公开课(利用导数求切线)PPT课件

5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数 间的关系为yx′＝___y_u′_·_u_x′_，即y对x的导数等于___y_对__u的 导数与_u_对__x_的导数的乘积．
【例1】 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程． 解 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1， 又f(2)＝－2， ∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2， 即x－y－4＝0. (2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点
利用导数求切线
本节课的目标
• 1.求曲线在某处的切线； • 2.求经过某点的曲线的切线； • 3.已知曲线的切线条数，求参数的范围； • 4.判断曲线切线的条数问题
知识梳理
1．导数与导函数的概念
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数， 其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.
解 (1)由 f(x)＝2x3－3x 得 f′(x)＝6x2－3.令 f′(x)＝0，得
x＝－ 22或 x＝ 22.
因为 f(－2)＝－10，f
－
22＝
2，f
22＝－
2，
f(1)＝－1，
所以 f(x)在区间[－2，1]上的最大值为 f
－
22＝
2.
(2)设过点 P(1，t)的直线与曲线 y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则 y0 ＝2x30－3x0，且切线斜率为 k＝6x20－3，所以切线方程为 y－y0 ＝(6x20－3)(x－x0)，因此 t－y0＝(6x20－3)·(1－x0)．整理得 4x30－ 6x20＋t＋3＝0. 设 g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲
2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝_f′_(_x0_)__．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ex Байду номын сангаас(x)＝ax(a＞0，a≠1)
f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0， 即(f(x0))′＝0. 如活页T6 2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原 则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别
已知切线的条数求参数范围或判断切线的条数问题 【例2】 (2014·北京卷)已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值； (2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的 取值范围；
(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直 线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)
线 y＝f(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”． g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
于是，当 x 变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
t＋3
t＋1
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值；g(1)＝t＋1是g(x)的极小值． 当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上 分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即 t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点， 所以g(x)至多有2个零点．当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因 为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)， [0，1)和[1，2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞) 上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综 上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范 围是(－3，－1)．
P(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5， ∴切线方程为 y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点 P(x0，x30－4x20＋5x0－4)， ∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1， ∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0， 或y＋2＝0.
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2， 10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0，2)存在1条直 线与曲线y＝f(x)相切．
思考题： “直线与曲线只有一个公共点”是“直
线为曲线的切线”的什么条件?
课堂小结
[思想方法] 1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值
f(x)＝ln x
f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝__α_x_α_－_1__ f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝__－__si_n_x__ f′(x)＝__e_x_ f′(x)＝___a_xl_n_a__
1 f′(x)＝__x__
1 f′(x)＝__x_ln__a_
4. 导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝____f′_(x_)_±__g_′(_x_)___； (2)[f(x)·g(x)]′＝___f′_(_x)_g_(_x_)＋__f_(_x)_g_′_(x_)___； f′（x）g（x）－f（x）g′（x） (3)gf（（xx））′＝___________[g__（__x_）__]2__________ (g(x)≠0)．