专题09算法、推理与证明、复数(讲) 2018年高考数学二轮复习讲练测Word版含解析(江苏版)
(新课标版)备战18高考数学二轮复习专题1.9推理与证明、复数教学案理
专题1.9 推理与证明、复数一．考场传真1. 【2017课标1，理3】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B2．【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D. 3．【2017课标II ，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反，丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反，即乙、丁可以知道自己的成绩，故选D.4．【2017课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=A．12B．2CD．2【答案】C【解析】由题意可得：21izi=+，由复数求模的法则：1121zzz z=可得：21izi===+故选C.5．【2017课标3，理7】执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D6．【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A≤1 000和n=n+1 D．A≤1 000和n=n+2【答案】D【解析】由题意，因为321000n n ->，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D.7．【2017课标II ，理8】执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B二．高考研究【考纲解读】1.考纲要求1.算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.6.推理与证明（1）合情推理与演绎推理.①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明.①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.7.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念，①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.8.框图（1）流程图：①了解程序框图；②了解工序流程图（即统筹图）；③能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用.（2）结构图①了解结构图；②会运用结构图梳理已学过的知识、梳理收集到的资料信息.2.命题规律：1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题.2.知识点分布均衡、重难点突出，对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.3.设计新颖、形式多样、难易适度，复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题. 3．学法导航1. 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．2. 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比．3．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．2．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i 、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i.(4)i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n∈N)．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z ∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n＝z m n(m ，n 为分数)；(2)若z m＝z n，则m ＝n(z≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.注意利用共轭复数的性质，将zz 转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．一．基础知识整合基础知识：1.算法：①自然语言就是人们日常使用的语言，可以是人之间来交流的语言、术语等，通过分步的方式来表达出来的解决问题的过程.其优点为：好理解，当算法的执行都是先后顺序时比较容易理解；缺点是：表达冗长，且不易表达清楚步骤间的重复操作、分情况处理现象、先后顺序等问题.②程序框图程序框图是用规定的图形符号来表达算法的具体过程.优点是：简捷形象、步骤的执行方向直观明了③程序语言程序语言是将自然语言和框图所表达的解决问题的步骤用特定的计算机所识别的低级和高级语言编写而成.特点：能在计算机上执行，但格式要求严格2．程序框图构成程序框的图形符号及其作用表示一个算法输入和输出的信息，可用在判断某一条件是否成立，成立时在出口处3．几种重要的结构（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构4.算法语句：输入语句输入语句的格式：INPUT “提示内容”；变量输出语句输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式赋值语句赋值语句的一般格式：变量=表达式赋值语句中的“＝”称作赋值号条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句格式：IF 条件 THEN语句1ELSE语句2END IF（2）“IF—THEN”语句格式：IF 条件 THEN语句END IF循环语句（1）当型循环语句当型（WHILE型）语句的一般格式为：WHILE 条件循环体WEND（2）直到型循环语句直到型（UNTIL型）语句的一般格式为：DO循环体LOOP UNTIL 条件【推理与证明】1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理.基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论. 3.直接证明：综合法、分析法（1）综合法：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件为止的证明方法.4.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.5.数学归纳法：（1）当n 取第一个值0n （例如1n =）时，证明命题成立；（2）假设当n k =()0,k N k n *∈≥时命题成立，并证明当1n k =+时，命题也成立，于是命题对一切n N *∈，0n n ≥，命题都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题分为两步：第一步是递推的基础，第二是递推的依据，这两步缺一不可的. 【复数】1.复数的相关概念：（1）形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.复数集用集合C 表示.（2）复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数. （3）复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =. 特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==.2.复数的几何意义：（1）复平面：x 轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y 轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一 一对应.（3）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ 一 一对应.（4）复数的模：向量OZ 的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且||z 3.复数的四则运算：（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-.（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc adi c di c di c di c d c d+-++-==+++-++； 4.重要性质：1i i =，21i =-， 3i i =-，41i =.41ni =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.二．高频考点突破 考点1程序框图的执行【例1】【2018四川德阳三校联考】执行如图所示的程序框图，若输入1,3m n ==，输出的x =1.75，则空白判断框内应填的条件为（ ）A. m n -＜1B ． m n -＜0.5C ． m n -＜0.2D ． m n -＜0.1 【答案】B【规律方法】此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节． 识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．【举一反三】【2018江西宜春六校联考】按下列程序框图来计算：如果输入的5x =，应该运算（ ）次才停止A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C考点2 简单程序的运用【例2】如图所示，运行该程序，当输入,a b 分别为 2,3时，最后输出的m 的值是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．32 【答案】B【解析】程序的作用是取,a b 中的最大值，故3m =.【规律方法】输入、输出和赋值语句是任何一个算法必不可少的语句，一个语句可以输出多个表达式．在赋值语句中，一定要注意其格式的要求，如“＝”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量；一个语句只能给一个变量赋值；变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换；条件语句的主要功能是实现算法中的条件结构，解决像“判断一个数的正负”“比较两个数的大小”“对一组数进行排序”“求分段函数的函数值”等问题，计算时就需要用到条件语句． 【举一反三】1.下面求258112012+++++…的值得伪代码中，正整数m 的最大值为 ．【答案】2015考点3 归纳推理【例3】【山东省淄博市2018届12月考试】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： =，===，则按照以上规律，若= “穿墙术”，则n= A. 35 B. 48 C. 63 D. 80 【答案】C【解析】根据规律得313,824,1535,2446,=⨯=⨯=⨯=⨯ ,所以7963n =⨯= ,选C.【规律方法】归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，所得的结论未必是正确的，但是对于数学家的发现、科学家的发明，归纳推理却是十分有用的，通过观察、实验对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想. 归纳推理也是数学研究的独特方法之一.【举一反三】【山东省、湖北省重点中学2018届第二次联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若,2017i j a =，则i j +=（ ）A. 64B. 65C. 71D. 72 【答案】D考点4 类比推理【例4】已知,,a b c 是ABC ∆的三边，若满足222a b c +=，即22()()1a b cc+=，ABC ∆为直角三角形，类比此结论：若满足(,3)n n na b c n N n +=∈≥时，ABC ∆的形状为________．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）． 【答案】锐角三角形【解析】易得c 最大，则C 角最大，(,3)1n nn n na b a b c n N n c c ⎛⎫⎛⎫+=∈≥⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222221cos 0022n na b a b a b c a b c C C c c c c ab π+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒+>+=⇒+>⇒=>⇒<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故该三角形为锐角三角形.【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】已知36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为2222(133)(22323)(122)(133)91++++⨯+⨯=++++=参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 . 【答案】465【解析】因2352200⨯=，故200的所有正约数之和为465)551)(2221(232=+++++.故应填答案465.考点5复数【例5】 【河南省中原名校2018届第五次联考】已知a R ∈，若24a ii+-是纯虚数，则在复平面内，复数2018z ai i =+所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【规律方法】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即z a bi =+(),a b R ∈，实部为a ，虚部为b .（1）复数的概念：①z 为实数0b ⇔=；②z 为纯虚数0a ⇔≠且0b =；③z 为虚数0b ⇔≠.（2）复数的几何意义：①z a bi z =+⇔在复平面内对应的点(),Z a b z ⇔在复平面对应向量(),OZ a b =；②复数z 的模z a bi =+=（3）共轭复数：复数z a bi =+与z a bi =-互为共轭复数.【举一反三】若复数()12bib R i-∈+的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A.-6 B.-3 C.3 D.6 【答案】B 【解析】因5)1225)2)(1(21ib b i bi i bi +--=--=+-,故由题设122--=-b b ,即3-=b ,应选B.1. 执行下列程序框图，如果输出i 的值为3，那么输入的x 取值范围是（ ）A ．16x <B ．416x <<C ．416x ≤<D ．1664x ≤< 【答案】C押题依据 算法框图是高考命题的热点题型． 2. 已知a ∈R ，i 是虚数单位.若i 2i a -+与5i3i 2i--互为共轭复数，则a =（ ） A ．13 B ．13- C ．3- D ．3【答案】D 【解析】()()i 2i i 2i 5a a ---=+()()212i 212i 555a a a a --+-+==-，()()()5i 2i 5i 510i3i 3i 3i 1i 2i 2i 2i 5+-+-=-=-=+--+，∵i 2i a -+与5i 3i 2i --互为共轭复数，∴2121,155a a -+=-=-，解得3a =.故选D. 押题依据 复数是高考经常考的一个热点，难度不大． 3. 观察下列各式：；；；；若按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则的值为（ ）A ．43B ．44C ．45D ．46 【答案】C押题依据 数表(阵)是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想等，考查考生归纳猜想能力．4. “MN 是经过椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a MN OP a b+=+.”类比椭圆的性质，可得“MN 是经过双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥，则 .” 【答案】2222111||||a MN OP a b-=- 【解析】由于在椭圆中2222111||||a MN OP a b +=+，在双曲线中和变为差，所以类比结果应是2222111||||a MN OP a b-=-. 押题依据 本题考查类比推理等基础知识，类比推理也是高考考查的热点.5. 分别计算1153+，2253+，3353+，4453+，5553+，…，并根据计算的结果，猜想2017201753+的末位数字为 ． 【答案】8【解析】由85311=+，345322=+，1525333=+，7065344=+，33685355=+，163545366=+，…，押题依据根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大．。
