全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形判定定理复习讲义
全等三角形一、根本知识点知识点1全等三角形的性质; 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
知识点2全等三角形的判定方法：一般三角形的判定方法：边角边〔SAS〕、角边角〔ASA〕、角角边〔AAS〕、边边边〔SSS〕直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有斜边、直角边〔HL〕知识点3角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠MON〔∠1＝∠2〕，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．知识点4角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2〔OP平分∠MON〕知识点5证明文字命题的一般步骤：证明文字命题，第一是要根据题意画出适宜的图形；第二要根据题意与图形写出与求证；第三是写出证明过程。
二、本章应注意的问题1、全等三角形的证明过程：①找条件，做标记；②找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件。
2、全等三角形的证明思路： 3、全等三角形证明中常见图形：4、全等三角形证明时特殊的辅助线： 在本章中，作辅助线的目的就是为了构造全等三角形，有几种特殊的辅助线需要注意：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的与等于第三条线段时，用“截长补短〞法可以构造一对全等三角形．三、全等三角形习题精选1．以下命题中正确的选项是〔 〕A ．全等三角形的高相等B ．全等三角形的中线相等C ．全等三角形的角平分线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等 2.以下说法正确的选项是 〔 〕3.如图 , 在∠AOB 的两边上，AO=BO , 在AO 与BO 上截取CO=DO , 连结AD 与BC 交于点P , 那么△AOD≌△BOC 理由是〔 〕A.ASAB.SASC.AAS4.如果两个三角形中两条边与其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是〔 〕GD C BF E A AB CED 变形D A CEB变形E F CBADA. 相等B. 不相等C. 互余或相等D. 互补或相等1. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD ，求证：AB=BE ，BC=DB 。
三角形全等讲义.docx
一、全等三角形的认识1、全等三角形的概念及表示方法（1）概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）表示方法：全等用符号“9”表示，如：AABC^AEFG［例题1］如图1, AABD^ACDB,且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：A、AABD和ACDB的面积相等B、AABD和ACDB的周长相等C、ZA+ZABD 二ZC+ZCBDD、AD//BC, 11 AD = BC2全等三角形的边、角、点把两个全等的三角形重合到一起。
重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。
记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
例如，AABD^ ACDB,点A和点C,点B和点D,点D和点B是对应的顶点。
（利于寻找对应点）［例题2］如图2,己知△ ABE9AACD、ZADE =ZAED, ZB =ZC,指出其他对应边和对应角3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等。
也就是说，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
［友情提示］全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积相等。
［例题3］如图,ZXACE仝△DBF,A. 6B. 5) 若ZE =ZF, AD = 8, BC = 2,则AB 等于(［例题4］如图，A ABC竺AADE,A. 27°B. 54°二、三角形全等的判定（（1）1、［边边边］E Q FD三边对应相等的两个三角形全等.（SSS ）［例题 5］）已知如图，E.F 在 BD 上，且 AB=CD, BF=DE, AE=CF, 求证：ZB=ZD.2、［边角边］ 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS ）图5［例题8］如图，如图，已知MB=ND, ZMBA=ZNDC,下列不能判定△ ABM^ACDN 的条件是（）4、 ［角角边］两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS ）5、 ［斜边、直角边］斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL ）［例题9］已知：如图，AB = CD, DE 丄AC, 丄&C, E, F 是垂足，DE = BF.［例题6］如图1, a 、b 、c 分别表示的三边长，则下面与—定全等的三角形是（）B A ［例题7］如图5,四边形加d 和四边形畀俯均为正方形，连接％与％相交于点//.证明：/\ABG = /\ADE ； D3> ［角边角］两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA ） B. AB=CD C. AM=CN D. AM//CNb b B bC DE BA. ZM=ZN求证：（1）AF = CE；（2）AB// CD .三、找对应边、对应角的方法(1)公共边是对应边，公共角是对应角(2)平行边是对应边，对顶角是对应角(3)对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角(4)最长(最短)边是对应边，最大(最小)角是对应角四、［能力训练］(认真做一做，你一定行！)1.下列命题止确的是( )A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相同的两个三角形C.两个周长相等的三角形是全等三角形D.全等三角形的周长、面积分别相等2 •如图，已知AACF 竺ADBE, ZE=ZF, AD = 9cm, BC = 5cm；求AB 的长.3•如图，点D、E 在OC、0B±, BD、CE 交于点A, ZB=ZC, AB=AC.求证：△BOD^ACOE.4・如图，AB=AC,ZBAC=90°,BD丄AE 于D, CE丄AE 于E,且BD>CE,求证:BD=EC+ED.5如图1-1, AD±BC, D为BC的中点,则厶ABD9D图1-1图图2-16 •已知：如图2-1, AABE^AACD, ZB^ZC,则ZAEB=_ , AE=___7. 