北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优提升训练题3(附答案详解)

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2020年北师大版九年级数学下册第三章圆检测卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第三章圆检测卷一、单选题（共10题；共30分）1.已知Rt△ABC，∠C=90°，若以斜边AB为直径作⊙O，则点C在（）A. ⊙O上B. ⊙O内C. ⊙O外D. 不能确定2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于（）A. 110°B. 130°C. 120°D. 140°3.到三角形三边距离都相等的点是三角形（）的交点A. 三边中垂线B. 三条中线C. 三条高D. 三条内角平分线4.如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=（）A. 65°B. 50°C. 130°D. 80°5.如图,☉O内切于Rt△ABC,∠ACB=90°,若∠CBO=30°,则∠A等于( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°6.如图1，在⊙O中，弦AC和BD相交于点Ｅ，弧AB=弧BC=弧CD，若∠BEC＝110°，则∠BDC（）A. 35°B. 45°C. 55°D. 70°7.如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°8.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：4的两段弧，则弦所对的圆周角等于（）A. 36°B. 72°C. 36°或144°D. 72°或108°9.已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定10.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连结CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( )A.∠BOC＝2∠BADB.CE＝EOC.∠OCE＝40°D.AD＝2OB二、填空题（共10题；共30分）11.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=10,CD=6,则BE=________.12.已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为________cm13.如图，AB为⨀O的弦，⨀O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⨀O于点C，且OD=4，则弦AB的长是________．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，AC=BC，DE=2cm，AD=5cm，则⊙O的半径为是________ cm.15.已知一块直角三角形钢板的两条直角边分别为30cm、40cm，能从这块钢板上截得的最大圆的半径为________.16.如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA=6，⊙O的半径为2，则∠CPD=________17.如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为________．18.半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ cm．19.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5cm，AC=4cm．D是弧BC上的一个动点（含端点B，不含端点C），连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D移动的过程中，BE的取值范围是________．20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E，若∠COB=3∠AOB，OC=2 ，则图中阴影部分面积是________（结果保留π和根号）三、解答题（共8题；共60分）21.已知排水管的截面为如图所示的⊙O,半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB.22.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径．23.已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。

2022学年北师大版九年级数学下册第3章《圆》综合测试题附答案解析

2022-2023学年九年级数学下册第3章《圆》综合测试题（满分120分）一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题为真命题的是()A ．两点确定一个圆B ．度数相等的弧相等C ．垂直于弦的直径平分弦D ．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等2．已知⊙O 的半径为5，点P 到圆心O 的距离为6，那么点P 与⊙O 的位置关系是()A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC ＝120°，则∠BAC 的度数是()A ．70°B ．60°C ．50°D ．30°4．如图，AB ，AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD .如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于()A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°5．如图，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，OB ，OC 分别交AC ，BD 于点E ，F ，则下列结论不一定正确的是()A ．AC ＝BD B ．OE ⊥AC ，OF ⊥BD C ．△OEF 为等腰三角形D ．△OEF 为等边三角形6．如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O ，交坐标轴于点E ，F ，OE ＝8，OF ＝6，则圆的直径长为()A ．12B ．10C ．14D ．157．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 等于()A ．60°B ．65°C ．72°D ．75°8．秋千拉绳长3m ，静止时踩板离地面0.5m ，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2m(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧AB ︵的长为()A ．πmB ．2πm C.43πm D.32πm9．如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于点C 和点D .若△PCD 的周长为⊙O 半径的3倍，则t a n ∠APB 等于()A.125 B.3513 C.2313 D.51210．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是(3，a )(a ＞3)，半径为3，函数y ＝x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为42，则a 的值是()A ．4B ．3＋2C ．32D ．3＋3二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，若AB ＝10，CD ＝8，则圆心O 到弦CD 的距离为________．12．如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠A ＝________．13．如图，DB 切⊙O 于点A ，∠AOM ＝66°，则∠DAM ＝________．14．如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径，若AC ＝3，则DE ＝________．15．如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52c m ，装入油后，油深CD 为16c m ，那么油面宽度AB＝________.16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC为半径作CD ︵交OB 于点D .若OA ＝2，则阴影部分的面积为________．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为________．18．如图，在⊙O 中，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．下列结论：①MC ＝ND ；②AM ︵＝MN ︵＝NB ︵；③四边形MCDN 是正方形；④MN ＝12AB .其中正确的结论有_____(填序号)．三、解答题(19题8分，20，21每题10分，22，23每题12分，24题14分，共66分)19．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC ，若∠P ＝30°，求∠B 的度数．20．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC ＝BD ，连接AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E .(1)求证：AB ＝AC .(2)若⊙O 的半径为4，∠BAC ＝60°，求DE 的长．21．如图，点P 在y 轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延长交⊙P 于点C ，过点C 的直线y ＝2x＋b 交x 轴于点D ，且⊙P 的半径为5，AB ＝4.(1)求点B ，P ，C 的坐标．(2)求证：CD 是⊙P 的切线．22．如图，CB和CD切⊙O于B，D两点，A为圆周上一点，且∠1:∠2:∠3＝1:2:3，BC＝3，求∠AOD所对扇形的面积S.23．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80m，桥拱到水面的最大高度为20m.(1)求桥拱所在圆的半径．(2)现有一艘宽60m，顶部截面为长方形且高出水面9m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．24．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.(1)求证：PA是⊙O的切线．(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB＝12，求AC的长．(3)在满足(2)的条件下，若AF∶FD＝1∶2，GF＝1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．参考答案一、1.C 2.A3.B4.B5.D6.B 7．D 8.B 9.A 10.B二、11.3【点拨】如图，连接OC ，设AB ⊥CD 于E .∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，∴OC ＝5.∵CD ⊥AB ，CD ＝8，∴CE ＝4，∴OE ＝OC 2－CE 2＝52－42＝3.12．99°【点拨】易知EB ＝EC .又∠E ＝46°，所以∠ECB ＝67°.从而∠BCD ＝180°－67°－32°＝81°.在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A ＝180°－81°＝99°.13．147°【点拨】因为DB 是⊙O 的切线，所以OA ⊥DB .由∠AOM ＝66°，得∠OAM ＝12×(180°－66°)＝57°.所以∠DAM ＝90°＋57°＝147°.14．3【点拨】∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°.∴∠BDC ＋∠CDE ＝90°.又∵AB ⊥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝90°.∵∠CAB ＝∠BDC ，∴∠ACD ＝∠CDE .∴AD ︵＝CE ︵.∴AD ︵－AE ︵＝CE ︵－AE ︵.∴DE ︵＝AC ︵.∴DE ＝AC ＝3.15．48cm16.32＋π12【点拨】连接OE .∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝12OA ＝1.∵OE ＝OA ＝2，∴OC ＝12OE .∵CE ⊥OA ，∴∠OEC ＝30°.∴∠COE ＝60°.在Rt △OCE 中，CE ＝OE 2－OC 2＝3，∴S △OCE ＝12OC ·CE ＝32.∵∠AOB ＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠COE ＝30°.∴S 扇形BOE ＝30π×22360＝π3.又S 扇形COD ＝90π×12360＝π4.因此S 阴影＝S 扇形BOE ＋S △OCE －S 扇形COD ＝π3＋32－π4＝32＋π12.17.6718．①②④【点拨】连接OM ，ON ，易证Rt △OMC ≌Rt △OND ，可得MC ＝ND ，故①正确．在Rt △MOC中，CO ＝12MO ，可得∠CMO ＝30°，所以∠MOC ＝60°.易得∠MOC ＝∠NOD ＝∠MON ＝60°，所以AM ︵＝MN ︵＝NB ︵，故②正确．易得CD ＝12AB ＝OA ＝OM ，∵MC ＜OM ，∴MC ＜CD .∴四边形MCDN 不是正方形，故③错误．易得MN ＝CD ＝12AB ，故④正确．三、19.解：∵PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠B ＝12∠AOP ＝30°.20．(1)证明：如图，连接AD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵DC ＝BD ，∴AB ＝AC .(2)解：由(1)知AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°，∠ADB ＝90°，∴△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝30°.在Rt △BAD 中，∠BAD ＝30°，AB ＝8，∴BD ＝4，即DC ＝4.又∵DE ⊥AC ，∴DE ＝DC ·sin C ＝4·sin 60°＝4×32＝2 3.21．(1)解：如图，连接CA .∵OP ⊥AB ，∴OB ＝OA ＝2.∵OP 2＋OB 2＝BP 2，∴OP 2＝5－4＝1，即OP ＝1.∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB ＝90°.∵CP ＝BP ，OB ＝OA ，∴AC ＝2OP ＝2.∴B (2，0)，P (0，1)，C (－2，2)．(2)证明：∵直线y ＝2x ＋b 过C 点，∴b ＝6.∴y ＝2x ＋6.∵当y ＝0时，x ＝－3，∴D (－3，0)．∴AD ＝1.∵OB ＝AC ＝2，AD ＝OP ＝1，∠CAD ＝∠POB ＝90°，∴△DAC ≌△POB .∴∠DCA ＝∠ABC .∵∠ACB ＋∠ABC ＝90°，∴∠DCA ＋∠ACB ＝90°，即CD ⊥BC .∴CD 是⊙P 的切线．22．解：∵CD 为⊙O 的切线，∴∠ODC ＝90°，即OD ⊥CD .∵∠1:∠2:∠3＝1:2:3，∴∠1＝15°，∠2＝30°，∠3＝45°.连接OB .∵CB 为⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ，BC ＝CD .∴∠CBD ＝∠3＝45°，∴∠OBD ＝45°.又∠1＋∠2＝45°，∴∠BOD ＝90°，即OD ⊥OB .∴OD ∥BC ，CD ∥OB .∴四边形OBCD 为正方形．∵BC ＝3，∴OB ＝OD ＝3.∵∠1＝15°，∴∠AOB ＝30°，∴∠AOD ＝120°.∴S ＝120360×π×32＝3π.23．解：(1)如图，设点E 是桥拱所在圆的圆心．过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交AB ︵于点C ，连接AE ，则CF ＝20m ．由垂径定理知，F 是AB 的中点，∴AF ＝FB ＝12AB ＝40m.设半径是r m ，由勾股定理，得AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(CE －CF )2，即r 2＝402＋(r －20)2.解得r ＝50.∴桥拱所在圆的半径为50m.(2)这艘轮船能顺利通过．理由：当宽60m 的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN 为轮船顶部的位置．连接EM ，设EC 与MN 的交点为D ，则DE ⊥MN ，∴DM ＝30m ，∴DE ＝EM 2－DM 2＝502－302＝40(m )．∵EF ＝EC －CF ＝50－20＝30(m)，∴DF ＝DE －EF ＝40－30＝10(m)．∵10m>9m ，∴这艘轮船能顺利通过．24．(1)证明：如图，连接CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠CAD ＋∠ADC ＝90°.又∵∠PAC ＝∠PBA ，∠ADC ＝∠PBA ，∴∠PAC ＝∠ADC .∴∠CAD ＋∠PAC ＝90°.∴PA ⊥DA .而AD 是⊙O 的直径，∴PA 是⊙O 的切线．(2)解：由(1)知，PA ⊥AD ，又∵CF ⊥AD ，∴CF ∥PA .∴∠GCA ＝∠PAC .又∵∠PAC ＝∠PBA ，∴∠GCA ＝∠PBA .而∠CAG ＝∠BAC ，∴△CAG ∽△BAC .∴AGAC ＝ACAB ，即AC 2＝AG ·AB .∵AG ·AB ＝12，∴AC 2＝12.∴AC ＝2 3.(3)解：设AF ＝x ，∵AF ∶FD ＝1∶2，∴FD ＝2x .∴AD ＝AF ＋FD ＝3x .易知△ACF ∽△ADC ，∴ACAD ＝AFAC ，即AC 2＝AF ·AD .∴3x 2＝12，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．∴AF ＝2，AD ＝6.∴⊙O 的半径为3.在Rt △AFG 中，AF ＝2，GF ＝1，根据勾股定理得AG ＝AF 2＋GF 2＝22＋12＝5，由(2)知AG ·AB ＝12，∴AB ＝12AG ＝1255.连接BD ，如图所示．∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°.在Rt △ABD 中，∵sin ∠ADB ＝ABAD ，AD ＝6，AB ＝1255，∴sin ∠ADB ＝255.∵∠ACE ＝∠ADB ，∴sin ∠ACE ＝255.。

北师大版九年级数学下册第三章《圆》专题测试含答案

