柴俊,丁大公,陈咸平 等 编 科学出版社 华东师范大学 高等数学作业集 答案Ch_11_Infinite_series
第11章 无穷级数
参考解答
1、根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性： （1）
()
11
1n n n ∞
=+∑ 解：()()1
11
1111n
n k S n k k n ==
=-→→∞++∑，故原级数收敛。 （2
）
1
n ∞
=
解
：()1n
n k S n ==
=→∞→∞，故原级数发散。
2、用比较审敛法判别下列级数的敛散性： （1
）
1
n ∞
= 解
：3
2
lim 1n n →∞==<，而级数312
1n n ∞
=∑收敛，故原级数收敛。
（2）2
3
111n n n
∞
=++∑ 解：2
311lim 11n n n n
→∞++==，而级数11n n
∞=∑发散，故原级数发散。
（3）
1
12sin
5
n n n ∞
=∑ 解：1
2sin
5lim 125n n n n →∞
==??
???
，而级数125n n ∞=?? ???∑收敛，故原级数收敛。
（4）22
11ln n n n ∞
=??
+ ???
∑ 解：222
1ln lim 11n n n n →∞??
+ ???=
=，而级数211n n
∞
=∑收敛，故原级数收敛。 （利用极限1lim 1n
n e n →∞??
+= ???
，或()0ln 1lim
1x x x →+=） （5）
()
11
ln 1n n ∞
=+∑ 解：
()11ln 1n n >+，而级数11
n n
∞
=∑发散，故原级数发散。 3、用比值审敛法判别下列级数的敛散性： （1）
1
21n
n n
∞
=-∑ 解：111121121lim lim 121221
n n n n n n
n n n n ++→∞→∞++--==<--，故原级数收敛。 （2）15!
n n n n n
∞
=∑
解：()()
11
51!
115
lim
5lim
15!11n n n n
n n n
n n n e
n n ++→∞
→∞
++==
>??+ ???
，故原级数发散。 （3）()()2
1!2!
n n n ∞
=∑
解：()()
()()()()()()2
2
21!22!
11
lim
lim 121224
!2!
n n n n n n n n n →∞
→∞+++==<++，故原级数收敛。
（4）
2
1
2arctan
3
n n n
∞
=∑ 解：()
2
122
1arctan
13lim
123arctan 3
n n n
n n +→∞
+=<，故原级数收敛。（利用极限0arctan lim 1x x x →=） 4、用根值审敛法判别下列级数的敛散性：
（1）1232n
n n n ∞
=??
?+?
?∑
解
：22lim 1323n n n n →∞==<+，故原级数收敛。 （2）()ln 112
n
n n a a ∞
=>∑
解
：ln 1
lim 122
n
n
n n a →∞==<，故原级数收敛。 （3）()1
212n
n
n ∞
=+-∑ 解：
1
12
n =<，故原级数收敛。 5、判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛： （1
）
()11ln 1n
n ∞
=?-+ ?∑
解
：ln 1ln 1??+
> ?
?，且limln 10n →∞?
= ?
，故原级数为Leibniz 型交
错级数。但因lim 1n →∞
=，而n ∞
=发散，故1ln 1n ∞
=?+ ?
∑发散。因此，原级数条件收敛。 （2）
()
1
311cos n
n n ∞
=?
?-- ??