教育最新K122018届高考数学二轮复习专题检测六复数算法推理与证明理
专题检测（六） 复数、算法、推理与证明一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2D ．i(1＋i)解析：选C A 项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数；C 项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数． 2．(2017·石家庄质检)在复平面内，复数1＋2＋1＋i 4对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 因为1＋2＋1＋i 4＝11＋2i＋1＝1－2i ＋－＋1＝65－25i ，所以其在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－25，位于第四象限．3．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理．4．(2017·成都一诊)执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x 为( )A.19 B ．－1或1 C ．1D ．－1解析：选B 当x ≤0时，由－x 2＋1＝0，得x ＝－1；当x >0时，第一次对y 赋值为3x＋2，第二次对y 赋值为－x 2＋1，最后y ＝－x 2＋1，于是由－x 2＋1＝0，得x ＝1，综上知输入的x 值为－1或1.5．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.6．(2017·石家庄一模)若z 是复数，z ＝1－2i1＋i ，则z ·z ＝( )A.102B.52C ．1D.52解析：选D 因为z ＝1－2i1＋i＝－－＋－＝－12－32i ，所以z ＝－12＋32i ，所以z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝52.7．(2018届高三·兰州诊断考试)图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6,8,0，则输出的i ＝( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选B 执行程序框图，可得a＝6，b＝8，i＝0；i＝1，不满足a>b，不满足a＝b，b＝8－6＝2；i＝2，满足a>b，a＝6－2＝4；i＝3，满足a>b，a＝4－2＝2；i＝4，不满足a>b，满足a＝b，故输出的a＝2，i＝4.8．(2018届高三·湖南十校联考)执行如图所示的程序框图，若输出S的值为－20，则判断框内应填入( )A．i>3? B．i<4?C．i>4? D．i<5?解析：选D 由程序框图可得，第一次循环，S＝10－2＝8，i＝2；第二次循环，S＝8－4＝4，i＝3；第三次循环，S＝4－8＝－4，i＝4；第四次循环，S＝－4－16＝－20，i＝5，结束循环，故条件框内应填写“i<5？”．9．给出下面四个类比结论：①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b ＝0.③实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比复数z1，z2，有z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.④实数a，b，有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.其中类比结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C 对于①，显然是正确的；对于②，若向量a，b互相垂直，则a·b＝0，所以②错误；对于③，取z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝0，所以③错误；对于④，若a2＋b2＝0，则|a|＝|b|＝0，所以a＝b＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.10．(2017·福州质检)执行如图所示的程序框图，若输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为( )A．4,7 B．4,56C．3,7 D．3,56解析：选C 执行程序，k＝1，m＝84，n＝56，m，n均为偶数；k＝2，m＝42，n＝28，m，n均为偶数；k＝3，m＝21，n＝14，因为m不是偶数，所以执行否．又m≠n，d＝|21－14|＝7，m＝14，n＝7，m≠n；d＝|14－7|＝7，m＝7，n＝7，因为m＝n，所以结束循环，输出k＝3，m＝7.11．(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．0,1D ．1,0解析：选D 当输入x ＝7时，b ＝2，因为b 2>x 不成立且x 不能被b 整除，故b ＝3，这时b 2>x 成立，故a ＝1，输出a 的值为1.当输入x ＝9时，b ＝2，因为b 2>x 不成立且x 不能被b 整除，故b ＝3，这时b 2>x 不成立且x 能被b 整除，故a ＝0，输出a 的值为0.12．如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (8,2)为( )13 16 16 110 112 110 115 122 122 115 121 137 144 137 121…A.145B.186C.1122D.1167解析：选C 由数阵知A (3,2)＝16＋6，A (4,2)＝16＋6＋10，A (5,2)＝16＋6＋10＋15，…，则A (8,2)＝16＋6＋10＋15＋21＋28＋36＝1122.二、填空题13．(2017·福建普通高中质量检查)已知复数z ＝1＋3i2＋i ，则|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i2＋i ＝＋－＋－＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.法二：|z |＝|1＋3i||2＋i|＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 214．(2017·长春质检)将1,2,3,4，…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行自左向右第10个数为________．解析：由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1个数，且最后一个数为n 2，所以第10行共19个数，最后一个数为100，自左向右第10个数是91.答案：9115．在平面几何中：在△ABC 中，∠C 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．解析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：AE EB ＝S △ACDS △BCD. 答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD16．(2016·山东高考)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，43后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以所求结果为43×n ×(n ＋1)，即43n (n ＋1)．答案：43n (n ＋1)。
2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题六 第四讲 算法、复数、推理与证明
专题六 概率与统计、算法、复数、推理与证明第四讲 算法、复数、推理与证明高考导航1．对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义．2．对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解．3．对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和概括能力.1．(2017·全国卷Ⅱ)＝( )3＋i1＋i A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋iD ．2－i [解析] ＝＝＝2－i.故选D.3＋i1＋i (3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )4－2i2[答案] D2．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ；1z p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝2；z－ p 4：若复数z ∈R ，则∈R .z－ 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由＝＝1z 1a ＋b i ∈R ，得b ＝0，则z ∈R 成立，故命题p 1正确；对于命题a －b ia 2＋b 2p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝2，z－ 故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.z－ [答案] B3．(2017·天津卷)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A．0 B．1C．2 D．3[解析] 执行程序框图，输入N的值为24时，24能被3整除，执行是，N＝8,8≤3不成立，继续执行循环体；8不能被3整除，执行否，N＝7,7≤3不成立，继续执行循环体；7不能被3整除，执行否，N＝6,6≤3不成立，继续执行循环体；6能被3整除，执行是，N＝2,2≤3成立，退出循环，输出N的值为2，故选C.[答案] C4．(2017·全国卷Ⅰ)下面程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2[解析] 本题求解的是满足3n－2n>1000的最小偶数n，可判断出循环结构为当型循环结构，即满足条件要执行循环体，不满足条件要输出结果，所以判断语句应为A≤1000？，另外，所求为满足不等式的偶数解，因此中语句应为n＝n＋2，故选D.[答案] D5．(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在第一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．[解析] 设线段A i B i 的中点为C i (x i ，y i )．(1)由题意知Q i ＝2y i ，i ＝1,2,3，由题图知y 1最大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1.(2)由题意知p i ＝＝，i ＝1,2,3.2yi2xi yixi 的几何意义为点C i (x i ，y i )与原点O 连线的斜率．yixi 比较OC 1，OC 2，OC 3的斜率，由题图可知OC 2的斜率最大，即p 2最大．[答案] (1)p 1 (2)p2考点一 复数的概念与运算1．复数的除法复数的除法一般是先将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，＝i ，＝－i ；1＋i 1－i 1－i1＋i (2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ；(3)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( )A. B. 1222C.D ．22[解析] 解法一：∵(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝＝＝2i1＋i 2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i.2(1＋i )2∴|z |＝＝.12＋122解法二：∵(1＋i)z ＝2i ，∴|1＋i|·|z |＝|2i|，·|z |＝2，∴|z |＝.12＋122[答案] C2．(2017·北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴Error!∴a <－1，故选B.[答案] B3．(2017·山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋i ，z ·3＝4，则a ＝( )z－ A ．1或－1 B.或－77C ．－D.33[解析] ∵z ＝a ＋i ，∴＝a －i ，又∵z ·＝4，∴(a ＋i)3z － 3z－ 3(a －i)＝4，∴a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A.3[答案] A4．(2017·西安模拟)若z ＝(a －)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，2则＝( )a ＋i71＋a i A ．i B ．1 C ．－iD ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴Error!∴a ＝，2∴＝＝＝＝－i.a ＋i71＋ai 2－i1＋2i (2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )－3i3[答案] C 复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．考点二 程序框图1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )A．2 B．3C．4 D．5[解析] 由程序框图可得S＝0，a＝－1，K＝1≤6；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2≤6；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3≤6；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4≤6；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5≤6；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6≤6；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7>6，退出循环，输出S ＝3.故选B.[答案] B2．