《圆》专题训练含答案一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是（填序号）11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于°．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．圆专题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B．2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①正确；②在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；③圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；因此正确的结论是①②；故选：B．3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°【解答】解：连接BD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°．故选：B．5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定【解答】解：∵r＝3，d＝5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：B．6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角【解答】解：∵EF与⊙O相切于点D，∴点D有圆上，∴∠AOB和∠BOD是圆心角，∠ADB是圆周角，∵点F不在圆O上，∴∠BDF不是圆周角，故选：C．7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°【解答】解：∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB＝∠AOB＝70°．故选：C．8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．【解答】解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OF A，∴S阴＝S扇形OF A，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OF A＝＝．故选：C．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是②③（填序号）【解答】解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确，正确的结论有②③，故答案为：②③．11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于18°．【解答】解：由题意这是正二十边形，中心角α＝＝18°，故答案为18．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是8．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．【解答】解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，∴OC＝＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AD＝＝＝，∵E为的中点，∴OE⊥BD，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，∴DE＝＝＝；故答案为：．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于2+．【解答】解：∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，∵F是AB的中点，∴OC⊥AB，设OF为x，则DF＝x﹣4，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，在Rt△BOC中，OB2＝OF2+BF2，∵OB＝OC＝6，∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）∴OF的长的最大值等于2+，故答案为2+．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是70°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．故答案为：70°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于10．【解答】解：根据正n边形内接于半径为R的圆，则可将分割成n个全等的等腰三角形，其中等腰三角形的腰长为圆的半径R，顶角为，∵个n边形的面积为3R2，∴n××R×R×sin＝3R2n sin＝6解得n＝10．故答案为10．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为30cm．【解答】解：根据题意得，r＝30cm，故答案为30cm．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．【解答】（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DF A，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．【解答】解：（1）如图1，连接OD，则OD⊥DE，∵∠∠ODA+∠EDC＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵OA⊥OB，∴∠OAD+∠OCA＝90°，且∠OCA＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDC；（2）由（1）知，∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC，在Rt△ODE中，设ED＝x，则OE＝CE+OC＝2+x，∵OD2+DE2＝OE2，∴82+x2＝（2+x）2，解得，x＝15，∴DE的长为15；（3）如图2，连接OD'，过点O作OH⊥AD'于点H，延长AO交⊙O于点M，过点D作DN⊥AM于点N，设弦AD在圆内扫过的面积为S，则S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'，由题意知，∠OAH＝30°，∴在Rt△OAH中，∠AOH＝60°，AH＝OA＝4，OH＝OA＝4，∴AD'＝2AH＝8，∠AOD'＝120°，∴S弓形ABD'＝S扇形OAD'﹣S△OAD'＝﹣×8×4＝﹣16，在Rt△ODN中，∠DON＝2∠OAD＝30°，∴DN＝OD＝4，∴S△OAD＝OA•DN＝×8×4＝16，∵∠AOD＝180°﹣∠DON＝150°，∴S扇形OAD＝＝，∴S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'＝﹣16﹣（﹣16）＝+16﹣16，∴弦AD在圆内扫过的面积为+16﹣16．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．【解答】证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CF A+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．【解答】解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．【解答】（1）证明：连结OC，如图1，∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，即∠ACO+∠FCD＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∴∠CAO+∠AFH＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠AOC，∴∠FCD＝∠AFH，而∠AFH＝∠DFC，∴∠DFC＝∠DCF，∴△FCD是等腰三角形；（2）解：连结OF，OC，如图2，在Rt△COE中，∠E＝30°，BE＝2，∴OE＝2OC，即OB+2＝2OC，而OB＝OC，∴OC＝2，∴⊙O的半径为2；∵∠EOC＝90°﹣∠E＝60°，∴∠ACO＝∠AOC＝30°，∴∠FCD＝90°﹣∠ACO＝60°，∴△FCD为等边三角形，∵F为AC的中点，∴OF⊥AC，∴AF＝CF，在Rt△OCF中，OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC；（2）解：过点O作OF⊥AC于点F，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD．∵OD∥AC，∴DE⊥AC．∴四边形OFED是矩形．∴OF＝DE．在Rt△AOF中，∠A＝45°，∴OF＝OA＝2，∴DE＝2．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．。

北师大版数学九年级下册第三章圆单元测试卷

第三章圆单元测试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1. 已知AB 是半径为5的圆的一条弦，则AB 的长不可能是（）A ．4B ．8C ．10D ．122．如图，在⊙O 中，AB ＝AC ，若∠ABC ＝57.5°，则∠BOC 的度数为（）A. 132.5° B ．130° C ．122.5° D ．115°第2题图第4题图第5题图第6题图第7题图3．在平面直角坐标系xOy 中，若点P （4，3）在⊙O 内，则⊙O 的半径r 的取值范围是（）A ．0＜r ＜4B ．3＜r ＜4C ．4＜r ＜5D ．r ＞54．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠CDA ＝122°，则∠C 的度数为（）A ．22°B ．26°C ．28°D ．30°5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝22，则的长是（） A. π B ．23π C ．2π D ．21π 6．如图所示方格纸中，点A ，B ，C ，D ，O 均为格点，则点O 是（）A ．△ABC 的内心B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ACD 的外心7．一把直尺、含60°角的直角三角尺和光盘如图所示摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为直尺与光盘的切点.若AB ＝3，则光盘的直径是（）A ．3B ．33C ．6D ．63第8题图第9题图第10题图8．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A ，与y 轴交于B ，C 两点，M 的坐标为（3，5），则B 的坐标为（）A ．（0，5）B ．（0，7）C ．（0，8）D ．（0，9）9．如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A ．6π﹣293 B ．6π﹣93 C ．12π﹣293 D ．49 10．如图，在等边三角形ABC 中，点O 在边AB 上，⊙O 过点B 且分别与边AB ，BC 相交于点D ，E ，F 是AC 上的点，下列说法错误的是（）A ．若EF ⊥AC ，则EF 是⊙O 的切线B ．若EF 是⊙O 的切线，则EF ⊥ACC ．若BE ＝EC ，则AC 是⊙O 的切线D ．若BE ＝23EC ，则AC 是⊙O 的切线二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝ °．第11题图第13题图第14题图第15题图第16题图12．已知⊙O 的半径为3 cm ，点A ，B ，C 是直线l 上的三个点，点A ，B ，C 到圆心O 的距离分别为2 cm ，3 cm ，5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置是．13．如图，点 A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为．14. 如图，Rt △ABC 的内切圆⊙I 分别与斜边AB ，直角边BC ，CA 切于点D ，E ，F ，AD=3，BD=2，则Rt △ABC 的面积为 .15．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O 于点A ，并使较长边与⊙O 相切于点C ．记角尺的直角顶点为B ，量得AB ＝2 cm ，BC ＝4 cm ，则⊙O 的半径是 cm ．16．如图，⊙O 的直径为25 cm ，弦AB ⊥弦CD 于点E ，连接AD ，BC ，若AD ＝4 cm ，则BC 的长为 cm ．三、解答题（本大题7小题，共66分）17.（6分）如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BD ∥OC ，求证：＝．第17题图第18题图第19题图18. （8分）如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D ，试判断DB 与DI 相等吗？说明理由.19. （8分）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10 mm 的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道口的距离为8 mm ，求这个孔道的直径AB ．20．（10分）如图，以等边三角形ABC 的边AB 为直径的圆，与另两边BC ，AC 分别交于点E ，F ，请仅用无刻度的直尺作出△ABC 的边AB 上的高CD ．第20题图第21题图第22题图21．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC．（1）求证：△ADE是等腰三角形；（2）若∠D＝90°，⊙O的半径为5，BC∶DC＝1∶2，求△CBE的周长．22．（12分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．23．（12分）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE 交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．①②③第23题图第24题图24．我们知道，如图①，AB是⊙O的弦，F是的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得E是AB的中点，即AE＝EB．若⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图②），过点F作EF⊥AC于点E，求证：E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB；（2）当点C在弦AB的下方时（如图③），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，那么AE，EC，CB满足怎样的数量关系？（直接写出，不必证明．）第三章圆单元测试卷参考答案答案详解 10．C 提示：连接OE ，如图所示，则OB ＝OE.因为∠B ＝60°，所以∠BOE ＝60°.因为∠BAC ＝60°，所以∠BOE ＝∠BAC.所以OE ∥AC.因为EF ⊥AC ，所以OE ⊥EF.所以EF 是⊙O 的切线.选项A 正确；因为EF 是⊙O 的切线，所以OE ⊥EF.由A 知OE ∥AC ，所以AC ⊥EF. 选项B 正确；因为∠B ＝60°，OB ＝OE ，所以BE ＝OB.因为BE ＝CE ，所以BC ＝AB ＝2BO.所以AO ＝OB.如图，过点O 作OH ⊥AC 于点H ，所以∠OHA=90°.因为∠BAC ＝60°，所以∠AOH=30°. 在Rt △OAH 中，由勾股定理，得OH ＝22OA AH -= 222OA OA ⎛⎫- ⎪⎝⎭=23AO ≠OB. 选项C 错误；因为BE ＝23EC ，所以CE ＝332BE.因为AB ＝BC ，BO ＝BE ，所以AO ＝CE ＝332OB. 在Rt △OAH 中，由勾股定理，得OH ＝22OA AH -=23AO ＝OB.所以AC 是⊙O 的切线. 选项D 正确．16．2 提示：如图，作直径DH ，连接AH ，CH ，AC ．因为DH 是直径，所以∠DCH ＝∠DAH ＝90°.因为AB ⊥CD ，所以∠AED ＝∠DCH ＝90°.所以CH ∥AB.所以∠CAB ＝∠ACH.所以＝.所以AH ＝BC. 在Rt △ADH 中，AH ＝22224)52(-=-AD DH =2（cm ），所以BC ＝AH ＝2 cm ．三、17．证明：因为OB ＝OD ，所以∠D ＝∠B.因为BD ∥OC ，所以∠D ＝∠COD ，∠AOC ＝∠B.所以∠AOC ＝∠COD.所以＝．18．解：DB ＝DI.理由：连接BI.由圆周角定理，得∠DBC ＝∠DAC.因为I 是△ABC 的内心，所以∠ABI ＝∠CBI ，∠BAD ＝∠CAD. 由三角形的外角的性质，知∠DIB ＝∠IBA+∠BAI.又∠DBI ＝∠DBC+∠IBC ，所以∠DIB ＝∠DBI.所以DB ＝DI ．19．解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB ＝2AD.答案速览一、1. D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D 7. D 8．D 9．A 10.C二、11. n 12．相交 13．5 14. 6 15．5 16．2三、解答题见“答案详解”因为钢球的直径是10 mm ，所以钢球的半径是5 mm ，即OA=5 mm.因为钢球顶端离孔道口的距离为8 mm ，所以OD ＝3 mm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得AD ＝222235-=-OD OA ＝4（mm ），所以AB ＝8 mm ． 20．解：如图所示，CD 即为所求.21．（1）证明：因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A+∠DCB=180°.又∠DCB+∠BCE=180°，所以∠A ＝∠BCE.因为BE ＝BC ，所以∠BCE ＝∠E.所以∠A ＝∠E.所以DA ＝DE ，即△ADE 是等腰三角形.（2）解：连接AC.设BC ＝k ，则CD ＝2k.因为∠D ＝90°，所以∠CBE ＝90°，AC 是⊙O 的直径.因为BE ＝BC ，所以∠E ＝45°.所以BE ＝BC ＝k ，EC ＝2k.所以DA=DE ＝22k.在Rt △DAC 中，由勾股定理，得AC ＝10k.因为⊙O 的半径为5，所以10k ＝10，解得k ＝10.所以BC+BE+CE=210+25，即△CBE 的周长为210+25．22．（1）证明：连接OB.因为E 是弦BD 的中点，所以BE ＝DE ，OE ⊥BD ，＝12.所以∠BOE ＝∠A ，∠OBE+∠BOE ＝90°.因为∠DBC ＝∠A ，所以∠BOE ＝∠DBC.所以∠OBE+∠DBC ＝90°.所以∠OBC ＝90°，即BC ⊥OB.所以BC 是⊙O 的切线.（2）解：因为OB ＝6，BC ＝8，BC ⊥OB ，所以OC ＝22BC OB +=10.因为△OBC 的面积＝12OC •BE ＝12OB •BC ，所以BE ＝OB BC OC ⋅=6810⨯=4.8.所以BD ＝2BE ＝9.6，即弦BD 的长为9.6． 23．证明：（1）因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB ＝90°.所以∠A+∠ABD ＝90°.因为∠A ＝∠DEB ，∠DEB ＝∠DBC ，所以∠A ＝∠DBC.所以∠DBC+∠ABD ＝90°.所以BC 是⊙O 的切线.（2）连接OD.因为BF ＝BC ＝2，∠ADB ＝90°，所以∠CBD ＝∠FBD.因为OE ∥BD ，所以∠FBD ＝∠OEB.因为OE ＝OB ，所以∠OEB ＝∠OBE.所以∠OBE=∠FBD.所以∠CBD ＝∠FBD ＝∠OBE ＝13∠ABC ＝13×90°＝30°.所以∠C ＝60°，∠A ＝30°.所以AC=4. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝22AC BC -=23，所以⊙O 的半径为3.因为OA=OD ，所以∠ODA ＝∠A=30°.所以∠DOB=60°. 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD=22AB BD -=3.所以S 阴影=S 扇形DOB -S △DOB ＝61π×（3）2-12×12×3×3=2π-433． 24．（1）证明：在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，如图①所示.因为F 是的中点，所以FA＝FB.在△FAG和△FBC中，FA FBFAG FBCAG BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，所以△FAG≌△FBC（SAS）.所以FG＝FC.因为FE⊥AC，所以EG＝EC.所以AE＝AG+EG＝BC+CE. （2）解：结论AE＝EC+CB不成立，新结论为CE＝BC+AE.理由：在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，如图②所示.因为F 是的中点，所以FA＝FB ，.所以∠FCG＝∠FCB.在△FCG和△FCB中，CG CBFCG FCBFC FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，所以△FCG≌△FCB（SAS）.所以FG＝FB.所以FA＝FG.因为FE⊥AC，所以AE＝GE.所以CE＝CG+GE＝BC+AE.①②第24题图。

2020年北师大版九年级数学下册第三章《圆的综合》解答题同步练习