?∑
解：2331cos 2sin 2n u n n =-=，1n n u u +>，且23lim lim 2sin 02n n n u n
→∞→∞==，故原级数
为Leibniz 型交错级数。但因2232sin 92lim 12n n n
→∞=<+∞，而211n n ∞=∑收敛，故2
1
32sin 2n n ∞
=∑收敛。因此，原级数绝对收敛。
（3）1cos n n n π
∞
=∑（即()1
1n
n n ∞
=-∑
） 解：111n n >+，且1
lim 0n n →∞=，故原级数为Leibniz 型交错级数。但因11n n
∞
=∑发散，故原
级数条件收敛。 （4）
(
)11n n ∞
=-∑ 解：考察函数(
)f x =2
x e >时，(
)f x '=
0=<，故函数()f x 在()
2,e +∞上单调下降。由此可知，当8n >
时，
ln 1n +>
，且易知
0n =，故原级数为Leibniz
型交错级数。但因n →∞
=+∞，而n ∞
=发散，故
1
n ∞
= 6、求下列幂级数的收敛区间： （1）
2
1
41
n n x n
∞
=+∑
解：()()2
222
1
41141
lim lim 11411
41
n n n n n n ρ→∞→∞+++===+++，故得1R =。1x =时，级数为
2
1
41
n n
∞
=+∑；1x =-时，级数为
()
2
141
n
n n
∞
=-+∑，上述级数均收敛，故原幂级数的收敛区间为
[]1, 1-。
（2）()()
0121n
n n
n x n ∞
=-+∑
解：()()
()11
2211
lim lim 122221n n n n
n n n n ρ+→∞→∞++===++，故得2R =。2x =时，
级数为()011
n
n n ∞
=-+∑，此系Leibniz 型交错级数；2x =-时，级数为0
1
1n n ∞
=+∑，此系调和级数。故原幂级数的收敛
区间为(]2,2-。 （3
）
20
2n n n x ∞
=∑
解
：原幂级数即为
20
n
n n x ∞
=，此为缺项幂级数。因
22n x =， 故由2
21x <
，得R =
。x =
时，级数均成为0
n ∞
=，发散。故原幂级
数的收敛区间为? ?。 （4）
()
()
1
23121
n
n
n x n ∞
=---∑
解：1
21lim 1121
n n n ρ→∞+==-，故得1R =。1x =时，级数为1
121n n ∞
=-∑，发散；2x =时，级数为
()
121n
n n ∞
=--∑，系Leibniz 型交错级数。故原幂级数的收敛区间为(]1,2。
（5）21
!n
n n x n ∞
=∑ 解：()
()2
2
11!lim
0!
n n n n n ρ→∞
++==，故得
R =+∞，原幂级数的收敛区间为(),-∞+∞。
7、利用逐项求导或逐项积分求下列幂级数的和函数： （1）
1
n
n nx
∞
=∑
解：1
lim
1n n n
ρ→∞+==，故得1R =。1x =±时，相应的级数均发散（一般项不趋于零）
。故幂级数的收敛区间为()1, 1-。设()()11
1
n
n n n S x nx
x nx xT x ∞
∞
-===
==∑∑，则
()0
1
1x
n n x T x dx x x ∞
===
-∑?
，()()
2
111d x T x dx x x ??== ?-??- 故得()()()
2
1x
S x xT x x ==
-，()1, 1x ∈-。
（2）21
21n
n x n ∞
=+∑
解：22
221
23lim 1
21
n n n
x n x x n +→∞+=+，故得1R =。1x =±时，相应的级数均发散。故幂级数的
收敛区间为()1, 1-。
设()21
21n
n x S x n ∞
==+∑，则当0x =时，有()00S =。当0x ≠时，
()()21111
21n n x S x T x x n x
+∞===+∑，
但()21222
11211n n n n d x x T x x dx n x +∞∞=='===+-∑∑，故得()22011ln 121x x x T x dx x x x +==---?，于是得
()()111ln 121x
S x T x x x x
+==--，()()1, 00, 1x ∈-U 。
因此，所求幂级数之和函数为
()()()()111ln 1 11,0210 0x T x x x x
x x S x x +?=--<<≠?
-=??=?
（3）
2
21
n n n x n ∞
=-∑ 解：()221
1
lim 111n n n n
n ρ→∞
+-==+-，故得1R =。1x =时，相应的级数为221n n n ∞
=-∑，因2
1lim 11
n n
n n
→∞-=，而11
n n
∞
=∑发散，故2
21
n n
n ∞
=-∑发散。1x =-时，相应的级数为()
22
11
n
n n
n ∞
=--∑，为Leibniz 型交错级数。故幂级数的收敛区间为[)1, 1-。 设()2222211111111
2112121n
n n n n n n n n S x x x x x n n n n n ∞
∞∞∞====??==+=+ ?--+-+??∑∑∑∑，则当0x =时，有()00S =。当0x ≠时，
()()()111
2221111
212122n n n n x x S x x x S x S x n x n x
∞∞-+===+=+-+∑∑ 其中()11211n n S x x n ∞
-==-∑，()1
2211
n n S x x n ∞+==+∑。因 ()2
12
11n n S x x
x ∞
-='==-∑，()222
1n
n x S x x x ∞
='==-∑
故得
()()101
ln 11x
S x dx x x ==---?，()()22201ln 112
x x S x dx x x x x ==-----? 于是
()()()()()121111
ln 1ln 1222242
x x S x S x S x x x x x x =
+=------ 因此，所求幂级数之和函数为
()()()()()111ln 1ln 1 11,02
2420 0x
x x x x x x S x x ?-------≤<≠?
