《概率统计》期末考试试题

《概率统计》期末考试试题3

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1） 设()0.5P A =,()0.6P B =,(|)0.8P B A =，则,A B 至少发生一个的概率为

_________.

（2） 设X 服从泊松分布，若2

6EX =，则(1)P X >=___________.

（3） 设随机变量X 的概率密度函数为

1

(1),02,()4

0,x x f x ?+<

（4） 元件的寿命服从参数为1

100的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够

正常工作100小时以上的概率为_____________.

（5） 设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布

2

(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得

16

1

8

i

i X

==∑，

16

2

1

34

i

i X

==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区间为___________.

0.050.025((1

5) 1.7531,(15) 2.1315)

t t == 解：（1）()()()

0.8(|)1()0.5P BA P B P AB P B A P A -===

-得 ()0.2P AB =

()()()() 1.10.20.9P A B P A P B P AB =+-=-= .

（2）222

~(),6()X P EX DX EX λλλ==+=+ 故 2λ=.

(1)1(1)1(0)(1)P X P X P X P X >=-≤=-=-=

222

1213e e e ---=--=-.

（3）~(8,)Y B p ，其中

21

15(1)(1)48p P X x dx =>=+=?

5315

8888DY =??=

. （4）设第i 件元件的寿命为i X ，则1

~(

),1,2,3,4,5100

i X E i =. 系统的寿命为Y ，所

求概率为

125(100)(100,100,,100)P Y P X X X >=>>> 5

15

5

1[(100)][11].P X e e --=>=-+=

（5）μ的置信度1α-下的置信区间为

/2/2(((X t n X t n αα--+-

162

2

2110.5,[16]2, 1.4142,16

15i i X S X X S n ===-===∑

0.025(15) 2.1315.t =

所以μ的置信区间为（0.2535,1.2535-）.

二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分）

（1）,,A B C 是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A ）()A B B A B -= .

（B ）()A B A B -= .

（C ）()A B AB AB AB -= .

（D ）()()()A B C A C B C =-- . （ ）

（2）设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F

x F x ，为使 12()()()F x aF x bF x =+是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值

中应取

（A ）

32,55a b ==-. （B ）22

,33a b ==

. （C ）

13,22a b =-=. （D ）13,22a b ==

. （ ）

（3）设随机变量X 的分布函数为()X F x ，则35Y X =-的分布函数为()Y F y =

（A ）(53)X F y -. （B ）5()3X F y -. （C ）

3(

)5X y F +. （D ）31()5X y F --. （ ）

（4）设随机变量12,X X 的概率分布为

101

1

11

4

2

4i

X P

- 1,2i =. 且满足12(0)1P X X ==，则12,X X 的相关系数为

1

2

X X ρ=

（A ）0. （B ）14. （C ）1

2. （D ）1-. （ ）

（5）设随机变量

1

~[0,6],~(12,)

4X U Y B 且,X Y 相互独立，根据切比 雪夫不等式有(33)P X Y X -<<+

（A ）0.25≤. （B ）512≤

. （C ）0.75≥. （D ）5

12≥

. （ ） 解：（1）（A ）：成立，（B ）：()A B A B A B -=-≠ 应选（B ）

（2）()1F a b +∞==+. 应选（C ） （3）()()(35)((3)/5)Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=>-

331(

)1()55X y y

P X F --=-≥=- 应选（D ）

（4）12(,)X X 的分布为

12120,0,0EX EX EX X ===，所以12cov(,)0X X =， 于是

1

2

X

X ρ=. 应选（A ）

（5）(33)(||3)P X Y X P Y X -<<+=-< ()0E Y X EY EX -=-= 921

()344D Y X DY DX -=+=+

=

由切比雪夫不等式

21

5

4(||3)1912P Y X -<≥-=

应选（D ）

三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而进入

超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有k 个顾客购买A 种商品的概率。

解：设B =‘一天中恰有k 个顾客购买A 种商品’ 0,1,

k = n C =‘一天中有n 个顾客进入超市’ ,1,n k k =+

则

()()()(|n

n n n k

n

k

P B P C B P C P B C

∞∞

====∑∑

(1)!n

k k

n k

n n k

e C p p n λλ∞

--==-∑

()(1)!()!k n k n k

n k p e p k n k λλλ-∞--==--∑ ()!k

p p e

k λλ-= 0,1,k = .

四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参

数μ之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y 表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y 的分布列. （2）

EY 和DY .