第三章《圆的综合》解答题同步练习1．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD边上的一个动点（有与A、D重合），以E为圆心，EA为半径的⊙E交CE于G点，CF与⊙E切于F点．AD＝4，AE＝x，CF2＝y．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）是否存在x的值，使得FG把△CEF的面积分成1：2两部分？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．2．如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径做圆，与BC相切于点C，点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半径和AD的长．3．已知锐角△ABC内接于圆O，D为弧AC上一点，分别连接AD、BD、CD，且∠ACB＝90°﹣∠BAD．（1）如图1，求证：AB＝AD；（2）如图2，在CD延长线上取点E，连接AE，使AE＝AD，过E作EF垂直BD的延长线于点F，过C作CG⊥EC交EF延长线于点G，设圆O半径为r，求证：EG＝2r；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，若AC＝BC，DE＝4CD，当△ACD的面积为10时，求DG的长度．4．如图1是一块内置量角器的等腰直角三角板，它是一个轴对称图形．已知量角器所在的半圆O的直径DE与AB之间的距离为1，DE＝4，AB＝8，点N为半圆O上的一个动点，连结AN交半圆或直径DE于点M．（1）当AN经过圆心O时，求AN的长；（2）如图2，若N为量角器上表示刻度为90°的点，求△MON的周长；（3）当时，求△MON的面积．5．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点E，交⊙O于点F，AF与BC交于点M，点D为OF延长线上一点，且∠ODB＝∠AFC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CF2＝FM•FA；（3）若AB＝10，sin A＝，求BM的长．6．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．（1）求证：点B在⊙M上．（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．（3）当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2．7．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．（1）如图1，求证：AC＝BC；（2）如图2，E为⊙O上一点，＝，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若∠BFC＝∠BDC+∠ABD，求证：AT平分∠DAB；（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．8．如图，Rt△ABC中，AC＝CB，点E，F分别是AC，BC上的点，△CEF的外接圆交AB于点Q，D．（1）如图1，若点D为AB的中点，求证：∠DEF＝∠B；（2）在（1）问的条件下：①如图2，连结CD，交EF于H，AC＝4，若△EHD为等腰三角形，求CF的长度．②如图2，△AED与△ECF的面积之比是3：4，且ED＝3，求△CED与△ECF的面积之比（直接写出答案）．（3）如图3，连接CQ，CD，若AE+BF＝EF，求证：∠QCD＝45°．9．如图1，四边形ABCD内接于圆O，∠BDC+2∠ADB＝180°（1）求证：AB＝AC；（2）如图2，连接OB，∠ABO＝∠DBC，求证：BD⊥AC；（3）在（2）的条件下，如图3，在BD边取点F，连接AF，使DF＝2CD，若∠FAD＝45°，AB＝，求半径OB的长度．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E在BC边上，且BE＝2，连结AE，P是AB边上的一点，以PE为直径的⊙O交AE于另一点F．（1）若F是AE的中点，求证：∠EPB＝2∠AEP．（2）连结BF，若BF＝BE，求AP的长．（3）当⊙O与矩形ABCD的某一边所在的直线相切时，求所有满足要求的AP的长．（4）将线段PO绕点P逆时针旋转90°得到PO′，当点O′落在BF的延长线上时，直接写出⊙O的半径．11．已知：⊙O中，AB是⊙O直径，点C、E在⊙O上，CD⊥AB于D，连接CA、CB、CE．（1）如图（1）求证：∠E＝∠DCB；（2）如图（2）F是CE上一点，连接DF，若∠CFD＝2∠CBA，求证：F是CE中点；（3）如图（3）在（2）问条件下，延长DF交BE于G，若CD＝EG＝，CF＝FE＝10，求线段DG的长度．12．已知，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC于点E，∠CAD＝2∠BAD．（1）如图1，过点O作OP⊥AD于点P，ON⊥AC于点N，求证：OP＝ON；（2）如图2，连接BD，过点O作OH⊥BC于点H，求证：BD＝2EH；（3）如图3，在BE上取点M，使CM＝CA，在CA的延长线上取点F，连接FM，在CE上取点K，连接FK交AB于点G，使∠BGK＝2∠MFK，∠BDA+∠MFK＝∠GKB，若FM＝，BD ＝，求⊙O直径的长．13．如图1，⊙O中，AB为直径，H是AO中点，过H作AO垂线交⊙O于C，连接AC．（1）求证：AC＝2AH；（2）如图2，点D在半⊙O上，连接AD，过C作AD的平行线交⊙O于E，连接BE，延长BE与AD直线交于P，求证：∠P＝2∠ACH；（3）在（2）条件下，如图3，连接PO，M在AD上，若CM＝PO＝7，AM＝5，求MD的长．14．如图，平面直角坐标系中，函数y＝的图象与x、y轴分别交于点A、B．以AB 为直径作⊙M．（1）求AB的长；（2）点D是⊙M上任意一点，且点D在直线AB上方，过点D作DH⊥AB，垂足为H，连接BD．①当△BDH中有一个角等于∠BAO两倍时，求点D的坐标；②当∠DBH＝45°时，求点D的坐标．15．AB是⊙O直径，点C、D依次在圆周上，连接AC、OC、OD，且AC∥OD．（1）如图1，求证：D为的中点；（2）如图2，连接AD，交OC于点E，OD＝2CE，求证：△AOC为等边三角形；（3）如图3，在（2）的条件下，点P在⊙O外，PA⊥AB，PF⊥AC于点F，点G在AD上，AG＝PF，H为BP的中点，连接GH，若CF：GH＝：，AP＝8，求⊙O的半径长16．问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝60°，AC＝6，求△ABC的外接圆半径R 的值；问题探究（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝45°，AC＝8，点D为边BC上的动点，连接AD以AD为直径作⊙O交边AB、AC分别于点E、F，接E、F，求EF的最小值；问题解决（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，BC+CD＝12，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求最小值：若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵CF与⊙E切于F点，∴EF⊥CF，∵AE＝x，AD＝4，∴DE＝4﹣x，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝4，∠ADC＝90°，∴CE2＝DE2+CD2＝（4﹣x）2+16，在Rt△EFC中，CF2＝CE2﹣EF2，∴y＝（4﹣x）2+16﹣x2＝32﹣8x（0＜x＜4）；（2）∵FG把△CEF的面积分成1：2两部分，∴EG＝EC，或EG＝EC，∴x＝，或x＝∴x＝±﹣，或x＝∵0＜x＜4，∴x＝，或x＝．2．证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC＝∠D＝90°，∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，∴OE＝OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°∠EOA+∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵tan∠ABC＝、BC＝6，∴AC＝BC•tan∠ABC＝8，则AB＝10，由（1）知BE＝BC＝6，∴AE＝4，∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，∴OE＝3，，∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，∴△ABD∽△OBC，∴＝，即∴．3．（1）证明：如图1中，∵∠∠ADB＝∠ACB，∠ACB＝90°﹣∠BAD，∴∠ADB＝90°﹣BAD，∵∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣（90°﹣∠BAD）＝90°﹣∠BAD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD．（2）证明：如图2中，连接BE交AC于L，连接AO，延长AO交BD于J，交BE于T，连接CO，延长CO交⊙O于K，连接BK．∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADE＝∠ABC＝∠AED，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACB＝∠ACE，AJ⊥BD，∵AC＝AC，∴△ACB≌△ACE（AAS），∴CB＝CE，∵AB＝AE，∴AC⊥BE，∴∠ALB＝∠AJB＝90°，∵∠ATL＝∠BTJ，∴∠TAL＝∠TBJ，∵AB＝AD＝AE，∴∠BED＝∠BAD＝∠BAJ，∵∠EDF＝∠DBE+∠DEB，∴∠EDF＝∠BAC，∵∠K＝∠BAC，∴∠K＝∠EDF，∵CG⊥CE．EG⊥BF，∴∠DFE＝∠GCG＝90°，∵∠DEF+∠EDF＝90°，∠DEF+∠G＝90°，∴∠G＝∠EDF＝∠K，∵∠CBK＝∠GCE＝90°，∴△CBK≌△ECG（AAS），∴EG＝CK＝2r，（3）解：如图3中，在图2的基础上作AH⊥DE于H．∵DE＝4CD，∴可以假设CD＝k，DE＝4k，则CE＝CB＝CA＝5k，∵AE＝AD，AH⊥DE，∴DH＝EH＝2k，CH＝CD+DH＝3k，∴AH＝＝＝4k，AD＝＝＝2k，＝•CD•AH＝•k•4k＝10，∵S△ACD∴k＝（负根已经舍弃），∴CD＝，AC＝BC＝EC＝5，AD＝AB＝10，设CK交AB于J，OA＝OC＝r，则BJ＝AJ＝5，CJ＝＝＝10，在Rt△AOJ中，则有r2＝52+（10﹣r）2，解得r＝，∴EG＝2r＝，∴CG＝＝＝，∴DG＝＝＝．4．解：（1）如图1中，连接FO延长FO交AB于H．则FH⊥AB，FH⊥DE．∵FA＝FB，FH⊥AB，∴AH＝HB＝4，在Rt△AOH中，∵OH＝1，AH＝4，∴OA＝＝＝，∴AN＝OA+ON＝+2．（2）如图2中，连接OM，作OJ⊥MN．在Rt△AHN中，∵AH＝4，NH＝ON+OH＝2+1＝3，∴AN＝＝＝5，由△△OJN∽△AHN，可得＝，∴＝，∴JN＝，∵OJ⊥MN，∴JM＝JN，∴MN＝2JN＝，∴△MON的周长＝2+2+＝．（3）如图3﹣1中，连接AO，延长AO交⊙O于K，作OJ⊥MN于J，连接OM，ON．设AM＝MN＝x，OJ＝y，则有，解得，∴MN＝，OJ＝，＝•MN•OJ＝××＝．∴S△MON如图3﹣2中，连接ON，作NJ⊥AB于J交DE于K．∵AM＝MN，MK∥AJ，∴NK＝JK＝OH＝1，∵NJ⊥AB，DE∥AB，∴NK⊥OE，∴sin∠NOK＝＝，∴OK＝NK＝，∵四边形OKJH是矩形，∴HJ＝OK＝，∴AJ＝4+，∴MK＝AJ＝2+，∴OM＝MK﹣OK＝2﹣，∴S＝•OM•NK＝•（2﹣）×1＝1﹣，△MON综上所述，满足条件的△MON的面积为或1﹣．5．（1）证明：∵AC＝AC，∴∠AFC＝∠ABC，又∵∠AFC＝∠ODB，∴∠ABC＝∠ODB，∵OE⊥BC，∴∠BED＝90°，∴∠ODB+∠EBD＝90°，∴∠ABC+∠EBD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线．（2）连接AC．∵OF⊥BC，∴BF＝FC，∴∠BCF＝∠FAC，又∵∠CFM＝∠AFC，∴△FCM∽△FAC，∴CF2＝FM•FA．（3）连接BF∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴，∴BF＝10×＝6，∴，∵BF＝FC，∴FC＝BF＝6，∵CF2＝FM•FA，∴62＝FM×8，∴FM＝，∴BM＝＝＝．6．（1）证明：∵CD为⊙M的直径，∴CM＝DM＝CD∵∠ABC＝90°，∴BM＝CM＝DM＝CD，∴点B在⊙M上．（2）解：连接DE．∵CD为⊙M的直径，CD⊥BE∴∠DEC＝90°，＝，∴∠DEA＝90°，BD＝DE，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠ACB＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝45°，∴∠ADE＝∠A＝45°，∴AE＝DE，∴AE＝DE＝DB，∴AD＝＝BD，∴AB＝AD+BD＝（+1）BD，∴BC＝AB＝（+1）BD，∴BC：BD＝+1．（3）证明：连接EM．∵∠EMB＝2∠ECB，由（2）知∠ECB＝45°，∴∠EMB＝90°，∴∠EMF＝90°，∴EM2+MF2＝EF2，∵弧CG等于30°，∴∠CMG＝30°，∴∠DME＝60°，∴△DME是等边三角形，∴DE＝EM∠CDE＝60°，由（2）知AE＝DE，∴AE＝ME，∵∠AEC＝90°∠CDE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴∠DCE＝∠CMG＝30°，∴CF＝MF，∵EM2+MF2＝EF2，∴AE2+CF2＝EF2．7．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，∵2∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，（2）证明：如图2中，作TR＝TH＝TLTH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，∵∠BFC＝∠BDC+∠ABD，∴∠ABF＝∠ABD，∴BT平分∠ABD，∵＝，∴∠ADE＝∠BDE，∴DT平分∠ADB，∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∴TR＝TL，TR＝TH，∴TL＝TH，∴AT平分∠DAB．（3）解：如图3中，连接EA，EB，作TR＝TH＝TLTH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．∵＝，∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，∴∠TAE＝∠ATE，∴AE＝TE，∵DT＝TE，∴AE＝DT，∵∠AGE＝∠DHT＝90°，∴△EAG≌△TDH（AAS），∴AG＝DH，∵AE＝EB，EG⊥AB，∴AG＝BG，∴2DH＝AB，∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），∴DH＝DR，同理可得ALAH，BR＝BL，设DH＝x，则AB＝2x，∵AD＝8，DB＝12，∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，∴x＝5，∴DH＝5，AB＝10，设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，∵S＝•BD•AQ＝•AD•h+•AB•h+•DB•h，△ADB∴12AQ＝（8+12+10）h，∴AQ＝h，∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得＝＝，sin∠AED＝sin∠ABD，可得＝＝＝，∴＝，解得m＝4或﹣4（舍弃），∴DE＝2m＝8．8．（1）证明：连结CD．在Rt△ABC中，∵AC＝CB，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD＝DB，∴∠DCB＝∠B＝45°，∵∠DEF＝∠DCB，∴∠DEF＝∠B．（2）解：①如图2﹣1中，当EH＝HD，可证四边形CFDE是正方形CF＝2．如图2﹣2中，当EH＝ED时，∠EDH＝∠EHD＝67.5°，∵∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠EDH＝∠BDF＝67.5°，∴∠BFD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠BFD，∴BD＝BF，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝4，∴BD＝BF＝2，∴CF＝4﹣2．如图2﹣3中，当DA＝FH时，点E于A重合，点H与C重合，CF＝0．综上所述，满足条件的CF的值为0或2或4﹣2．②如图2﹣4中，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DF．∵CA＝CB，AD＝DB，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD＝DA＝DB ∴DE＝DF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，S△ADE ＝S△CDF，∵DC平分∠ACB，DM⊥AC，DN⊥BC，∴DM＝DN，可得四边形DMCN是正方形，∴DM＝CM＝CN＝DN，∵＝＝＝＝，∴可以假设DN＝3k，EC＝4k，则AC＝BC＝6k，AE＝CF＝2k，∴＝＝．（3）证明：连接OD，OQ，作ER⊥AB，OH⊥AB，FK⊥AB．∵ER∥OH∥FK，EO＝OF，∴RH＝HK∴OH＝（ER+FK），∵ER＝AE，FK＝FB，∴OH＝（AE+BF）＝EF＝OE＝OQ，∴∠OQD＝∠ODQ＝45°，∴∠QOD＝90°，∴∠QCD＝45°．9．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝∠ADB+∠BDC，∴∠ABC+∠ADB+∠BDC＝180°，∵∠BDC+2∠ADB＝180°，∴∠ABC＝∠ADB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．（2）如图2中，连接AO并延长交BC于H．∵AB＝AC，∴＝，∴AH⊥BC，∴∠BAH＝∠CAH，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∵∠ABO＝∠CBD，∴∠BAO＝∠CBD＝∠CAH，∵∠CAH+∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BD⊥AC．（3）如图3中，延长AO交⊙O于H，连接BH，DH，FH，HC，延长HC交AD于R，作FT ⊥AD于T．设OA＝OB＝r，CD＝a，DT＝y．由（2）可知，∠BAH＝∠CAH＝∠CAD，∴＝＝，∴BH＝CH＝CD＝a，∵AH是直径，∴∠ADH＝∠HDR＝∠ACH＝90°，∵CD＝CH，∴∠CHD＝∠CDH，∵∠CHD+∠R＝90°，∠CDH+∠CDR＝90°，∴CD＝CR＝a，∴DF＝HR＝2a，∵∠AEF＝∠ACH＝90°，∴DF∥HR，∴四边形DFHR是平行四边形，∴FH＝DR，FH∥AR，∵FT∥DH，∴四边形FHDT是平行四边形，∵∠FTD＝90°，∴四边形FHDT是矩形，∴FH＝DT＝DR＝y，∵∠FAT＝45°，∴AT＝TF＝DH＝2r﹣2y，在Rt△ACH中，则有4r2＝90+a2①，在Rt△DHR中，则有（2r﹣2y）2+y2＝4a2②在Rt△ADH中，则有4r2＝（2r﹣y）2+4a2﹣y2③由②可得4r2﹣8ry+5y2＝4a2④由③可得a2＝ry代入④得到：4r2﹣12ry+5y2＝0，解得x＝r或x＝r（舍弃），∴4r2＝90+，∴r2＝25，∵r＞0，∴r＝5，∴OB的长为5．10．（1）证明：连结PF，如图1所示：∵PE是⊙O的直径，∴PF⊥AE，∵F是AE的中点，∴PF垂直平分AE，∴PA＝PE，∴∠EAP＝∠AEP，∴∠EPB＝2∠AEP；（2）解：如图2所示：∵BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝∠BPE，即tan∠BPE＝tan∠BEA，∴＝，∴BP＝1，∴AP＝AB﹣BP＝4﹣1＝3；（3）解：由⊙O与BC不相切，所以满足条件的情形共三种：①当⊙O与AB相切时，如图3所示：P与B重合，AP＝4；②当⊙O与CD相切时，过O作GH⊥AB交CD于点G，交AB于点H，如图4所示：∵OH＝BE＝1，∴OG＝2，即PE＝4，∴BP＝2，∴AP＝4﹣2；③当⊙O与AD相切时，过点O作GH⊥AD于点G，交BC于点H，如图5所示：设OH＝x，则PE＝8﹣2x，BP＝2x，在Rt△PBE中，（2x）2+22＝（8﹣2x）2，∴解得：x＝，∴AP＝4﹣2x＝4﹣2×＝；综上所述，所有满足要求的AP的长为：4或4﹣2或；（4）如图6中，当点P是AB的中点时，将线段PO绕点P逆时针旋转90°得到PO′，可证点O′落在BF 的延长线上满足条件．理由：∵PA＝PB＝BE＝2，∠PBE＝90°，∴∠EPB＝∠PEB＝45°，∴∠PFB＝∠PEB＝45°，∵PO＝PO′，∠OPB＝∠O′PA＝45°，PB＝BA，∴△OPB≌△O′PA（SAS），∴∠AO′P＝′POB＝90°，∴∠O′AP＝′O′PA＝45°，∵∠AO′P＝∠AFP＝90°，∴A，P，F，O′四点共圆，∴∠O′FP＝180°﹣∠O′AP＝135°，∴∠O′FP+∠PFB＝180°，∴B，F，O′共线，∵PE＝PB＝2，∴⊙O的半径为．11．（1）证明：如图（1）所示：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，∵∠DAC＝∠E，∴∠E＝∠DCB；（2）证明：延长CD交⊙O于M，连接EM、OC，如图（2）所示：∵CD⊥AB，∴CD＝MD，，∴∠AOC＝∠CEM，∵OC＝OB，∴∠CBA＝∠OCB，∴∠AOC＝∠CBA+∠OCB＝2∠CBA，∵∠CFD＝2∠CBA，∴∠CEM＝∠CFD，∴DF∥ME，∵CD＝MD，∴DF是△CME的中位线，∴CF＝EF，即F是CE中点；（3）解：作EH∥CM交DG于H，如图（3）所示：则∠DCF＝∠HEF，在△EFH和△CFD中，，∴△EFH≌△CFD（ASA），∴EH＝CD，∵AB⊥CM，∴CD＝DM，∵CD＝EG，∴DM＝HE，∴四边形DMEH是平行四边形，∴四边形DMEG是等腰梯形，∴∠DME＝∠MEG，∵∠DME+∠EBC＝180°，∠MEC+∠BCM＝180°，∴∠MCB＝∠EBC，∴∠MEB+∠CBE＝180°，∴BC∥EM，∴四边形BCME是等腰梯形，作MT⊥BC于T，EN⊥BC于N，连接BM．则△MTC≌△ENB（AAS），BM＝EC＝20，∴CT＝BN，在Rt△BDM中，BD＝＝＝，∵BD⊥CM，∴BC＝BM＝20，设BN＝CT＝x，则有（2）2﹣x2＝202﹣（20﹣x）2，解得x＝3，∴EM＝NT＝BC﹣2BN＝20﹣6＝14，∵DG∥BC∥EM，DC＝DM，∴BG＝GE，∴DG＝（BC+EM）＝（20+14）＝17．12．（1）证明：如图1中，连接AO，延长AO交⊙O于M，连接CM．∵AM是直径，∴∠ACM＝90°，∴∠M+∠MAC＝90°，∵AD⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∵∠B＝∠M，∴∠BAD＝∠CAM，∵∠DAC＝2∠BAD，∴∠DAM＝∠CAM，∵OP⊥AD，ON⊥AC，∴OP＝ON．（2）证明：作ON⊥AD于N．连接AO，延长AO交⊙O于M，连接DM．∵∠BAD＝∠DAM，∴＝，∴BD＝DM，∵OH⊥BC，AD⊥BC，ON⊥AD，∴∠OHE＝∠HEN＝∠ONE＝90°，∴四边形ONEH是矩形，∴EH＝ON，∵ON⊥AD，∴AN＝ND，∵AO＝OM，∴DM＝2ON＝2EH，∴BD＝2EH．（3）连接OA，OC，OD，作OH⊥AD于H．设DE＝x，AE＝y．