=??=?
8、将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：
（1）()
()()()()222
20021111112cos cos 21122222!222!
n
n
n n n n n x x x x n n ∞∞===+=+-=+-∑∑ （x -∞<<+∞）
（2）()
()()1
330
311!
3!
n
n x
n n n n x e
x x x n n -∞
∞
-==--==-∑
∑ （
x -∞<<+∞）
（3）()()()1
1
1
1
11ln 5ln 5ln 1ln 5ln 5555n n n
n n n n x x x x n n --∞
∞
==--??
??
+=++=+=+ ? ?
????∑
∑ （55x -<≤）
（4）
2
12516116516116x x x x x x x -=+=+---+-+11
116
x x =+-+ 0001166n n n
n
n n n x x x ∞
∞
∞===??????=+-=+- ? ? ? ???????∑∑∑ （11x -<<）
（5）()()()32
3
1ln 1ln ln 1ln 11x x x x x x ??-++==--- ?-??
()
()()
()
1
1
331
1
1111n n n n
n
n
n n n n x x x x n
n
n n
--∞
∞
∞
∞====--=---=-+∑
∑
∑∑
23456
1111111234562x x x x x x ????=+
+-+++-+ ? ?????
L 32313111132313n n n x x x n n n n --??
+
++-+ ?--??
L （11x -≤<） （6
）arctan x x - 解：设(
)arctan f x x x =-
()22
arctan arctan 11x x
f x x x x x '=+-=++ ()()1246
22
1111n n f x x x x x x
-"=
=-+-++-++L L （11x -<<）
()()35721
1arctan 135721
n n x x x x
f x x x n --'==-+-++-+-L L （11x -≤≤）
(
)()()
24621
arctan 1123521n n x x x x f x x x n n -=-=-+-+-+??4?6-?2L L
（11x -≤≤）
（7）1x d e dx x ??
- ???
解：111!x n n e x x n -∞=-=∑，12
1211!!x n n n n d e d x n x dx x dx n n -∞∞-==??--== ???
∑∑ ()x -∞<<+∞ （8）
()0
ln 1x
x dx x
+?
解：()()111ln 11n n n x x x n -∞-=+=-∑，()()1201
ln 11n x n n x x
dx x n ∞-=+=-∑? ()11x -<≤ 9、将下列函数展开成1x -的幂级数，并求展开式成立的区间： （1）()(
)()
()
1
1
1ln ln 111n
n n x x x n
∞
-=-=+-=
-∑ ()02x <≤
（2）
()()
2
1111132122131x x x x x x =-=-+++++-+- 1111
112
31123x x =
---????++ ? ?????
()()1
1
11111111112233n n n n n n x x --∞∞--==--????
=--- ? ???
??
∑∑
()
()1
11
111123n n n n n x ∞
--=??
=
--- ???
∑ （13x -<<） 10、求级数
()221
12
n
n n ∞
=-∑的和。 解：先求幂级数
2
2
11
n
n x n
∞
=-∑的和函数。易知其收敛区间为[]1,1-。设
()2
211
n
n S x x n ∞
==-∑
()11x -≤≤ 则
()22211111112112121
n n n
n n n S x x x x n n n n ∞∞∞===??=-=- ?-+-+??∑∑∑ 当0x ≠时，
()()()1112221111212122n n n n x x S x x x S x S x n x n x
∞∞-+===-=--+∑∑
其中()11211n n S x x n ∞
-==-∑，()1
22
11n n S x x n ∞+==+∑。因 ()2
12
11n n S x x
x ∞
-='==-∑，()222
1n
n x S x x x ∞
='==-∑
故得
()()101
ln 11x
S x dx x x ==---?，()()22201ln 112
x x S x dx x x x x ==-----? 于是
()()()()()121111
ln 1ln 1222242
x x S x S x S x x x x x x =
-=--+-++()11,0x x -≤≤≠ 所求级数的和即为153
ln 2284
S ??=-
???。 11、设()()()21arctan 01 0x x x f x x x ?+≠?
=??=?
，试将()f x 展成x 的幂级数，并求级数()2
1114n
n n ∞=--∑之和。
解：当0x ≠时，
()()221
1111arctan 121n n n x x f x x x x x n -∞-=+??==+- ?-?
