切比雪夫(Tchebysshev) 多项式
切比雪夫多项式的应用
4 3.5 3 2.5 2
←f(x)
1.5 1 0.5
→L3(x)
0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
对于连续函数 g ( x) = x 20 , e x , sin(5πx), e − x sin(2πx) ，分别绘出 n = 10,13,20,21 次拉格朗日 插值多项式 Ln ( x) 的图像和原函数的图像如图 1-4 所示
>> k=0:1:10; >> X=cos((2*k+1)*pi/22); >> %求出 10 次切比雪夫多项式的零点 syms x >> F=inline('x.^20'); >> %要插值的原函数 f(x)=x.^20 >> t=linspace(-1,1,100000); >> yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
k=0:1:20; X=cos((2*k+1)*pi/42); syms x >> F=inline('sin(5*pi*x)'); %要插值的原函数 f(x)=sin(5*pi*x) t=linspace(-1,1,100000); yt=F(t); y=F(X); yi=interp1(X,y,t,'language'); plot(t,yt,'r--',t,yi,'k-')
Rn ( x ) =
1 f ( n +1) (ξ x )ω n ( x) (n + 1)!
切比雪夫函数
切比雪夫函数,以段落形式开始《切比雪夫函数》一、出现历史切比雪夫函数（Chebyshev Function，又称切比雪夫多项式，Also named Tchebycheff Polynomials）由俄国数学家Pafnuty Lvovich Chebychev于十九世纪40年代著名数学家莱布尼茨夫提出，表征其在数学和物理学领域的特殊性质及历史价值。
他最初的想法，是在众多二次型方程的根都是不真实的情况下，建立一种方法，能够在复数方程中获得接近实数解的近似值。
事实上，他的想法被概括为"最大值与最小值的问题"，这也从另一个角度定义了切比雪夫函数。
他的研究也涉及一些物理学问题，比如分析静电场、磁力场及雷诺条件。
二、函数特性切比雪夫函数是一类二次多项式函数，由Pafnuty Lvovich Chebychev发现。
它是一种特殊的多项式，具有正则边界上的“匹配现象”，即由于具有相关系数，能够和正则线性群进行匹配。
它表示为T(n)(x)，n为多项式的次数，x为多项式的变量，可以看出，T(1)(x) = -1到1之间的最大值或最小值。
此外，它也具有永久的一致性。
它的周期性是指，如果把它带入一个参数，则对对象多项式的每一次进行匹配，它都能产生相同的结果。
换句话说，它具有许多固有性质，比如函数的收敛性和连续性，不受参数的变化而变化。
三、应用领域因为切比雪夫函数在一定范围内的最大值或最小值性质，所以它应用于各种场合，主要是优化结果的近似算法和实际结果分析模型。
在数值分析方面，它被用于求解数学和物理方程的数值解。
例如，它被用于建模和求解城市规划，建筑规划，飞行器静态飞行，机械运动和物理建模方面的问题。
此外，它也被用于统计学中的估计最佳参数模型和最小二乘模型。
另外，它还被用于信号处理，比如提取图像，滤波器设计，加窗技术和自适应滤波等应用中，用于减少噪声和其他因素影响，减少数据失真。
总之，切比雪夫函数在数学，物理，统计学，和信号处理等领域，有广泛的实际应用，其优势表现在快速准确的求解和近似结果，并提供更多的操作空间。
切比雪夫多项式 degree
例如，切比雪夫多项式 T_3(x) 的度数为 3，表示它是一个三次多项式。切比雪夫多项式 T_5(x) 的度数为 5，表示它是一个五次多项式。
切比雪夫多项式在数学和工程领域有广泛的应用，例如在逼近理论、信号处理、图像处理 等领域中。通过调整切比雪夫多项式的度数，可以控制逼近函数的精度和特性。
切比雪夫多项式
切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）是一组具有特定性质的多项式函数。切比 雪夫多项式的度数（degree）通常表示为 n，表示多项式中最高次幂的指数。
切比雪夫多项式的一般形式为 T_n(x)，其中 n 表示多项式的度数。例如，T_0(x) 是常数 函数，T_1(x) 是线性函数，T_2(x) 是二次函数，依此类推。
