2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国Ⅰ卷)解析版

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>

D ．A B =?

【答案】A 【解析】

试题分析：由31x <可得0

33x <，则0x <，即{|0}B x x

=<，所以

{|1}{|0}A B x x x x =<<

{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.

【考点】集合的运算，指数运算性质

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.

2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A ．1

4 B ．π8 C ．

12

D ．

π4

【答案】B 【解析】

试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2

a ，圆的面积为2π4

a .

由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概

率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是

2

21ππ248

a a ?=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足11

42

p <<，故选B. 【考点】几何概型

【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题

1p ：若复数z 满足1

z

∈R ，则z ∈R ；

2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；

3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .

其中的真命题为 A ．13,p p

B ．14,p p

C ．23,p p

D ．24,p p

【答案】B

【考点】复数的运算与性质

【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成

i(,)z a b a b =+∈R

的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数

即可.

4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【答案】C 【解析】

【考点】等差数列的基本量求解

【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.

5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

【答案】D 【解析】

试题分析：因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3]，选D. 【考点】函数的奇偶性、单调性

【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 6．621

(1)(1)x x

+

+展开式中2x 的系数为 A ．15

B ．20

C ．30

D ．35

【答案】C 【解析】

试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22

261C 15x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为4426

21C 15x x x

?=，故2x 的系数为151530+=，选C. 【考点】二项式定理

【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

【答案】B 【解析】

试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为1

2(24)2122

?+??=，故选B.

【考点】简单几何体的三视图

【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.

8．下面程序框图是为了求出满足3n?2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入

A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2

C．A≤1 000和n=n+1 D．A≤1 000和n=n+2

【答案】D

【考点】程序框图

【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该

如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除. 9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +

2π

3

)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】

试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数

名，则22π2πππ

:sin(2)cos(2)cos(2)3326

C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π

12

个单位长度得到2C ，故选

D.

【考点】三角函数图象变换

【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住π

π

sin cos(),cos sin()22

αααα=-=+

；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.

10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于

A 、

B 两点，直线l 2与

C 交于

D 、

E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【答案】A

【考点】抛物线的简单几何性质

【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为

α

，则22||sin p

AB α

=

，则

22

22||πcos sin (+)

2

p p

DE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 2222

22222

111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα

=++=++≥?+=.

11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z

==，则

A ．2x <3y <5z

B ．5z <2x <3y

C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

【答案】D

【考点】指、对数运算性质

【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，

再用这个常数表示

出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，

他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，数列如下：

11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -

则该数列的前(1)

122

k k k ++++=

项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++??=+++++++=-- ???

， 要使

(1)

1002

k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=- ，

所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时5

2329k =-=，

所以对应满足条件的最小整数2930

54402

N ?=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列

【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .

【答案】【解析】

试题分析：222|2|||44||4421cos60412+=+?+=+???+= a b a a b b ，所

以

|2|+==a b 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱

形的对角线的长度，则为

【考点】平面向量的运算

【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.

14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤??

+≥-??-≤?

，，，则32z x y =-的最小值为 .

【答案】5- 【解析】

试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，

易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，

由32z x y =-得322

z

y x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，

所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为3(1)215?--?=-. 【考点】线性规划

【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.

15．已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，

圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .

【解析】

试题分析：

如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线b

y x a

=

上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=

，

点(,0)A a 到直线b

y x a

=

的距离||AP =，

在Rt PAN △中，||

cos ||

PA PAN NA ∠=

，代入计算得223a b =

，即a =， 由222c a b =+得2c b =，

所以3c e a =

==

. 【考点】双曲线的简单几何性质

【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是

ab

c

. 16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，

E ，

F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为

.

【答案】【解析】

试题分析：如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长

为x (x >0)，则13OG ==.

∴5FG SG ==-

，

SO h ===

∴三棱锥的体积21133ABC V S h =?=△=.

设()455n x x =，x >0，则()34

20n x x '=，

令()0n x '=，即43

40

x -=，得x =，易知()n x 在x =处取得最大值.

∴max 48V =

=

【考点】简单几何体的体积

【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2

3sin a A

.

（1）求sin B sin C ;

（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】

试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式2

1sin 23sin a ac B A

=，再利用正弦定理将边

化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =

和2

sin sin 3

B C =计算出1

cos()2

B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从

而求出ABC △的周长为3.

【考点】三角函数及其变换

【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ω?=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18．（12分）

如图，在四棱锥P?ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=

.

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A ?PB ?C 的余弦值. 【解析】

试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ?平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，

由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .

以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB

为单位长，建立如图所示的空间直

角坐标系F xyz -.

由（1

）及已知可得(

2A

，(0,0,2P

，(2

B

，(2C .

所以()22PC =--

，CB =

，(22

PA =- ，(0,1,0)AB = .

设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则

0,0,PC CB ??=?

??=??

n n

即0,220,

x y z ?-+-=?=

可取(0,1,=-n .

设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则

0,0,PA AB ??=???=?? m m

即0,

22

0.

x z y -=???=?

可取(1,0,1)=m .

则cos ,||||?=

=<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --

的余弦值为3

-

. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解

【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．

（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95

经计算得16119.9716i i x x ===∑

，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???．

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，

160.997 40.959 2≈

0.09≈．

【解析】

试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此

16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.

X 的数学期望为160.00260.0416EX =?=.

（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，

可见上述监控生产过

程的方法是合理的.

（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为?9.97μ

=，σ的估计值为?0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在????(3,3)μ

σμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除????(3,3)μσμσ

-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为

1

(169.979.22)10.0215

?-=，因此μ的估计值为10.02. 16

2221

160.212169.971591.134i

i x

==?+?≈∑，

剔除????(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为

221

(1591.1349.221510.02)0.00815

--?≈，

因此σ0.09≈. 【考点】正态分布，随机变量的期望和方差

【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则. 20．（12分）

已知椭圆C ：22

22=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1，

2

）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】

试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由

2222

1113

4a b a b

+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为

k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y k x m =

+代入2

214

x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，

x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.

试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由

2222

1113

4a b a b +>+

知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此2

221

1,131,4b a

b ?=????+=??解得2

24,1.a b ?=??=??

故C 的方程为2

214

x y +=.

（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，

如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t

，，（t

，.

则121k k +=

=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2

214x y +=得

222(41)8440k x kmx m +++-=.

由题设可知22=16(41)0k m ?-+>.

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km

k -+，x 1x 2=224441

m k -+.

而121212

11

y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 121212

2(1)()

kx x m x x x x +-+=

.

由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.

即222448(21)(1)04141

m km

k m k k --+?+-?=++.

解得1

2

m k +=-

. 当且仅当1m >-时，0?>，于是l ：12m y x m +=-+，即1

1(2)2

m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）.

【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系

【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 21．（12分）

已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】

试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，

()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值

1

(ln )1ln f a a a

-=-

+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03

ln(1)n a

>-，

则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3

ln(1)ln a a ->-，因此

()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).

试

题

解

析

：（

1

）

()f x 的定义域为(,)-∞+∞，

2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+，

（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.

当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在

(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.

（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.

（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为

1

(ln )1ln f a a a

-=-

+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于1

1ln 0a a

-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，1

1ln 0a a

-

+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设

正

整

数

n 满足

03

l

n (1)

n a

>-，则000

000

(

)e (e

2)e 20

n n n n

f n a

a n n n =+--

>->->. 由于3

ln(1)ln a a

->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).

【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围

【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，

第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=??=?

（θ为参数），直线l 的参数方