2011第十六届华杯复赛C卷(含解析)

1/9 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 复赛试卷（小学组） （时间：2011年4月16日10：00~11：30）

一、填空题（每小题10分，共80分） 1．35735+7468_________．

2．工程队的8个人用30天完成了某项工程的23，接着增加了4个人完成其余的工程，那么完成这项工程共用了__________天．

3．甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1．2倍．乙骑了4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的16．排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲乙同时到达B地．那么A、B两地之间的距离为__________千米．

4．在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯．晚上9时时37分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有__________个小彩灯．

5．在边长为2厘米的正方形ABCD中，分别以A、B、C、D为圆心，2厘米为半径画四分之一圆，交点E、F、G、H，如图所示．则中间阴影部分的周长为__________厘米．（取圆周率π=3.141）

6．用同一种颜色对44方格的7个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右图）．那么共有__________种涂色的图案．

7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是__________（立方厘米）． 2/9

8．公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所示．

某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则可能的线路号有________个．

二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．在右面的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满足要求的算式中，四位数“华杯决赛”的最小值是多少？

10．长方形ABCD的面积是70平方厘米，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．

11．求不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数． 12．设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的21日可能是星期几？ 三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程） 13．以x表示不超过x的最大整数，设自然数n满足

123412000151515151515nn





，

则n的最小值是多少？ 14．一个长40、宽25、高60的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深度为a，其中060a．现 3/9

将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少? 4/9

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学组） 参考答案

1 2 3 4 5 6 7 1117

24 40 36 11 4．188 7 9000

8 9 10 11 12 13 14

5 1000 70 17 4，6

252

109a，

1a，60

参考解析 一、填空题（每小题10分，共80分） 1．35735+7468_________． 【考点】速算巧算 【难度】☆☆

【答案】111724

【解析】原式1116431311468181817468242424．

2．工程队的8个人用30天完成了某项工程的23，接着增加了4个人完成其余的工程，那么完成这项工程共用了__________天． 【考点】工程问题 【难度】☆☆ 【答案】40

【解析】假设一个人一天所做工程量为1份，那么8个人30天共做了240份，占总工程的23，所以总工程为360份．增加4个人后，还需要(360240)(84)10天，所以完成这项工程共用了3010=40天．

3．甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的16．排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲乙同时到达B地．那么A、B两地之间的距离为__________千米． 【考点】行程问题 5/9

【难度】☆☆☆ 【答案】45 【解析】甲乙的车速比是1.2:16:5，所以所用时间比为5:6，不妨设甲用时5t，则乙原定时间为6t．乙

车因故障耽误的时间为166tt，而最后全程用时5t，所以故障排除后，乙的提速使它节省了2t的时间．提速后的速度与原速度比为1.6:18:5，所以时间比为5:8，节省了三份的时间，所以每份为23t，所以这段路原计划用时216833tt，所以一开始的4千米原计划用时是162633ttt，

所以A、B之间的距离为24(6)363tt千米．

4．在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟，在圆形钟面的边界，每分钟的刻度处都有一个小彩灯．晚上9时37分20秒时，在分针与时针所夹的锐角内有__________个小彩灯． 【考点】时钟问题 【难度】☆☆☆ 【答案】11

【解析】以1分所指的刻度作为第一个刻度，顺时针对所有刻度进行编号．从9时到9时37分20秒，时针走了1113733129个小格，所以此时时针在第48个刻度和第49个刻度之间．分针在第37个刻度和第38个刻度之间．所以此时分针与时针所夹的锐角内有11个刻度，故有11个小彩灯．

5．在边长为2厘米的正方形ABCD中，分别以A、B、C、D为圆心，2厘米为半径画四分之一圆，交点E、F、G、H，如图所示．则中间阴影部分的周长为__________厘米．（取圆周率π=3.141）

