最新结构力学-第三章力法1
结构力学第三章小结
1. 变形体虚功原理所揭示的是，体系上平衡的外 力在体系的协调位移上的一个虚功恒等关系。 2. 单位荷载法，只是虚功原理的一种应用。单位 荷载又称为单位广义力，是一种无量纲和单位 的广义“力”。 3. 图乘法的条件是：等直杆；至少有一个图形是 直线。 4. 温度引起的结构位移计算时，必须考虑轴线温 度改变引起的位移。每项符号按温度和单位广 义力所引起的变形是否一致来确定，一致时为 正。反之为负。
3. 虚位移原理、虚力原理和虚功原理前提不 同，结论也不同。但是，其必要性命题是 一样的。
测 验 题
求图示圆弧形曲梁B点水平位移（用 直杆公式），EI=常数。
图示结构各杆件均为截面高度相同的矩形截面， 内侧温度上升t，外侧不变，求C点竖向位移。
图示结构上侧温度上升10，下侧上升30，并有 图示支座移动和荷载作用，求C点3 EI 2
?
求C点竖向位移。
已知图示空间刚架各杆 E 200 106 kN / m 2
G 80 106 kN / m 2 I 100 106 mm 4 I P 180 106 mm 4
结 束
5. 单位荷载法源于虚功原理，根据所求位移确定 单位广义力状态后，关键是求外因引起的变形 位移。掌握了这一点，不管材料性质、作用的 外因是什麽，就都能解决需求位移计算问题。 6. 对于由曲杆组成的结构或变截面复杂受荷结构 等，可用数值积分来求位移近似值。 7. 线弹性结构多种外因共同作用的位移计算，可 用统一公式进行计算，也可按各因素分别计算 后叠加得到。 8. 位移、反力、位移和反力互等定理所指出的都 是影响系数互等，它们的量纲和单位都是相同 的。
9. 讨 论(写读书报告)
1. 将变形体虚功原理和达朗伯尔原理相结合，利 用瞬时“平衡”的概念，也可作为第三篇动力 分析的基本原理。 2. 矩形截面曲杆结构位移计算公式为
《结构力学习题》含答案解析
第三章 静定结构的位移计算一、判断题:1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力,但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时,其虚拟状态应取:A.;;B.D.C.=1５、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
６、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M kM p21y 1y 2**ωω( a )M =17、图a、b两种状态中,粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ＝ϕ。
8、图示桁架各杆E Ａ相同，结点A和结点B的竖向位移均为零。
a a9、图示桁架各杆EA ＝常数，由于荷载P是反对称性质的,故结点B的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰Ａ两侧截面的相对转角ϕA,EI = 常数。
ql l l/211、求图示静定梁D端的竖向位移∆DV。
ＥI＝常数,ａ= 2m 。
a a a10kN/m12、求图示结构Ｅ点的竖向位移。
EＩ＝常数。
ll l l /32 /3/3q13、图示结构，ＥＩ＝常数 ，M =⋅90kN m ， P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P 3m3m3m1４、求图示刚架B 端的竖向位移。
q1５、求图示刚架结点C 的转角和水平位移,EI = 常数 。
q16、求图示刚架中D 点的竖向位移。
ＥI ＝ 常数 。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI = 常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
ＥI ＝常数。
qll l/2219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角,EI＝常数。
l/23l/32０、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E Ｉ= 常数。