(2017·西安八校联考)如图给出的是计算＋＋＋…＋＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的1214161201412016是( )A ．i ≤2014?B ．i ≤2016?C ．i ≤2018?D ．i ≤2020?[解析] 依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋，i ＝4；…；S ＝0＋＋＋…＋＋，i 1212141201412016＝2018，输出的S ＝＋＋＋…＋＋，所以题中的判断框1214161201412016内应填入的是“i ≤2016？”，选B.[答案] B3．(2017·江西南昌三模)263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为( )(参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)3A ．12 B ．24 C ．36D ．48[解析] 执行程序框图，可得n ＝6，S ＝3sin60°＝≈2.598，332不满足条件S ≥3.10，继续循环；n ＝12，S ＝6×sin30°＝3，不满足条件S ≥3.10，继续循环；n ＝24，S ＝12×sin15°≈3.1056，满足条件S ≥3.10，退出循环，输出n 的值为24.故选B.[答案] B 求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n？”或“i<n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．考点三 推理与证明1．归纳推理的思维过程实验、观察概括、推广猜测一般性结论―→―→2．类比推理的思维过程实验、观察联想、类推猜测新的结论―→―→[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析] 由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.[答案] D2．(2017·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝，通过类比的方法，|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5C.D ．352175[解析] 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝，则所求距离d ＝＝5，|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22故选B.[答案] B3．(2017·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝ 23，3＝，4＝ ，5＝，…，则按照以上规2233833841544155245524律，若9 ＝具有“穿墙术”，则n ＝( )9n 99n A ．25B ．48C ．63D ．80[解析] 由2 ＝ ，3 ＝，4 ＝，5 ＝23223383384154415524，…，5524可得若9 ＝ 具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80，故选D.9n 99n [答案] D 合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．热点课题24 数学归纳法[感悟体验] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－，数列{b n }满足4an ＋3b n ＝(n ∈N *)．1an ＋1(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<7.1b 211b 21b 2n [解] (1)由a 1＝1，得b 1＝；12由a 1＝1，得a 2＝0，b 2＝1；由a 2＝0，得a 3＝－，b 3＝；1332由a 3＝－，得a 4＝－，b 4＝2，1312由此猜想b n ＝.n2下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，b 1＝符合通项公式b n ＝；12n2②假设当n ＝k 时猜想成立，即b k ＝＝，a k ＝－1，1ak ＋1k22k 那么当n ＝k ＋1时a k ＋1＝＝＝，ak －1ak ＋32k－1－12k －1＋31－k1＋k b k ＋1＝＝＝，1ak ＋1＋111－k1＋k＋1k ＋12即n ＝k ＋1时猜想也能成立，综合①②可知，对任意的n ∈N *都有b n ＝.n2(2)证明：当n ＝1时，左边＝＝4<7不等式成立；1b 21当n ＝2时，左边＝＋＝4＋1＝5<7不等式成立；1b 211b 2当n ≥3时，＝<＝4，1b 2n 4n 24n (n －1)(1n －1－1n )左边＝＋＋…＋<4＋1＋4＝5＋41b 211b 21b 2n (12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝7－<7，不等式成立．(12－1n )4n。
专题17+算法、复数、推理与证明(押题专练)-2018年高考文数二轮复习精品资料+Word版含解析
1．复数z ＝2＋i1－i 的共轭复数对应的点在复平面内位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D2．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1z＝( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i 【答案】A【解析】由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1－i ＝i ，故选A.3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由x 2－1＝3得x ＝－2<1(或x ＝2>1，舍去)，由log 2x ＝3得x ＝8>1符合要求，所以可以输入的实数x 有2个．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A ．－ 3B ．0 C. 3 D ．336 3 【答案】B【解析】由框图知输出的结果s ＝sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2 016π3，因此函数y ＝sin π3x 的周期是6，所以s ＝336(sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 6π3)＝336×0＝0，故选B.5．观察这列数：1,2,3,3,2,1,2,3,4,4,3,2,3,4,5,5,4,3,4,5,6,6,5,4，…，则第2 016个数是( ) A ．335 B ．336 C ．337 D ．338 【答案】B6．已知复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z 的模为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 【答案】B【解析】依题意得z ＝2i1－i ＝＋－＋＝i(1＋i)＝－1＋i ，|z |＝|－1＋i|＝－2＋12＝2，选B.7．执行如图所示的程序框图，如果输出的k 的值为3，则输入的a 的值可以是( )A ．20B ．21C ．22D ．23 【答案】A8．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－34【答案】D【解析】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ， 所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34，故选D.9．执行如图所示的程序框图，若要使输出的y 的值等于3，则输入的x 的值可以是( )A ．1B ．2C ．8D ．9【答案】C【解析】由程序框图可知，其功能是运算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤13x，1<x ≤2，log 2x ，x >2因此y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x 2－1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧1<x ≤23x＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2log 2x ＝3，解得x ＝－2或x ＝8，故选C.10．在复平面内，复数3－4i ，i(2＋i)对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为( ) A ．－2＋2i B ．2－2i C ．－1＋i D ．1－i 【答案】D11．如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内就填入的条件是( )A ．k >3?B ．k >4?C ．k >5?D ．k >6? 【答案】C【解析】依次运行程序框图中的语句：k ＝2，S ＝2；k ＝3，S ＝7；k ＝4，S ＝18；k ＝5，S ＝41；k ＝6，S ＝88，此时跳出循环，故判断框中应填入“k >5？”．12．从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为( )A.34B.58C.78D.12 【答案】B【解析】依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13,22,31,40,49,58,67,76，所以输出的x 不小于40的概率为58.13．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．【答案】n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)214．执行如右图所示的程序框图，当输入的x 为2 017时，输出的y ＝________. 【答案】4【解析】本题考查程序框图．由程序框图得当x ＝－1时，循环结束，所以输出y ＝3－(－1)＋1＝4.15．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值3a2，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________．【答案】63a。
2018届高考数学二轮复习第十章 算法初步、推理与证明、复数专题(共3个专题)
专题1 复数专题[基础达标](30分钟75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1.已知1+i=iz，则在复平面内，复数z所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A【解析】由题意可得z=i1+i =i(1-i)2=1+i2，则z在复平面上的对应点12，12位于第一象限.2A={x|x=2n，n∈Z}，B={x|x=2n+1，n∈Z}.i是虚数单位，若k∈Z，且i k∈{-1，1}，则()A.k∈AB.k∈BC.k∈A∩BD.k∈⌀A【解析】由i k=-1或1，得k为偶数，即k∈A.3.复数z=1-2i3+4i(i为虚数单位)的实部为()A.-25B.-1 C.-15D.1125C【解析】复数z=1-2i3+4i =(1-2i)(3-4i)25=-15−25i的实部是-15.4复数53+4i的共轭复数为() A.3-4i B.3+4iC.35−45i D.35+45iD【解析】53+4i =5(3-4i)(3+4i)(3-4i)=35−45i，∴z=35+45i.5.已知i是虚数单位，复数z满足z1-z=i，则|z|=()A.1B.12C.22D.C【解析】由z1-z =i得z=i1+i=i(1-i)2=12+12i，所以|z|=122+122=22.6z=1+2i2-i(i为虚数单位)，则z的虚部为() A.-1 B.0 C.1 D.iC【解析】∵z=1+2i2-i =(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=5i5=i，∴z的虚部为1.7(2+a i)(1-i)(a∈R)是纯虚数(i是虚数单位)，则a的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2A【解析】复数(2+a i)(1-i)=2+a+(a-2)i为纯虚数，则2+a=0，a-2≠0，解得a=-2.8.已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()A.(1，5)B.(1，3)C.(1，D.(1，C【解析】|z|=2+1∈(1，5).9.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1+i的点是()A.EB.FC.GD.HD【解析】由题图知复数z=3+i，∴z1+i =3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i，∴表示复数z1+i的点为H.10.若复数(a+i)2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A.-1B.1C.-2D.2A【解析】复数(a+i)2=a2-1+2a i对应的点(a2-1，2a)在y轴负半轴上，所以a2-1=0，2a<0，解得a=-1.二、填空题(每小题5分，共25分)11i是虚数单位，若复数(2+a i)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为.2【解析】(2+a i)i=-a+2i，其实部与虚部分别为-a，2，故-a+2=0，因此a=2.12.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|，则z的虚部为.4 5【解析】由题意可得(3-4i)z=5，则z=53-4i=5(3+4i)25=35+45i，故z的虚部为45.13.已知纯虚数z满足(2-i)z=4+2a i，其中i为虚数单位，则实数a的值为. 4【解析】设z=m i，m∈R，m≠0，则m(2-i)i=4+2a i，所以m+2m i=4+2a i，则m=4，a=m，故a=4.14.在复平面上，复数3(2-i)2对应的点到原点的距离为.3 5【解析】解法1：由题意，可知3(2-i)2=3|2-i|2=35.解法2：3(2-i)2=34-4i+i=33-4i= 3(3+4i)(3-4i)(3+4i)=9+12i25=925+1225i，3(2-i)2=925+1225i=9252+12252=35.15z1=1+i，z2=2+x i(x∈R)，若z1·z2∈R，则x的值为.-2【解析】z1z2=(1+i)(2+x i)=2-x+(x+2)i∈R，所以x=-2.[高考冲关](15分钟35分)1.(5分z=x+y i(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A.|z-z|=2yB.z2=x2+y2C.|z-z|≥2xD.|z|≤|x|+|y|D【解析】|z-z|=|2y i|=|2y|，A，C错误；z2=x2+2xy i-y2，B错误；|z|= x2+y2≤|x|+|y|，D正确.2.(5分)若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数z1-2i的共轭复数是()A.-35i B.-i C.35i D.iB【解析】由图可得z=2+i，则z1-2i =2+i1-2i=(2+i)(1+2i)5=i的共轭复数是-i.3.(5分)在复平面内，复数11+i ，11-i(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为()A.12B.1C.12i D.iA【解析】∵11+i =1-i(1+i)(1-i)=12−12i，11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i，则A12，-12，B12，12，∴线段AB的中点C12，0，故点C对应的复数为12.4.