?∑
()()
()2221
11
1112121
n n n n n n x x
f x n n -∞
∞
--===-+---∑∑ ()
()2221
11
21112121n n n n n n x x n n -∞
∞
--==??=-++-??--??
∑∑
()
()221
1
11112121n n n n n n x x
n n ∞
∞
-==??=-++-??-+??
∑∑ ()
1
21
1
1112121n n n x n n ∞
-=??=+-- ?-+??
∑ ()
1
221
11241
n n n x n -∞
=-=+-∑
()11x -≤≤
因()()
1
21
11122
41
n n f n π
-∞
=-=
=+-∑
，故得
()
1
2
1
11
41
42
n n n
π
-∞
=-=
--∑。 12－13、略。
14、设
()1 02122 12x x f x x x ???≤< ????
?=???
?-<< ?????
，()01
cos 2n n a S x a n x π∞==
+∑，其中()1
2cos n a f x n xdx π=?（0, 1, n =L ），求52S ??
- ???
解：因为所给Fourier 级数为余弦级数，故先将()f x 偶延拓到111,,022?
???--- ? ?????
U 上，即
()1 02122 121 02122 12x x x x F x x x x x ???≤< ????????-<
=???
?--<< ????
?
??
?+-<<- ?????
然后将()F x 延拓成这个实数轴上的以2为周期的函数。于是，根据Dirichlet 收敛条件，得
111
00155132222222224F F S S S ????
--+-++ ? ????????
???-=-+=-=== ? ? ???????
注：周期的大小可从公式()1
2
cos n a f x n xdx π=?看出。
15-16、略。（第15题课上已介绍） 17、判别下列级数之敛散性： （1）
1
2sin
1
1n n n
n
∞
=∑
解：1112sin
21sin 21sin ln 2
1
lim lim lim 1n n n n
n
n n n n n n
n
e
n ?
??
?-- ?
??
??
?→∞
→∞
→∞
==
因3
31111lim 21sin
ln lim 21ln 6n n n n n o n n n n n →∞
→∞??
???
???-=--+ ? ? ? ??
??????
?（Taylor 公式） 2211lim 2ln 06n o n n
n →∞
??
??=+= ? ?????，故所求极限为1，故原级数收敛。 （2
）
()1
1
1n n αα∞
=>-∑?
解：1?
0α>
111
11
1n n u x dx n αα
αα+=≤=+?
?
，但级数111n n
α∞
+=∑收敛，故原级数收敛。 2? 10α-<≤
1
10
n n n u αα=≥=
≥?
?
，但级数1
1
1
n n α
∞
+=∑发散，故原级数发散。
18、设
1
n
n a
∞
=∑收敛，且lim n n na a →∞
=，证明
()11
n
n n n a
a ∞
+=-∑收敛。
证明：()()()()1122311
2n
n k
k n n k S k a
a a a a a n a a ++==
-=-+-++-∑L
121n n a a a na +=++-L
因
1
n
n a
∞
=∑收敛，故部分和数列收敛，即()12lim n n a a a →∞
++L 存在；又lim n n na a →∞
=，故
()()1111lim lim 1lim lim 1lim n n n n n n n n n n na n a a n a na a ++++→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
=+-=+==
因此，极限()121lim lim n n n n n S a a a na +→∞
→∞
=++-L 存在，从而知
()11
n
n n n a
a ∞
+=-∑收敛。
19、设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且()
lim
0x f x x
→=
，证明级数1
1n n ∞
=??
???
绝对收敛。
证明：因()
lim
0x f x x
→=，()f x 在点0x =连续，故知()()0lim 00x f x f →==。于是
()()()
()0
00lim
lim 00x x f x f x f f x x
→→-=='= 故由Taylor 公式，
()()()()()22
001!2!2!
f f x f x f x f x x x θθ'""=+
+=（其中01θ<<）， 从而得2112!f n f n n θ??
" ?????=
???
。于是，
()3
2
0lim 2!2n n f f n n
θ→∞
→∞??
" ?
"??
==， 但级数
31
2
1n n
∞
=∑
收敛，故原级数绝对收敛。
20、设幂级数
1
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径为3，求幂级数
()
1
1
1n n
n na x ∞
+=-∑的收敛区间。
解：()()()
2
1111111
lim 1lim
113
1n n n n n n n n n a x a n x x n a na x ++++→∞
→∞+-+=-=-<-
故所求收敛区间为()2, 4-。 21、将函数()cos 1d x f x dx x -??
