°，
求∠2的度数.
答案：50°.
A
D
)1 O )2 E C
B
6. 如图,已知∠AEM＝∠DGN,则你能说明AB平行于CD吗？
M
解：∵∠AEM＝∠DGN,
A
E
B ∠CGM＝∠DGN（对顶
角相等）,
G
∴∠AEM＝∠CGM.
【归纳拓展】利用方程解决问题,是几何与代数知识相 结合的一种体现,它可以使解题思路清晰,过程简便.在 有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛.
【迁移应用5】如图所示，直线AB与CD相交于点O,
∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD的度数.
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第五章相交线与平行线1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角，互为_____________。
2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,具有这种关系的两个角，互为__________.对顶角的性质：______ _________.3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______。
垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直。
⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________.4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________.5.两条直线被第三条直线所截,构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.6.在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种。
005第五章-非线性电路分析方法与混频器-2010概要
✓ 非线性元件的频率变换作用 ✓ 正弦波通过线性电阻 ✓ 正弦波通过具有平方率特性的非线性电阻
✓ 非线性元件不满足叠加原理
非线性元件的工作特征
线性电阻的伏安 特性曲线
半导体二极管的伏安 特性曲线
cos(n
2k)1t...........n为偶数
c osn
1t
1
2n
1 (n1)
2
k0
Cnk
cos(n
2k)1t................n. 为奇数
三角积化和差公式：
cos1t
cos2t
1 2
cos(1
2
)t
1 2
cos(1
2
)t
i 中含有的频率成分：p,q p q0 p, q 0, 1, 2,，
v o Kv1v 2
（3）开关函数分析法
大小两个信号同时作用于非线性元件时 的原理性电路
id
rd
1 RL
S (t )(v1
v2)
S (t)
1 2
2
cos2t
2
3
cos 32t
2(1)n1
(2n 1)
cos(2n
1)2t
开关的控制信号及其开关函数
a0
a2 2
(V1m 2
V2m2 )
a1V2m
已知振荡电压 v0 =V0cosω0t
f (VQ v 0 ) Ic0 Icm1 cos0t Icm2 cos20t Icmn cosn0t
t
vs
VBB
5.3.3 晶体管混频器的分析
第5章：职业决策与行动概要
人生有三怕：
一是事业关 二是婚姻关 三是健康关
2018/10/25
→一怕入错行 →二怕娶错妻嫁错郎 →三怕家里变药房
4
千万次地问？？？？？
“我们的专业好不好?”
“好不好就业?”
“工作后一个月能拿多少钱?”
2018/10/25
5
反问大家: ◆你知道自己想干什么？能干什么？适合干什么？ ◆知道社会需要什么样的大学生吗？ ◆我们对所学专业了解多少？ ◆现在该做些什么？ ◆毕业后选择就业、创业、考研或者出国？
不确定的决策：对于各种选择会产生什么样的 后果几乎完全不清楚。
2018/10/25 11
决策的风险与责任
最佳的战略决策只能是近似合理的，而且总是带有风险的。 [美]彼得•德鲁克 拍脑袋决策，拍胸脯投钱，结果多半是拍屁股滚蛋。 郭梓林 风险来自你不知道自己正在做什么! [美]沃伦· 巴菲特 如果员工不愿意犯错误，那么他们永远不可能做出正确的决策。如 果他们总是犯错误，你就应该让他们去为你的竞争对手工作。 花旗集团经营格言
风 险
笑，有被人视为傻瓜的风险。 哭，有被人视为伤感的风险。 求助他人，与人纠缠不清的风险。 感情外露，暴露本性的风险。 当众袒露思想和梦想，为人所不理解的风险。
爱，不被对方所爱的风险。
活着，死去的风险。 希望，绝望的风险。 尝试，失败的风险。
2018/10/25 13
（三）什么是职业决策