ll２１、求图示结构Ｂ点的竖向位移,EI ＝常数。
l lﻩ22、图示结构充满水后,求A、B两点的相对水平位移。
结构力学-力法-对称性应用-去一半计算
例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
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M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1） 解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。 （2） 任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。 （3） 按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky
1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2
3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)
结构力学第三章平面刚架
◆ 刚结点可以承受和传递弯矩，因此刚架中的弯矩分布 较为均匀，节省材料
◆ 刚结点增大了结构刚度，刚架内部空间较大，便于利 用
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql 2 8
M图
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M
M
ql 2 8
M图
l
l
(a)
(b)
刚架内力分布均匀
西班牙毕尔巴鄂市桑迪加航空港
D
E
无外力偶作用时，该截面弯
矩是否为零
A
（有集中力偶作用时，该截面
B
弯矩等于该力偶值）
两杆汇交刚结点无外力偶作用 时，两杆端弯矩是否相等同侧 受拉
是否符合内力与荷载集度间关系
M
19kN
65kN 14kN/m
两杆结点无外力偶作用时，两杆端弯矩必大小相等、 同侧受拉
3 绘内力图
DE
C4
19
－ 4
－
－
19
A
B
FN图 (kN)
19 ＋
4
28 D＋
C －
－
E
44
F
+ 37
A
4
B
FQ图
(kN)
65
8 2m 2m
14kN/m
C
D
E
4kN
F
4kN
A
B
4m
2m
19kN 44 65kN
三 静定刚架的分类
悬臂刚架
简支刚架
三铰刚架
多跨多层 刚架
四 静定刚架内力分析
1 （除悬臂刚架）一般先求支座反力、铰结点处的约束力， 再计算刚架内力
2 一般取各杆两端截面为控制截面，先求杆端截面内力
集美大学船舶结构力学(48学时)第三章 力法(3)2014(2学时)
216EI v 2 3 11l
M 2 M1 5 R2 ql l 2
因此，有方程：
216 EI M 2 M1 5 v ql 2 3 11l l 2
将此式与上面两方程联立 问题则解决。
题9 求下图 M , v , R 。 1 1 1
据3.6改 （教材52页）
梁的左半段断面惯性矩 为 I 1 ，右半段断面惯性矩 为 I 2 ，可以设想在断面变 化处加上一个柔性系数 A= ∞ 的弹性支座，如图4-27b)所示， 于是就可以按弹性支座上双跨 梁的方法来计算了。
静定基
v AR
EI1
R10
R R12
EI 2
v
静力平衡方程？
R0
A
转角连续方程式？
因此，可列出中间支座断面的 转角连续方程式：
R10
R12
3
l v1 AR1 ( R10 R12 ) 12EI 2 R ql 3
题8
（教材49页例2） 图3-26a所示的具有弹 性支座的多跨梁，试求其断 面弯矩、节点挠度和作用在 弹性支座上的力。
解：1、静定基：
M1
q 1
EI , l
M2
q
E,4I ,4l
M2
3
11l 3 A 216EI
即： 原模型：
A l3 6 EI
静定基：
EI , l EI , l
变协方： 4 4 5 q(2l ) 1 R(2l ) AR 384 EI 48 EI
由此直接解得：
R
v1 AR
可以去掉 中间的弹性支 座代以支反力 R，再利用变 形连续条件列 方程式求解。