=
???
展成x 的幂级数，并指明收敛域，利用展开式求级数
()()21
2112!2n
n
n n n π∞
=-??- ???∑的和。
解：()
()211
cos 112!n n n x x x n -∞=-=-∑， ()()22
1cos 12112!
n n n d x n x dx x n ∞-=--??=- ???∑ ()x -∞<<+∞ 另一方面，
2
cos 1sin cos 1
d x x x x dx x x ---+??= ???
，故得 ()()22
2
1
sin cos 12112!n n n x x x n x x n ∞-=--+-=-∑ ()x -∞<<+∞ 令2x π
=，得()()22
21
214112!22n n
n n n πππ-∞
=-??
??
-=
- ?
?????
∑，从而得 ()()21
21112!22n
n
n n n ππ
∞
=-??-=- ?
??∑。 22、设()()13f x x x =<<，试将它展开成以2为周期的Fourier 级数，并用它来求
()
1
1
121
n n n -∞
=--∑
。
解：3
01
4a xdx =
=?
，
()3
3
3
1
1
1sin 1
cos sin 01,2,n n x a x n xdx x n xdx n n n πππππ
==-
==??
L ，
()3
3
3
1
1
1
1cos 1
2sin cos 1n n n x b x n xdx x n xdx n n n πππππ
π
-==-+
=
-?
?
()1,2,n =L ， 故所求Fourier 级数为
()
1
12
2sin n
n x n x n
ππ
∞
=-=+
∑
()13x <<
令32x =，得()113232sin
22n
n n n ππ∞=-=+∑，即()1
11421n n n π
-∞=--=--∑，故得()1
1121
4n n n π-∞
=-=-∑。
如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！
兰州大学高等数学课程作业题及答案
兰州大学高等数学课程作业题及答案一单选题 1. 图片3-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)
2. 图片443 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (D) 标准答案： (B) 3. 图片363 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (D) 标准答案： (D)
4. 图片2-9 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (C) 标准答案： (C) 5. 图片1-4 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (B) 标准答案： (B) 6. 图片3-14 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0
用户得分： 0.0 用户解答： (A) 标准答案： (B) 7. 图片4-5 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (B) 标准答案： (A) 8. 图片2-1 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 4.0 用户解答： (A) 标准答案： (A) 9. 图片4-9 (A) (B) (C)
(D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 10. 图片238 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0 用户解答： (C) 标准答案： (D) 11. 图片241 (A) (B) (C) (D) 本题分值： 4.0 用户得分： 0.0
高等数学(2)第二次作业
高等数学（2）第二次作业 一、单项选择题 1、若 f(x,y)=xy , 则 f(x+y ,x-y)=( ) A. (x+y)2 B.(x-y)2 C.x 2+y 2 D.x 2-y 2 2、若z=x y ,则=??) 1,(e y z ( ) A. e B. e 1 C. 1 D. 0 3、若 z=e x siny , 则dz=( ) A. e x sinydx+e x cosydy B. e x cosydxdy C. e x sinydx D. e x sinydy+e x cosydx 4、 若y-xe y =0,则 =dx dy ( ) A. 1-y y xe e B. y y xe e -1 C. y y e xe -1 D. y y e xe 1- 5、函数)ln(1),(y x y x f +=的定义域为（ ） A. x+y>0 B. ln(x+y)≠0 C. x+y>1 D. x+y ≠1 二、填空题 1、函数)ln(1 ),(y x y x f -=的定义域是___________ 2、可微函数f(x,y)在点(x 0,y 0)达到极值，则必有________________ 3、曲线x=t(sint-1),y=t-cost,z=t 2+1,当t=0时的切线方程为_____________ 4、曲面x 2+x+y+z 2=0过点(0,0,0)的切平面方程为____________________ 5、设v u z =,其中u=e x ,v=x+x 2，则 =dx dz ____________ 6、二元函数z=yx 2+e xy ，则 )2,1(y z ??= ____________ 三、计算题 1、)2ln(y x x y z -=,求1 1==??y x x z , 11==??y x y z 2、y x z arcsin = ,求x z ?? , y z ?? 3、xy e e z y x -=- ,求dz
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
高等数学基础作业答案