∵OA＝OC＝OD，∠OAC＝∠ODA＝∠OCA，∴△AOD≌AOC（AAS），∴AC＝AD＝x+y，∵∠BDA+∠MFK＝∠GKB，∠GKB＝∠∠KFC+∠ACK，∠ACK＝∠ADB，∴∠MFK＝∠KFC，∵∠BGK＝∠AGF＝2∠MFK，∵∠BAC＝3∠CAO＝∠GFA+∠AGF＝3∠GFA，∴∠CAO＝∠CFK，∠CAE＝∠CFM，∴FM∥AD，∵AD⊥BC，∴FM⊥BC，∴AE∥FM，∴＝，∴＝，∴CE＝y（x+y），∵∠BDE＝∠ACE，∠DEB＝∠CEA，∴△DEB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴CE＝x（x+y），∴y（x+y）＝x（x+y），∴3x＝2y，设x＝2k，y＝3k，则AC＝AD＝CM＝5k，AE＝3k，EC＝＝＝4k，∴EM＝CM﹣CE＝k，∵＝，∴＝，∴AE＝，∴AD＝，∵OH⊥AD，∴AH＝DH＝，∵OH＝BD＝，∴OA＝＝＝，∴⊙O的直径为．13．（1）证明：连接OC．∵AH＝OH，CH⊥OC，∴CA＝CO，∴OA＝OC，∴OA＝OC＝AC，∴∠A＝60°，∵∠AHC＝90°，∴∠ACH＝30°，∴AC＝2CH．（2）证明：∵∠CEB＝∠CAB＝60°，CE∥AP，∴∠P＝∠CEB＝60°，∵∠ACH＝30°，∴∠P＝2∠ACH．（3）解：如图3中，连接AE，DE，OM，EM，OE，OD，作OK⊥BE于K，CJ⊥DA交DA的延长线于J，PT⊥OM交OM的延长线于T．∵PA∥CE，∴∠CAM+∠ACE＝180°，∠AEC＝∠EAD ∵OE＝OB，＝∴∠OEB＝∠OBE＝∠ACE，AC＝DE，∵AC＝OA＝OD＝OE，∴△ODE是等边三角形，∵∠OEP+∠OEB＝180°，∴∠ACM＝∠OEP，∴∠CAJ＝∠OEK，∵CA＝OE，∠J＝∠OKE＝90°，∴△CJA≌△OKE（AAS），∴CJ＝OK，AJ＝EK，∵∠J＝∠PKO，CM＝OP，∴Rt△CJM≌Rt△OKP（HL），∴MJ＝PK，∴AM＝PE＝5，∵AB是直径，∴∠AEB＝∠AEP＝90°，∵∠APE＝60°，∴∠PAE＝30°，∴PA＝2PE＝10，∵AM＝5，∴AM＝PM＝5，∴EM＝PM＝AM＝PE，∴△EPM是等边三角形，∴∠PEM＝∠DEO＝60°，∴∠PED＝∠MEO，∵EP＝EM，ED＝EO，∴△PED≌△MEO（SAS），∴PD＝OM，∠EMO＝∠EPD＝60°，∴∠PMT＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠MPT＝30°∴TM＝PM＝，PT＝TM＝，在Rt△OPT中，OT＝＝＝，∴OM＝OT﹣TM＝﹣＝3，∴PD＝OM＝3，∴DM＝PM﹣PD＝5﹣3＝2．（1）在y＝，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2．可得点A（﹣2，14．解：B（0，2），所以OB＝2，OA＝2（2分），根据勾股定理得，AB＝＝4．（2）①连接OM．因为OM为Rt△AOB斜边AB上中线，所以OM＝AM＝BM＝AB＝2＝OB，所以△OBM为等边三角形，则∠OBM＝60°，所以∠BAO＝30°．1）如图1中，当∠DBH＝2∠BAO＝60°时，连接DM，并延长交AO于点N．∵MD＝MB，∠DBM＝60°，∴△DMB是等边三角形，∴∠AMN＝∠DMB＝60°，∴∠MNA＝180﹣30°﹣60°＝90°，∴MN⊥AO，即DN⊥AO，∴MN＝AM＝1，∴DN＝3，ON＝．∴D（，3）．2）如图2中，当∠BDH＝2∠BAO＝60°时，易证明四边形BDAO为矩形，可得，DA＝BO＝2，BD＝OA＝2．∴D（﹣2）．②如图3中，当∠DBH＝45°时，易得∠DAB＝45°，则AH＝DH＝BH，所以M、H重合．作DC⊥y轴于C，DE⊥x轴于E，∵∠ADB＝∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，∵∠DEA＝∠DCB＝90°，DA＝DB，∴△DCB≌△DEA（AAS），∴CB＝AE，设CB＝AE＝a，则DC＝OE＝2，∵BD＝，由勾股定理得，DC2+CB2＝DB2，∴，解得a＝，当a＝时，OC＝DE＝3+＞4，不符合题意．∴a＝时，OC＝OE＝，∴D（）．15．（1）证明：如图1中，∵OA＝OC，∴∠A＝∠C，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠A，∠DOC＝∠C，∴∠DOB＝∠COD，∴＝．（2）证明：如图2中，∴OD＝2CE，OC＝OD，∴EC＝OE，∵OD∥AC，∴∠C＝∠DOE，∵∠AEC＝∠DEO，∴△AEC≌△DEO（ASA），∴AC＝OD，∵OA＝OC＝OD，∴AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．（3）解：如图3中，连接PG，延长GH交BD的延长线于M．设OA＝OB＝r．∵△AOC是等边三角形，EC＝EO，∴∠EAC＝∠EAO＝30°，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠GDM＝90°，∴BD＝AB＝r，AD＝r，∵PA⊥AB，∠CAO＝60°，∴∠PAF＝90°﹣60°＝30°，∵PF⊥AF，∴∠F＝90°，∠APF＝60°，∴∠APF＝∠PAG，∵PA＝AP，PF＝AG，∴△APF≌△PAG（SAS），∴PG＝AF＝PA•cos30°＝4，PF＝AG＝PA＝4，∠F＝∠PGA＝90°，∵CF：GH＝：，∴可以假设CF＝k，GH＝k，∴r+k＝4①，∵∠PGD＝∠BDA＝90°，∴PG∥BM，∴∠M＝∠PGH，∵PH＝HB，∠PHG＝∠BHM，∴△PHG≌△BHM（AAS），∴BM＝PG＝4，GH＝HM＝k，在Rt△GDM中，则有（r﹣4）2+（4﹣r）2＝（2k）2②由①②消去k得到：r2﹣11r+72＝0，解得r＝3或8（舍弃），∴⊙O的半径长为3．16．解：（1）如图1中，作△ABC的外接圆，连接OA，OC．∵∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣75°﹣60°＝45°，又∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝90°，∴AC＝6，∴OA＝OC＝6，∴△ABC的外接圆的R为6．（2）如图2中，作AH⊥BC于H．∵AC＝8，∠C＝45°，∴AH＝AC•sin45°＝8×＝8，∵∠BAC＝60°，∴当直径AD的值一定时，EF的值也确定，根据垂线段最短可知当AD与AH重合时，AD的值最短，此时EF的值也最短，如图2﹣1中，当AD⊥BC时，作OH⊥EF于H，连接OE，OF．∵∠EOF＝2∠BAC＝120°，OE＝OF，OH⊥EF，∴EH＝HF，∠OEF＝∠OFE＝30°，∴EH＝OF•cos30°＝4•＝6，∴EF＝2EH＝12，∴EF的最小值为12．（3）如图3中，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接EC，作EH⊥CB交CB 的延长线于H，设BE＝CD＝x．∵∠AE＝AC，∠CAE＝90°，∴EC＝AC，∠AEC＝∠ACE＝45°，∴EC的值最小时，AC的值最小，∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝∠ACB+∠AEB＝30°，∴∠∠BEC+∠BCE＝60°，∴∠EBC＝120°，∴∠EBH＝60°，∴∠BEH＝30°，∴BH＝x，EH＝x，∵CD+BC＝12，CD＝x，∴BC＝12﹣x∴EC2＝EH2+CH2＝（x）2+（）2＝x2﹣12x+432，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣＝6时，EC的长最小，此时EC＝18，∴AC＝EC＝9，∴AC的最小值为9．。

精品试题北师大版九年级数学下册第三章圆专项训练试题(含详解)

北师大版九年级数学下册第三章圆专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）A ．直径所对圆周角为90︒B ．如果点A 在圆上，那么点A 到圆心的距离等于半径C ．直径是最长的弦D ．垂直于弦的直径平分这条弦2、已知⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙O 的公共点的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定3、如图，点A ，B ，C 均在O 上，当35OBC ∠=︒时，A ∠的度数是（）．A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°4、如图，菱形ABCD 的顶点B ，C ，D 均在⊙A 上，点E 在弧BD 上，则∠BED 的度数为（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°5、如图，ABCD 是O 的内接四边形，130B ∠=︒，则AOC ∠的度数是（）A ．50°B ．100°C ．130°D ．120°6、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（）A ．5厘米B ．4厘米C ．132厘米D ．134厘米7、如图，AB 是O 的直径，O 的弦DC 的延长线与AB 的延长线相交于点P ，OD AC ⊥于点E ，15CAB ∠=︒，2OA =，则阴影部分的面积为（）A ．53πB ．56πC ．512πD ．524π 8、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠BAC ＝56°，则∠BOC 的度数为（）A ．28°B ．102°C ．112°D ．128°9、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π10、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．的度数是____．2、如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则ODC3、在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（2，0），∠OCB=30°，D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，则△AOE面积的最大值为___________4、如果一个扇形的圆心角为120°，半径为2，那么该扇形的面积为______．5、一个圆锥的底面半径为5，高为12，则这个圆锥的全面积是___________．（结果保留）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，ABC．∥．求作：直线BD，使得BD AC作法：如图，①分别作线段AC ，BC 的垂直平分线1l ，2l ，两直线交于点O ；②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；③以点A 为圆心，BC 长为半径作孤，交AB 于点D ；④作直线BD ．所以直线BD 就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD ，∵点A ，B ，C ，D 在O 上，AD BC =，∴AD =______．∴DBA CAB ∠=∠（______）（填推理的依据）．∴BD AC ∥．2、如图1，AB 为圆O 直径，点D 为AB 下方圆上一点，点C 为弧ABD 中点，连结CD ，CA ．（1）若70ABD ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）如图2，过点C 作CE AB ⊥于点H ，交AD 于点E ，CAD α∠=，求ACE ∠（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若5OH =，24AD =，求线段DE 的长．3、已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC4、在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm ，母线为50cm ．，求裁剪的面积．5、在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴上，以点M 为圆心的圆与x 轴交于1,0A ，()4,0B 两点，对于点Р和M ，给出如下定义：若抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A ，B 两点且顶点为P ，则称点Р为M 的“图象关联点”．（1）已知()5,2E ，5,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3,1G ，5,32H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在点E ，F ，G ，H 中，M 的”图象关联点”是______；（2）已知M 的“图象关联点”P 在第一象限，若53OP PM =，判断OP 与M 的位置关系，并证明；（3）已知()4,2C ，()1,2D ，当M 的“图象关联点”Р在M 外且在四边形ABCD 内时，直接写出抛物线2y ax bx c =++中a 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90︒，A选项符合要求；B、C选项，根据圆的定义可以得到；D选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.2、A【分析】圆的半径为,r圆心到直线的距离为,d当d r＞时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d r=时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，d r＜时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【详解】解：∵⊙O的半径等于r为8，圆心O到直线l的距离为d为6，∴d r＞，∴直线l与O相离，∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，故选A．【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．3、C【分析】先由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC=35°，从而可得∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，再由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=35°，∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，∴1=552A BOC∠=∠︒，故选C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．4、B连接AC，根据菱形的性质得到△ABC、△ACD是等边三角形，求出∠BCD=120°，再根据圆周角定理即可求解．【详解】如图，连接AC∴AC=AB=AD∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=AD=CD=AC∴△ABC、△ACD是等边三角形∴∠ACB=∠ACD=60°∴∠BCD=120°∵优弧BD BD∴∠BED=∠BCD=120°故选B．【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知菱形的性质及圆周角定理．5、B根据圆的内接四边形对角互补求得D ∠，进而根据圆周角定理求得AOC ∠【详解】解：ABCD 是O 的内接四边形，130B ∠=︒，50D ∴∠=︒AC AC =2AOC D ∴∠=∠100=︒故选B【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，求得D ∠是解题的关键．6、D【分析】根据题意先求出弦AC 的长，再过点O 作OB ⊥AC 于点B ，由垂径定理可得出AB 的长，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt △AOB 中根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC =8-2=6厘米，过点O 作OB ⊥AC 于点B ，则AB =12AC =12×6=3厘米，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt △AOB 中， OA 2=OB 2+AB 2，即r 2=（r -2）2+32，解得r =134厘米．故选：D ．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7、B【分析】由垂径定理可知，AE =CE ，则阴影部分的面积等于扇形AOD 的面积，求出75AOD ∠=︒，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．【详解】解：根据题意，如图：∵AB 是O 的直径，OD 是半径，OD AC ⊥，∴AE =CE ，∴阴影CED 的面积等于AED 的面积，∴ΔCED AOE AOD S S S +=扇，∵90AEO ∠=︒，15CAB ∠=︒，∴901575AOE ∠=︒-︒=︒，∴275253606AOD S ππ︒⨯⨯==︒扇；故选：B【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．8、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A ＝56°，∠A 与∠BOC 所对的弧相同，∴∠BOC ＝2∠A ＝112°，故选：C ．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．9、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．故选择A ．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．10、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．二、填空题1、六【分析】设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则60360︒⋅=︒，由此即可得到答案．n【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∵正多边形的半径与边长相等，∴OA =OB =AB ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB =60°，∴60360n ︒⋅=︒，∴6n =，∴正多边形的边数是六，故答案为：六．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 2、54︒【分析】根据圆内接正五边形的定义求出∠COD ，利用三角形内角和求出答案．【详解】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠COD=360725︒=︒， ∵OC=OD ，∴ODC ∠=(180)5412COD ︒-∠=︒，故答案为：54︒．【点睛】此题考查了圆内接正五边形的性质，三角形内角和定理，同圆的半径相等的性质，熟记圆内接正五边形的性质是解题的关键．3【分析】过点D 作DF x ∥轴，交OC 于点F ，根据中位线定理可得1FD AO ==，设点C 到x 轴的距离为G ，则△AOE 的OA 边上的高14h H =，作OBC 的外接圆，则当点C 位于图中C '处时，'C G 最大，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过点D 作DF x ∥轴，交OC 于点F ，∵A （－1，0），B （2，0），∴1OA =，2OB =，∵D 为线段BC 的中点，DF x ∥轴， ∴112FD OB ==，∴1FD AO ==，设点C 到x 轴的距离为H ，则△AOE 的OA 边上的高14h H =，作OBC 的外接圆，则当点C 位于图中C '处时，H 最大，因为30OCB OC B '∠=∠=︒，∴60OO B '∠=︒，∴OO B '为等边三角形，∴2O O O B OB =='=', ∴112OG OB ==, ∴tan 60G OG O '=︒ ∴2O C G C O G '''=+='∴(1111122424AOE S OA H =⨯=⨯⨯=，【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角和圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，根据题意得出点C 的位置是解本题的关键．4、43π 【分析】利用扇形面积公式直接计算即可．【详解】解：扇形的圆心角为120°，半径为2，那么该扇形的面积为：212024=3603ππ⨯，故答案为：43π．【点睛】本题考查了求扇形面积，解题关键是熟记扇形面积公式：2360n r S π=． 5、90π【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，先求得母线长，再分别求得面积，最后相加即可求得全面积．【详解】解：∵一个圆锥的底面半径为5，高为12，13=1=1325=652S ππ∴⨯⨯⨯侧，2=5=25S ππ⨯底则这个圆锥的全面积是652590πππ+=故答案为：90π【点睛】本题考查了求圆锥侧面积，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．侧面积＝π×底面半径×母线长，圆锥的表面积＝底面积＋侧面积．三、解答题1、（1）作图见解析；（2）,BC 在同圆中，等弧所对的圆周角相等【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；（2）由作图可得AD BC =，证明AD BC =，利用圆周角定理可得DBA CAB ∠=∠，从而可得答案.【详解】解：（1）如图，直线BD 就是所求作的直线（2）证明：连接AD ，∵点A ，B ，C ，D 在O 上，AD BC =，∴AD BC =．∴DBA CAB ∠=∠（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．∴BD AC ∥．