R 5ql / 8
结构力学 第三章零载法
(Statically determinate structures general introduction)
基本性质 派生性质 零载法
静定结构基本性质
满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯一
解答
证明的思路：
静定结构是无多余联系的几何不变体系，用刚体虚位移原 理求反力或内力解除约束以“力”代替后，体系成为单自由 度系统，一定能发生与需求“力”对应的虚位移，因此体系 平衡时由主动力的总虚功等于零一定可以求得“力”的唯一 解答。
FP FP FP
静定结构 解除约束,单 自由度体系 体系发生虚 位移M MαΔ刚体虚位移原理的虚功方程
FP Δ - M α=0 可唯一地求得 M= FP Δ/α
静定结构派生性质
支座微小位移、温度改变不产生反力和内力 若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则其
他部分将不受力 在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时，荷载变化部分 之外的反力、内力不变 结构某几何不变部分，在保持与结构其他部分连接方式不变 的前提下，用另一方式组成的不变体代替，其他部分的受力 情况不变 仅基本部分受荷时，只此受荷部分有反力和内力 注意：上述性质均根源于基本性质，各自结论都有一定前提， 必须注意！
零载法举例
无多余联 系几何不 变体系
找 零 杆
截 面 投 影
取 结 点
讨 论 题
ffpp静定结构静定结构ffppmm解除约束解除约束单单自由度体系自由度体系ffpp体系发生虚体系发生虚位移位移刚体虚位移原理的虚功方程刚体虚位移原理的虚功方程ff00可唯一地求得可唯一地求得若取出的结构部分不管其可变性能够平衡外荷载则其他部分将不受力在结构某几何不变部分上荷载做等效变换时荷载变化部分之外的反力内力不变结构某几何不变部分在保持与结构其他部分连接方式不变的前提下用另一方式组成的不变体代替其他部分的受力情况不变注意
结构力学_力法
一组等截面单跨超静定梁
派生
③ 力矩分配法 逐次逼近精确解
① 力法
静定结构
超静定结构
关键问题： ① 如何选择基本体系 ② 如何实现等价转化
超静定结构去掉多余约束后，就成为静定结构。
A
B
C
原结构
①
②
×
③
④
基本体系的选择
⑤
3、力法求解超静定结构的思路
超静定结构
多余约束
静定结构
多余未知力
根据叠加原理：
结构力学
主讲：xx 单位：机电工程学院
超静定结构的解法 ——力法
1、静定结构与超静定结构
静定结构
FX 0 FY 0 M 0
超静定结构
超静定结构：有多余约束的几何不变体。 超静定结构：仅用力平衡条件不能确定全部反力和内力。
2、超静定结构的解法
① 力法
超静定结构
静定结构
② 位移法 超静定结构
基本未知量
①应用单位荷载法（图乘法） 计算系数和常数项
②将11、 ∆1P代入力法方程，得：
超静定结构 静定结构
多余未知力X1求出后，其余反力、内力的计算即静定问题。
静定结构
超静定结构
超静定结构计算的原则
欲求超静定结构先取一个基本体系，然后让基 本体系在受力和变形方面与原结构完全一样。
力法 基本体系—— 静定结构 基本 Nhomakorabea知量—— 多余未知力 基本方程——位移条件
（变形协调条件）
位移法 基本体系—— 一组单跨超静定梁 基本未知量—— 独立结点位移 基本方程—— 平衡条件
结构力学力法的典型方程
结构力学力法的典型方程结构力学是研究结构内部受力和变形规律的学科，通过建立力学模型并利用力学方程进行分析，可以预测结构的受力状态和稳定性。
在结构力学中，主要涉及到几个典型的方程，包括平衡方程、变形方程和材料本构关系方程。
1.平衡方程：平衡方程是表达结构处于静力平衡状态的基本方程，根据牛顿第二定律可得出。
平衡方程可以分为整体平衡方程和局部平衡方程。
（1）整体平衡方程：整体平衡方程是研究整个结构的受力平衡关系，通常包括平衡条件、力的平衡方程和力矩的平衡方程。
2.变形方程：变形方程是用来描述结构受力引起的变形情况的方程，包括位移方程和应变-位移关系。