如图，己知AB二DC, AD二BC, E、F 在DB 上，且BF二DE,若ZAEB=1200, ZADB=300,则ZBCF=()A. 150°B. 40°C. 80°D. 90°& 如图，ZC=ZD, CE=DE.求证：ZBAD=ZABC.9.如图，在DABCD中，E、F分别是边BC和AD ±.的点.请你补充一个条件，使\ABE= ACDF,并给予证明.10•如图6,已知AB=DC, AC=DB, BE=CE,求证:AE=DE.11.如图7,已知AC丄AB, DB±AB, AC=BE, AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.12.如图，在RZ AABC 中，ZACB=45°, ZBAC=90°, AB二AC,点 D 是AB 的中点，AF丄CD 于H 交BC 于F, BE 〃AC交AF的延长线于E,求证：BC垂直且平分DE.J1。
全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点二、对应顶点,对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF,AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角.要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS)全等三角形判定1-—“边边边”三边对应相等的两个三角形全等。
（可以简写成“边边边”或“SSS ”）。
要点诠释:如图，如果''A B ＝AB,''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2-—“边角边"两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边"或“SAS ”).要点诠释：如图,如果AB ＝ ''A B ,∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2。
有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
第讲全等三角形的性质及判定(00001)
1 / 9 第4讲 全等三角形的性质及判定（12.1 、12.2） 一、知识要点1、全等三角形的性质
1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等． 3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 4．全等三角形的表示： （1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做 对应角． （2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上． 5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等； （2）全等三角形的对应角相等． （3）全等三角形的周长、面积相等． 6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换． 平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换． 7．全等三角形基本图形 翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素
旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素 平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
2、全等三角形的判定 （1）全等三角形的判定1——边边边公理 三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． “边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）． （2）全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． （3）全等三角形的判定3——角边角公理 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”． （4）全等三角形的判定4——角角边推论 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角 角边”“AAS”． （5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 简写成“斜边直角边”或“HL”． 3、判定直角三角形全等的方法选择 ①一般三角形全等的判定方法都适用；②斜边-直角边公理
北师大版初北师大版七年级(下)数学第四章三角形教案：全等三角形的判定讲义(含有答案)
三角形全等的断定〔1〕__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、理解全等三角形的断定方法SSS 、SAS 、ASA 、AAS ；2、能运用断定方法断定两个三角形全等；3、经理探究断定方法断定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源生活，又应用于生活.1．SSS____________的两个三角形全等〔简称SSS 〕．这个定理说明，只要三角形的三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有__________的原理．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．如以下图，：△ABC 与△DEF 的三条边对应相等，求证：△ABC ≌△DEF ．证明：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SSS 〕．角用直尺和圆规作一个角等于角的示意图如下图，说明'''A O B =AOB ∠∠的根据是_________．4．边角边定理三角形全等断定方法2：______和它们的______分别相等的两个三角形全等．〔简称SAS 〕 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔SAS 〕．图示：5．探究边边角两边及其一边所对的角分别相等，两个三角形________等．6．ASA_______________分别相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA ．▲如以下图，∠D=∠E ，AD ＝AE ，∠1＝∠2．求证：△ABD ≌△ACE ．