高等数学基础第一次作业点评1 第1章 函数 第2章 极限与连续 (一)单项选择题 ⒈下列各函数对中,(C )中的两个函数相等. A 、 2 )()(x x f =,x x g =)( B 、 2)(x x f = ,x x g =)( C 、 3 ln )(x x f =,x x g ln 3)(= D 、 1)(+=x x f ,1 1)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞,则函数)()(x f x f -+的图形关于( C )对称. A 、 坐标原点 B 、 x 轴 C 、 y 轴 D 、 x y = ⒊下列函数中为奇函数就是( B ). A 、 )1ln(2 x y += B 、 x x y cos = C 、 2 x x a a y -+= D 、 )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数就是( C ). A 、 1+=x y B 、 x y -= C 、 2 x y = D 、 ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的就是( D ). A 、 12lim 2 2 =+∞→x x x B 、 0)1ln(lim 0 =+→x x C 、 0sin lim =∞→x x x D 、 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时,变量( C )就是无穷小量. A 、 x x sin B 、 x 1 C 、 x x 1 sin D 、 2)ln(+x 点评:无穷小量乘以有界变量为无穷小量 ⒎若函数)(x f 在点0x 满足( A ),则)(x f 在点0x 连续。 A 、 )()(lim 00 x f x f x x =→ B 、 )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C 、 )()(lim 00 x f x f x x =+→ D 、 )(lim )(lim 0 x f x f x x x x -+→→= 二、填空题 ⒈函数)1ln(3 9 )(2x x x x f ++--= 的定义域就是 .}33{>-≤x x x 或 ⒉已知函数x x x f +=+2)1(,则=)(x f .x x -2 ⒊=+ ∞→x x x )211(lim .21 e
高数下典型习题及参考答案
第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）
高等数学(二) 第二次在线作业
高等数学（二）第二次在线作业 单选题 (共30道题) 展开 收起 1.（ 2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：D 此题得分：2.5分 2.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：C 此题得分：2.5分
3.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：D 此题得分：2.5分4.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：C 此题得分：2.5分5.（2.5分） ?A、.
?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：C 此题得分：2.5分6.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：B 此题得分：2.5分7.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：D 此题得分：2.5分
8.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：C 此题得分：2.5分9.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：A 此题得分：2.5分10.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、.
我的答案：B 此题得分：2.5分11.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：B 此题得分：2.5分12.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：A 此题得分：2.5分13.（2.5分）
?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：C 此题得分：2.5分14.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：B 此题得分：2.5分15.（2.5分） ?A、. ?B、. ?C、. ?D、. 我的答案：C 此题得分：2.5分16.（2.5分）
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学课后习题答案第六章
习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得
《高等数学(文)》第二次作业答案
首页 - 我的作业列表 - 《高等数学（文）》第二次作业答案 你的得分：100.0 完成日期：2014年07月12日17点37分 说明：每道小题括号里的答案是您最高分那次所选的答案，标准答案将在本次作业结束(即2014年09月11日)后显示在题目旁边。 一、单项选择题。本大题共25个小题，每小题4.0 分，共100.0分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. ( A ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.以上均不对 2. ( B ) A. A B. B C. C D.D 3. ( C ) A. A B. B C. C D.D 4. ( B ) A.充分条件，但不是必要条件 B.必要条件，但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
5. ( B ) A.-1 B.0 C. 1 D.2 6. ( A ) A. A B. B C. C D.D 7. ( D ) A. A B. B C. C D.D 8. ( D ) A. A B. B C. C D.D 9. ( C ) A. A B. B C. C
D.D 10. ( C ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 11. ( C ) A.12 B.8 C. 4 D.0 12. ( D ) A. 3 B.0 C. 1 D.2 13. ( A ) A. A B. B C. C D.D 14. ( A ) A. A B. B C. C D.D
15. ( C ) A. A B. B C. C D.D 16. ( A ) A.(1,1) B.(1，-1) C.(-1,1) D.(-1，-1) 17. ( D ) A. A B. B C. C D.D 18. ( C ) A. A B. B C. C D.D 19.