故答案为：,BC 在同圆中，等弧所对的圆周角相等【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键.2、（1）35°；（2）α；（3）92【分析】（1）连结AD ，BC ，可得70ACD ∠=︒，再由C 为弧ABD 中点，可得到AC DC =．从而得到55ABC ADC ∠=∠=︒，再由AB 为圆O 直径，得到90ADB ∠=︒ ，即可求解；（2）连BC ，可得ABC ADC CAD α∠=∠=∠=，从而得到90CAB α∠=︒-，再由CE AB ⊥，即可求解；（3）连接CO 并延长交AD 于F ，由垂径定理推论，可得CF AD ⊥，1122FD AF AD ===．再由（2）ACE CAD ∠=∠，AE CE =，从而得到AH CF =，进而得到13CO AO == ，再由勾股定理可得2468AC =，再由ACE ADC △△∽．可得2AC AE AD =⨯，解得392AE =，即可求解．【详解】解：（1）连结AD ，BC ，∵70ABD ∠=︒，∴70ACD ∠=︒，∵C 为弧ABD 中点，∴AC DC = ，∴AC DC =．∴55ABC ADC ∠=∠=︒，∵AB 为圆O 直径，∴90ADB ∠=︒ ，∴905535CDB ADB ADC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ；（2）连BC ，∵点C 为弧ABD 中点，∴AC DC = ，∴ABC ADC CAD α∠=∠=∠=，∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB α∠=︒-，又∵CE AB ⊥，∴90AHC ∠=︒ ，∴90ACE CAB α∠=︒-∠=；（3）连接CO 并延长交AD 于F ，∵C 为弧ABD 中点，∴CF AD ⊥，1122FD AF AD ===．由（2）ACE CAD ∠=∠，∴AE CE =，由∵1122CE AH AE CF ⨯=⨯， ∴AH CF =，∵AO CO =，∴5OH OF ==，∴13AO ．∴13CO AO == ，∴18CF CO OF =+= ,∴222221812468AC AF CF =+=+=∵ACE ADC ∠=∠，CAD CAE ∠=∠，∴ACE ADC △△∽． ∴AC AE AD AC= ， ∴2AC AE AD =⨯，即24468AE =， ∴392AE =， ∴3992422DE AD AE =-=-=．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．3、（1）见解析；（2）BAC =BAD ，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．4、2000π 2cm【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可．【详解】解：根据题意，圆锥的侧面积为：12×80π×50=2000π（cm 2）．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．5、（1）F ，H ；（2）相切，见解析；（3）－89＜a ＜－23【分析】（1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可；（2）连接PM ，过点M 作MN ⊥OP 于N ，证明MN AM =即可；（3）求出点Р纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断a 的取值范围即可．【详解】解：（1）∵抛物线()20y ax bx c a =++≠经过1,0A ，()4,0B 两点且顶点为P ，则顶点P 的横坐标为14522+=， ∵在点E ，F ，G ，H 中，5,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,32H ⎛⎫ ⎪⎝⎭横坐标为52， ∴在点E ，F ，G ，H 中，M 的”图象关联点”是F ，H ；故答案为：F ，H ；（2）OP 与⊙M 的位置关系是：相切.∵AB 为⊙M 的直径，∴M 为AB 的中点.∵A （1，0）， B （4，0），32AM ∴=. ∴52OM =. 连接PM .∵P 为⊙M 的“图象关联点”，∴点P 为抛物线的顶点.∴ 点P 在抛物线的对称轴上.∴PM 是AB 的垂直平分线.∴PM ⊥AB.过点M 作MN ⊥OP 于N.11.22OMP S OM PM OP MN ∆=⋅=⋅ ∵OP ＝53PM ∴32OM PM MN AM OP ⋅=== ∴OP 与⊙M 相切（3）由（1）可知，顶点P 的横坐标为52，由（2）可知⊙M 的半径为1.5，已知()4,2C ，()1,2D ，当M 的“图象关联点”Р在M 外且在四边形ABCD 内时，顶点P 的纵坐标范围是大于1.5且小于2，当抛物线顶点坐标为（2.5，2）时，设抛物线解析式为2( 2.5)2y a x =-+，把1,0A 代入得，20(1 2.5)2a =-+，解得，89a =-；当抛物线顶点坐标为（2.5，1.5）时，设抛物线解析式为2( 2.5) 1.5y a x =-+，把1,0A 代入得，20(1 2.5) 1.5a =-+，解得，23a =-； ∴a 的取值范围－89＜a ＜－23．【点睛】本题考查了二次函数的综合和切线的证明，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明．。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．已知扇形的半径为6，圆心角为120°，则它的面积是（）A．B．3πC．5πD．12π2．如图，CD是⊙O的直径，A，B是⊙O上的两点，若∠ABD＝15°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．85°3．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（）A．9B．8C．D．34．如图，⊙O的半径为，AB与CD为⊙O的两条平行弦，∠CDE＝30°，AD＝2，则弦BE的长为（）A．3B．3.5C．D．5．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上．下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．点O是△ABD的内心D．点O是△ABD的外心6．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，4）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y 轴交于A，C两点，则点B的坐标是（）A．（4﹣2，4）B．（4，4﹣）C．（4，4﹣2）D．（4，2﹣3）7．我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（）A．1B．C．D．8．正六边形的周长为6，则它的面积为（）A．B．C．D．9．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，△ADB 的内切圆半径是（）A．B．5（﹣1）C．5（+1）D．10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD，给出下列四个结论：①∠ACB＝90°；②△ABD是等腰直角三角形；③AD2＝DE•CD；④AC+BC＝CD，其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题11．点P为⊙O外一点，直线PO与⊙O的两个公共点为A、B，过点P作⊙O的切线，点C为切点，连接AC．若∠CPO＝50°，则∠CAB为°．12．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P 在⊙O的．（填“内部”、“外部”、“上”）13．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF 作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．14．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运A动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠P AQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△P AQ；②当∠P AQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△P AQ；③当∠P AQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△P AQ；其中所有正确结论的序号是．15．如图，点A，B，C，D在⊙O上，弧CB＝弧CD，∠CAD＝28°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．16．如图，在⊙B中，弧AC所对的圆心角∠ABC＝50°，点E是弧AC上的动点，以BC、CE为邻边构造平行四边形BCED．当∠A＝°时，线段AD最短．三．解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB 边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝6，DE＝5，求⊙O的直径．18．如图，线段AB＝10，AC＝8，点D，E在以AB为直径的半圆O上，且四边形ACDE 是平行四边形，过点O作OF⊥DE于点F，求AE的长．19．如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．（1）求证：CD是半圆O的切线．（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．20．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD ＝126°，求∠AGB的度数．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，以BD为直径的⊙O交AB 于点E，交AD的延长线于点F，连结EF，BF．（1）求证：EF＝BF．（2）若CD：BD＝1：3，AC＝2，求EF的长．22．如图，有一个直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始阶段Ⅰ位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P 与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴位置关系是；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过的图形的面积；（4）求OA的长．（结果保留π）23．如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA．连接OC，过点A作AD ⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N．若AD＝12，求MN的长．参考答案一．选择题1．解：S扇形＝＝12π，故选：D．2．解：∵CD是直径，∴∠CAD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝15°，∴∠ADC＝90°﹣15°＝75°，故选：C．3．解：连接AC，OC，∵CD⊥OA，垂足为D，BC＝，∴∠ADC＝∠ODC＝90°，CD＝BC＝，∵AC＝3，∴AD＝，∵OA＝OC，∴OD＝OC﹣AD＝OC﹣1，在Rt△OCD中，OC2＝CD2+OD2，即OC2＝（）2+（OC﹣1）2，解得OC＝，即⊙O的半径长为，故选：C．4．解：∵AB∥CD，连接OC，OE，BC、CE，∵∠CDE＝30°，∴∠COE＝60°，∠CBE＝∠CDE＝30°，∴△OCE是等边三角形，∴CE＝，过点C作CH⊥BE交BE于点H，在Rt△BCH中，CH＝＝1，BH＝，在Rt△CEH中，，∴．故选：D．5．解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上．可知：点O到点A，B，D的三点的距离相等，所以点O是△ABD的外心，故选：D．6．解：设以AB为直径的圆与x轴相切于点D，连接MD，BC，则MD⊥x轴，∵点M的坐标为（2，4），∴CE＝BE＝2，BM＝DM＝4，∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，∴BC∥x轴，∴BC＝2CE＝4，在Rt△BME中，由勾股定理得：ME＝＝＝，∴DE＝MD﹣ME＝4﹣，∴点B的坐标为（4，4﹣），故选：C．7．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，过点O作OM⊥AD，垂足为M，由圆的对称性可知，点A、点D是⊙O的三等分点，四边形BCFE是正方形，∴∠AOD＝×360°＝120°，∠BOC＝×360°＝90°，在Rt△AOM中，OA＝2，∠AOM＝60°，∴OM＝OA＝1，AM＝OA＝，在Rt△BOM中，∠BOM＝45°，OM＝1，∴BM＝OM＝1，∴AB＝AM﹣BM＝﹣1，∴8个阴影三角形的面积和为：×（﹣1）（﹣1）×8＝16﹣8，故选：C．8．解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠BOC＝×360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∵正六边形ABCDEF的周长为6，∴BC＝6÷6＝1，∴OB＝BC＝1，∴BM＝BC＝，在Rt△BOM中，OM＝＝＝，∴S△OBC＝BC•OM＝×1×＝，∴该六边形的面积为：×6＝．故选：D．9．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝＝8（cm），∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD，∵∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AD2，∴AD2+AD2＝102，∴AD＝5cm，∴AD＝BD＝5cm；∴△ABD等腰直角三角形，设△ABD内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为rcm，得正方形DGIE，∴AE＝AF＝BG＝BF＝AD﹣DE＝5﹣r，∴5﹣r+5﹣r＝10，解得r＝5（﹣1）cm，∴△ADB的内切圆半径是5（﹣1）cm．故选：B．10．解：如图，延长CA到点F，使AF＝BC，连接DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，故①正确；∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；∴＝，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADC＝∠EDA，∴△ADC∽△EDA，∴＝，∴AD2＝DE•CD，故③正确；∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠F AD＝∠DBC，在△F AD和△DBC中，，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，∵∠ADC+∠BDC＝90°，∴∠ADC+∠ADF＝90°，∴∠FDC＝90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CF＝CD，∴AC+AF＝AC+BC＝CD，故④正确．∴正确的结论是①②③④．故选：A．二．填空题11．解：如图1，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠CPO＝50°，∴∠OCP＝40°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO＝∠OCP＝20°；如图2，∠CBA＝20°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝70°．综合以上可得∠CAB为20°或70°．故答案为：20或70．12．解：解方程x2﹣4x﹣5＝0，得x＝5或﹣1，∵d＞0，∴d＝5，∵⊙O的半径为4，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故答案为：外部．13．解：延长FO交AD于点J，设AE＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝∠A＝∠B＝90°，AD∥CB，AD＝BC，∵OF⊥BC，∴FJ⊥AD，∴∠AJF＝∠FJD＝90°，∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩形，∴AB＝FJ＝CD，CF＝DJ＝3，∵OJ⊥DB′，∴DJ＝JB′＝3，∴AD＝BC＝3+3+3＝9，∴BF＝BC﹣CF＝6，由翻折的性质可知，FB＝FB′＝6，∴FJ＝＝＝3，∴AB＝JF＝3，在Rt△AEB′中，则有x2+32＝（3﹣x）2，∴x＝，∴AE＝．故答案为：．14．解：①当∠P AQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△P AQ的形状不能唯一确定，故①错误；②当∠P AQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△P AQ，故②正确；③当∠P AQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△P AQ，故③正确；故答案为：②③．15．解：∵＝，∠CAD＝28°，∴∠CAD＝∠CAB＝28°，∴∠DBC＝∠DAC＝28°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝∠ACD＝50°，∴∠ADB＝180°﹣∠DAB﹣∠ABD＝180°﹣50°﹣28°﹣28°＝74°．故答案为：74°．16．解：如图，延长CB交⊙B于点F，连接BE，AF，DF．∵四边形BCED是矩形，∴BC＝DE，BC∥DE，∴BF＝BC＝DE，BF∥DE，∴四边形BEDFF是平行四边形，∴FD＝BE＝定值，∴点的运动轨迹是以F为圆心，FB长为半径的圆，∵AD≥AF﹣DF，AF，DF是定值，∴当A，D，F共线时，AD最短，此时∠BAD＝∠AFB＝∠ABC＝25°，故答案为：25．三．解答题17．解：（1）直线DE与⊙O相切，理由：连接DO，如图，∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝CE＝BE，∴∠EDC＝∠ECD，又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；（2）由（1）得，∠CDB＝90°，∵CE＝EB，∴DE＝BC，∴BC＝10，∴BD＝＝＝8，∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BDC，∴＝，∴，∴，∴⊙O直径的长为．18．解：过点E作EG⊥AB于点G，连接OE，则OE＝OA＝，∠EGO＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE＝AC＝8，DE∥AB，∵OF⊥DE，即∠OFE＝90°，∴EF＝＝4，∠FOG＝∠OFE＝90°，∴四边形OFEG是矩形，∴OG＝EF＝4，∴AG＝5﹣4＝1，在Rt△OEG中，EG＝，在Rt△AGE中，AE＝．19．（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE＝OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB＝90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO＝90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD＝BF＝20，DF＝AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE＝AD＝20，EC＝BC，∵CD＝50，∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，∴BC＝30，∴CF＝BC﹣BF＝10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF＝＝＝20，∴AB＝DF＝20，∴BC的长为30，AB的长为20．20．解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵，∴∠B＝∠D＝45°，∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．所以∠AGB的度数为108°．21．（1）证明：连接DE，如图，∵BD为直径，∴∠DBF＝∠DEB＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠ABF＝90°，∴∠4＝∠ABF，∵∠4＝∠5，∠5＝∠6，∴∠6＝∠ABF，∴EF＝BF；（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∵CD：BD＝1：3，∴DE：BD＝1：3，∵∠DEB＝∠C，∠DBE＝∠ABC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝＝3，∴AB＝3AC＝3×2＝6，∴BC＝＝＝8，∴CD＝BC＝2，∴AD＝＝2，∵∠1＝∠2，∠C＝∠AFB，∴△ACD∽△AFB，∴＝，即＝，∴BF＝2，∴EF＝2．22．