职业决策是指个体对自己将要从事的职业作 出的选择，它综合了个人对自我的认识以及对教
2018/10/25 16
（六）影响职业决策的因素
心理特征
个人背景 即时 状态
家庭和成长 环境因素
决策 时的
内在（个 人）因素
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最优分配负荷的目的在于:在供应同样大小负荷 有功功率的前提下，单位时间内能源消耗最少。 目标函数
F F1 ( PG1 ) F2 ( PG 2 ) Fn ( PGn ) Fi ( PGi ) i 1
这里的约束条件也就是有功功率必须保持平衡 的条件。就整个系统而言
n
(P
解:(1)平均分配时 PG1=PG2=500/2=250MW; F1=4+0.2×250+0.0005×2502=85.25(t/h); F2=3+0.25×250+0.0006×2502=103(t/h); 燃料总耗量:F总=F1+F2=85.25+103=188.25(t/h)
(2)按等耗量微增率准则分配时
答：互联成网的交流电力系统在稳 态运行方式下具有同一频率，当系统 中出现有功功率不平衡时，如有功功 率电源不足或负荷增大时，将会引起 频率下降，反之将造成系统频率过高。
系统设置有功功率备用容量是为 了满足频率调整的需要，以便在发 电、供电设备发生故障或检修时， 以及系统负荷增长后，仍有充足的 发电设备容量向用户供电，保证电 力系统在额定频率下达到有功平衡。
5.比耗量与耗量微增律
比耗量是指耗量特性曲线上某一点纵坐标和 横坐标的比值，即原点和耗量特性曲线上某 一点切线的斜率。 耗量微增率是单位时间内输入能量增量和输 出功率增量的比值，是耗量特性曲线上某一 点切线的斜率。 比耗量和耗量微增率通常有相同的单位，却 是两个不同的概念。而且，它们的数值一般 也不相等。
12.调频厂的选择
从可调容量和调整速度这两个对调 频厂的基本要求出发，系统中有水 电厂时，一般应选水电厂作调频厂； 没有水电厂或水电厂不宜承担调频 任务时，例如洪水季节，则选中温 中压火电厂。选择水电厂作调频厂 经济上也较合理。
习题1：电力系统有功功率的平衡对 频率有什么影响？系统为什么要设置 有功功率备用容量？
4.各类发电厂承担负荷的顺序
枯水季节各类发电厂承担负荷的顺序大 致排列如下：①无调节水电厂；②有调节 水电厂的强迫功率；③热电厂的强迫功率 ④原子能电厂；⑤燃料劣质，当地燃料火 电厂；⑥热电厂的可调功率；⑦高温高压 火电厂；⑧中温中压火电厂；⑨低温低压 火电厂；⑩有调节水电厂的可调功率。风 水季节和枯水季节的不同在于这时有调节 水电厂的可调功率往往也归入强迫功率成 为不可调功率。
答：负荷变化引起频率偏差时，系 统中凡装有调速器又留有可调容量 的发电机组都自动参加频率调整， 这就是电力系统频率的一次调整。 电力系统频率的一次调整只能做到 有差调节。
习题6：电力系统频率的二次调整是指 什么？如何才能做到频率的无差调节？
答：电力系统频率的二次调整由主 调频厂承担，调频机组通过调频器 调整机组的有功功率—频率静态特 性，改变机组的有功功率输出，以 承担系统变化的负荷，从而实现无 差调节。
这种负荷变动基本上是可以预计的。简 而言之，电力系统中负荷变动的幅度越 大，周期也就越长。有鉴于此，电力系 统有功功率和负荷调整大体上也可分为 一次，二次，三次三种调整：一次调整 指的是由发电机组的调速器进行的对第 一种负荷变动引起的频率偏移的调整； 二次调整指由发电机的调频器进行的对 第二种负荷变动引起的频率偏移的调整;
习题4：什么叫调差系数？它与发电机 单位调节功率的标幺值有什么关系？ 答：机组的调差系数是以百分数表 示的机组空载运行时的频率f0与额 定条件下运行时的频率fN的差值， 即δ(%)=(f0- fN)/ fN×100%。它与发 电机单位调节功率的标幺值成倒数 关系。
习题5：电力系统频率的一次调整指的 是什么？能否做到频率的无差调节？
习题3：何为发电机组的有功功率—频 率静态特性？发电机的单位调节功率是 什么？KG的大小与哪些因素有关？ 答：发电机组输出的有功功率与系 统频率的关系叫做发电机组的有功 功率—频率静态特性。发电机单位 调节功率KG表示当频率下降1Hz时 发电机增发或减发的功率值，其大 小可以整定，与调差系数有关。
PGi min PGi PGi max
QGi min QGi QGi max (i 1， 2.，n) U i min U i U i max
7.负荷在水火电厂最优分配时的目标 函数
负荷在水火电厂最优分配时的目 标函数不再是单位时间内消耗的能源， 而应是一段时间内消耗的能源，即
习题2：何为电力系统负荷的有功功 率—频率静态特性？何为有功功率负 荷的频率调节效应？KL的大小与哪些 因素有关？ 答：当电力系统稳态运行时，系统 中有功负荷随频率变化的特性即为符 负荷的有功功率—频率静态特性。 当系统中有功功率失去平衡而引起 频率变化时，系统负荷也参与对频率