(5分)若复数z=5cos α-4i(i为虚数单位，-π<α<0)在复平面上的对应点在直线y=x-1上，则sin α=.-45【解析】∵复数z=5cos α-4i在复平面上的对应点在直线y=x-1上，∴-4=5cosα-1，即cos α=-35，又-π<α<0，∴sin α=-1-cos2α=-1--352=-45.5.(5分)定义运算a bc d=ad-bc，若复数x=1-i1+i，y=4i x i2x+i，则y=.-2【解析】因为x=1-i1+i =(1-i)22=-i，所以y=4i x i2x+i=4i120=-2.6.(10分)若虚数z同时满足下列两个条件：①z+5z是实数；②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在，求出z；若不存在，请说明理由.【解析】这样的虚数存在，z=-1-2i或z=-2-i.理由如下：设z=a+b i(a，b∈R且b≠0)，z+5z =a+b i+5a+b i=a+b i+5(a-b i)a+b= a+5aa+b+ b-5ba+bi.∵z+5z 是实数，∴b-5ba2+b2=0.又∵b≠0，∴a2+b2=5.①又z+3=(a+3)+b i的实部与虚部互为相反数，∴a+3+b=0.②由①②解得a=-1，b=-2，或a=-2，b=-1，∴存在虚数z，z=-1-2i或z=-2-i.专题2 算法初步专题[基础达标](25分钟45分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.[2016·江西八校联考]对任意非零实数a，b，若a b的运算原理如图所示，则log 2413-1=()A.13B.1C.43 D.2B【解析】由程序框图得log 2413-1=23=3-12=1.2S的值为()A.6B.11C.16D.21C【解析】依次写出运行结果.该程序框图运行5次，各次输出的S的值依次为2，5，26，21，16，所以输出的S的值为16.3.定义某种运算，a b的运算原理如图所示.设S=1x，x∈[-2，2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为()A.2B.-1C.4D.3A【解析】由题意可得，S(x)=|x|(-2≤x≤1)，1(1<x≤2)，∴S(x)max=2，S(x)min=0，∴S(x)max-S(x)min=2.4.如图所示算法框图，若输出的结果为34，则判断框内应填入()A.z≤30B.y≤30C.x≤30D.z≤40A【解析】利用输出结果确定循环次数.该程序框图运行6次，z=21要满足判断框内的条件，z=34不满足判断框内的条件，所以判断框内应该填入z≤30.5S的值为()A.-32B.32C.-12D.12D【解析】由程序框图知，当k=5时，输出S=sin 5π6=12.649位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行(其中a为座位号)，并以输出的值作为下一个输入的值.若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为()A.8B.15C.29D.36A【解析】第一次输出的a=15，第二次输出的a=29，第三次输出的a=8.二、填空题(每小题5分，共15分)7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为.1【解析】利用输出结果的周期性求解.该程序框图运行2018次，S每6个重复出现一次，依次是2，1，-1，-2，-1，1，2，1，…，2018=6×336+2，所以最后输出结果等于第2次运行的结果，即为1.8对应的程序运行后输出的S的值是.2【解析】开始S=2，i=1；执行第1次循环，S=1+21-2=-3，i=2；执行第2次循环，S=1-31+3=-12，i=3；执行第3次循环，S=1-121+12=13，i=4；执行第4次循环，S=1+131-13=2，i=5；知S每4个重复出现一次；当i=2017时，输出S，2017=4×504+1，所以输出S=2. 9运行如图程序后，输出的值是.-4【解析】依题意知，题中的条件语句所表述的是一个分段函数：x=A+B(A>B)，A-B(A≤B)，由于A=5，B=9，故x=5-9=-4.[高考冲关](15分钟25分)1.(5分)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A.(-2，2)B.(-4，0)C.(-4，-4)D.(0，-8)B【解析】x=1，y=1，则s=1-1=0，t=1+1=2，x=0，y=2，k=1；继续循环，s=0-2=-2，t=0+2=2，x=-2，y=2，k=2；继续循环，s=-2-2=-4，t=-2+2=0，x=-4，y=0，k=3，则k=3符合终止条件k≥3，循环终止，输出(-4，0).2.(5分如果输出的函数值在区间14，12上，那么输入实数x的取值范围是()A.[-2，-1]B.(-∞，-1]C.[-1，2]D.[2，+∞)A【解析】该框图的作用是计算分段函数f(x)=2x(x∈[-2，2])，2(x∈(-∞，-2)⋃(2，+∞)).其输出的函数值在区间14，12上，则有14≤2x≤12，得-2≤x≤-1.3.(5分若输出S为127，则在①处应填入()A.n≤5B.n≤6C.n≤7D.n≤8B【解析】依题意有S=1+2+22+…+2n=2n+1-1，因为S=127，所以2n+1-1=127，故n+1=7，因此n=6.4.(5分)执行如图所示的程序框图，则输出的λ值是()A.-4B.-2C.0D.-2或0B【解析】利用数量积的坐标运算逐次判断.由程序框图可得当λ=-4时，λa+b=(0，10)，与b既不平行也不垂直；当λ=-3时，λa+b=(1，7)，与b既不平行也不垂直；当λ=-2时，λa+b=(2，4)，与b垂直，所以输出的λ=-2.5.(5分)如图所示的茎叶图图1为高三某班50名学生的化学考试成绩，图2的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是()A.m=28，n=12B.m=26，n=12C.m=12，n=12D.m=24，n=10B【解析】该程序框图中m表示成绩在区间[60，80)内的个数，n表示成绩大于等于80的个数，由茎叶图可得m=26，n=12.专题3 推理与证明专题[基础达标](35分钟75分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列叙述正确的是()A.综合法、分析法是直接证明的方法B.综合法是直接证法，分析法是间接证法C.综合法、分析法所用语气都是肯定的D.综合法、分析法所用语气都是假定的A【解析】根据相关定义可知A项正确.2.用反证法证明命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反设是()A.自然数a，b，c中至少有两个偶数B.自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a，b，c都是奇数D.自然数a，b，c都是偶数B【解析】“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的反设是“自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”.3.用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n-1>509256时，起始值至少取()A.7B.8C.9D.10B【解析】1+12+14+…+12n-1=1-12n1-12=21-12n.当n=7时，21-127=12764=508 256<509256；当n=8时，21-128=255128=510256>509256，故起始值至少取8.4.[2016·西安八校联考]观察一列算式：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则式子35是第() A.22项B.23项C.24项D.25项C【解析】两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35为和为8的第3项，所以为第24项.5.已知a>b>c>0，则下列不等式成立的是()A.1a-b +1b-c>4a-cB.1a-b +1b-c<4a-cC.1a-b +1b-c≥4a-cD.1a-b +1b-c≤4a-cC【解析】由题意可得(a-c)1a-b +1b-c=[(a-b)+(b-c)]1a-b+1b-c=2+b-ca-b+a-b b-c ≥2+2b-ca-b·a-bb-c=4，当且仅当b-ca-b=a-bb-c，即2b=a+c时取等号，所以1a-b+1b-c≥4a-c.6.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是() A.甲B.乙C.丙D.丁A【解析】若甲说的是真话，则乙、丙、丁都是说假话，所以丁偷了珠宝，所以丙说的也是真话，与只有一个人说真话相矛盾，所以甲说的是假话，偷珠宝的人是甲.二、填空题(每小题5分，共15分)7利用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>12(n>1，n∈N*)的过程中，用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为.1 2k+1−12k+2【解析】当n=k时，左边=1k+1+1k+2+…+1k+k①，当n=k+1时，左边=1k+2+1k+3+…+1k+k+12k+1+12k+2②，由②-①得，12k+1+12k+2−1k+1=1 2k+1−12k+2.8.已知如图1所示的图形有面积关系S△P A1B1S△PAB =PA1·PB1PA·PB，用类比的思想写出如图2所示的图形的体积关系V P-A1B1C1V P-ABC=.PA1·PB1·PC1PA·PB·PC【解析】在图2中过点A作AO⊥平面PBC于点O，连接PO，则A1在平面PBC内的射影O1落在PO上，则V P-A1B1C1V P-ABC=V A1-P B1C1V A-PBC=13S△PB1C1·A1O113S△PBC·AO=PB1·PC1·A1O1 PB·PC·AO ，又∵A1O1AO=PA1PA，∴V P-A1B1C1V P-ABC=PA1·PB1·PC1PA·PB·PC.9P1P2P3P4-Q1Q2Q3Q4的棱长为1，集合M={x|x=P1Q1·S i T j，S，T∈{P，Q}，i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：①当S i T j=P i Q j时，x=1；②当S i T j=P i Q j时，x=-1；③当x=1时，(i，j)有8种不同取值；④当x=1时，(i，j)有16种不同取值；⑤M={-1，0，1}.其中正确的结论序号为.(填上所有正确结论的序号)①④⑤【解析】因为P1Q1=P i Q i，所以当S i T j=P i Q j时，x=P1Q1·S i T j=P i Q i·P i Q j=|P i Q i|2=1，①正确，②错误；当x=1时，i=1，2，3，4，j=1，2，3，4，所以(i，j)有16种不同取值，③错误，④正确；当S i T j=P i P j或S i T j=Q i Q j时，x=0，当S i T j=Q i P j时，x=-1，所以M={-1，0，1}，⑤正确.三、解答题(共30分)10.(10分)设f(x)=a x+a-x2，g(x)=ax-a-x2(其中a>0，且a≠1).(1)请将g(5)用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，能否将其推广，用“三段论”进行证明.【解析】(1)由g(5)=a 5-a-52包括a5，易知表示式中必有f(2)g(3)或f(3)g(2)，又f(3)g(2)+g(3)f(2)=a 3+a-32·a2-a-22+a3-a-32·a2+a-22=a5-a-52，因此g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).(2)由g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2)，即g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2)，于是推测g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y).证明：因为f(x)=a x+a-x2，g(x)=ax-a-x2，(大前提)所以g(x+y)=a x+y-a-(x+y)2，g(y)=ay-a-y2，f(y)=ay+a-y2，(小前提)所以f(x)g(y)+g(x)f(y)=a x+a-x2·a y-a-y2+a x-a-x2·a y+a-y2=a x+y-a-(x+y)2=g(x+y).(结论)11.(10分)用数学归纳法证明：1-12+13−14+…+12n-1−12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*).【解析】①当n=1时，左边=右边=12，命题成立.②假设n=k (k ∈N *)时，命题成立，即 1-12+13−14+…+12k -1−12k =1k +1+1k +2+…+12k ，则当n=k+1时，左边=1-12+13−14+…+12k -1−12k +12k +1−12k +2= 1k +1+1k +2+ (12)+12k +1−12k +2=1k +2+1k +3+…+12k +1+12k +2=右边， 于是当n=k+1时，命题也成立.由①②可知，原命题对所有正整数都成立. 12.(10分)已知点P n (a n ，b n )满足a n+1=a n ·b n+1，b n+1=b n1-4a n2 (n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，-1).(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上.【解析】(1)由题意得a 1=1，b 1=-1，b 2=-11-4×1=13，a 2=1×13=13，∴P 2 13，13 . ∴直线l 的方程为y +113+1=x -113-1，即2x+y=1.(2)①当n=1时， 2a 1+b 1=2×1+(-1)=1成立.②假设n=k (k ∈N *)时，2a k +b k =1成立.则当n=k+1时，2a k+1+b k+1=2a k ·b k+1+b k+1=b k 1-4a k2·(2a k +1)=b k 1-2a k=1-2ak1-2ak=1， ∴当n=k+1时，2a k+1+b k+1=1也成立.由①②知，对于n ∈N *，都有2a n +b n =1，即点P n 都在直线l 上.[高考冲关] (20分钟 30分)1.(5分“已知a ，b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ( )A.a ，b 都能被5整除B.a ，b 都不能被5整除C.a ，b 不都能被5整除D.a 不能被5整除B 【解析】“a ，b 中至少有一个能被5整除”的反面情况是“a ，b 都不能被5整除”.2.(5分)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A .△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B .△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C .△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D .△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形D 【解析】由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形.由sin A 2=cos A 1=sin π2-A 1 ，sin B 2=cos B 1=sin π2-B 1 ，sin C 2=cos C 1=sin π2-C 1 ，得 A 2=π2-A 1，B 2=π2-B 1，C 2=π2-C 1.那么A 2+B 2+C 2=π2，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形.3.(5分)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )A .289B .1024C .1225D .1378C【解析】观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n}，则a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n}，则b n=n2.把四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.4.(5分x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[1]+[2]+[3]=3；[+[+[+[+[=10；[9]+[10]+[11]+[12]+[13]+[14]+[=21；……按照此规律第n个等式的等号右边的结果为.2n2+n【解析】由题意可得3=1×3，10=2×5，21=3×7，则第n个等式的等号右边的结果是n×(2n+1)=2n2+n.5.(10分)若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数.(1)设g(x)=12x2-x+32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a，b(a>-2)，使函数h(x)=1x+2是区间[a，b]上的“四维光军”函数?若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知得g(x)=12(x-1)2+1，其图象的对称轴为x=1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g(1)=1，g(b)=b，即12b2-b+32=b，解得b=1或b=3.因为b>1，所以b=3.(2)假设函数h(x)=1x+2在区间[a，b](a>-2)上是“四维光军”函数，因为h(x)=1x+2在区间(-2，+∞)上单调递减，所以有ℎ(a)=b，ℎ(b)=a，即1a+2=b，1b+2=a，解得a=b，这与已知矛盾，故不存在常数a，b，使函数h(x)是[a，b]上的“四维光军”函数.。
