(完整版)同济大学概率论期末复习题(含答案)

复习题（1）--（A ）

备用数据：2

2

0.9950.0250.975(8) 3.3554,(8) 2.1797,(8)17.5345t χχ===,

,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ.95.0)645.1(=Φ

一、填空题(18分)

1、 （6分）已知()0.3,()0.4,()0.32,P A P B P A B ===则 ()P A B ⋃=___ __ ，

()P AB = ，()P A B ⋃= .

2、 （6分）设一个袋中装有两个白球和三个黑球，现从袋中不放回地任取两个球，则取到

的两个球均为白球的概率为 ；第二次取到的球为白球的概率为 ；如果已知第二次取到的是白球，则第一次取到的也是白球的概率为 .

3、 （6分）假设某物理量X 服从正态分布),(2

σμN ,现用一个仪器测量这个物理量9次,由此算出其样本均值56.32,x =样本标准差0.22s =,则μ的置信水平0.99的双侧置信区间为_____________,σ的置信水平0.95的双侧置信区间为__________ _____.

二、（12分）设有四门火炮独立地同时向一目标各发射一枚炮弹，若有两发或两发以上的炮

弹命中目标时，目标被击毁.

（1） 如果每发炮弹命中目标的概率（即命中率）为0.9，求目标被击毁的概率； （2） 若四门火炮中有两门A 型火炮和两门B 型火炮，A 型火炮发射的炮弹的命中率

为0.9，B 型火炮发射的炮弹的命中率为0.8，求目标被击毁的概率.

三、(12分)设某保险公司开办了一个农业保险项目，共有一万农户参加了这项保险，每户交保险费1060元，一旦农户因病虫害等因素受到损失可获1万元的赔付，假设各农户是否受到损失相互独立.每个农户因病虫害等因素受到损失的概率为0.10.不计营销和管理费用. （要求用中心极限定理解题）

(1)求该保险公司在这个险种上产生亏损的概率； (2)求该保险公司在这个险种上的赢利不少于30万的概率.

四、(16分)设随机变量X 的分布函数为

2

2,0()0,0

x A Be x F x x -⎧⎪

+>=⎨⎪≤⎩. 其中,A B 为常数.

(1)求常数,A B ; (2)求X 的概率密度函数； (3)求概率(12)P X <<; (4)求2

(),(),()E X E X D X .

五、（16分）若),(Y X 的联合密度函数为1,01

(,)0,y x x f x y ⎧≤≤≤⎪=⎨⎪⎩且其他

(1)分别求Y X ,边缘密度函数； (2)求 (),(),()E X E Y E XY ; (3)问：Y X ,是否相互独立？Y X ,是否相关?为什么？请说明理由. (4)求11(,)22

P X Y ≤≤.

六、(12分) 设126,,,X X X L 是取自正态总体),0(2

σN 的简单随机样本,02

>σ,分别

求下列统计量服从的分布：（1） 22

121222234562()

X X T X X X X +=+++ ； （2

）2T =.

七、（14分）设12,,,n X X X L 是取自总体X 的样本,X 的密度函数为

21,()20,x e x f x x ϑ

ϑϑ-

-⎧≥⎪=⎨⎪<⎩

, 其中ϑ未知.

(1) 求ϑ的极大似然估计;

(2) 问: ϑ的极大似然估计是ϑ的无偏估计吗? 如果是，请给出证明；如果不是，请将其修正为ϑ的无偏估计.

参考答案：

一、 1.0.5720.1280.872

2.0.10.40.25

3.[56.0739,56.5660],

[0.1486,0.4215]

二、 (1)0.9963(2)0.9892 三、 (1)1(2)

(2)(1)-ΦΦ

四、 (1)1,1A B ==- 2

2,0(2)()0,

0x xe x f x x -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩ 1

2

2(3)(12)P X e e --<<=-

2(4)()()2,()222

E X E X D X π

=

==- 五、2,01

1||,0||1

(1)()()0,0,

X Y x x y y f x f y <<-<<⎧⎧==⎨⎨

⎩⎩其余其余

2

(2)(),()0,()0

3

11

(3)(,0)()(0),()()()

33

(4)(||0.5,||0.5)0.25

X Y E X E Y E XY X Y f f f E XY E X E Y P X Y ===≠=≤≤=与不独立，因为 也不相关，因为

六、12(1)~(2,4)

(2)~(3)T F T t

七、(1)

2ˆˆ(1)(2)()X E n θθθθ==+≠，所以不是无偏估计，1(1)

2ˆX n

θ=-为无偏估计。

复习题（1）（B ）

备用数据：2

2

0.950.0250.975(9) 1.833,(9) 2.700,(9)19.023t χχ===,

,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ.95.0)645.1(=Φ 45.161)1,1(95.0=F .

一、填空题(18分)

1、 （6分）掷一颗均匀的骰子两次，以,x y 表示先后掷出的点数，记{}(,):10A x y x y =+<，

{}(,):B x y x y =>则 ()P A B ⋃=___ __ ，()P AB = ， ()P B A = .

2、 （6分）某公共汽车站从上午7：00起每15分钟发一班车，如果小王是在7：00到7：30之间（等可能地）随机到达该汽车站的，则小王在车站的等候时间不超过5分钟的概率为 ；小王在车站的平均等候时间为 分钟，小王在车站的等候时间的标准差为 分钟.

3、 （6分）假设某物理量X 服从正态分布),(2

σμN ,现用一个仪器测量这个物理量10次,由此算出其样本均值14.705,x =样本标准差 1.843s =,则μ的置信水平0.90的双侧置信区间为_________________,σ的置信水平0.95的双侧置信区间为__________ _____.

二、（12分）某种电子元件在电源电压不超过200伏、200伏至240伏之间及超过240伏这三种情况下使用时损坏的概率依次为0.1、0.001及0.2，设电源电压)400,220(~N X . （1） 求此种电子元件在使用时损坏的概率；

（2） 求此种电子元件在遭损坏时电源电压在200伏至240伏之间的概率.

三、(12分)每个正常男性成人血液中每毫升所含的白细胞数的数学期望为7300，标准差为700.现准备随机抽查100个正常男性成人的血液，记第i 个被抽查人的血液中每毫升所含的

白细胞数为i X ，

.100,,2,1Λ=i 记∑==100

1

100

1

i i

X

X .求概率()

73707230≤≤X P 的近似值.

（要求用中心极限定理解题）