((2)

0.977,(1)

0.8

Φ=Φ= 解：（1）~(100,)Y B p ，其中

8472

(6084)(

)

p P X σ

-=<≤=Φ

607212()2()1

σσ--Φ=Φ-

由

967224

0.023(96)1()1()

P X σσ-=>=-Φ=-Φ 得 24()0.977σΦ=，即242σ=，故121σ= 所以 2(1)10.6826p =Φ-=.

故Y 的分布列为100100()(0.6826)(0.3174)

k

k

k

P Y k C -==

（2）1000.682668.26EY =?=，68.260.317421.6657DY =?=.

五、（10分）设(,)X Y 在由直线2

1,,0x x e y ===及曲线

1

y x =

所围成的区域

上服从均匀分布，

（1）求边缘密度()X f x 和()Y f y ，并说明X 与Y 是否独立. （2）求(2)P X Y +≥.

22

11ln 2e e D S dx x x ===

(,)X Y 的概率密度为

1

,(,),(,)2

0,x y D f x y ?∈?=???其它.

（1）12

01,1,

()(,)2

0,.x X dy x e f x f x y dy +∞-∞

?≤≤?==?????其它

21

,1,20,

.

x e x ?≤≤?=??

?其它

2211

211,1,21,

1,

()(,)20,e y Y dx y e dx e y f y f x y dx -+∞--∞

?≤≤???

<≤==???

??

???

其它

2

221(1),1211,1

220,

e y e e y y --?-≤≤??

?-<≤=?

???

?其它

（2）因(,)()()X Y f x y f x f y ≠?，所以,X Y 不独立.

（3）

2

(2)1(2)1(,)x y P X Y P X Y f x y dxdy

+<+≥=-+<=-

??

1113

110.75

2244=-?=-==.

六、（8分）二维随机变量(,)X Y 在以(1,0),(0,1),(1,0)-为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求Z X Y =+的概率密度。

1,(,),

(,)0,.x y D f x y ∈?=?

?其它

设Z 的概率密度为()Z f z ，则

()(,)Z f z f z y y dy

+∞-∞

=-?

1,0

1,211(,)0,y y z f z y y ?≤≤-<

?其它

当 1z <-或1z >时()0Z f z =

当 11z -<≤时1

20

1()2z Z z f z dy ++==

?

所以Z 的密度为

1

,||1,()2

0,.Z z z f z +?

()()()(,)Z x y z

F z P Z z P X Y z f x y dxdy

+≤=≤=+≤=

??

120,1,0,1(1),11,11,4

1, 1.1,1D z z z dxdy z z z z ?≤-?≤-??+??=-<<=-<

故Z 的密度为

1,||1,()()2

0,.Z Z z z f z F z +?

'==???其它

七、（9分）已知分子运动的速度X 具有概率密度

2

2(),0,0,()0,0.x x f x x αα-?>>=≤? 12,,,n x x x 为X 的简单随

机样本

（1）求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。

解：（1）先求矩估计

2

3

()10

x

EX dx

α

μ-+∞==?

2

2

2

()()0

x

x xe

dx α

α

+∞--+∞=

?

=

2X α

∴=

再求极大似然估计

2

2

(

)11

(,,;)i

x n

n i L X X α

α-==

32

2

14()n

n

n

n x x α

π--= 2

2

1

1

n

i i x e

α=-∑?

2

22

121

1

ln 3ln ln(4)ln()n n

n

n i i L n x x x απ

α

-

==-++-

∑

2

31

l n 320n i i L n x d αααα==-+∑

得α的极大似然估计

α

=

（2）对矩估计

E EX α

α==

=

所以矩估计

2X

α=

是α的无偏估计.

八、（5分）一工人负责n 台同样机床的维修，这n 台机床自左到右排在一条直

线上，相邻两台机床的距离为a （米）。假设每台机床发生故障的概率均为

1

n ，且相互独立，若Z 表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走 的路程，求EZ .

解：设从左到右的顺序将机床编号为1,2,,n

X 为已经修完的机器编号，Y 表示将要去修的机床号码，则

11

(),(),,1,2,,P X i P Y j i j n n n ==

===

21

(,)()()P X i Y j P X i P Y j n ======

||Z i j a =- 于是

11

||(,)

n n

i j EZ i j aP X i Y j ===-==∑∑

211

1||n

n

i j i j a n ===-?

∑∑

211

1()()n i

n i j j i a i j j i n ===+??=-+-??

??∑∑∑ 2(1)

.

3n a n -=