2018-2019学年人教A版必修21.3.2 球的体积和表面积学案

1.3.2 球的体积和表面积 学习目标：1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．球的体积

设球的半径为R，则球的体积V＝43πR3. 2．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． [基础自测] 1．思考辨析 (1)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (2)长方体既有外接球又有内切球．( ) (3)球面展开一定是平面的圆面．( ) (4)球的三视图都是圆．( ) [提示] (1)× 体积比应为半径比的立方． (2)× 长方体不一定有内切球． (3)× 球面展不成平面． (4)√ 2．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是( )

A．C24π B．C22π C．C2π D．2πC2

C [由2πR＝C，得R＝C2π，所以S球面＝4πR2＝C2π.] 3．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的( ) A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 C [设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝43πr3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为43π(2r)3＝8×43πr3.] 4．一个球的外切正方体的表面积为6 cm2，则此球的体积为( ) A．43π cm3 B．68π cm3 C．16π cm3 D．66π cm3 C [设球的直径为2R cm，则正方体的棱长为2R cm，所以6×4R2＝6，解得R＝12，所以球的体积为43π×18＝16π(cm3)．] [合 作 探 究·攻 重 难]

球的表面积与体积 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；

(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积．

【导学号：07742066】 [解] (1)设球的半径为r，则由已知得 4πr2＝64π，r＝4.

所以球的体积：V＝43×π×r3＝2563π.

(2)设球的半径为R，由已知得 43πR3＝5003π，所以R＝5，

所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π. [规律方法] 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 1关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝43πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了. 2两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方. [跟踪训练] 1．过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48π cm2，则球的表面积为________cm2. 256π [易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于点C，连接OA.由截面面积为48π cm2，可得

AC＝43 cm.设OA＝R，则OC＝12R，所以R2－12R2＝(43)2，解得R＝8 cm.故球的表面积S＝4πR2＝256π(cm2)．

] 2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是 ( ) A．100π3 cm3 B．208π3 cm3

C．500π3 cm3 D．41613π3 cm3 C [根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3

＝500π3(cm3)．]

球的表面积及体积的应用 4/9

一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ 思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决． [解] 设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后水面高PH＝x，如图所示． ∵AC＝3r，PC＝3r， ∴以AB为底面直径的圆锥的容积为 V圆锥＝13πAC2·PC ＝13π(3r)2·3r＝3πr3，V球＝43πr3. 球取出后水面下降到EF，水的体积为 V水＝13πEH2·PH ＝13π(PH·tan 30°)2·PH＝19πx3. 而V水＝V圆锥－V球， 即19πx3＝3πr3－43πr3，∴x＝315r. 故球取出后水面的高为315r. [规律方法] 1．画出截面图是解答本题的关键． 2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算． [跟踪训练] 2．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？ [解] 设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球＝2×43

π×

5

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＝125π3，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V＝π×52×h，

所以125π3＝π×52×h，所以h＝53(cm)， 即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53 cm.

与球有关的切、接问题 [探究问题] 1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？ [提示] 2R＝a2＋b2＋c2. 2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？ [提示] 外接球半径R＝32a；内接球半径R＝12a. 3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？ [提示] R＝22a. (1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( )【导学号：07742068】 A．6π B．43π C．46π D．63π (2)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________． 思路探究：(1)作出截面图，由图易求出半径R，进而求出其体积． (2)先求出球半径，再求球的表面积． (1)B (2)14π [(1)画出截面图，如图：

∴R＝22＋12＝3. ∴其体积V＝43πR3＝43π. 故选B. (2)球的直径是长方体的体对角线， ∴2R＝32＋22＋12＝14，S＝4πR2＝14π.] 母题探究：1.若把本例(2)换成“棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上”，求此球的体积． [解] 正方体的外接球直径等于正方体的体对角线 长，即2R＝22＋22＋22，所以R＝3， 所以V球＝43·π·(3)3＝43π. 2．若把本例(2)换成“棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上”，求球的表面积． [解] 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，

由题意2R＝3x＝3×2a2＝62a， 所以R＝64a，所以S球＝4πR2＝32a2π.

3．若把本例(2)换成“三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a，a，a”，求球的表面积和体积． [解] 以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱，将三棱锥补成长方体，则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直径等于长方体的体对角线长，故2R＝a2＋a2＋2a2＝6a，R＝62a，所以S球＝4πR2＝6a2π，

V球＝43πR3＝43π·62a3＝6a3π.

[规律方法] 球的切接问题处理策略及常用结论 1在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等. 2几个常用结论 ①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径； ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径； ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ④球与棱锥相切，则可利用V棱锥＝13S底h＝13S表R，求球的半径R. [当 堂 达 标·固 双 基] 1．直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A．144π，144π B．144π，36π C．36π，144π D．36π，36π

D [半径R＝3.所以S表＝4πR2＝36π，V＝43πR3＝4π3×27＝36π. 故选D.] 2．正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为( ) 【导学号：07742069】

A．27π B．823π

C．36π D．932π

A [设正方体的棱长为a，则S＝6a2＝54，∴a＝3. ∴其外接球半径为R＝32a＝332.

∴外接球表面积为S＝4πR2＝4π×3322＝27π.] 3．表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切，则这个多面体的体积为( )

A.13Q B．Q C.43Q D．2Q

C [4πR2＝64π⇒R＝4，∴V＝13QR＝43Q，故选C.] 4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________. 【导学号：07742070】 32 [设大球的半径为R，则有43πR3＝2×43π×13，R3＝2，所以R＝32.]

5．圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r，圆柱、圆锥的高都是2r， (1)求圆柱、圆锥、球的体积之比； (2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比． [解] (1)V圆柱＝πr2·2r＝2πr3，

V圆锥＝13·πr2·2r＝23πr3， V球＝43πr3，