2018届高考数学二轮复习寒假作业(十九)算法、复数、推理与证明(注意速度和准度)文
寒假作业(十九) 算法、复数、推理与证明(注意速度和准度)一、“12＋4”提速练1．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0解析：选D 因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝－＋－－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.2．已知复数z ＝a ＋i2i(a ∈R)，且z 的实部与虚部相等，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋12i B.12－12i C ．1＋i D ．1－i解析：选B z ＝a ＋i2i＝a ＋－2＝a i －1－2＝12－a2i ， 因为z 的实部与虚部相等，所以z ＝12＋12i ，则z 的共轭复数z ＝12－12i.3．在复平面内与复数z ＝2i1＋i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i 解析：选B 因为z ＝2i1＋i＝－＋－＝i(1－i)＝1＋i ，所以A 点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i ，故选B.4．(2017·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53D.85解析：选C 运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3；k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.5．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C ∵z 为纯虚数，a ∈R ，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2＋2－2＝－3i 3＝－i.6．阅读如图所示的程序框图，为使输出的S 为31，则①处应填的表达式为( )A ．i ≤3B ．i ≤4C ．i ≤5D ．i ≤6解析：选B 第一次循环，得S ＝3，i ＝2；第二次循环，得S ＝7，i ＝3；第三次循环，得S ＝15，i ＝4；第四次循环，得S ＝31，此时满足题意，输出的S ＝31，所以①处可填i ≤4，故选B.7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A．5 B．6C．7 D．8解析：选B 执行程序框图，第一步：n＝12，i＝1，满足条件n是3的倍数，n＝8，i ＝2，不满足条件n＞123；第二步：n＝8，不满足条件n是3的倍数，n＝31，i＝3，不满足条件n＞123；第三步：n＝31，不满足条件n是3的倍数，n＝123，i＝4，不满足条件n＞123；第四步：n＝123，满足条件n是3的倍数，n＝119，i＝5，不满足条件n＞123；第五步：n＝119，不满足条件n是3的倍数，n＝475，i＝6，满足条件n＞123，退出循环，输出i的值为6.8．将正整数排列如下图：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…则图中数2 018出现在( )A．第44行第83列 B．第45行第83列C．第44行第82列 D．第45行第82列解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936＜2 018＜2 025，所以2 018在第45行，又2 018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列．9．(2017·洛阳统考)某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S值是( )A ．1 007B ．3 026C ．2 016D ．3 024解析：选B 依题意，在数列{a n }中，a n ＝n sinn π2＋1，a 4n －3＋a 4n －2＋a 4n －1＋a 4n ＝[(4n －3)＋1]＋(0＋1)＋[－(4n －1)＋1]＋(0＋1)＝2，注意到2 017＝4×504＋1，所以数列{a n }的前2 017项和等于504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝504×2＋2 018＝3 026.10．(2018届高三·惠州调研)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B 法一：第一步：i ＝1，S ＝lg 13＝－lg 3>－1；第二步：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三步：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四步：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五步：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1，故输出的i ＝9.法二：因为S ＝lg 13＋lg 35＋…＋lg ii ＋2＝lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg(i ＋2)＝－lg(i ＋2)，当i ＝9时， S ＝－lg(9＋2)<－lg 10＝－1，所以输出的i ＝9.11．已知数列{a n }是正项等差数列，若c n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n，则数列{c n }也为等差数列．已知数列{b n }是正项等比数列，类比上述结论可得( )A ．若{d n }满足d n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n1＋2＋3＋…＋n ，则{d n }也是等比数列B ．若{d n }满足d n ＝b 1·2b 2·3b 3·…·nb n1·2·3·…·n，则{d n }也是等比数列C ．若{d n }满足d n ＝(b 1·2b 2·3b 3·…·nb n )11＋2＋3＋…＋n ，则{d n }也是等比数列D ．若{d n }满足d n ＝(b 1·b 22·b 33·…·b nn )11＋2＋3＋…＋n ，则{d n }也是等比数列解析：选D 设等比数列{b n }的公比为q (q >0)， 则b 1·b22·b33·…·bn n＝b 1·(b 1q )2·(b 1q 2)3·…·(b 1q n－1)n＝(b 1·b 21·b 31·…·b n1)(q 1×2·q 2×3·…·q(n －1)n)＝b 1＋2＋3＋…＋n1·q1×2＋2×3＋…＋(n －1)n＝bn n ＋21q 12＋1＋22＋2＋…＋(n －1)2＋(n －1)＝bn n ＋21qn n ＋n －3，所以d n ＝(b 1·b 22·b 33·…·b nn )11＋2＋3＋…＋n＝b 1qn －3，即{d n }也是等比数列．12．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n＝( ) A.2n ＋1＋2n n ＋ B.1n ＋1＋1n n ＋ C.1n ＋2＋1nn ＋D.12n ＋1＋1n ＋n ＋解析：选A 根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即2n ＝1n ＋12＋1nn ＋2＝2n ＋1＋2n n ＋.13．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析：∵(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，∴a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 答案：5 2 14．若z1－i＝2i ＋3(i 为虚数单位)，则|z ＋4i|＝________.解析：由z1－i ＝2i ＋3，得z ＝(2i ＋3)(1－i)＝5－i ，则z ＋4i ＝5＋5i ，故|z ＋4i|＝5 2. 答案：5 215．已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，照此规律总结可得到第n 个不等式为______________________________________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14， 所以照此规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1n ＋2<n ＋－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1. 答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1n ＋2<2n ＋1n ＋116．若x 的取值范围为[0,10]，给出如图所示的程序框图，输入一个数x ，则输出的y <5的概率为________．解析：由题意可得程序框图所表示的函数表达式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，7<x ≤10，x ＋1，0≤x ≤7.当y <5时，若输出y ＝x ＋1(0≤x ≤7)，此时输出的结果应满足x ＋1<5，则0≤x <4，若输出y ＝x －1(7<x ≤10)，此时输出的结果应满足x －1<5，则0≤x <6(不符合题意)，所以输出的y <5时的x 的取值范围是0≤x <4，则使得输出的y <5的概率P ＝4－010－0＝25.答案：25二、能力拔高练1．已知复数z ＝2＋3i2 0175＋i 1 001(i 为虚数单位)，则z ·z ＝( )A ．1B ．2 C.12D.14解析：选C 因为z ＝2＋3i 2 0175＋i 1 001＝2＋3i5＋i ＝＋－＋－＝13＋13i 26＝12＋12i ，故z ＝12－12i ，故z ·z ＝12. 2．(2018届高三·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1fx .执行如图所示的程序框图，若输出的结果S >2 0162 017，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是( )A ．n ≤2 016?B ．n ≤2 017?C ．n >2 016?D ．n >2 017?解析：选B f ′(x )＝3ax 2＋x ，则f ′(－1)＝3a －1＝0，解得a ＝13，g (x )＝1f x＝1x 2＋x ＝1xx ＋＝1x －1x ＋1，g (n )＝1n －1n ＋1，则S ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，因为输出的结果S >2 0162 017，分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n ≤2 017？”，选B.3．如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 016a 2 017＝( )A.2 0142 015 B.2 0132 015 C.2 0152 016D.2 0142 016解析：选C 每条边有n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即a n ＝3n －3， 那么9a n a n ＋1＝9n －n＝1n －n ＝1n －1－1n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 016a 2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016. 4．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )A ．2 017×22 015B ．2 017×22 014C ．2 016×22 015D ．2 016×22 014解析：选B 当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21； 当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22； 当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23； 归纳推理得，当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017×22 014.5．(2017·武汉调研)执行如图所示的程序框图，若输入的x ＝2 017，则输出的i ＝________.解析：执行框图得a ＝2 017，i ＝1，b ＝11－2 017＝－12 016≠2 017，∴i ＝2，a ＝－12 016，b ＝11＋12 016＝2 0162 017≠2 017，∴i ＝3，a ＝2 0162 017，b ＝11－2 0162 017＝ 2 017＝x ，∴输出的i ＝3. 答案：36．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝________.解析：1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝1－52舍去，故1＋11＋11＋…＝1＋52. 答案：1＋52。
集合与简易逻辑算法、推理与证明、复数(测试卷)-2018年高考数学(理)二轮复习精品资料(新课标版)
