中考专题三角函数学生版

中考专题—锐角三角函数和解直角三角形

1.锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°

①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即

c

a

sin =∠=

斜边的对边A A

②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即

c

b

cos =∠=

斜边的邻边A A

③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a

tan =∠∠=

的邻边的对边A A A

④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a

b

cot =∠∠=

的对边的邻边A A A

锐角三角函数的概念:锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2.各锐角三角函数之间的关系：

（1）互余关系： sinA=cos(90°—A)， cosA=sin(90°—A)，

tanA=cot(90°—A)， cotA=tan(90°—A)

（2）平方关系： 1cos sin 2

2

=+A A （3）倒数关系： tanA • cotA =1 （4）弦切关系： tanA=

A

A

cos sin 3.锐角三角函数的增减性： 当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； （2）余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

中考真题

1 锐角三角函数以及特殊角

（2011江苏省无锡市）sin45°的值是（ ） A.

1

2

B. 2 D.1

（2012四川内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为

A ．1

2

B C D

（2012山东省滨州）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ） A ．不变 B ．缩小为原来的1

3

C ．扩大为原来的3倍

D ．不能确定

图4

（2012湖南衡阳市）观察下列等式 ①sin30°= cos60°= ②sin45°= cos=45°=

③sin60°=

cos30°=

根据上述规律，计算sin 2

a+sin 2

（90°﹣a ）= ．

（2012陕西）计算：()

2cos 45-38+1-2=︒　

．

2 三角函数的有关计算

（12—天津）．如图，甲楼AB 的高度为123m ，自甲楼楼顶A 处，测得乙楼顶端C 处的仰

角为45°，测得乙楼底部D 处的俯角为30°，求乙楼CD 的高度（结果精

确到0.1m ，3取1.73）．

（11—天津）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A 与望海楼B 的距离为300m ，在A 处测得望海楼B 位于A 的北偏东30︒方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C ，在C 处测得望海楼B 位于C 的北偏东60︒方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC （3取1.73，结果保留整数）．

（10—天津）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD BE

=，AE

与CD交于点F，AG CD

⊥于点G，则AG

AF

的值为

．

（10—天津）永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之

一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如

图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为

45︒，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测

得最高点A的仰角为60︒．

求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB

（3 1.732

≈，结果保留整数）．

（2012福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离

是（）

A．200米 B. 2003米 C. 2203米 D. 100(31)

+米

A

45°

60°

第（23）题

( 20XX 年浙江省宁波市)如图，Rt △ABC,∠C=900

,AB=6,cosB=23 ,则

BC 的长为

（A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 1213

13

（2012福州）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则

AD 的长是 ，cosA 的值是 .（结果保留根号）

考点：等腰三角形的判定、性质， 三角形相似的判定和性质，

（2012连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点

B 的直线折叠，使点A 落在B

C 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是

C D

A

325

8题图

A B

C

考点：根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。

(2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB BE

⊥，EF BE

⊥，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）（A）1组（B）2组（C）3组（D）4组

考点：解直角三角形和三角形相似的性质与判定．

（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的

余切，记作ctanα, 即ctanα=

BC

AC

=

的对边

角

的邻边

角

α

α

，根据上述角的余切定义，解下列问题：

（1）ctan30◦= ；

（2）如图，已知tanA=

4

3

，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．

（2012浙江丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°.

（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________；

（2）若射线EF经过点C，则AE的长是________.

A

B

C

D

E

F

F

22题图