（1）位移方程：位移方程是用来描述结构各点的位移与受力之间的关系。
位移方程可以根据变形模型和平衡条件来推导，一般采用构件的柔度矩阵或势能法推导。
（2）应变-位移关系：应变-位移关系是研究结构变形与应变之间的关系，通过该关系可以求解结构的受力和变形情况。
应变-位移关系通常根据材料的本构关系来确定。
3.材料本构关系方程：材料本构关系方程是研究结构材料特性对结构力学性能的影响，通过该方程可以获得应力-应变关系。
材料本构关系方程根据材料的力学性质和实验数据来确定，常用的材料本构关系方程有钢材的线弹性本构关系、混凝土的受压和受拉本构关系等。
在结构力学中，以上三个典型方程通常以矩阵形式来表达，从而可以进行更加简洁和高效的数值计算。
典型的矩阵方程包括平衡方程的矩阵形式、位移方程的矩阵形式、应变-位移关系的矩阵形式以及材料本构关系方程的矩阵形式等。
总结起来，结构力学的典型方程包括平衡方程、变形方程和材料本构关系方程。
这些方程是结构力学分析的基础，通过这些方程的建立和求解，可以揭示结构内部受力和变形的规律，为结构的设计和优化提供依据。
结构力学第三章静定梁与静定刚架
例3-3 作图3-10(a)所示多跨静定梁的内力图。 解：(1) 画层叠图。ABC与DEF部分为基本部分， CD部分为附属部分。将附属部分画在上层，基本部 分画在下层，得到图3-10(b)所示的层叠图。 (2) 求反力。先求附属部分BC的反力，将其反向作用 在基本部分上，然后再求基本部分的反力，如图310(c)所示。 (3) 作内力图。首先求出各单跨梁控制截面的M、FS值， 然后按微分关系联线，也可用叠加法作弯矩图。其 内力图如图3-10(d)、(e)所示。
MA
的图线与水平基线之间的图形
即为叠加后所得的弯矩图。
F
a
b
l
Fab l
图3-4
MB B
MB
上述叠加法对直杆的任何区段都是适用的。只需将直杆段的 两端弯矩求出并连以直线（虚线），然后在此直线上再叠加相应 简支梁在荷载下的弯矩图，这种方法称为区段叠加法或简支梁叠 加法，也简称叠加法。
5．绘制内力图的一般步骤
424x得，x
=
1
m。
取AI段为隔离体，由ΣMI=0，可得：MI= 16×3-8×28×1×1/2 = 28 kN·m。
§3-2 多跨静定梁
1．多跨静定梁的组成
多跨静定梁是由若干根梁用铰相联，并通过若干支座与基 础相联而组成的静定结构。图3-7(a)为用于公路桥的多跨静定梁， 其计算简图如图3-7(b)所示。
44 FS(CE) 4 2kN
至于剪力的正负号，看按以下方法确定：若弯矩图是从基线
顺时针方向转的（以小于90°的转角），则剪力为正，反之为 负。据此可知，应为正。对于弯矩图为曲线的区段，可利用杆段
的平衡条件来求得其两端剪力。
例如BC段梁，取BC梁为隔离体，由MC 0和 M B 0 可分别求得
结构力学课件 力法
（5）叠加原理作M图
M1(m)
M A 360 6 ( 22) 228 M C 6 ( 22) 132
90
228
132
桁架
P
a
（1）基本体系 —基本未知量 （2）位移协调条件 —写力法基本方程 （3）求系数和自由项 —单位荷载法
a
（4）解力法方程 —求基本未知量
P
→ X1 ↑
拆开一个单铰，相当于去掉两个联系。
X1
X 1 ← → ↑ → X2
（3） 在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉 三个联系。 X
X1
←→
X2
（4）将刚结改为单铰联结，相当于去掉一个联系。
X1 X1
← →
3
例1: 确定图示结构的超静定次数。
2
1 3
n=6
例2: 确定图示结构的超静定次数。 对于具有较多框格的结构， 可按框格的数目确定，因为一
q a
A
B X1
A
2 力法的基本概念
力法的基本体系
q
A B A
q a
力法的基本未知量
a
B X1
B点的位移条件Δ1=0
变形协调条件
q
A
B A
变形协调条件
Δ1=Δ1P+Δ11=0
Δ1P：基本体系在荷载q单独
a q
A B Δ1P
Δ11 B X1
作用下沿X1方向产生的位移；
Δ11：基本体系在荷载X1单 独作用下沿X1方向产生的 位移；
X1
X1
（1）基本体系 —基本未知量 （2）位移协调条件 —写力法基本方程
a
a
1P 11 X 1 0