解：（1）∵⊙P的直径MN＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅲ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2；（3）由弧长公式可得，点N所经过路径长为＝2π，∵S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，∴半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π；（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，∴OA的长为：π+4+π＝π+4．23．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD⊥OC，∴∠AEC＝90°，∴∠ADB＝∠AEC，∵CA是⊙O的切线，∴∠CAO＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△ACE和△BAD中，，∴△ACE≌△BAD（AAS）；（2）解：连接AM，如图，∵AD⊥OC，AD＝12，∴AE＝DE＝AD＝6，∵△ACE≌△BAD，∴BD＝AE＝6，CE＝AD＝12，在Rr△ABD中，AB＝＝6，在Rt△ABC中，BC＝＝6，∵∠CEN＝∠BDN＝90°，∠CNE＝∠BND，∴△CEN∽△BDN，∴＝＝2，∴BN＝BC＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，即AM⊥CB，∵CA＝BA，∠CAB＝90°，∴BM＝BC＝3，∴MN＝BM﹣BN＝．。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》解答题专题提升训练(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》解答题专题提升训练（附答案）1．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．2．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA．3．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD．（1）求证：．（2）若的度数为58°，求∠AOD的度数．4．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．5．如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；（3）若∠P AC＝90°，AB＝2，求PD的长．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．（1）求证：AB＝AC．（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．7．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°（1）如图1，若∠ADC＝60°，AC＝6，求BD的长；（2）如图2，若AD≠AB，对角线AC平分∠DAB，设AD＝a，AB＝b，求AC的长．8．如图，已知矩形ABCD．（1）画出过A．B．C三点的圆⊙O：（2）点D在⊙O上吗？（3）若四边形ABCD不是矩形，则ABCD四点能确定一个圆吗？9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，BD是⊙O的直径．P A∥BC，与DB的延长线交于点P．连接AD．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若tan∠ABC＝，BC＝4，求BD与AD的长．11．如图，在半径为4的⊙O中，E为的中点，OE交BC于F，D为⊙O上一点，DE交AC于G，AD＝AG．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，求ED的长．12．如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+＝90°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）①若∠A＝60°，AD＝1，求⊙O的半径．②若∠DOC＝α°，AC＝m，OB＝r，请用含r，α的代数式表示m．13．如图，P是⊙O外的一点，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交P A、PB于点D、E．若P A＝4，求△PED的周长．14．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）求证：BD＝ID；（3）连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．15．已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O 于点D．（1）如图1，求证：BD＝ED．（2）如图2，AD为⊙O的直径．若BC＝12，sin∠BAC＝，求OE的长．16．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．17．如图，O为半圆的圆心，直径AB＝12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD＝3．（1）求AC的长；（2）求图中阴影部分的面积．18．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC交于点E，且CE＝CD．（1）求证：AB＝AE；（2）若∠BAE＝40°，AB＝4，求劣弧的长．19．如图，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径；（2）∠BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．20．如图，已知矩形ABCD的周长为36cm，矩形绕它的一条边CD旋转形成一个圆柱．设矩形的一边AB的长为xcm（x＞0），旋转形成的圆柱的侧面积为Scm2．（1）用含x的式子表示：矩形的另一边BC的长为cm，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为cm；（2）求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；（3）求当x取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于18πcm2，则矩形的长是cm，宽是cm．参考答案1．解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，由垂径定理得：BC＝AB＝0.3，在Rt△OBC中，OC＝＝0.4CD＝0.5﹣0.4＝0.1，此时的水深为0.1米；（2）当水位上升到圆心以下时水面宽0.8 米则OC＝＝0.3，水面上升的高度为：0.3﹣0.2＝0.1米；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3＝0.7米，综上可得，水面上升的高度为0.1米或0.7米．2．证明：∵＝∴AB＝AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）∵∠ACB＝60°∴△ABC为等边三角形，AB＝BC＝CA∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA（相等的弦所对的圆心角相等）3．解：（1）连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO．∵AC∥OD，∴∠OAC＝∠BOD．∴∠DOC＝∠ACO．∴∠BOD＝∠COD，∴＝．（2）∵＝，∴＝＝∴∠BOD＝∠BOC＝（180°﹣58°）＝61°．∴∠AOD＝58°+61°＝119°4．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．方法二（2）∵BE∥CD，∴∠EBD＝∠BDC，∵∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠EBD＝∠EDB＝60°，∴△BDE是等边三角形，又∵△ABC为等边三角形，∴∠EBD＝∠ABC＝60°，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD＝3，∴DE＝AE+AD＝5，∴△BDE的面积＝＝5．（1）证明：∵∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝P A．∵∠APT＝60°，∴△APT是等边三角形，∴AP＝AT，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠P AT＝∠BAC＝60°，∴∠P AB＝∠TAC，∴△P AB≌△TAC（SAS），∴PB＝TC＝2，∵PT＝P A＝3，∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；（3）解：在Rt△P AC中，∠APC＝60°，∠P AC＝90°，AC＝AB＝2，∴∠PCA＝30°，∴PC＝2P A．∵PC2＝P A2+AC2，∴P A＝2，PC＝4．同理，可求出CD＝4，AD＝6，∴PD＝AD﹣P A＝4．6．（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2，在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．7．解：（1）如图1中，连接OA，OC，过点O作OH⊥AC于H．∵∠DAB＝90°，∴BD是直径，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝CH＝AC＝3，∠AOH＝∠COH，∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OA＝＝＝2，∴BD＝2OA＝4．（2）如图2，作BH⊥AC于H，∵∠DAB＝90°，∴BD为直径，BD＝＝，∴∠BCD＝90°，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠BAC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴△CDB为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝•，在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝b，在Rt△BCH中，CH＝＝＝a，∴AC＝AH+CH＝（a+b）．8．解：（1）如图，连接AC，以AC为直径作圆O，圆O即为所求的圆；（2）点D在⊙O上，因为∠B+∠D＝180°，所以点ABCD共圆；（3）若四边形ABCD不是矩形，则ABCD四点也可能能确定一个圆．当∠B+∠D＝180°，则ABCD四点能确定一个圆．9．（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，证明：连接OD，∵∠C＝90°，∴∠CBD+∠CDB＝90°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO，∵∠A＝∠CBD，∴∠ADO+∠CDB＝90°，∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O的位置关系是相切；（2）解：连接DE，∵AE为直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠A＝∠CBD，∴△ADE∽△BCD，∴＝，∵AD：AO＝10：7，BC＝2，∴＝，解得：BD＝2.8．10．（1）证明：∵AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，∵P A∥BC，∴AP⊥OA，即P A是⊙O的切线；（2）∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BC＝4，OM⊥BC，∴BM＝2，∵tan∠ABC＝，∴AB＝，∵∠D＝∠ACB，tan∠ABC＝，∴tan∠D＝，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴AD＝2，∴BD＝＝5．11．（1）证明：连接OD．∵E为的中点，∴OE⊥BC于F，∴∠AGD+∠ODE＝∠EGF+∠OED＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵∠AGD＝∠ADG，∴∠ADG+∠ODE＝90°．即OD⊥AD，∴AD是⊙O的切线；（2）解：作OH⊥ED于H，∴DE＝2DH，∵∠ADG＝∠AGD，∴AG＝AD，∵∠A＝60°，∴∠ADG＝60°，∵OD＝4，∴DH＝OD＝2，∴DE＝2DH＝4．12．（1）证明：∵∠ABC＝∠1，而∠A+∠1＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵AC是圆的切线，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∵BC是圆的直径，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，在Rt△ACD中，CD＝AD÷tan∠ACD＝1÷＝；而∠1＝2∠ABC＝60°，∴△COD为等边三角形，∴圆的半径为OC＝CD＝；（3）解：∠ABC＝∠DOC＝α°，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝＝tan，∴m＝2r tan．13．解：∵P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴P A＝PB＝4，∵过点C的切线分别交P A、PB于点D、E，∴DC＝DA，EC＝EB，∴△PED的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+DA+EB+PE＝P A+PB＝4+4＝8．14．证明：（1）∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD；（2）如图，连接BI，∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD，∴∠BID＝∠ABI+∠BAD，∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∵∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∴∠BID＝∠IBD，∴ID＝BD；（3）如图，连接BI、CI，DC，∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝CD，∴BD＝CD＝ID，∴点D是△BIC的外心．15．（1）证明：如图1，连接BE．∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD，∵∠DBC＝∠CAD．∴∠DBC＝∠BAD，∵∠BED＝∠BAD+∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝ED；（2）如图2 所示；连接OB．∵AD是直径，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，且BF＝FC＝6，∵，∴OB＝10．在Rt△BOF中，BF＝6，OB＝10，∴，∴DF＝2，在Rt△BDF中，BF2+DF2＝BD2，∴，∴，∴．16．解：（1）设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和内接正六边形的边长比为R：R＝：1．故答案为：：1；1（2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边，理由：连接OA，OB，OE，在正方形ABCD中，∠AOB＝90°，在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°，∴∠BOE＝30°，∵n＝＝12，∴BE是正十二边形的边．17．解：（1）∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∵AO＝OB，∴BC＝2OD＝6，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝6．（2）连接OC，∵OC＝OB＝BC＝6，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∴S阴＝S扇形OAC﹣S△AOC＝﹣•6•3＝12π﹣9．18．解：（1）∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵∠CDE＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AB＝AE；（2）连接OC，OD，∵∠BAE＝40°，AB＝AE，∴∠B＝∠E＝70°，在等腰三角形OBC中，得出∠BOC＝40°，在等腰三角形OAD中，∠AOD＝100°，∴∠COD＝40°，∴劣弧的长为：＝π．19．解：（1）∵圆锥的母线长等于半圆的半径，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长＝6πcm，设圆的半径为r，则2πr＝6π解得r＝3，∴圆锥的底面半径为3；（2）∵＝2，∴圆锥高与母线的夹角为30°，则∠BAC＝60°；（3）∵r＝3cm∴l＝2r＝6cm，∴圆锥的侧面积为＝18π（cm2）．20．解：（1）BC＝（36﹣2x）＝（18﹣x）cm，旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18﹣x）cm．故答案为：（18﹣x），2π（18﹣x）．（2）S＝2π（18﹣x）•x＝﹣2πx2+36πx（0＜x＜18）．（3）∵S＝﹣2πx2+36πx＝﹣2π（x﹣9）2+162π，又∵﹣2π＜0，∴x＝9时，S有最大值．（4）由题意：﹣2πx2+36πx＝18π，∴x2﹣18x+9＝0，解得x＝9+6或9﹣6（舍弃），∴矩形的长是（9+6）cm，宽是（9﹣6）cm．故答案为：（9+6），（9﹣6）．。

北师大版2020九年级数学下册第三章圆自主学习优生提升测试卷B卷(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第三章圆自主学习优生提升测试卷B卷（附答案详解）1．若⊙O的半径为5cm，OA=4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．无法确定2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是( ) A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定3．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，∠B=60°，以点B为圆心，线段BC为半径作弧CD交AB于点D，以点A为圆心，线段AD为半径作弧DE交AC于点E，则阴影部分面积为（）A．43﹣πB．23﹣πC．43﹣2πD．3π-5．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（）A．25B．5C．2 D．126．如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为AD中点，则说法错误的是（）7．已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3，则直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相切B．相交C．相切或相离D．相切或相交8．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）A．5B．7C．9D．119．如图，AB是⊙O的直径，弦CA=CB，D是弧AmB上一动点（与A、B点不重合），则∠D的度数是( )A．30°B．40°C．45°D．一个变量10．下列说法中，正确的是（）A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线11．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，AD，若∠CAB＝36°，则∠ADC的度数为_____．12．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则它的侧面展开图的面积为____cm2．13．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为_____．14．弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB=________°．15．已知DB是⊙C的直径，延长DB到点A，使得10AB，PD为⊙C的切线，PD=CD，连接AP，若1tan3PAD∠=，则⊙C的半径长为______．16．如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且22CD=，3BD=，则AB的长为________．17．在△ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，则它的外接圆半径R = ______cm，内切圆半径r = ______cm.18．如图，AB是半圆的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．则∠ACP的度数可以是 ________．19．如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下在扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的体积是_______．