【高效整合篇】专题七 集合与简易逻辑、算法、推理与证明、复数（一）选择题（12*5=60分）1．【福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试（三）】设集合{}||1|3P x x =+≤，1|(),(2,1)3x Q y y x ⎧⎫==∈-⎨⎬⎩⎭，则P Q =（ ） A ．1(4,)9-B ．1(,2]9C ．1(,2]3D ．1(,2)3【答案】C2．【重庆市第八中学2017届高三上学期第二次适应性考试】已知首项为正的等比数列{}n a 的公比为q ，则“01q <<”是“{}n a 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由于数列首项为正，根据11n n a a q -=，当01q <<时，数列是递减数列，反之也成立，故为充要条件.3．【2017届四川成都市高三一诊考试】命题“若a b >，则a c b c +>+”的否命题是（ ）．A ．若a b ≤，则a c b c +≤+B ．若a c b c +≤+，则a b ≤C ．若a c b c +>+，则a b >D ．若a b >， 则a c b c +≤+【答案】A【解析】 “若p 则q ”的否命题是“若p ⌝则q ⌝”，所以原命题的否命题是“若b a ≤，则c b c a +≤+”，故选A.4．【2017届河北衡水中学高三12月月考】已知21i z i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】()()()2121111i i i z i i i i -===+++-,1z i =-,所以z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D ．5．【2017届江西省高三第三次联考】已知()2 a i b i a b R i+=+∈，，其中i 为虚数单位，则a b +等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由题意得，()2a i i b i +=+，即21a i bi +=-+，所以 1 2a b =-=，，所以1a b +=，故选B.6．【黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中】已知：命题p ：若函数||)(2a x x x f -+=是偶函数，则0=a .命题q ：),0(+∞∈∀m ，关于x 的方程0122=+-x mx 有解.在①q p ∨；②q p ∧；③q p ∧⌝)(；④)()(q p ⌝∨⌝中为真命题的是（ ）A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④【答案】D7．【2017届四川凉山州高三上学期一诊】公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）1.732≈，sin150.2588︒≈，sin 7.50.1305︒≈）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B8．【2017届广东省高三上学期阶段性测评一】执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，，的函数值， 如图可知[]2 a b ∈，，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥．选A ．9．【2017届安徽皖南八校高三联考二】中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”愿意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则9117用算筹可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由定义知: 千位9为横式；百位1为纵式；十位1为横式；个位7为纵式，选A10．【2017届河北定州中学高三高补班周练9.25】已知三角形的三边分别为,,a b c ，内切圆的半径为r ，则三角形的面积为()12s a b c r =++；四面体的四个面的面积分别为1234,,,s s s s ，内切球的半径为R ．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ） A. ()123412V s s s s R =+++ B. ()123413V s s s s R =+++ C. ()123414V s s s s R =+++ D. ()1234V s s s s R =+++ 【答案】D【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．类比三角形的面积可得四面体的体积为：)(314321S S S S R V +++=．故选D.11．【2017届湖南师大附中高三上月考三】将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k （k n ≤）个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个k 阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶色序．若某国的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”．“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C12．【2017届辽宁庄河市高级中学高三9月月考】观察下列各等式：5325434+=--，2622464+=--，7127414+=--，102210424-+=---，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（ ）A ．()82484n n n n -+=---B ．()()()15121414n n n n ++++=+-+- C ．()42444n n n n ++=-+- D ．()()1521454n n n n +++=+-+- 【答案】A 【解析】各等式可化为：()585254854-+=---，()282224824-+=---，()787274874-+=---． ()1081021048104-+=---，可归纳得一般等式：()82484n n n n -+=---，故选项为A.（二）填空题（4*5=20分）13．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】若“x ∃∈R ，220x x a ++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,+∞【解析】由题意得“x ∀∈R ，220x x a ++>”是真命题，因此440 1.a a ∆=-<⇒>14．【2017届四川双流中学高三必得分训练1】已知命题:p m R ∈，且10m +≤；命题2:,10q x R x mx ∀∈++>恒成立，若p q ∧为假命题，则m 的取值范围是__________．【答案】(],2(1,)-∞--+∞15．【2017届江西吉安一中高三周考12.11】图中是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图，我们彩用 “坐标”来表示图乙各行中的白圈黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）比如第一行记为()0,1，第二行记为()1,2，第三行记为()4,5，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为_________．【答案】()13,14【解析】有图甲所示的分形规律，1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为2个黑圈1个白圈，记某行白圈x 个，黑圈y 个为(),x y ，则第一行记为()0,1，第二行记为()1,2，第三行记为()4,5，第四行白圈数为25414⨯+=，黑圈数为52413+⨯=，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为()13,14，故答案为()13,14．。
专题18 算法、复数、推理与证明教学案-2018年高考理数二轮复习资料 含解析 精品
1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比．4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点．一、算法框图与复数 1.算法框图(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种． (2)三种基本的算法结构①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构． ③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构． 2．复数(1)复数的相关概念及分类①定义：形如a ＋b i(a 、b ∈R )的数叫复数，其中a 为实部，b 为虚部；i 是虚数单位，且满足i 2＝－1.②分类：设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )z ∈R ⇔b ＝0；z 为虚数⇔b ≠0，z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ≠0.③共轭复数：复数a ＋b i 的共轭复数为a －b i. ④复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (2)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a 、b 、c 、d ∈R )． 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a 、b ∈R )． (3)运算法则①加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. ②乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. ③除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd ＋ bc －ad i c 2＋d 2.(4)复数加减法的几何意义①加法：若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．②减法：复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向OZ 1→的终点的向量对应的复数． 二、推理与证明 1.合情推理 (1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜测一般性结论． (2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 2．演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真． (2)演绎推理的一般模式——―三段论‖ ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．4．间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．5．数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．考点一、程序框图例1．【2017课标1，理8】右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1D．A≤1 000和n=n+2【答案】D【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =结束【答案】C【解析】当0,1,1x y n ===时，110,1112x y -=+=⨯=，不满足2236x y +≥； 2112,0,21222n x y -==+==⨯=，不满足2236x y +≥；13133,,236222n x y -==+==⨯=，满足2236x y +≥；输出3,62x y ==，则输出的,x y 的值满足4y x =，故选C. 【变式探究】(2015·四川，3)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32 B . 32C ．－12D.12考点二 复数的概念例2．【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ） （D 【答案】A【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【变式探究】【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i - 【答案】C 【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【变式探究】(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B考点三 复数的四则运算 例3．【2017课标II ，理1】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。
2018年江苏高考数学二轮复习：专题限时集训8概率与统计、算法、推理与证明、复数有答案
专题限时集训(八)概率与统计、算法、推理与证明、复数(对应学生用书第98页) (限时：120分钟)1．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．0.17 [∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1－0.48－0.35＝0.17.] 2．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为________． 300 [∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本， 其中高一年级抽20人，高三年级抽10人， ∴高二年级要抽取45－20－10＝15人， ∵高级中学共有900名学生， ∴每个个体被抽到的概率是45900＝120，∴该校高二年级学生人数为15120＝300.] 3．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)如图8－11是一个求函数值的算法流程图，若输入的x 的值为5，则输出的y 的值为________．图8－11－15 [执行算法流程图，可得该程序的作用是计算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＜05－4x ，x ≥0的值，x ＝5，不满足条件x ＜0，有y ＝5－4×5＝－15.输出y 的值为－15.]4．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ＝________.－1－i [∵z (1－i)＝2i ，∴z ＝2i1－i＝＋－＋＝－2＋2i2＝－1＋i ， ∴z ＝－1－i.]5．(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考)在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ，△ABP 的最大边是AB 的概率是________．图8－123－1 [设AD ＝a ，当AB ＝AP 时，(2a )2＝a 2＋(2a －PC )2⇒PC ＝(2－3)a 或PC ＝(2＋3)a (舍)，所以所求概率为1－－3a2a＝3－1.]6．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)如下是给出的一种算法，则该算法输出的结果是________．24 [当i ＝2时，满足循环条件，执行循环，t ＝1×2＝2，i ＝3；当i ＝3时，满足循环条件，执行循环，t ＝2×3＝6，i ＝4；当i ＝4时，满足循环条件，执行循环，t ＝6×4＝24，i ＝5；当i ＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t ＝24.]7．