的调节（当频率下降时，负荷功率将 减少，反之负荷功率将增加），这种 特性有助于系统中有功功率在新的频 率值下重新获得平衡，这种现象称为 负荷的频率调节效应。 KL的大小与系统中各类负荷所占 的比例有关。
燃料总耗量:F总’=F1’+F2’ =107.41+79.25 =186.66(t/h)
习题9：某电力系统的装机容量为 2000MW,额定频率为50Hz,发电机单 位调节功率为KG*=30，负荷的单位调 节功率为KL*=1.5，现在负荷增加，若 调频器不动作，频率下降0.2Hz；若 调频器动作，增发100MW 功率，问 频率下降多少？（ KG*、KL*均以 2000MW,50Hz为基准）
第四章
电力系统有功功率平衡与频率调整
1.电力系统有功功率和负荷调整
系统中负荷无时无刻不在变动。分析 负荷变动规律可见，它实际上是几种负荷 变动规律的综合。或者反过来说，可将这 种不规则负荷变动规律分解为几种有规律 可循的负荷变动。一般可分解为三种：第 一种幅度很小，周期很短，这种负荷变动 有很大的偶然性；第二种幅度较大，周期 也较长；第三种幅度最大，周期也最长，
只要将水力发电的水耗量微增率乘以 一个待定的拉格朗日乘数γ，就可将指 导火力发电厂之间负荷最优分配的等 耗量微增率准则推广运用于火力发电 厂与水力发电厂之间负荷的最优分配。
9.系统单位调节功率KS
系统的单位调节功率KS以MW/Hz 或MW/0.1HZ为单位。系统的单位调 节功率也可以标幺值表示。以标幺值 表示的基准功率通常就取系统原始状 况下的总负荷。系统的单位调节功率 标志了系统负荷增加或减少时，在原 动机调速器和负荷本身的调节效应共 同作用下系统频率下降或上升的多寡。
6.负荷在已运行发电设备或发电厂 之间的最优分配
明确了有功功率负荷的大小和耗量特 性，在系统中有一定备用容量时，就可考 虑这些负荷在已运行发电设备或发电厂之 间的最优分配问题。这问题实际上属非线 性规划范畴，在数学上，其性质是在一定 得约束条件下，使某一目标函数为最优， 而这些约束条件和目标函数都是各种变 量——状态变量、控制变量、扰动变量的 非线性函数。
解：
2000 2000 K G K G* 30 1200 ( MW / Hz) 50 50 2000 2000 K L K L* 1.5 60( MW / Hz) 50 50 K S K G K L 1200 60 1260 ( MW / Hz)
系统中备用容量就是系统的电源容量大于 发电负荷的部分。一般要求备用容量为最大 发电负荷的15%~20%。备用容量按容量的存 在形式可分为两种：①热备用，指运行中的 发电设备可能发出的最大功率与系统发电负 荷的差，又称其为旋转备用或运转备用；② 冷备用，指未运转的发电设备可能发出的最 大功率，检修中的发电设备不属于冷备用。 备用容量按用途可分为以下四种: ① 负荷备用 ②事故备用③检修备用④国民经济备用。
iபைடு நூலகம்1
n
Gi
) PLi P 0 i 1
n
式中 P ——网络总损耗。
在不记网损时，上式可改写为
P
i 1
n
Gi
PLi 0
i 1
n
负荷最优分配时的不等式约束条件 有三，分别为各节点发电设备有功功率 PGi、无功功率QGi和电压Ui，且其大小 不得逾越限额，即
F Fi ( PGi )dt i 1
0
m
W ( P ) 定值 ( j m 1 ， m 2 , , n ) j Gj
0
而等式约束条件有功功率保持平衡外， 还应增加
式中，1，2，…，m为火力发电设备， m+1，m+2，…，n为水力发电设备。
8.等耗量微增率准则的推广
根据不同的周期，负荷预测分为 以下几种：①日负荷预测；②周负荷 预测；③年负荷预侧；④长期负荷预 测；⑤短期负荷预测；⑥超短期负荷 预测。任何一种负荷预测，都是以历 史资料为依据，采用统计方法，找出 负荷变化的规律，同时根据一些特殊 因素加以适当修正，就可获得未来时 段的负荷值。
3.系统备用容量及其类型
11.关于二次调频的问题
进行二次调频时，系统中负荷的增减 基本上要由调频机组或调频厂承担。 虽可适当增大其他机组或电厂的单位 调节功率以减少调频机组或调频厂的 负荷，但数值毕竟有限，这就使调频 厂的功率变动幅度原大于其他厂。如 调频厂不位于负荷中心，则这种情况
可能使调频厂与系统其他部分联系 的联络线上流动的功率超过允许值。 这样，就出现了调整系统频率时， 控制联络线上流通功率的问题。联 络线上交换的功率ΔPab=(KAΔPBKBΔPA)/(KA+KB),可见系统频率的变 化取决于系统总的功率缺额和总的 系统单位调节功率。
因此，从这个系统的单位调节功率KS， 可以求取在允许频率偏移范围内系统 能承受多大的负荷增减。系统的单位 调节功率取决于两个方面，即发电机 单位调节功率和负荷单位调节功率。 负荷的单位调节功率不可调。要控制、 调节系统的单位调节功率只有从控制 调节发电机的单位调节功率或调速器 的调差系数入手。只要将调差系数整 定得小些或发电机的单位调节功率整 定得大些就可保证频率质量。