证明：∵∠1＝∠2〔〕∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD 〔相等的角加同一个角仍相等〕即∠BAD ＝∠CAE在△ABD 和△ACE 中， ∠D=∠E 〔〕AD=AE 〔〕∠BAD ＝∠CAE 〔等量相加〕∴△ABD≌△ACE〔ASA〕．7．AAS______________________分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．▲如图：D在AB上，E在AC上，DC=EB,∠C=∠B．求证：△ACD≌△ABE．证明：在△ACD和△ABE中．∠C=∠B〔〕∠A=∠A〔公共角〕DC=EB〔〕∴△ACD≌△ABE〔AAS〕．参考答案：1.三边分别相等稳定性3.全等三角形的对应角相等4.两边夹角5.不一定全6.两角和它们的夹边7.两个角和其中一个角的对边1.先证明对应边相等，再证全等〔利用中点、等量相加等〕【例1】如下图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，BC＝ED，求证：△ABC≌△FED．【解析】∵AD＝FC，∴AD＋DC＝FC＋DC，即AC＝FD．在△ABC和△FED中，∴△ABC≌△FED〔SSS〕．总结：利用“SSS〞证明两个三角形全等，有如下几种常见类型：〔1〕有公共边的两个三角形．〔2〕有公共线段的两个三角形，我们可以用等量相加或相减，推出两边相等．〔3〕含有中点的两个三角形，如图：AB=AC，D是BC的中点，由中点的定义可得：BD=CD．继而可证△ABD≌△ACD．练1.如图，AC=BD，0是AB、CD的中点，求证△AOC≌△BOD．【解析】要证△AOC≌△BOD，只需看这两个三角形的三条边是否分别相等．证明：∵O是是AB、CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD．2.先利用SSS证明三角形全等，继而证明边〔角〕相等，或求边〔角〕【例2】如下图，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠1＝∠2．【解析】在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB〔SSS〕.∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.∴∠ABC－∠DBC＝∠DCB－∠ACB.即∠1＝∠2．总结：1.要求证在两个不同三角形内的角相等，往往利用全等三角形的性质.2.当两个角所在的三角形不易证全等时，可以利用等量的和〔差〕相等，将问题转化.3.求证不在同一个三角形内的两边相等，同样可以利用全等三角形的性质.练2.如图是“人〞字形屋梁，AB＝AC．如今要在程度横梁BC上立一根垂直的支柱支撑屋梁，工人师傅取BC的中点D，然后在A，D之间竖支柱AD．那么这根AD符合“垂直〞的要求吗？为什么？【解析】AD⊥BC符合要求，理由如下：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕.∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．练3.如下图，：A，C，F，D四点在同一直线上，AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC，求证：AB∥DE.【解析】先根据SSS证明两三角形全等，由三角形全等的性质得出：∠A＝∠D，即可证明AB ∥DE．证明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF．∴AC＝DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SSS〕．∴∠A＝∠D．∴AB∥DE．练4.：如下图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠C＝∠A.【解析】连接BD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD〔SSS〕．∴∠C＝∠A．练5.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：∠A＋∠D＝180°.【解析】证明：连接AC，在△ADC与△CBA中，∴△ADC≌△CBA〔SSS〕，∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°．3．利用SAS直接证明三角形全等【例3】如下图，△ABC，△DEF均为锐角三角形，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：△ABC ≌△DEF．【解析】直接根据SAS可证明△ABC≌△DEF．证明：在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕．总结：运用“边角边〞断定两个三角形全等时，〔1〕同一三角形的边、角要放在等号的同一边，按照“边角边〞的顺序书写；〔2〕注意条件里的三个元素必须齐全，且对应相等；〔3〕条件里的三个元素必须对应，一个三角形中的元素依次是“边—角—边〞，另一个三角形的元素也必须依次是“边—角—边〞，假如是其他“边—边—角〞或“角—边—边〞，那么两个三角形不一定全等；〔4〕在条件中，相等的角必须是所给两边的夹角，假如把夹角改为其中一条边的对角，那么不一定全等．练6．〔2021秋•天元区期末〕如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，根据〔SAS〕断定△ABC ≌△DEF，还需的条件是〔〕A．∠A=∠D B．∠B=∠E C．∠C=∠F D．以上三个均可以【解析】根据三角形全等的断定中的SAS，即两边夹角．做题时根据条件，结合全等的断定方法逐一验证，要由位置选择方法．解：要使两三角形全等，且SASAB=DE，BC=EF，还差夹角，即∠B=∠E；A、C都不满足要求，D也就不能选取．应选B．练7．如以下图所示，∠1＝∠2，AO＝BO，求证：△AOC≌△BOC．【解析】两个三角形包含一个公共边，结合条件，根据SAS可证明△AOC≌△BOC．证明：在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC〔SAS〕．4．先证明对应边或对应角相等，再证明三角形全等【例4】〔2021春•启东市校级月考〕如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE．【解析】根据平行线的性质及全等三角形的断定定理“SAS〞证得结论．证明：∵AE=CF，∴AE﹣EF=CF﹣EF，即AF=CE．又∵AD∥BC，∴∠A=∠C．∵在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE〔SAS〕．