切比雪夫多项式用于GPS高程转换的精度分析
切比雪夫多项式用于GPS高程转换的精度分析[摘要]本文探讨切比雪夫多项式及基于EGM2008模型的移去-恢复法在GPS高程转换中的应用。
利用某一测区GPS/水准数据对本文方法进行验证，并和常用的平面拟合、曲面拟合以及多面函数拟合方法进行比较与分析，计算结果表明：在面状和线状区域里，切比雪夫多项式的拟合结果比较稳定，且GPS高程转换精度较高；基于EGM2008模型的移去-恢复法能显著提高GPS高程转换精度。
[关键字] 切比雪夫多项式EGM2008 移去-恢复法GPS高程转换精度分析1引言GPS定位技术由于具有高精度、全天候、高效率等优点，已被广泛应用到各类工程建设测量领域中。
目前通过GPS定位技术确定地面点的平面坐标不存在任何技术问题，可很容易达到设计的精度指标。
但当利用GPS技术测定地面点的正常高时，需要利用GPS高程转换方法，即通过联测一定数量的GPS/水准点，利用高程拟合的方法获得，其拟合高程的精度和可靠性主要依赖已知GPS/水准点的密度、分布状况、所采用的拟合模型以及测区地形起伏情况等。
常用的GPS 高程转换方法有平面拟合、曲面拟合以及多面函数拟合等。
本文主要探讨利用切比雪夫多项式进行GPS高程转换，并和常用的以上3种拟合方法进行对比分析，同时研究基于EGM2008模型的移去-恢复法在GPS高程转换中的应用。
2原理与方法2.1 GPS高程拟合的通用数学模型通过GPS技术可测得某一点的大地高，通过水准测量方法可同时测定该点的正常高，目前点的大地高和正常高都可以达到很高的精度，则GPS/水准点的高程异常ζ为，ζ=H-h （1）其中，H为大地高，h为正常高，可以用一组线性无关的基函数，αi为拟合系数，t为拟合参数的数目，ψi（x，y）为所选择的基函数，基函数ψi（x，y）可选为垂直平移模型、线性基函数拟合模型和面基函数拟合模型等。
如果测区有n个控制点，观测了m（m≥t）个GPS/水准点，则高程异常拟合误差方程式为，V=AX-L （2）其中：利用最小二乘法求得拟合系数X，进而可将已知GPS/水准点信息代入（2）式求的残差向量V，并进行内符合精度评定。
切比雪夫插值节点
Chebyshev多项式(page59) n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
当n 0时，T0 ( x) 1; 当n 1时，T1 ( x) cos(arccos x) x; 当n 2时，T2 ( x) cos(2arccos x)
1
0 .5
0
-0 . 5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
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5
1 f ( x) 例1. 函数 x ∈ [-5, 5] 2 1 x 取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 f (11) ( n ) f ( x ) L10 ( x ) 11 ( x )
11 !
11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
y arccos x
cos(2 y) 2cos 2 y 1 2 x 2 1;
n阶切比雪夫多项式: Tn(x)=cos(n arccosx)
性质1：Tn+1 ( x) 2 xTn ( x) Tn 1 ( x); 性质2： deg(Tn ( x)) n, 且首项系数是2 ; 性质3：Tn ( x)在[-1,1]上的最大绝对值是1. 性质4：Tn ( x)的n个零点全部位于[-1,1]，且 i xi cos( ), i 1,3,..., 2n 1. 2n
11(x)
4/18
在[-5, 1) xk 5 cos( ) ( k=10, 9, 8, · · · , 1, 0 ) 22
切比雪夫多项式及其应用
切比雪夫多项式及其应用切比雪夫多项式是数学中的经典多项式之一，它是以俄罗斯数学家彼得·切比雪夫的名字命名的。
切比雪夫多项式在数学的多个领域有重要的应用，如在逼近论、信号处理、图像处理等方面发挥着重要的作用。
一、切比雪夫多项式的定义与性质切比雪夫多项式Tn(x)的定义如下：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x), n ≥ 2切比雪夫多项式有许多重要的性质，其中最为著名的是切比雪夫多项式的最大值性质。