20．在每个小正方形的边长为1的网格中，有以AB为直径的半圆和线段AP，AB组成的一个封闭图形，点A，B，P都在网格点上．（Ⅰ）计算这个图形的面积为_____；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一条能够将这个图形的面积平分的直线，并简要说明这条直线是如何找到的（不要求证明）_____．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=－34x＋b(b＞0,b为常数)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴交于点C，与y轴正半轴相交于点D．(1)若直线AB与⊙O相切于弧CD上一点，求b的值；(2)若直线AB与⊙O有两个交点F、G.①b为何值时，⊙O上有且只有3个点到直线AB的距离为2？并求出此时直线被⊙O所截的弦FG的长；②是否存在这样的b，使得∠GOF=90°？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．22．请画出下列各三角形的外接圆.23．如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，23DB DCDP DO==.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的的值.24．（1）作Rt △ABC 的外接圆⊙O （不写作法，保留作图痕迹）（2）Rt △ABC 中，若∠C=90°，BC=8，AC=6．求：⊙O 的面积．25．已知，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，⊙O 的割线PDE 垂直于AB 于点F ，交BC 于点G ，∠A=∠BCP ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若点C 在劣弧AD 上运动，其条件不变，问应再具备什么条件可使结论BG 2=BF·BO 成立，（要求画出示意图并说明理由）.26．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点 E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：BD=BF ；（2）若CF=2，tanB=，求⊙O 的半径．27．如图所示，AB 是O 的直径，,C D 是O 上的两点，且.AC CD（1）求证//OC BD ；（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状.28．一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠C＝45°，求这个人工湖的直径（2取1.414，3取1.732，取3.14）．参考答案1．B【解析】【分析】直接利用点与圆的位置关系进而得出答案．【详解】∵⊙O的半径为5cm，OA=4cm，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选B．【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P 在圆内⇔d＜r是解题关键．2．C【解析】试题分析：因为OP=6＞5，所以点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选C．考点：点与圆的位置关系．3．C【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得.详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故选C．点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.4．B【解析】【分析】根据阴影部分的面积=S △ABC ﹣S 扇形BCD ﹣S 扇形ADE 即可得出答案．【详解】在Rt △ABC 中，∵∠ACB =90°，AB =4，∠B =60°，∴∠A =30°，BC =12AB =2，AC =，∴阴影部分的面积S =S △ABC ﹣S 扇形BCD ﹣S 扇形ADE =122⨯⨯260π2360⨯﹣230π2360⨯π．故选B ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解答此题的关键，题目比较好，难度适中．5．D【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知∠BED=∠BAD ，再结合图形根据正切的定义进行求解即可得.【详解】∵∠DAB=∠DEB ，∴tan ∠DEB= tan ∠DAB=12，故选D ．【点睛】本题考查了圆周角定理（同弧或等弧所对的圆周角相等）和正切的概念，正确得出相等的角是解题关键．6．D【解析】【分析】【详解】解：根据垂径定理的性质可得：AD⊥BC，AC=CD，AE=DE，故选D．7．D【解析】试题解析“因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．故选D．点睛：直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．8．C【解析】【详解】解：过点O作OM⊥AB，垂足为M∵OM⊥AB，AB=12∴AM=BM=6在Rt△OAM中，所以8≤OM≤10故选C．9．C【解析】试题解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CA=CB，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠D=∠A=45°，故选C．点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 10．D【解析】【分析】由切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；与切线的定义：圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．【详解】由经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故A，B，C错误；由圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线，故D正确．故选D．【点睛】此题考查了切线的判定与定义．此题比较简单，注意熟记定理与定义是解此题的关键．11．54°【解析】试题解析：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=36°，∴∠B=54°，∴∠ADC=54°．故答案为54°.12．6π；【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】它的侧面展开图的面积=12×2π×2×3=6π（cm2）．故答案为6π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．13．53π﹣23【解析】【分析】根据题意和图形，作出合适的辅助线，即可求得阴影部分的面积．【详解】解：连接OE，如图，∵CE∥OA，∴∠BCE=90°，∵OE=4，OC=2，∴CE=3OC=23，∴∠CEO=30°，∠BOE=60°，∴S阴影部分=S扇形BOE﹣S△OCE ﹣S扇形BCD=2604360π⨯⨯﹣12×2×23﹣2902360π⨯⨯=53π﹣23．故答案为53π﹣23【点睛】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．60 【解析】试题解析：∵弦AB 将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，∴∠AOB=16×360°=60°，故答案为：60．点睛：圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．15．10【解析】分析：由切线垂直过切点的半径可得∠ADP=90°，然后利用1tan 3PAD ∠=即可求解. 详解：∵PD 为⊙C 的切线，∴∠ADP=90°, 设⊙C 的半径长为r,则PD=CD=r,在RT △APD 中， 1tan 3PAD =,即13210r =+，解得：r=10 ，故答案为：10. 点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形的知识点，得出△APD 为直角三角形是解答本题的关键..16．3【解析】【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．【详解】连接OD ，如图所示：由垂径定理得2HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，OH=R-1，则R2=2+（R-1）2，由此得2R=3，）2=1×（ 2R-1），由此得2R=3，所以AB=3.故答案是：3.【点睛】考查了垂径定理、勾股定理或相交弦定理．17．6.5， 2.【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据直角三角形外接圆半径=斜边的一半，即可得出结果．内切圆半径则通过三角形的面积去切入即可.【详解】解：(1)∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，∴，∴△ABC的外接圆的半径=12AB=6.5cm，故答案为6.5cm.(2)S△ABC=(AC+AB+BC)×12×r内=C△ABC=30，则△ABC的内切圆的半径为2cm.故答案为：2.【点睛】本题考查了内切圆的定义与三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟悉内切圆与外接圆的概念以及运用.18．60°【解析】【分析】分类讨论：当点P在点O处时，根据等腰三角形的性质易得∠ACP=30°；当点P在点B处时，根据圆周角定理易得∠ACP=90°，所以30°≤∠ACP的度数≤90°，然后在此范围内任意取一个角度即可．【详解】当点P在点O处时，PC=PA，此时∠ACP=30°；当点P在点B处时，AB为直径，此时∠ACP=90°，所以30°≤∠ACP的度数≤90°，故答案为60°．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．19【解析】试题解析：扇形的弧长为：236033180π⨯⨯=4πcm，∴圆锥的底面半径为：4π÷2π=2cm，，那么圆锥的体积为：21233π⨯=（cm3）．．20．（1）20+8π；（2）见解析．【解析】分析：（1）由题意可知半圆的半径为4，直角△ABP的两直角边长分别为5和8，由此分别计算出半圆O和△ABP的面积，再相加即可得到所求面积；（2）取AB的中点H，线段AB的中点O，连接PH、PO、HO，过点O作直线OF∥PH交PB于点E，然后作直线HE，则直线HE为所求直线；详解：（Ⅰ）由题意可得：这个图形的面积为=12•π•42+12×5×8=20+8π；故答案为20+8π．（Ⅱ）如下图，取格点O、H，连接PO，OH，PH，过点O作直线OF∥PH交PB于点E，再作直线HE，直线HE即为所求直线．点睛：解第2小题时，由题意可知，折线H-O-P把图中图形的面积分成了相等的两部分，由OE∥PH可知，S△OPH=S△EPH，由此即可得到直线HE刚好能把图中图形面积分成相等的两部分，即HE为所求直线.21．（1）b=5；（2）①b=52，3?；522【解析】【分析】（1）先求出A、B的坐标，进而求出AB的长度．由切线的性质可得OM=4，OM⊥AB于M，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）①由⊙O上有且只有3个点到AB的距离为2，且OM=4，得出ON=2，△BON∽△BAO，再由相似三角形的对应边成比例即可求出b的值．连接OF．由勾股定理和垂径定理即可得到结论；②当b 522GOF=90°．通过作OP⊥FG于P，得到△BOP∽△BAO，再由相似三角形的性质得到OP的长．在△OPG中，由勾股定理得到PG的长，从而得到△OFG为等腰直角三角形，即可得到结论．【详解】（1）如图1．∵一次函数y=-34x b+与x轴，y轴交于AB，∴A（43b，）B（0，b），∴AB=53b．∵AB与⊙O相切于弧CD上一点，r=4，∴OM=4，OM⊥AB于M，∴S△AOB=4543322b b b⨯⨯=，∴b=5．（2）①如图2．∵⊙O上有且只有3个点到AB的距离为2，且OM=4，∴ON=2，∴△BON∽△BAO，∴BOBA=ONAO，∴25433bb b=，∴b=52．过O作J K∥FG交⊙O于J，K，则J和K到直线AB的距离等于2．连接OF．∵ON=2，OF=4，∴FN=23，∴FG=43；②如图3，当b522GOF=90°．理由如下：作OP⊥FG于P，∴△BOP∽△BAO，∴BOBA=OPAO=5225545223232BP OPBO，∴=，∴OP=2．∵OG=4，∴OP=PG=22，∴∠OGF=45°，∴△OFG为等腰直角三角形，∴∠FOG=90°．【点睛】本题是圆的综合题．考查了一次函数的性质、相似三角形的判定与性质以及垂径定理等知识点．22．见解析【解析】【分析】作出任意两条边的垂直平分线，它们的交点即是圆心.再作出外接圆.【详解】【点睛】本题考查了三角形外接圆的画法，解题的关键是任意两边的垂直平分线的交点就是外接圆的圆心.23．（1）证明见解析；（2）cos∠3【解析】分析：（1）连接OB、OP，如图，结合相似三角形的性质可推出△BDC∽△PDO，进一步分析可得BC∥OP，由此通过角之间的等量转化便不难得到△BOP≌△AOP，至此结合全等三角形的性质，问题（1）便可得以解决；（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到P A=PB=a，由此借助勾股定理以及线段间的比例关系即可用含a的代数式表示出OP以及OA的长.详解：（1）证明：连接OB、OP .∵23DB DCDP DO==且∠D=∠D,∴△BDC∽△PDO ,∴∠DBC=∠DPO ,∴BC∥OP,∴∠BCO=∠POA , ∠CBO=∠BOP. ∵OB=OC ,∴∠OCB=∠CBO ,∴∠BOP=∠POA.又∵OB=OA， OP=OP ,∴△BOP≌△AOP ,∴∠PBO=∠PAO.又∵PA⊥AC ,∴∠PBO=90° ,∴ 直线PB 是⊙O 的切线.（2）由（1）知∠BCO=∠POA ,设PB a =，则2BD a =.又∵ PA PB a == ,∴ AD =.又∵ BC ∥OP ,∴2DC CO= ,∴12DC CA ==⨯= ,∴OA = ,∴OP = ,∴ cos ∠BCA=cos ∠POA=3 . 点睛：本题主要考查圆的切线的证明方法，常用的方法有：①若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先作出过此点的半径，再证其与直线垂直，即连半径，证垂直；②若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径，即作垂线，证半径．24．（1）见解析；（2）25π.【解析】【分析】（1）先作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，再以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O 即可；（2）先根据勾股定理由已知条件求出AB 的长，从而可得⊙O 的半径OA 的长，由此即可求得⊙O 的面积了.【详解】（1）作Rt △ABC 的外接圆⊙O 如下图所示：（2）在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴226810+=，又∵AB是⊙O的直径，∴⊙O的半径OA=5，∴⊙O的面积=25π．【点睛】（1）知道直角三角形的斜边是其外接圆的直径和线段垂直平分线的尺规作法是解答第1小题的关键；（2）能用勾股定理求出AB的长是解答第2小题的关键.25．见解析【解析】试题分析：（1）证PC是⊙O的切线，即证∠OCP=90°，而∠OCP=∠BCP+∠OCB=∠A+∠OBC，因为AB为直径，直径所对的圆周角为直角，即可证明．（2）BG2=BF•BO要成立，Rt△BFG和Rt△BGO必须相似，而他们已经共用了一角B，所以如果相似，则必有∠BFG=∠BGO=90°，根据垂径定理，G点必在BC中点处．试题解析：（1）证明：连接OC．∵OA=OC，∴∠A=∠OCA．∵AB为直径，∴∠OCA+∠OCB=90°，∴∠OCP=∠BCP+∠OCB=90°，即PC是⊙O的切线．（2）解：添加条件为：G为BC的中点．连接OG．∵G为BC的中点，∴OG⊥BC又FG⊥BO，∴Rt△BFG∽Rt△BGO，∴BG BFBO BG=，即BG2=BF•BO．26．（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】(1)连接OE，求出∠OEA为直角，再根据题意证明OE//BF，进而利用中位线定义证明即可；(2) 设BC＝3x,根据题(1)，利用三角函数分别将AO、AB、OE用含x的代数式表示出来，再利用OE//BF，则∠AOE＝∠B，根据三角函数列出方程求解即可.【详解】（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=BF，又∵OE=BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AC=4x，AB=5x又∵CF=2，∴BF=3x+2，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，解得：x=，则圆O的半径为=5．【点睛】本题主要考查了圆的相关知识以及三角函数的基本概念，解本题的要点在于掌握切线的性质以及根据题意列出方程求解答案.27．（1）证明见解析；（2）菱形.【解析】（1）首先由AC=CD得到弧AC与弧CD相等，然后得到∠ABC=∠CBD，而OC=OB，试题分析：所以得到∠OCB=∠OBC，接着得到∠OCB=∠CBD，由此即可证明结论；（2）首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC=BD，而后利用（1）的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形，再利用OC=OB即可证明四边形OBDC为菱形．试题解析：（1）证明：∵AC=CD，∴弧AC与弧CD相等，∴∠ABC=∠CBD，又∵OC=OB（⊙O的半径），∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥BD；（2）∵OC∥BD，不妨设平行线OC与BD间的距离为h，又S△OBC=12OC×h，S△DBC=12BD×h，因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC=S△DBC，∴OC=BD，∴四边形OBDC为平行四边形，又∵OC=OB，∴四边形OBDC为菱形．28．141.4 m【解析】【分析】连接OA、OB．根据圆周角定理求得∠AOB=90°；然后在等腰Rt△AOB中根据勾股定理求得⊙O的半径AO=OB=502m，从而求得⊙O的直径AD=1002m，再取近似值即可．【详解】解：连接OA、OB．∵∠C=45°，∴∠AOB=90°；在Rt△AOB中，OA=OB，AB=100m，∴2m，∴2≈141.4 m，故答案为：141.4 m【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、圆周角定理．利用圆周角定理求直径的长时，常常将直径置于直角三角形中，利用勾股定理解答．。