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)若复数z 满足z ＋i ＝2＋ii，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.10 [由z ＋i ＝2＋i i ，得z ＝2＋i i －i ＝－＋－i2－i ＝1－2i －i ＝1－3i ，则|z |＝1＋－2＝10.]8．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)100张卡片上分别写有1,2,3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________.【导学号：56394058】425[在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张共有100种取法，其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96共16个， ∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个． ∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率P ＝16100＝425.]9．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分)，结果如下：则成绩较为稳定20 [根据题意，对于甲，其平均数x 甲＝65＋80＋70＋85＋755＝75，其方差s 2甲＝15[(65－75)2＋(80－75)2＋(70－75)2＋(85－75)2＋(75－75)2]＝50；对于乙，其平均数x 乙＝80＋70＋75＋80＋705＝75，其方差s 2乙＝15[(80－75)2＋(70－75)2＋(75－75)2＋(80－75)2＋(70－75)2]＝20；比较可得：s 2甲＞s 2乙，则乙的成绩较为稳定．]10．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))复数z 在复平面内的对应点是(1，－1)，则z ＝________.1＋i [z ＝1－i ，∴z ＝1＋i.]11．(河北省唐山市2017届高三年级期末)执行如图8－13所示的程序框图，则输出的a ＝________.图8－13－4 [第一次循环，得b ＝－1，a ＝－1，i ＝2； 第二次循环，得b ＝－52，a ＝－52，i ＝3；第三次循环，得b ＝－4，a ＝－4，i ＝4，…，以此类推，知该程序框图的周期为3，又知当i ＝40退出循环，此时共循环了39次，所以输出的a ＝－4.]12．(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M 在直线________上．y ＝3x [f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ＝0,4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．]13．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，……，按此规律，8 128可表示为________．26＋27＋…＋212[因为8 128＝26×127，又由1－2n1－2＝127，解得n ＝7.所以8 128＝26×(1＋2＋…＋26)＝26＋27＋…＋212.]14．(湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考)执行如图8－14所示程序框图，若输出的S 值为－20，则条件框内应填写________.【导学号：56394059】图8－14i <5 [第一次循环：S ＝10－2＝8，i ＝2；第二次循环：S ＝4，i ＝3； 第三次循环：S ＝－4，i ＝4； 第四次循环：S ＝－20，i ＝5； 结束循环，所以可填写i <5.]。
【推荐】专题17 算法、复数、推理与证明(讲学案)-2018年高考文数二轮复习精品资料
1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题．2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习．一、算法框图与复数 1.算法框图(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序．图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种． (2)三种基本的算法结构①依次进行多个处理的结构称为顺序结构．②先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构． ③需要重复执行同一操作的结构称为循环结构． 2．复数(1)复数的相关概念及分类①定义：形如a ＋b i(a 、b ∈R )的数叫复数，其中a 为实部，b 为虚部；i 是虚数单位，且满足i 2＝－1.②分类：设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )z ∈R ⇔b ＝0；z 为虚数⇔b ≠0，z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ≠0.③共轭复数：复数a ＋b i 的共轭复数为a －b i. ④复数的模：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2. (2)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a 、b 、c 、d ∈R )． 特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a 、b ∈R )． (3)运算法则①加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. ②乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. ③除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd ＋bc －adc 2＋d 2.(4)复数加减法的几何意义①加法：若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．②减法：复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向OZ 1→的终点的向量对应的复数． 二、推理与证明 1.合情推理 (1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理．归纳推理的思维过程：实验观察→概括、推广→猜测一般性结论． (2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的思维过程：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 2．演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理．演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理．(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真． (2)演绎推理的一般模式——“三段论” ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．4．间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．5．数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．考点一、程序框图例1．【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【变式探究】【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】当时，，不满足；【变式探究】(2015·四川，3)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32 B . 32C ．－12D.12【答案】D【解析】每次循环的结果依次为： k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4， ∴S ＝sin5π6＝12.选D. 考点二 复数的概念例2．【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C 【解析】由为纯虚数知选C ．【变式探究】【2016高考新课标3文数】若，则（ ） (A)1 (B) -1 (C) (D)【答案】C【解析】，故选C．【变式探究】(2015·安徽，1)设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B考点三复数的四则运算例3．【2017山东，文2】已知i是虚数单位,若复数z满足,则=A.-2iB.2iC.-2D.2【答案】A【解析】由得,即,所以,故选A.【2016高考天津文数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.【答案】2【解析】由，可得，所以，，故答案为2．【变式探究】(2015·北京，1)复数i(2－i)＝()A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i【解析】i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.【答案】A考点四、类比推理例4、【2017课标II，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【变式探究】在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1，则1h 21＝1CA 2＋1CB 2；类比此性质，如图，在四面体P －ABC 中，若P A 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为________．【答案】1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2【解析】本题考查了合情推理的能力． 连接CO 并延长交AB 于点D ，连接PD ，由已知可得PC ⊥PD ，在直角三角形PDC 中，DC ·h ＝PD ·PC ，则PD 2＋PC 2·h ＝PD ·PC ，所以1h 2＝PD 2＋PC 2PD 2·PC 2＝1PC 2＋1PD 2. 容易知道AB ⊥平面PDC ， 所以AB ⊥PD ，在直角三角形APB 中，AB ·PD ＝P A ·PB ，所以P A 2＋PB 2·PD ＝P A ·PB ，1PD 2＝P A 2＋PB 2P A 2·PB 2＝1P A 2＋1PB 2，故1h 2＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2.(也可以由等体积法得到)． 【变式探究】在平面直角坐标系中，设△ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b,0)、C (c,0)，点P (0，p )在线段AO 上(异于端点)，设a 、b 、c 、p 均为非零实数，直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，一同学已正确算出OE 的方程：(1b －1c )x ＋(1p －1a )y ＝0，则OF 的方程为：(________)x ＋(1p －1a)y ＝0.【答案】1c －1b【解题分析】观察E ，F 两点可以发现，E 、F 两点的特征类似，E 是BP 与AC 的交点，F 是CP 与AB 的交点，故直线OE 与OF 的方程应具有类似的特征，而y 的系数相同，故只有x 的系数满足某种“对称性”，据此可作猜测．y p ＝1，两式相减得(1c －1b )x ＋(1p －1a)y ＝0，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 考点五、直接证明与间接证明例5、若数列a n ：a 1，a 2，…，a n (n ≥2)满足|a k ＋1－a k |＝1(k ＝1,2，…，n －1)，则称a n 为E 数列．记S (a n )＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)写出一个满足a 1＝a 5＝0，且S (A 5)>0的E 数列A 5；(2)若a 1＝12，n ＝2000，证明：E 数列a n 是递增数列的充要条件是a n ＝2011.【解题分析】解答这类新定义题型，一定要先弄清新定义的含义，由条件知E 数列{a n }任意两邻两项相差1，故可据此任意构造E 数列，同时，E 数列{a n }递增⇔a n ＋1－a n ＝1.【变式探究】已知数列{a n }满足：a 1＝12，＋a n ＋11－a n ＝＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． 【解析】(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )． 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n. 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝⎛⎭⎫23n －1，假设数列{b n }中存在三项b r 、b s 、b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t <b s <b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14⎝⎛⎭⎫23s －1＝14⎝⎛⎭⎫23r －1＋14⎝⎛⎭⎫23t －1.两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．∴假设不成立． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C 【解析】由为纯虚数知选C ．【考点】复数运算，复数基本概念 2.【2017课标II ，文2】 A.B.C.D.【答案】B 【解析】由题意，故选B.3.【2017课标3，文2】复平面内表示复数的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由题意：，在第三象限. 所以选C.【考点】复数运算4.【2017北京，文2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】B5.【2017山东，文2】已知i是虚数单位,若复数z满足,则=A.-2iB.2iC.-2D.2【答案】A【解析】由得,即,所以,故选A.【考点】复数的运算6. 【2017山东，文6】执行右侧的程序框图,当输入的x值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得时判断框中的条件应为不满足，所以选B.【考点】程序框图7.【2017课标1，文10】如图是为了求出满足的最小偶数n和个空白框中，可以分别填入A．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2【答案】D8.【2017课标3，文8】执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解析】若,第一次进入循环，成立，，成立，第二次进入循环，此时，不成立，所以输出成立，所以输入的正整数的最小值是2，故选D.【考点】循环结构流程图9.【2017课标II，文9】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A.乙可以知道两人的成绩B.丁可能知道两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【考点】推理10. 【2017课标II，文10】执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的A.2B. 3C.4D.5【答案】B【解析】阅读流程图，初始化数值.