一元非线性回归分析

总体上拟合程度的好坏， s 给出了观测点与回归曲线
偏离的一个量值. 所以，通常在实际问题中两者都求 出，供使用者从不同角度去认识所拟合的曲线回归.
⑶ F检验（类似与一元线性回归中的F检验）
F SSR /1 , SSE /(n 2)
其中
n
SST ( yi y)2, i 1 n
SSE ( yi yˆi )2 , i 1
布离曲线较近.因此选 R2 大的方程为好.
⑵ 剩余标准差 s
定义
s SSE /(n 2)
s 称为剩余标准差. 类似于一元线性回归方程中对 s 的估计. 可以将 看成是平均残差平方和的算术根，
自然其值小的方程为好.
其实上面两个准则所选方程总是一致的， 因为 s
小必有残差平方和小， 从而 R2 必定大. 不过，这两个 量从两个角度给出我们定量的概念. R2 的大小给出了
y v1(v)
x

u 1 (u)
还原为目标函数形式的非线性回归方程.
常用非线性函数及其线性化方 法
⑴ 倒幂函数 y a b x
函数图象
线性化方法
令 v y, u 1 ,则 v a bu.
x
⑵ 双曲线函数 1 a b
y
x
函数图象
b<0
b>0
线性化方法
SSR SST SSE.
3. 应用范例与MATLAB实现
商店销售额与流通率的非线性回归分析
流通率是反映商业活动的一个质量指标，指每元 商品流转额所分摊的流通费用.
收集了九个商店的有关数据 。
非线性回归分析
Non-linear Regression Analysis
1.常用的目标函数及其线性化的方法 2.回归方程的评价方法 3.应用范例与MATLAB实现
1. 常用的目标函数及其线性化方法
在一些实际问题中，变量间的关系并不都是线性的， 那时就应该用曲线去进行拟合.用曲线去拟合数据首先要
解决的问题是回归方程中的参数如何估计？
令
v 1, u 1,
y
x
则
v a bu.
⑶ 幂函数
函数图 象
y axb
b<0
0<b<1
b>1
线性化方法
令 v ln y , u ln x, 则 v ln a bu.
⑷ 指数函数 y aebx
函数图象
b>0
b<0
线性化方法
令v ln y , u x, 则 v ln a bu. ⑸ 倒指数函数 y aeb/ x
解决问题的基本思路
对于曲线回归建模的非线性目标函数 y f (x), 通过
某种数学变换
v u

v( u(
y) x)
使之“线性化”化为一元线性
函数 v a bu 的形式，继而利用线性最小二乘估计的
方法估计出参数a和b ，用一元线性回归方程 vˆ aˆ bˆu
来描述 v 与 u 间的统计规律性，然后再用逆变换
函数图象
b>0
b<0
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线性化方法
令 v ln y , u 1/ x, 则 v ln a bu. ⑹ 对数函数 y a bln x
函数图象
b>0
b<0
线性化方法
令 v y , u ln x, 则 v a bu.
⑺
S型曲线
y

a

1 be x
函数图象
线性化方法
令 v 1/ y , u ex,
则 v a bu.
2. 回归方程的评价方法
对于可选用回归方程形式，需要加以比 较以选出较 好的方程，常用的准则有：
⑴ 决定系数 R 2
定义
R2 1 SSE , SST
称为决定系数.显然 R2 1 . R2 大表示观测值 yi 与拟 合值 yˆi比较靠近，也就意味着从整体上看，n个点的散