对于[-1,1]上的任意实值函数f(x)，存在唯一的多项式Pn(x)（n为正整数），使得||f(x) - Pn(x)|| ≤ (1/2)^n其中||·||表示函数的无穷范数。
这意味着切比雪夫多项式在区间[-1,1]上能够以任意高的精度逼近任意实值函数。
二、切比雪夫多项式的逼近应用1. 逼近论由于切比雪夫多项式的最大值逼近性质，它在逼近论中有着广泛的应用。
人们可以利用切比雪夫多项式来逼近任意实值函数，从而解决很多实际问题。
例如，在数值计算中，我们经常需要对函数进行近似计算，而切比雪夫多项式的逼近能力使得我们能够以较高的精度近似计算函数的值，从而提高计算的准确性。
2. 信号处理在信号处理领域，切比雪夫多项式可以用于信号的滤波和降噪。
由于切比雪夫多项式的性质，我们可以构造出一类特殊的滤波器，称为切比雪夫滤波器。
这种滤波器能够有效地去除信号中的噪声，同时保持信号的重要特征。
3. 图像处理在图像处理中，切比雪夫多项式可以应用于图像的压缩和恢复。
通过对图像进行切比雪夫变换，我们可以将图像转换为切比雪夫系数，从而实现对图像的压缩。
而通过反变换，我们可以将压缩后的图像恢复为原始图像。
切比雪夫多项式的应用能够大大节省图像的存储空间，并且保持压缩后图像的质量。
三、切比雪夫多项式的数值计算方法切比雪夫多项式可以通过递推关系计算得到，但对于较高阶的多项式计算来说，递推关系的计算量会很大。
数值分析19切比雪夫多项式-PPT精选文档
0 0 0.5 1
已知 f(x)∈C[0, 1], 求多项式 P(x) = a0 + a1x + a2 x2 + …… + an x n 使得 令
j 2 L ( a , a , , a ) [ a x f ( x ) ] dx 0 1 n j 0
j2 n
L P ( x ) f ( x )] dx min [
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( x ) ( x ) dx xdx 0 1
1 1 10 1 1
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设
2(x) = x2 + a21x + a22
0 1 (x)dx
1 2 1
1 1
1
1
x ) dx 0 2(x
2 ( x a x a ) dx 0 x ( x a x a ) dx 0 21 22 21 22
Pn(x)= 21 – n Tn(x)
则
1 x 1
max |P (x )| mi n n
( k = 0, 1, 2, · · · , 10)
例如 tk= –1+0.2k
( 2 k 1 ) · · , 10) x cos( ) ( k = 0, 1, 2, · k 22
课件
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用正交多项式作最佳平方逼近
设P0(x), P1(x), · · · ,Pn(x)为区间[a , b]上的正交 多项式, 即
( P , P ) ( x ) P ( x ) dx 0 k j k j P
a
b
(k ≠ j , k, j = 0,1,· · · ,n ) 求 P(x) = a0P0(x) + a1P1(x) + · · ·+ anPn(x) 使
有关切比雪夫多项式的几个组合恒等式
有关切比雪夫多项式的几个组合恒等式1 什么是切比雪夫多项式？切比雪夫多项式又称为Chebyshev Polynomials，简称Cheb Poly。
它是一类非常重要的多项式，由俄国数学家谢尔盖·切比雪夫于1859年发明。
它是以一个叫做Tn(x)的函数组合而成，Tn(x)则由一些大家熟知的组合恒等式所求得。
2 切比雪夫多项式的特征切比雪夫多项式的特征是它的几何解释，它是在连续定义函数区间上的Tn(x)多项式在[-1,1]上的最大值与最小值之差最小。
得到最小值这一特点，使得切比雪夫多项式具有以下几个优点：（1）多项式的最值因子是一个趋近于常数的数,这很容易让我们解决极值问题；（2）切比雪夫多项式是等距多项式，即在同一个区间[-1,1]上，多项式的极值点分布均匀；（3）Tn(x)可以直接列出组合的恒等式，甚至可以转化为三角比值函数的组合式，这当然有助于我们解决诸如求积分等问题。