总结：没有直接给出能证明三角形全等的条件时，〔1〕先根据条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的断定方法，看缺什么条件，再去证什么条件；假如两边，那么要找第三边或夹角；假如一角和该角的一边，那么需要找夹角的另一条边；〔2〕在证明三角形全等时，有些题目的条件含而不露，通常要挖掘出隐含条件，比方公共边、对顶角等，从而为解题所用；〔3〕有些条件需要用到线段与角的和差关系才能得到．练8．〔2021•房山区二模〕如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．【解析】∠1=∠2，∠BAE是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来断定△ABC≌△ADE．证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE〔SAS〕．练9．〔2021•永春县质检〕：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE．求证：△AEC≌△BDC．【解析】根据∠ACD=∠BCE，可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD．根据边角边公理可得出△AEC≌△BDC．证明：在△AEC和△BDC中，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，在△AEC和△BDC中，∴△AEC≌△BDC〔SAS〕．点评：此题考察了全等三角形的断定SAS．5.先用SAS证明三角形全等，再证对应边、对应角相等【例5】〔1〕〔2021•十堰〕如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【解析】首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角∠A=∠A可利用“SAS〞定理证明△ABE≌△ACD，进而得到∠B=∠C．证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD〔SAS〕．∴∠B=∠C．〔2〕〔2021春•鼓楼区校级月考〕如图，点E，F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF．求证：BF=DE．【解析】先由平行线的性质得出内错角相等，再证出AF=CE，根据SAS证明△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在△ABF和△CDE中，∴△ABF≌△CDE〔SAS〕，∴BF=DE．总结：综合利用三角形全等的断定与性质解题步骤如下：〔1〕由问题中的条件，根据三角形全等的断定方法证明两个三角形全等；〔2〕由三角形全等的性质证得对应角相等、对应边相等．练10．〔2021秋•涞水县期末〕如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，那么∠D的度数为〔〕A．50° B.30°C．80°D．100°【解析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，那么∠D=∠B=30°．解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB〔SAS〕，∴∠D=∠B=30°．应选B．练11．〔2021春•锦州校级期中〕如图，点B，E，C，F在同一直线上，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，假设∠_____=∠______，那么△ABC≌△DEF，所以BC=_____，因此BE=________．【解析】根据三角形全等的断定方法SAS，假设∠A=∠D时，两个三角形全等，得出对应边相等，得出结果．解：假设∠A=∠D时，△ABC≌△DEF；∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF〔SAS〕，∴BC=EF，∴BE=CF；故答案为：∠A=∠D，EF，CF．6．先用ASA证全等，再证边角相等【例6】如下图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：BO＝DO．【解析】先用“ASA 〞证明△ABC ≌△ADC ，得出AB=AD ，再用“SAS 〞证明△ABO ≌△ADO ，可得出结论．证明：在△ABC 和△ADC 中，∴△ABC ≌△ADC 〔ASA 〕.∴AB ＝AD.在△ABO 与△ADO 中，△ACO ≌△ADO 〔SAS 〕.∴BO ＝DO ．总结：全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．练12.如下图，在△ABC 中，点O 为AB 的中点，AD ∥BC ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点D ，E ，求证：OD ＝OE.【解析】∵点O 为AB 的中点，∴AO ＝BO ．∵AD ∥BC ，∴∠ADO ＝∠BEO ，∠DAO ＝∠EBO.在△AOD 与△BOE 中，∴△AOD ≌△BOE 〔AAS 〕.∴OD ＝OE ．7．先用AAS 证全等，再证边角相等【例7】如下图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD ．D C BA O12 3 4【解析】先利用AAS 证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出AC ＝AD ．证明：在△ACB 与△ADB 中，∴△ACB ≌△ADB 〔AAS 〕.∴AC ＝AD ．总结：1. 由“ASA 〞与“AAS 〞可知，两个三角形假如有两个角及任意一边对应相等，那么这两个三角形相等．2. 注意不用混淆“ASA 〞和“AAS 〞，“ASA 〞是两角及夹边对应相等，“AAS 〞是两角及一对边对应相等.练13.如下图，C ，F 在BE 上，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ，BF ＝EC ．求证：AB ＝DE ．【解析】先利用平行证明角相等，再用等量相减的思想证明BC ＝EF ，应用AAS 可得△ABC ≌△DEF ，进而得出结论．证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACE ＝∠DFB.又∵∠ACE ＋∠ACB ＝180°，∠DFB ＋∠DFE ＝180°，∴∠ACB ＝∠DFE.又BF ＝EC ，∴BF －CF ＝EC －CF ，即BC ＝EF.在△ABC 与△DEF 中，∴△ABC ≌△DEF 〔AAS 〕.∴AB ＝DE ．8．灵敏选用证明方法证〔判断〕全等AB C FED【例8】如下图，∠B＝∠DEF，BC＝EF，要证△ABC≌△DEF，假设要以“ASA〞为根据，还缺条件_________；以“SAS〞为根据，还缺条件_________；以“AAS〞为根据，还缺条件_________.【解析】一组角和一组边相等,要根据“ASA〞证全等就要求夹边的另一组角相等，故填∠ACB=∠DFE；要根据“SAS〞证全等就要求夹角的另一组边相等，故填AB=DE；要根据“AAS〞证全等就要求另一组角相等，故填∠A=∠D.