数学建模竞赛模拟试题(2)

数学建模竞赛模拟试题（2）

A 题: 最省包装箱制造方案

某包装箱厂日常生产各种包装箱，由于该厂只和少数客户有长期协作关系，如：电视机厂、洗衣机厂、摩托

车厂、电焊条厂、洗衣粉厂、邮局等，在比较长的时间内他们的包装箱大小都保持不变, 每月的订货数量也基本相同。除此之外都是顾客临时电话或上门来订货，故而顾客的到达、顾客的订货数量、所订包装箱任务的要求和尺寸都具有比较大的随机性，尤其包装箱大小几乎全不相同。而且包装箱的颜色有白色和土黄色的两种，纸张的质量也有好、中、差三种（本题中暂不考虑），纸板的型号也有两种（主要是瓦楞的弯曲程度不同、因而所能够承受力的大小也不同，1型优于2型，当然价格也是1型比2型贵15%。当然包装箱四壁中瓦楞的方向更不可改变，否则无法承受来自上方的压力，详细见下面纸板的长、宽的计算方法），至于交货日期也早晚不等，最迟的可能15天交货也行，最早的会要求后天下班前交货（这种情况下可适当提高包装箱的单价）。由于订货情况的特殊性，该厂非常重视产品质量（原料质量和型号不能降低，但可以提高）和交货时间方面的信誉。

目前该厂每天大约有20批左右的任务，任务总和一般占到其最大生产能力的80%左右，而且如果任务紧急，

可以通过加班来完成。该厂每天的生产任务由厂调度员在前一天下班前下达，一般不再更改。由于制造包装箱的纸板在流水线上生产，而在流水线上作为原料用的大型纸卷的宽度只有1.2米,1.3米,1.6米,2.2米四种规格(长度可认为足够长),所以每次仅生产一种包装箱所需要的纸板几乎总造成比较大的浪费,为此应该将不同尺寸的包装箱搭配在一起生产以减少浪费。如果进行搭配生产，因为受到流水线设备的限制，只能按调度员所选择的宽度的纸卷来生产纸板，刚制造完的纸板立即在同一条流水线上被切成两种不同规格的纸板，并且这两种不同规格的纸板最多只能有一种可以再切成相同的两块（因为流水线上最多只能够让三把纵向刀和两把横向刀同时工作，如图1）。过去该厂一直由调度人员根据自己的经验来安排生产,即使最有经验的调度员仍然会有一些可以避免的浪费,为进一步降低成本,该厂打算利用计算机寻找浪费更小的调度方案,特聘请你们为他们制定算法。

附：包装箱的大小（长、宽、高）与所需要纸板的大小（长、宽）的关系是（见图2）： 纸板长=（包装箱长+包装箱宽）的两倍再加上5厘米（接头部分），由于包装箱主要受到来自上方的压力，

故流水线上纸的方向和纸板长的方向一致。

纸板宽=包装箱高+包装箱宽（包装箱宽度的两个1/2分别用于作包装箱上、下底面）

注：太小的包装箱不安排在流水线上生产，因而在每天20批左右的生产任务中完全可以不考虑纸板顶面积小于等于900平方厘米的包装箱。

6米

图1

阴影部分代表无法利用被浪费掉的纸板。

图2

表中的数据是该厂8天中所接到的生产任务，请你们借助循环利用这批数据的帮助为该厂设计算法并给出这8天的生产安排及纸板浪费情况。

B 校园网的设计和调节收费问题

某高校拟建一校园信息网，并与Internet连接，用户可以通过网络通信端口拨号上网，为此，需要根据用户的数量研究通信端口的设计规模。通常的通信端口分为16口、32口、64口、128口等，实际中随着通信端口数量的增加，其成本费将成倍增加。如何根据实际情况在保证基本满足用户需求的条件下，确定合适的通信端口数，以减少费用开支和资源的浪费。

当网络建成后，为了保证用户有效地使用信息网，必须要通过适当的收取线路调节费来控制上网时间，一般认为采用分段计时收费较为合理，

例如按上网时间长短分为“免费半费全费 2倍 3倍 4倍……”等时段。

现在的问题是

（1）假设有m个用户，每个用户平均每天（按16h计）上网1.5 h，试确定通信端口数n与m之比；

（2）假设m=150，按照所设定的通信端口数n，试讨论平均每天每个用户上网1h、1.5h、2h、3h、4h、5h的可能性，出现因线路忙用户想上网而上不去所产生抱怨的可能性和通信端口的平均使用率；

（3）为了控制上网时间，学校要求适当收取线路调节费，试给出一种合理的分段计时收取线路调节费的方案。

C题：最佳阵容问题

有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许10 名运动员参赛，每一个项目可以有6 名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10 ；9.9 ；9.8 ；… ；

0.1 ；0 。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。每个队应有 4 人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。

现某代表队的教练已经对其所带领的10 名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在4 个得分上（见下表），她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出（见表中第二个数据。例如：8.4 ～0.15 表示取得8.4 分的概率为0.15 ）。试解答以下问题：

1 、每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。

? 2 、若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2 分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有90 ％的把握战胜怎样水平的对手？

附表：运动员各项目得分及概率分布表

D物资进货管理问题

某个商业公司管理着５个仓库（B1—B5）和8个分店（C1—C8），主要经营10种物资，而这些物资全部向3个工厂(A1—A3)进货。公司的工作流程是根据8个分店的销售需要，先向工厂订货，然后将各种物资运送到仓库，再由仓库运送到分店进行销售。分店只消耗物资，不储存物资。

各个工厂生产10种物资的全部或部分物资，年产量如表一，而各种物资单价如表二。每个工厂到每个仓库的运输单价如表三，每个仓库的容量如表四。同种物资在不同的仓库的库存费一样，而不同物资的库存费是不同的，另外每种物资有着自己的体积，物资的库存费与单位占用库容如表五。5个仓库到8个分店的运输单价如表六，８个分店对物资的年需求量如表七。

公司每次订货都会有其它的各种花费，不妨称为订货费，设公司每次的订货费为1万元，另外，一次订货可使用的流动资金上限为100万元，如果进行销售时允许缺货，但是缺货的损失费是存储费的2倍，请问：

（1）公司一年之中应该怎样组织订货（各种物资的订货次数与订货量以及运输方案）使得总的花费最少？

（2）如果A1工厂有订购优惠活动，物资订购量每增加30件订购单价就会降低5元，最多优惠15元，公司又应该怎样组织订货？

附加说明：1.问题的开放部分可自己合理假设；

2.若数据有不合理的地方自己进行适当的修改，并在论文中说明清楚。附表：

（表一：3个工厂生产10种物资的年产量）

（表三：3个工厂到5个仓库的运输单价）

（表四：四个仓库的库容量）

（表五：10种物资的单件库存费和体积）

（表六：5个仓库到8个分店的单位运价）