循环结果执行如下：【考点】循环结构流程图11.【2017北京，文3】执行如图所示的程序框图，输出的值为（A）2 （B）（C）（D）【答案】C【解析】时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环，，成立，第三次进入循环，否，输出，故选C.【考点】循环结构12.【2017天津，文9】已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为.【答案】【解析】为实数，13.【2017北京，文14】某学习小组由学生和&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】6,12【考点】1.不等式的性质；2.推理.14.【2017江苏，2】已知复数其中i是虚数单位，则的模是▲ .【答案】【解析】，故答案为．【考点】复数的模15.【2017江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入的值为,则输出的的值是▲ .【答案】-2【解析】由题意得，故答案为-2．1.【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足（A）（B）（C）（D）【答案】C2.【2016高考新课标3文数】执行下图的程序框图，如果输入的，那么输出的（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B3.【2016年高考四川文数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A）9 （B）18 （C）20 （D）35【答案】B4.【2016高考新课标2文数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（）（A）7 （B）12 （C）17 （D）34【答案】C5.【2016年高考北京文数】执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】输入，则，；进入循环体，，否，，，否，，，此时，输出，则，选B.6.【2016高考山东文数】执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.【答案】37.【2016高考天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）8【答案】B【解析】依次循环：结束循环，输出，选B.8.【2016高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲ .【答案】91.【2016新课标理】设其中,实数,则( )（A）1 （B）（C）（D）2【答案】B【解析】因为所以故选B.2.【2016高考新课标3文数】若，则（）(A)1 (B) -1 (C) (D)【答案】C【解析】，故选C．3.【2016高考新课标2文数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A.4.【2016年高考北京文数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.【答案】－1【解析】，故填：－15.【2016高考山东文数】若复数z满足其中i为虚数单位，则z=（）（A）1+2i （B）12i （C）（D）【答案】B【解析】设，则，故，则，选B.6.【2016高考天津文数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______. 【答案】2【解析】由，可得，所以，，故答案为2．7.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________. 【答案】5【解析】，故z的实部是51．(2015·重庆，7)执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)【答案】B【解析】第一次循环：S＝1－1＝0，t＝1＋1＝2；x＝0，y＝2，k＝1；第二次循环：S＝0－2＝－2，t＝0＋2＝2，x＝－2，y＝2，k＝2；第三次循环：S＝－2－2＝－4，t＝－2＋2＝0，x＝－4，y＝0，k＝3.输出(－4，0)．2．(2015·福建，6)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为()A ．2B ．1C ．0D ．－1 【答案】C3．(2015·北京，3)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524【答案】C【解析】由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此s ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填s ≤1112，选C.4．(2015·新课标全国Ⅱ，8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14 【答案】B5．(2015·山东，13)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________.【答案】116【解析】当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋＝1＋12＝32；当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116.6．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【答案】B【解析】因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.7．(2015·广东，2)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i 【答案】D【解析】因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D. 8．(2015·四川，2)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i【答案】C【解析】i 3－2i ＝－i －2ii2＝－i ＋2i ＝i.选C.9．(2015·山东，2)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i【答案】A【解析】∵z1－i ＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.10．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 【答案】A【解析】由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i＝i ，∴|z |＝|i|＝1.11．(2015·重庆，11)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 【答案】3【解析】由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 1. 【2014高考安徽卷文第1题】设是虚数单位，表示复数的共轭复数. 若则（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，故选C. 【考点定位】复数的运算、共轭复数.2. 【2014高考北京版文第9题】复数.【答案】【解析】，所以.【考点定位】复数的运算3. 【2014高考福建卷第1题】复数的共轭复数等于（）【答案】C【解析】依题意可得.故选C.【考点定位】复数的运算.4. 【2014高考广东卷文第2题】已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【考点定位】复数的四则运算5. 【2014高考湖北卷文第1题】为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，故选A.【考点定位】复数的运算6. 【2014高考湖南卷第1题】满足（是虚数单位）的复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可得,故选B.【考点定位】复数运算7. 【2014高考江苏卷第2题】已知复数（为虚数单位），则复数的实部是.【答案】21【解析】由题意，其实部为21．【考点定位】复数的概念8. 【2014江西高考文第1题】是的共轭复数. 若，（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则由得：，由得：，所以选D.【考点定位】共轭复数9. 【2014辽宁高考文第2题】设复数z满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选A.【考点定位】复数的运算.10. 【2014全国1高考理第2题】（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得．【考点定位】复数的运算11. 【2014全国2高考文第2题】设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A【解析】由题意知：，所以-5，故选A。
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2018年高三二轮复习讲练测之讲案【苏教版数学】
专题九 算法、推理与证明、复数
考向一 算法 1.讲高考
（1）考试要求 算法初步
（1）算法的含义、程序框图 ①了解算法的含义，了解算法的思想.
②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环. （2）基本算法语句
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. （2）命题规律
算法初步在高考中一定有小题，此类题多以框图为考查重点，往往与函数、数列等相结合，属于中等偏容易题．预测2018年高考中会有小题．应认真掌握好相关基础知识，确保高考不失分. 例1【2014江苏，3】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是
.
【答案】5
【解析】本题实质上就是求不等式220n
>的最小整数解．220n
>整数解为5n ≥，因此输出的5n =. 【名师点睛】循环语句中，注意语句1n n ←+不同的放置位置对输出结果的影响. 例2【2015高考四川，理3改编】执行如图所示的程序框图，输出S 的值是
【答案】
12
【名师点睛】程序框图也是高考的热点，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次循环的结果一一列举出来.
2.讲基础
（1）程序框图的三种逻辑结构：顺序结构、条件(分支)结构、循环结构． （2）程序设计语言的基本算法语句：
任何一种程序设计语言都包含五种基本的算法语句，分别是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句 、循环语句．
3.讲典例
【例1】【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末文科数学试题】
执行如图所示的程序框图，输出S的值为___________.
【答案】48
【名师点睛】对于比价复杂的程序框图，我们逐次计算各变量的值，再距离条件判断何时循环终止.
【趁热打铁】【北京市石景山区2018届高三第一学期期末考试数学（文）试题】执行右面的程序框图，若输入的x的值为0，则输出的y的值是________.
【答案】13
【解析】2
012,32113x x x y =⇒=⇒==⨯+=
【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
【例2】【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2018届高三上学期期末考试数学（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是__________．
【答案】7
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区
分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
【趁热打铁】【江苏省徐州市铜山中学2018届高三第一学期期中考试数学试卷】执行如图所示的算法流程图，则输出x的值为__________．
【答案】4
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
4.讲方法
(1)解答此类问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三个基本结构．
(2)解读循环结构的程序框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底造成错误．
5.讲易错
【题目】某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数i的最大值为
【错因】算法初步问题，往往比较简单，正答率较高，出现的问题往往有执行程序不完整、计算错误等，本题中不能正确的依次计算n
2S S =+，而出现误选.
【正解】这是一个循环结构，循环的结果依次为：01021,1;123,2;S n S n =+===+==
234327,3;7215,4;15231,5S n S n S n =+===+===+==.所以i 的最大值为5.
考向二 推理与证明 1.讲高考
（1）考试要求 推理与证明
（1）合情推理与演绎推理
①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. ②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. ③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. （2）直接证明与间接证明
①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. ②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. （3）数学归纳法（理科附加）
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. （2）命题规律
推理与证明类的题目，分成两个大类，一是合情推理与演绎推理反证法等，一般是在填空题中独立考查；二试数学归纳法，会在附加题中出现.
例1【2008江苏 9】在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，
p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫
⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： ( )011=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+y a p x
【答案】
11
c b
-
【名师点睛】类比推理可以代数结构上的推理，也可以是证明方法、推理方法的类比，本题中计算OF 的直线方程时，就是把,B C 交换，再应用OE 的方程来计算即可，这就是图形上的对应关系与方程的系数的对应关系的匹配.
例2【2015江苏高考，23】 已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈= ，
{,),(a b b a b a S n 整除或整除=
}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.
（1）写出(6)f 的值；
（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.。