答案：∠ACB＝∠DFE；AB＝DE；∠A＝∠D．总结：1.到目前为止，我们学习了4种证明三角形全等的方法，分别是“边边边〞“边角边〞“角边角〞“角角边〞.注意：三角形全等的断定方法中不存在“角边边〞“角角角〞．2.“边边边〞“角边角〞“角角边〞“边角边〞这四种判断方法中，都要求有一组边对应相等．3.在寻求全等条件时，要注意结合图形挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、中点、角平分线.4.以及平行线中包含的角的关系，垂直中包含的角的关系，以便顺利求解．练14.如下图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充以下一个条件后，仍无法断定△ABE≌△ACD的是〔〕.＝AE B.∠AEB＝∠ADC＝＝AC【解析】选择A中的AD=AE，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项B中给出∠AEB＝∠ADC，加上条件，可得三对角相等，但三对角相等的三角形不一定全等；选项C中的BE＝CD，加上条件，可根据AAS证明△ABE≌△ACD；选项D中的AB＝AC，加上条件，可根据ASA证明△ABE≌△ACD；应选：B．练15.如下图，BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，垂足分别为点F ，E ，BF ＝DE ，∠B ＝∠D ，求证：AE ＝CF.【解析】∵BF ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BFA ＝90°.在△BFA 与△DEC 中，∴△BFA ≌△DEC 〔ASA 〕.∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF.∴AE ＝CF.练16．如图，将△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，再过点O 任意画一条与AC ，BD 都相交的直线MN ，交点分别为M 和N ．试问：线段OM ＝ON 成立吗？假设成立，请进展证明；假设不成立，请说明理由．【解析】OM ＝ON 成立．理由是：∵△BOD 绕点O 旋转180°后得到△AOC ，∴△BOD ≌△AOC ．∴∠A ＝∠B ，AO ＝BO ．又∵∠AOM ＝∠BON ，∴△AOM ≌△BON (ASA)．∴OM ＝ON ．练17．如下图，直角三角形ABC 的直角顶点C 置于直线l 上，AC ＝BC ，现过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，E.DC E FA B BA C DE【解析】〔1〕△ACD ≌△CBE ，证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°.又∵AD ⊥l ，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°.∴∠BCE ＝∠CAD.∵BE ⊥l ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°.在△ACD 与△CBE 中，∠CAD ＝∠BCE ，∠ADC ＝∠CEB ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE 〔AAS 〕.〔2〕由〔1〕可知△ACD ≌△CBE ，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴AD ＝CE ＝CD ＋DE ＝BE ＋DE ＝3＋5＝8.1．如下图，AB ∥CD ，OB ＝OD ，那么由“ASA 〞可以直接断定△______≌△___________.2．如下图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD ，CE 交于点H ，EH ＝EB ＝3，AE ＝4，那么CH 的长是___________．3．如下图，点E ，C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ∥DE ，∠ACB ＝∠F ．求证：△ABC ≌△DEF ．AC D F EB l4．如下图，∠B ＝∠E ，∠BAD ＝∠EAC ，AC ＝AD ，求证：AB ＝AE.5.〔2021•厦门校级一模〕如图，A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，AB=CD ，EC=DF ，EC ∥DF ．求证：△ACE ≌BDF ．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1.：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC 。
全等三角形的判定ppt课件
全等三角形也是数学竞赛中常见 的考点之一，涉及到的知识点包
括边角关系、判定方法等。
02
全等三角形的判定方法
边边边定理
总结词
三边对应相等的两个三角形全等 。
详细描述
根据三角形的基本性质，如果两 个三角形的三边长度相等，则这 两个三角形必然全等。
边角边定理
总结词
两边对应相等且夹角相等的两个三角 形全等。
全等三角形的判定
• 全等三角形概述 • 全等三角形的判定方法 • 全等三角形的证明步骤 • 全等三角形在几何中的应用 • 全等三角形的实际应用案例
01
全等三角形概述
全等三角形的定义
定义
两个三角形全等，是指能够完全重合的两个三角形，即它们的形状相同，大小 也相同。
符号表示
记作△ABC≌△DEF或ABCDH≌EFGH。
全等三角形在几何中的其他应用
证明其ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何命题
通过证明两个三角形全等，可以证明一些其他几何命题，比如平 行线性质、勾股定理等。
研究三角形和多边形的性质
利用全等三角形研究三角形和多边形的性质，可以发现一些新的几 何定理和性质。
解决其他实际问题
利用全等三角形解决其他实际问题，比如面积计算、周长计算等。
THANKS
证明线段相等
总结词
全等三角形的对应边相等
详细描述
全等三角形的对应边也称为对应边。因此，全等三角形的对应边是相等的。这个性质常常被用来证明 两条线段相等。
证明线段垂直
总结词
全等三角形可以用来证明线段垂直
详细描述
在几何图形中，有时候需要证明某条线段与 另一条线段垂直。这时，可以利用全等三角 形的性质，通过证明两个三角形全等来证明 这两条线段垂直。
(完整版)全等三角形知识总结和经典例题
全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反。
2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。
4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。