高等数学(下)课后习题答案
高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量
高等数学第六版课后全部答案
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f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则 ∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi + i =1 i =1 n n1 n1 答 dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds . 令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限 λ→0 λ→0 lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + lim i =1 i =1 即得 ∫L f (x, y)ds =∫L 1 f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds . L2 3. 计算下列对弧长的曲线积分: aw i = n1 +1 曲线 L 对于 x 轴和 y 轴的静矩元素分别为 案 ∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi , n
高等数学(二)第二次在线作业
高等数学（二）第二次在线作业 单选题 ( 共 30 道题) 展开 收起 1.（ 2.5 分） A、 . B、. C、 . D、. 我的答案： D 此题得分： 2.5 分 2.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、. 我的答案： C 此题得分： 2.5 分
3.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： D 此题得分： 2.5 分4.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： C 此题得分： 2.5 分5.（2.5 分） A、 .
B、. C、 . D、 . 我的答案： C 此题得分： 2.5 分6.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： B 此题得分： 2.5 分7.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： D 此题得分： 2.5 分
8.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： C 此题得分： 2.5 分9.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： A 此题得分： 2.5 分10.（2.5 分） A、 . B、. C、 .
我的答案： B 此题得分： 2.5 分11.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： B 此题得分： 2.5 分12.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： A 此题得分： 2.5 分13.（2.5 分）
B、. C、 . D、 . 我的答案： C 此题得分： 2.5 分14.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： B 此题得分： 2.5 分15.（2.5 分） A、 . B、. C、 . D、 . 我的答案： C 此题得分： 2.5 分16.（2.5 分）
关于高等数学课后习题答案
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
高等数学基础第二次作业有答案
高等数学基础第二次作业 第3章 导数与微分 （一）单项选择题 ⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim →存在，则=→x x f x )(lim （ B ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0 ⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→h x f h x f h 2) ()2(lim 000 （ D ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '- ⒊设x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x ) 1()1(lim （ A ）． A. e B. e 2 C. e 2 1 D. e 4 1 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ D ）． A. 99 B. 99- C. !99 D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）． A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导． B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导． C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限． D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+ → D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - + →→= （二）填空题 ⒈设函数?? ???=≠=0,00,1sin )(2 x x x x x f ，则=')0(f 无穷小量 ． 解： 2 000 1()s i n 0 (0)(0) 1 (0) l i m l i m l i m s i n 0 x x x x f x f x f x x x x ?→?→ ?→?- +?-?'== = ?=???
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
兰大网络教育高等数学课程作业及答案
高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1.(4分)图2 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分 收起解析 答案D 2.(4分)图19-13 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：多元函数微分 收起解析
答案B 3.(4分)图14-27 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4.(4分)图14-24 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C
5. (4分)图20-43 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D 6.(4分)图19-15 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C)
知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7.(4分)图23-18 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8.(4分)图17-104 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C)
知识点：无穷级数 收起解析 答案B 9.(4分)图20-83 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10.(4分)图14-26 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：曲线积分及其应用
答案C 11.(4分)图12 ? A.A ? B.B ? C.C ? D.D 知识点：高等数学／基础知识/微积分收起解析 答案D 12. (4分)图18-44 ? A.(A) ? B.(B) ? C.(C) ? D.(D) 知识点：常微分方程
高等数学作业 .doc
高等数学作业 AⅢ 吉林大学公共数学教学与研究中心 2013年9月