【考点】几何 【难度】☆☆☆ 【答案】4．188 【解析】如图，

连结DE、AE、AF．显然三角形ADE为等边三角形，所以60ADE，30BAE，同理 6/9

30DAF，故30EAF．所以，弧EF的长为弧BD的13，即整个圆周长的112，所以阴影部

分的周长为半径为1厘米的圆的周长的13，即12π2=4.1883厘米．

6．用同一种颜色对44方格的7个格子进行涂色，如果某列有涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色，相邻两列中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右图）．那么共有__________种涂色的图案．

【考点】计数问题 【难度】☆☆☆ 【答案】7 【解析】74300421041113310322032112221，所以共有7种涂色的图案．

7．已知某个几何体的三视图如右图，根据图中标示的尺寸（单位：厘米），这个几何体的体积是__________（立方厘米）．

【考点】立体几何 【难度】☆☆☆ 【答案】9000 【解析】这个几何体如下图所示，

其中面BCE面ABCD，EFBC，它的体积为1303030=90003立方厘米． 8．公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数，其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示，如图所 7/9

示． 某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮，显示的线路号为“351”，则可能的线路号有________个． 【考点】计数问题 【难度】☆☆☆ 【答案】13 【解析】分几种情形考虑． 第一种情形：线路号的数字中没有荧光管坏了．只有351一个可能线路号． 第二种情形：线路号的数字中有1支荧光管坏了． 坏在第一位数字上，可能的数字为9，线路号可能是951； 坏在第二位数字上，可能的数字为6，9，线路号可能是361，391； 坏在第三位数字上，可能的数字为7，线路号可能是357． 所以可能的线路号有5个：351，357，361，391，951．

二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程） 9．在右面的加法竖式中，不同的汉字可以代表相同的数字，使得算式成立．在所有满足要求的算式中，四位数“华杯决赛”的最小值是多少？

【考点】数字谜 【难度】☆☆ 【答案】1000 【解析】因为“华杯决赛”是四位数，所以不会小于1023．当“华杯决赛”=1023，“十六届”=990，“兔年”=21．

10．长方形ABCD的面积是70平方厘米，梯形AFGE的顶点F在BC上，D是腰EG的中点．试求梯形AFGE的面积．

【考点】几何 【难度】☆☆☆ 【答案】70 【解析】连接FD的直线与AE的延长线相交于H． 8/9

则DFG△绕点D逆时针旋转180与DHE△重合，DFDH，=AFDADHSS△△． 梯形AEGF的面积AFH=△的面积2AFD△的面积=长方形ABCD的面积=70（平方厘米）．

11．求不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数． 【考点】数论 【难度】☆☆ 【答案】17 【解析】首先证明，不少于27的奇数都能分解成3个不相等的合数． 若这个数能被3整除，那么这个数必能分解成69a，其中a是一个大于9且能被3整除的数；若这个数被3除余1，那么这个数必能分解成46b，其中b是一个大于6且能被3整除的数；若这个数被3除余2，那么这个数必能分解成68c，其中c是一个大于8且能被3整除的数．所以不小于27的奇数都能分解成3个不相等的合数． 在小于27多的奇数中，254615，23689，21489，19469而不相等的合数之和最小为468等于18，所以17必然无法写成3个不相等的合数之和． 综上可得，不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数是17．

12．设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的21日可能是星期几？ 【考点】周期问题 【难度】☆☆☆☆ 【答案】4，6 【解析】设这个月的第一个星期日是a日（17a），则这个月内星期日的日期是7ka，k是自然数，731ka．要求有三个奇数．

当1a时，要使71k是奇数，k为偶数，即k可取0，2，4三个值，此时，771kak，分别为1，15，29，这时21号是星期六． 当2a时，要使72k是奇数，k为奇数，即k可取1，3两个值，72k不可能有三个奇数． 当3a时，要使73k是奇数，k为偶数，即k可取0，2，4三个值，此时773kak，分别为3，17，31，这时21号是星期四． 当47a时，7ka不可能有三个奇数．

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程） 13．以x表示不超过x的最大整数，设自然数n满足123412000151515151515nn