以及等角，用于工业和军事。
有一定帮助。
5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
(完整版)全等三角形的性质及判定
全等三角形第1节全等三角形的性质和判定【知识梳理】1、全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．4、全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊断自测】1、如果ΔABC≌ΔDBC，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．3、如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点突破】类型一：全等形例1、由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案_____全等图案，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片____全等图形。
（填“是”或者“不是”）类型二：全三角形的定义和性质例2、如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB例3、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC：∠ABC：∠BCA=28：5：3，则∠α的度数为（）A．90°B．85°C．80°D．75°类型三：全等三角形的判定（SSS）例4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS例5、已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知），∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）．∴ ∠PRM ＝______（______）．即RM ．例6．已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .类型四：全等三角形的判定（SAS ）例7. 已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （ ）．∴ ∠D ＝∠B （______）．例8、小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）例9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．类型五：全等三角形的判定（AAS和ASA）例10、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，同学小明知道只要带③去就行了，你知道其中的道理是（）A．SAS B．SSA C．ASA D．HL例11. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例12、已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______，只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______ ∴ △______≌△______ （ ）．∴PA ＝______ （ ）．∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．例13、已知：AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E=∠B ，DE=CB ．求证：AD=AC ．．例14、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△DEC ≌△CDA ．类型六：全等三角形的判定（HL ） 例15.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=D E,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF例16、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BD=BC,若AC=6，则AE+DE=_____【易错精选】1、如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（）A．AB=DE B．∠A=∠D C．BC=CD D．∠ACD=∠BCE2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D．283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度A CBED【精华提炼】判定三角形全等的基本思路：SAS SS HLSSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边 AAS ASA SA AASSAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AA AAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边 备注：寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【1】如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．训练【2】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．训练【3】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于度．【训练4】．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．基础巩固一、选择题1、下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（）．A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 [ ]．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个3、下列说法正确的是（）A、全等三角形是指周长和面积都一样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都一样 ;C、全等三角形是指形状相同的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、下列两个三角形中，一定全等的是（）A. 两个等边三角形B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( )A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定6、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与B E相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上，AD⊥PQ于D，CE⊥PQ 于E，且AD=2cm，DB=4cm，则梯形ADEC的面积是 _____．A8、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE•的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，求证：∠C=∠B．10、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高线，求证：AD⊥EF。