3 切比雪夫多项式的组合恒等式切比雪夫多项式的组合恒等式，根据Tn(x)的数学表达式原理，有如下组合恒等式：（1） Tn(x) = 2Tn-1 (x)-Tn-2 (x)；（2）Tn(x) = 2xTn-1 (x) - Tn-2 (x)；（3）Tn(x) = x²Tn-1 (x) - Tn-2 (x)；（4）Tn(x)= 2n-1T1 (x) - 2n-4T4 (x) +···+(-1)n-1Tn-1 (x)；（5）Tn(x)= 2[0]T3 (x) -2[1]T5 (x) +···+2[(n-1)/2]T2 n-1 (x)；（6）Tn(x) = (-1)n[T1 (x) -T3 (x) +T5 (x) -T7 (x) +···+(-1)n-1T2 n-1 (x)]；（7）Tn(x) = (-2)n-1[T1 (x) -2T3 (x,0.5)+3T5 (x,0.5) -···+(-1)n-1 (2n-1)T2 n-1 (x,2n-2)] 。
数值分析19切比雪夫多项式-PPT精选文档
(k = 0, 1, 2, · · · ,n)
n
f(x)的平方逼近
( P k, f) P (x ) P x ) k( P k 0( k,P k)
课件
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广义付立叶级数部分和
( P , f ) ( P , f ) ( P , f ) 0 1 N P ( x ) P ( x ) P ( x ) P ( x ) 0 1 N ( P , P ) ( P , P ) ( P , P ) 0 0 1 1 N N
由于 令
L 0 ak
( P , P ) P ( x ) P ( x ) dx 0 , ( k j ) k j k j
a
b
记 (Pk , f ) =
P(x)f(x)dx
0 k
1
则有
( P , P ) a ( P ,f ) (k = 0, 1, 2, · · · ,n) k k k k
《数值分析》 19
函数逼近与希尔伯特矩阵
切比雪夫多项式 勒让德多项式 正交多项式的应用
课件
1
函数逼近中的伯恩斯坦多项式，f(x)∈C[0，1]
k k n k k B ( x ) f ( ) C ( 1 x ) x n n n k 0
n
Bezier曲线
P2
k k m k x ( t ) C t ( 1 t ) x m k
k k m k y ( t ) C t ( 1 t ) y m k k 0
m
k 0 m
P1 P0
课件
P3
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引例. 求二次多项式 P(x)= a0 + a1x + a2x2 使
切比雪夫多项式n个零点
切比雪夫多项式n个零点切比雪夫多项式是数学中的一类多项式，它的零点有着特殊的分布规律。
切比雪夫多项式的定义如下：对于正整数 n，切比雪夫多项式 Tn(x) 定义为：Tn(x) = cos(n * arccos(x))首先，我们来了解一下切比雪夫多项式的零点分布情况。
切比雪夫多项式的 n 个零点，它们位于区间 [-1, 1] 上，并且在该区间上均匀分布。
也就是说，这些零点会在该区间上等距离地排列。
这个特点带给我们很多有意义的启示和指导。
首先，我们可以利用切比雪夫多项式的零点来进行数值计算。
由于这些零点等距离分布，我们可以将区间 [-1, 1] 等分成 n 个小区间，并以切比雪夫多项式的零点为节点进行插值计算。
这样的计算方式具有较高的精度，并且可以减少计算量。
因此，在数值计算中，我们可以考虑使用切比雪夫多项式零点来提高计算效率。
另外，切比雪夫多项式的零点的分布特点也给我们提供了一种优化算法的思路。
例如，在线性代数中，我们经常需要寻找多项式的根。
利用切比雪夫多项式的零点分布规律，我们可以通过将多项式转化为切比雪夫多项式的形式，然后利用这些等距离零点进行迭代逼近，从而更快速地找到多项式的根。
此外，切比雪夫多项式的零点还在信号处理、图像处理等领域发挥了重要作用。
例如，在数字滤波器的设计中，通过将滤波器变换为切比雪夫多项式形式，并利用零点的特殊分布规律，可以得到更优秀的滤波器设计方案。
总结起来，切比雪夫多项式的零点具有等距离分布的特点，为数值计算、优化算法和信号处理等方面提供了重要的指导意义。
我们可以利用这些分布规律来提高计算精度和效率，在实际应用中发挥更好的效果。
切比雪夫多项式的研究和应用将为我们的科学研究和工程实践带来更多的便利和创新。