第一次作业 学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d n L x y s +=??( ) ． （A ）2n a π； （B ）12n a π+； （C ）22n a π； （D ）212n a π+． 2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =??( )． （A （B ）2+ （C ） （D ）2+． 3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑ +=??( )． （A ）1 300d d r r πθ??； （B ）21 300d d r r πθ??； （C 1 300d d r r π θ?； （D 21 300d d r r π θ?． 4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有( )． （A ）1 d 4d x S x S ∑ ∑=????； （B ）1 d 4d y S x S ∑ ∑=????； （C ）1 d 4d z S x S ∑ ∑=????； （D ）1 d 4d xyz S xyz S ∑ ∑=????． 二、填空题 1．设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=? ． 2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =? ． 3．设Γ表示曲线弧,,,(02)2 t x t y t z t π= =≤≤，则2 22()d x y z s Γ++=? ． 4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑ =?? ． 5．设∑是上半椭球面22 21(0)94 x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则 222 (4936)d x y z xyz S ∑ +++=?? ． 三、计算题
高等数学下册复习题及答案
一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的 以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。 二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。 三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程 。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。 四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分)
2017兰大网络教育高等数学2课程作业及答案
高等数学(2)课程作业_A 一、单选题 1. (4分)图2 ? A. A ? B. B ? C. C ? D. D 知识点：高等数学／基础知识/ 微积分 收起解析 答案D 2. (4分)图19-13 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C)
? D. (D) 知识点：多元函数微分 收起解析 答案B 3. (4分)图14-27 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用收起解析 答案C 4. (4分)图14-24 ? A. (A)
? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析 答案C 5. (4分)图20-43 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案D
6. (4分)图19-15 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D)知识点：多元函数微分收起解析 答案A 7. (4分)图23-18
? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：重积分 收起解析 答案D 8. (4分)图17-104 ? A. (A)? B. (B) ? C. (C)? D. (D)知识点：无穷级数 收起解析 答案B
9. (4分)图20-83 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：空间解析几何与向量代数收起解析 答案A 10. (4分)图14-26 ? A. (A) ? B. (B) ? C. (C) ? D. (D) 知识点：曲线积分及其应用 收起解析
高数下册第十一章第七次作业答案
第七次作业 1.函数3 2z xy u = 在点A )2,1,5(处沿到点B )14,4,9(的方向 → AB 上的方向导数为 。 解 填13 992 802,8)2,1,5(3 )2,1,5()2,1,5(32)2,1,5(====xyz u z y u y x {}12,3,4,603) 2,1,5(22 )2,1,5(====→AB T z xy u z ,13 12 cos ,133cos ,134cos ===γβα 则u 在点A 处沿→ AB 的方向导数为： 13 992131260133801348)2,1,5(=?+?+?=??T u 2.函数 ()2 2 2 ln z y x u -+=在点 M )1,1,1(-处的梯度 =M gradu 。 解 填{}2,2,2-- 2 22222222z y x z 2z u ,z y x y 2y u ,z y x x 2x u -+-=??-+=??-+=??
2,2,2) 1,1,1()1,1,1()1,1,1(=??-=??=??∴---z u y u x u {}2,2,2-=∴M gradu 3.对二元函数(,)z f x y =而言（ ） 。 A.,x y f f 存在且连续，则(,)f x y 沿任一方向的方向导数存在； B. (,)f x y 的偏导数都存在，则(,)f x y 沿任一方向的方向导 数存在； C.沿任一方向的方向导数存在，则函数(,)f x y 必连续； D ．以上结论都不对。 解 填（A ） x y f f ，存在且连续f ?可微?沿任一方向的方向导数存在。 4.若函数(,,)u u x y z = 在点(,,)x y z 处的三个偏导数都存在 且不全为0，则向量,,u u u x y z ????????????的方向是函数u 在点 (,,)x y z 处的（ ） 。 A ．变化率最小的方向； B ．变化率最大的方向； C ．可能是变化率最小的方向，也可能是变化率最大的方向； D ．既不是变化率最小的方向，也不是变化率最大的方向。 解 填（B ）
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
习题2-1 1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称 t θ ω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样 确定该物体在时刻t 0的角速度？ 解 在时间间隔[t 0, t 0+?t]内的平均角速度ω为 t t t t t ?-?+=??=)()(00θθθω, 故t 0时刻的角速度为 )() ()(lim lim lim 0000 00t t t t t t t t t θθθθωω'=?-?+=??==→?→?→?. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t 0, t 0+?t]内, 温度的改变量为 ?T =T(t +?t)-T(t), 平均冷却速度为 t t T t t T t T ?-?+=??)()(, 故物体在时刻t 的冷却速度为 )()()(lim lim 00t T t t T t t T t T t t '=?-?+=??→?→?. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此
函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义. 解 f(x +?x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +?x 时成本的改变量. x x f x x f ?-?+) ()(表示当产量由x 改变到x +?x 时单位产量 的成本. x x f x x f x f x ?-?+='→?) ()(lim )(0 表示当产量为x 时单位产量的成 本. 4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x x x f x f f x x ?--?+-=?--?+-=-'→?→?2 200 )1(10)1(10lim )1()1(lim )1( 20)2(lim 102lim 1002 0-=?+-=??+?-=→?→?x x x x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x . 解 x x x x x x ?-?+='→?cos )cos(lim )(cos 0 x x x x x ???+-=→?2sin )2sin(2lim x x x x x x sin ]2 2sin ) 2 sin([lim 0-=???+-=→?. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么: (1)A x x f x x f x =?-?-→?) ()(lim 000 ;