人教版八年级上册数学讲义 第二章全等三角形的判定(基础)
第三讲全等三角形的判定（基础）考试目标解读一．全等图形1.全等图形的概念：能够完全重合的两个图形就是全等图形；2.全等图形的性质：全等多边形的对应边和对应角分别相等；3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形对应边，对应角分别相等。
同样，如果两个三角形的边，角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
全等的符号是“≌”，读作“全等于”。
全等三角形的性质：全等三角形对应边相等；全等三角形对应角相等。
二．全等三角形判定两个全等三角形能重合到一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
三角形全等的条件：1.三边对应相等的两个三角形全等（可写成“边边边”或“SSS”）2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）4.角边角（ASA）公理推论：有两个角和一角所对边对应相等的两个三角形全等。
（简称为“角边角”或“ASA”）。
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）1.典型例题例1：已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。
求证：∠CAD=∠DBC。
例2：已知：AB=CD，AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB例3：已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。
求证：CE=BF例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。
求证：AG平分∠BAC.例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。
求证：△ADE≌△EFC例6：已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。
求证：△ABG≌△BCH≌△CAD。
全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)
BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。
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全等三角形的性质及判定
知识要点
1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．
2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的对应边上的高相等，
对应边上的中线相等，
对应角的平分线相等．
（3）全等三角形的周长、面积相等．
3、全等三角形判定方法：
（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）
（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）
（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）
专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等
例题1：下列说法，正确的是（）
A.全等图形的面积相等
B.面积相等的两个图形是全等形
C.形状相同的两个图形是全等形
D.周长相等的两个图形是全等形
例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7 cm ，DM=5 c m，∠DAM=39°，则AN =____cm，NM =____cm，NAB =.
A D
C
E
M
D
B 图3
A
B 图1 C
N 图2 图 4
【仿练1】如图2，已知ABC ADE ，AB AD ，BC DE ，那么与BAE 相等的角是.
【仿练2】如图3，ABC ADE ，则AB= ，∠E= _ ．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .
、
三角形全等的判定一（SSS）
相关几何语言考点
C A
E C
F
M B
A
∵AE=CF∵CM 是△的中线
∴_____________( ) ∴____________________
∴__________（）
或
A B ∵AC=EF
∴____________________
∴__________（）
AB=AB （）A D
B C
E F
在△ABC和△DEF中
_________
∵_________
_________
∴△ABC≌△DEF（）
A
例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么
？
C
B
D
C
D
B E
2
例３．如图，点B，E，C，F 在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．习
练
1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）
A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB
∥CD
2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“S SS”可以判定（）
A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE D．以上都不对
3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）
A．SSS B．SAS C．AAS
D．HL
4.如图,AB=AC,D为B C 的中点，则△ABD ≌_________.
5.如图，已知A B=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．
2.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD 的度数是°．
7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
作业：
1、如图，已知AB=AD，需要条件（用图中的字母表示），可得△ABC≌△ADC，根据是．
2、如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BF=CE，AF=DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．
9题图
3、如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△；应用的判定方法是（简写）．
4、.如图，已知AE=DF、EC=BF，添加，可得△AEC≌△DFB．
5、．如图，已知AB=DE ，BC=EF，AF=DC ，求证∠EFD= ∠BCA ，
三角形全等的判定二（SAS）
相关的几何语言
A
1
2
∠1=∠2 （）∠A=∠A （）
A
1
A D
E D
C
B
B
C E F ∵∠EAB=∠DAC
∴____________________
在△ABC和△DEF中
_________
∵_________
_________
∴△ABC≌△DEF（）
∴__________
或
∵∠EAC=∠DAB
∴____________________
∴__________
D C∥AB．
例1．如图，AC和BD相交于点O，O A=O C，OB= O D．求证
5
例2．已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADC≌△CBA．
D
A
B C
例3．已知：如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。
求证：△AFD≌△CEB．
D
A
E
F
C
B
例4．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE．
A
C 1
2
B
E
D 例5．已知: 如图, 点B,E,C,F 在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF求. 证:AC∥DF．
例6．已知: 如图,AD 是BC上的中线, 且DF=DE．求证:BE∥CF．
A BCD，BE=CF，求证：(1) AE=BF；
例7. 已知：如图，正方形
（2）AE⊥BF.
6
3.如图，点E、F 在AC 上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（）
A．AD∥BC B．DF∥BE C．∠D=∠B D．∠A=∠C
4.如图，若已知A E=AC，用“S AS”说明△ABC≌△ADE，还需要的一个条件是（）
A．BC=DE B．AB=AD C．BO=DO D．EO=CO 5.如图，AB=CD，AB∥CD，判定△ABC≌△CDA的依据是（）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
6.如图所示，AB=BD，BC=BE，要使△ABE≌△DBC，需添加条件（）
A．∠A=∠D B．∠C=∠E C．∠D=∠E D．∠ABD=∠CBE
7.如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是（）
A．AE=CF B．DF=BE C．∠A=∠C D．AE=EF
8.如图，点A、D、C、E 在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，AD=EC，AE=10，AC=6，则CD
．
的长为
9.如图，点F、C在线段B E上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个
条件．（只要填一个）
10.如图，△ABC中，AB=AC，点D，E 在BC边上，当时，△ABD≌△ACE．（添加一个适当的条
件即可）
11.如图，已知A C=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）．
12.如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB 交EF于D，下列结论：
8
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①∠EAB=∠FAC；②∠C=∠EFA；③AD=AC；④AF=AC．
）．
其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号
13.如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．
12 如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E 在同一直线上，且A B=FE，BC=DE，∠B=∠E．
求证：∠ADB=∠FCE．
13、如图，AC=DF，AC//DF，AE=DB，求证：BC//EF
三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）
9
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A D
C
B
E F
在△ABC和△DEF中
_________
∵_________
_________
∴△ABC≌△DEF（）
A D
C
B
E F
在△ABC和△DEF中
_________
∵_________
_________
∴△ABC≌△DEF（）
例1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，A C=D F．
A BCD中, A
B ∥CD , AD ∥BC．求证：△ABD≌△CDB
例2 已知：如图, 四边形
例3 如图, AD=EB, AC ∥DF , BC ∥EF . 求证: ABC DEF
C F
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14.如图，已知：∠A=∠D，∠1=∠2，下列条件中能使△ABC≌△DEF的是（）
A B D E
10
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A．∠E=∠B B．ED=BC C．AB=EF D．AF=CD
15.如图：A B=AC，∠B=∠C，且AB=5，AE=2，则E C的长为（）
A．2 B．3 C．5 D．2.5
16.如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，依据ASA，应添加的一个条件是．
17.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，BC=5，则B D=．
5、.如图，点A，B，C，D 在同一条直线上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证：B E=CD．
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