北师大版2020九年级数学下册第三章圆自主学习培优测试卷A卷(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第三章圆自主学习培优测试卷A 卷（附答案详解） 1．如图，已知等边ABC ∆的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，以C 为圆心，CF 为半径作圆，D 是C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（）A ．23B ．25C ．4D ．6 2．如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB CD ⊥，垂足为E ，连接CO ，AD ，25BAD ∠=︒，则下列说法中正确的是（）A ．50OCE ∠=︒B ．CE OE =C ．50BOC ∠=︒D ．BD OC = 3．如图，圆上有A 、B 、C 、D 四点，其中80BAD ∠=︒，若弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π，则弧BAD 的长度为（）A ．4πB ．8πC ．10πD ．15π4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，若CD ＝2，则图中阴影部分面积为（）A ．4﹣2π B ．2﹣2π C ．2﹣π D ．1﹣4π5．如图，在⊙O中，∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，则∠ADO的度数为（）A．43°B．44°C．45°D．46°6．如图，在△ABC中，∠AOB=125°，把△ABC剪成三部分，边AB、BCAC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，且S△BCO：S△CAO：S△ABO=BC：CA：AB，则∠ACB 的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．85°7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠B＝60°，以点B为圆心，BA 为半径作圆，交BC边于点E，连接ED，则图中阴影部分的面积为（）A ．93﹣83πB．9﹣83πC．9233D．9﹣23π8．如图，A，B，C，D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°，则∠D的度数为（）A．68°B．40°C．28°D．22°9．边长分别为6，8，10的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为（）A．1：5 B．4:5 C．2：10 D．2：510．一个圆锥的高为33）A．9πB．18πC．27πD．36π11．如图，已知正六边形的边长为4，分别以正六边形的6个顶点为圆心作半径是2的圆，则图中阴影部分的面积为______．12．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深1ED =寸，锯道长1AB =尺（1尺10=寸）．问这根圆形木材的直径是______寸．13．△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，以A 为圆心的圆切BC 于点D ，若BC ＝12cm ，则⊙A 的半径为_____cm ．14．如图，C ，D 是以AB 为直径的半圆上的两个点（不与点A ，B 重合），连结DC ，AC ，DB ，AC 与BD 相交于点P ．若∠APD ＝α，AB ＝2，则CD ＝_____．15．如图，等腰 △ABC 中，∠B=90°AB=4，以A 为圆心，直角边AB 为半径作弧，交AC 于C 1，作11C B ⊥AB 于B 1，设弧BC 1、C 1B 1、B 1B 围成的面积为S 1．然后再以A 为圆心AB 1为半径作弧，交AC 于C 2，作22C B ⊥AB 于B 1，设弧122221B C C B B B 、、围成的面积为2S ，按此规律，得到的阴影面积n S =_________．16．如图，点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 的中点，分别以点B ，C 为圆心，BD ，CD 的长为半径作圆心角为90︒的扇形，两扇形分别与AB ，AC 边交于点E ，F ，过点E ，F 作BC 边的垂线．若图中阴影部分的面积为22π-，则AB =__________．17．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点,O 其摆放方式如图所示，则12∠+∠=____________________．18．如图，O 的半径为4，过圆外一点P 画O 的两条切线PA 和PB ，A 、B 为切点，若60P ∠=︒，则阴影部分的面积是__________．（结果保留π）19．如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为__________．20．如图，有一个圆O 和两个正六边形1T ，2T ．2T 的6个顶点都在圆周上，1T 的6条边都和圆O 相切（我们称1T ，2T 分别为圆O 的外切正六边形和内接正六边形），若设1T ，2T 的周长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，则:r a =___；:r b =____；正六边形1T ，2T 的面积比12:S S 的值是____．21．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 分别交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝8，CE ＝4，求弧BD 的长．（结果保留π）22．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=1，点D 是斜边上一点，且AD=4BD ．(1)求tan ∠BCD 的值；(2)过点B 的⊙O 与边AC 相切，切点为AC 的中点E ，⊙O 与直线BC 的另一个交点为F ．(ⅰ)求⊙O 的半径； (ⅱ) 连接AF ，试探究AF 与CD 的位置关系，并说明理由．23．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接BC 并延长交过点A 的切线于点E ，过点C 作O 的切线交AE 于点D ．（1）求证：点D 是AE 的中点．（2）①连接OC ，当ABC ∠=_______°时，四边形AOCD 是正方形；②连接AC ，当ΔΔ:1:4ADC BOC S S =，25AB =ABE S ∆=_______．24．如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，∠CDA ＝∠CBD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC ＝4，tan ∠ABD ＝12，求BE 的长．25．已知：△ABC 为等边三角形．（1）求作：△ABC 的外接圆⊙O ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO 交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，过E 作⊙O 的切线EF ，与AB 的延长线交于点F ．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF ∥BC ；③若DE ＝2，求EF 的长．26．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是AC 的中点，过A 、B 、D 三点作O 交CB 的延长线于点E ，过点E 作O 的切线交AC 的延长线于点F .（1）求证：AE CE =；（2）若2CD CF ==，求线段AE 的长度.27．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，弦DF ⊥AB 于点G ．（1）求证：点E 是弧BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线；（3）若tan ∠ADG ＝34，⊙O 的半径为5，求DF 的长．28．如图，D 为O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，CDA CBD ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若30,3CBD BC ∠=︒=，求O 半径．参考答案1．B【解析】【分析】点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过F,根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得⊥ ,根据勾股定理即可求得结论．CD BC【详解】点D在C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过F,连接CD, ∵△ABC是等边三角形，AB是直径，丄 ,∴EF BC∴F是BC的中点，∴E为BD的中点，∴EF为△BCD的中位线，CD EF ,∴ //⊥ ,∴CD BCCD=，4BC=， 2故2216425=+=+=，BD BC CD故选B．【点睛】本题考查了圆的动点问题，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、中位线定理、平行线的性质和勾股定理是解题的关键．2．C【解析】【分析】连接OD，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，利用垂径定理得到CE＝DE，=BC BD，则根据圆周角定理得到∠COE＝2∠BAD＝∠BOD＝50°，所以∠OCE＝40°，OE＜CE，然后利用∠BOD＝50°，∠OBD＝65°判断OD＞BD，即OC＞BD，从而可对各选项进行判断．【详解】解：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵AB⊥CD，∴CE＝DE，=BC BD，∴∠COE＝2∠BAD＝∠BOD＝2×25°＝50°，所以C选项正确；∴∠OCE＝40°，所以A选项错误；∴OE＜CE，所以B选项错误；∵∠BOD＝50°，∠OBD＝65°，∴OD＞BD，即OC＞BD，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理．3．C【解析】【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得100C ∠=︒，然后根据圆周角定理可得弧BAD 所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．【详解】弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π∴圆的周长为71118πππ+=80BAD ∠=︒100C ∴∠=︒（圆内接四边形的对角互补）∴弧BAD 所对圆心角的度数为2200C ∠=︒则弧BAD 的长度为2001810360ππ⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．4．B【解析】【分析】连接OD ，OH ⊥AC 于H ，如图，根据切线的性质得到OD ⊥BC ，则四边形ODCH 为矩形，所以OH ＝CD ，则OA ＝2，接着计算出∠BOD ＝45°，BD ＝OD ＝2，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S △OBD ﹣S 扇形DOE 进行计算．【详解】解：连接OD ，过O 作OH ⊥AC 于H ，如图，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠CAB ＝45°，∵⊙O 与BC 相切于点D ，∴OD ⊥BC ，∴四边形ODCH 为矩形，∴OH＝CD＝2，在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，∴OA＝2OH＝2，在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE＝0.5×2×2﹣452 180π⨯⨯＝2﹣12π．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算．5．D【解析】【分析】连接OA，OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝40°，∠COD＝2∠CAD＝48°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，连接OA，OC，∵∠ABC＝20°，∠DAC＝24°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∠COD＝2∠CAD＝48°，∴∠AOD＝40°+48°＝88°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠OAD＝12(180°−88°)＝46°，故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质与圆周角定理的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 6．A【解析】【分析】由S△BCO：S△CAO：S△ABO=BC：CA：AB，得点O为三个内角平分线的交点，根据三角形内角和定理，得∠AOB=90°+12∠ACB，进而即可求解．【详解】∵S△BCO：S△CAO：S△ABO=BC：CA：AB，∴点O到三边的距离相等，∴点O是△ABC的内心，点O为三个内角平分线的交点，∴∠AOB+12∠CAB+12∠ABC=∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，∴∠AOB=∠ACB+12∠CAB+12∠ABC=∠ACB+12(180°-∠ACB)，∴∠AOB=90°+12∠ACB，∵∠AOB=125°，∴∠ACB=70°．故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的内心定义以及三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°，是解题的关键．7．A【解析】【分析】阴影部分面积等于平行四边形面积减去扇形面积和小三角形面积，先求出扇形面积和小三角形面积即可．【详解】解：过A作AF⊥BC于F，则∠AFB＝90°，∵AB＝4，∠B＝60°，∴AF＝AB×sin∠B＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AD＝5，∴BC＝AD＝5，∵AB＝BE，∴CE＝5﹣4＝1，∴阴影部分的面积S＝S平行四边形ABCD﹣S扇形ABE﹣S△CDE＝5×232604360⨯π﹣11232⨯⨯＝383π，故选：A．【点睛】此题的关键是根据阴影部分面积等于平行四边形面积减去扇形面积和小三角形面积，找扇形面积，难度一般．8．C【解析】【分析】根据三角形的外角性质求出∠B，根据圆周角定理解答．【详解】解：∠B＝∠1﹣∠A＝68°﹣40°＝28°，由圆周角定理得，∠D＝∠B＝28°，故选：C．【点睛】此题主要考查圆周角定理的运用，解题法的关键是熟知外角定理与圆周角定理的性质. 9．D【解析】【分析】由面积法求内切圆半径,通过直角三角形外接圆半径为斜边一半可求外接圆半径, 则问题可求．【详解】解:∵62+82=102 ,∴此三角形为直角三角形,∵直角三角形外心在斜边中点上,∴外接圆半径为5,设该三角形内接圆半径为r,∴由面积法12×6×8＝12×(6+8+10)r,解得r=2,三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为2:5 ,故选D．【点睛】本题主要考查了直角三角形内切圆和外接圆半径的有关性质和计算方法,解决本题的关键是要熟练掌握面积计算方法.10．B【解析】【分析】由题意可知，本题考查勾股定理，圆的周长公式以及扇形面积公式，根据圆锥底面周长等于侧面展开图弧长，运用勾股定理进行求解．【详解】解：设展开图扇形的半径为R ，圆锥的底面半径为r 则有1222r R ππ=⨯，即2R r =由勾股定理得：()(22222R r r ==+ 解的：6R =，3r =∴圆锥的侧面积=216=182ππ⨯ 故本题选B【点睛】本题考查勾股定理，圆的周长公式以及扇形面积公式，熟练运用公式是解决此类问题的关键．11．16π【解析】【分析】可先求出正六边形每一个内角的度数为120︒，即每个空白扇形的圆心角为120︒，又因为六个小圆的半径相等，通过所给图形可知阴影部分的面积就等于6个半径为2的圆的面积减去6个半径为2，圆心角为120︒的扇形的面积．【详解】解：正六边形每一个内角的度数为(62)1801206-⨯︒=︒ ∴21202=62616180阴S ⨯⨯⨯⨯-⨯=πππ 故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是正六边形、圆的面积公式以及扇形的面积公式，能够求出空白扇形的圆心角的度数是解此题的关键．12．26【解析】【分析】根据题意可得OE AB ⊥，由垂径定理可得1122AD BD AB ===尺5=寸，设半径==OA OE r ，则1OD r =-，在Rt OAD 中，根据勾股定理可得：()22215r r -+=，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.【详解】解：由题可知OE AB ⊥， OE 为O 半径，1122AD BD AB ∴===尺5=寸，设半径==OA OE r ，1ED =，1OD r ∴=-在Rt OAD 中，根据勾股定理可得：()22215r r -+=解得：13r =,∴木材直径为26寸；故答案为：26.【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解.13．6．【解析】【分析】由切线性质知AD ⊥BC ，根据AB ＝AC 可得BD ＝CD ＝AD ＝12BC ＝6．【详解】解：如图，连接AD ，则AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝AD ＝12BC ＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了圆的切线性质，解题的关键在于掌握圆的切线性质.14．2cosα．【解析】【分析】连接AD ，由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB ＝90°，再证明△APB ∽△DPC ，得到比例式=PD CD PA AB ，利用余弦的定义可得cos α==CD DP AB PA ，代入数据即可得到答案．【详解】解：连接AD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°．∵∠BAP ＝∠CDP ，∠APB ＝∠DPC ，∴△APB ∽△DPC ，∴=PD CD PA AB， ∴cos α==CD DP AB PA ， ∵AB ＝2，∴CD ＝2cosα．故答案为：2cosα．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，找出相似三角形，利用余弦建立边角关系是解题的关键．15．12-42n π- 【解析】【分析】先根据图中不规则阴影部分面积的求法，计算出S 1、S 2、 S 3的表达式，观察代数式的规律，进而推出S n 的表达式即可．【详解】解：在等腰直角 △ABC 中，AB=4，∴1AC =AB=4，1AB ，∴S 1= 2454360π⨯-12⨯=2π-4=2-41π=112-42π-；同理，S 2= 245(22)360π⨯-1222⨯⨯=π-2=2-42π=212-42π-；S 3= 2452360π⨯-1212π-1=22-42π=312-42π-； ……∴S n =12-42n π-．故答案为：12-42n π-．【点睛】本题考查依据图形面积找出规律，利用等腰直角三角形及扇形面积公式准确计算出S 1、S 2、S 3的表达式，通过观察得出规律是解题的关键．16．【解析】【分析】分析题干可知，阴影部分面积等于阴影部分扇形面积-两个三角形面积．【详解】根据题意知：BG=BE=BD=DA=CD=CF=CH ，△ABD 、△ACD 、△BEM 和△CFN 都是等腰直角三角形，设DA=x，则BG=BE=BD=DA=CD=CF=CH=x，∴2x，∴22903604HCDx xSππ==扇形，22CFN1224xS x ⎫==⎪⎪⎝⎭，∴S=阴影2(CFNHCDS S-扇形)= 2(2244x xπ-)=22π-，解得：2x=(负值已舍)，即DA=2，∴222DA=故答案为：22【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，知道扇形面积计算公式2360n rSπ=．17．132【解析】【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，即可解决问题；【详解】解：如图，由题意：∠AOE=108°，∠BOF=120°，∴12360108120132,∠+∠=︒-︒-︒=︒故答案：132.【点睛】本题考查正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握正多边形基本知识．18．161633π-【解析】【分析】连接OP ，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，则根据四边形内角和得到∠AOB=180°-∠APB=120°，再在Rt △PAO 中利用含30度的直角三角形三边的关系得到343AP OA ==，则83PAO S =，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S 四边形AOBP -S 扇形AOB 进行计算．【详解】连接OP ，如图，∵PA ，PB 是⊙O 的两条切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥PB ，OP 平分∠APB ，∴∠PAO=∠PBO=90°， 160302APO ∠=⨯︒=︒， ∴∠AOB=180°-∠APB=180°-60°=120°，在Rt △PAO 中，∵OA=4，∠APO=30°，∴343AP OA ==∴142PAO S =⨯⨯=∴阴影部分的面积2120?41623603AOBP AOB S S ππ⨯=-=⨯=四边形扇形．故答案为：163π-．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．会利用面积的和差计算不规则图形的面积．19．【解析】【分析】根据圆周角定理得245BOC A ∠=∠=︒，由于O 的直径AB 垂直于弦CD ，根据垂径定理得CE DE =，且可判断OCE △为等腰直角三角形，所以2CE ==用2CD CE =进行计算．【详解】解：∵22.5A ∠=︒∴245BOC A ∠=∠=︒∵O 的直径AB 垂直于弦CD∴CE DE =∴OCE △为等腰直角三角形∴2CE ==∴2CD CE ==．故答案是：【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．2016 4:3 【解析】【分析】根据题意画出图形，连接OE 、OG ，OF,由正六边形T1，得到∠EOF 为60°，从而得到△EOF 为等边三角形，即a=r ，故得到r ：a=1：1；在Rt △EOG 中，由OG 为角平分线，得到∠EOG=30°，利用特殊角的三角函数可求出OE 及OG 的长，即为r ：b 的比值，然后求出a ：b 的比值，根据正六边形T 1，T 2相似，其面积之比等于边长之比的平方，即可求出面积之比.【详解】连接OE 、OG 、OF ，∵1T ，2T 的周长分别为a ，b ，∴1T ，2T 的边长分别为6a ，6b ， ∵EF=6b ，且正六边形T 2， ∴△OEF 为等边三角形，OE 为圆的半径r ，∴r ：6b = 1：1 ， ∴r ：b=16；由题意可知OG 为∠FOE 的平分线，即∠EOG=12∠EOF=30°，在Rt △OEG 中，OE=r ，OG=6a ， ∵cos cos306OE r EOG a OG ==∠=，即26r a =，∴r ：a=12； ∵r ：b=16，r ：a=12， ∴2∵两个正六边形T 1、T 2相似，∴2221::3:4S S b a ==，即12:4:3S S =，故答案为：312，16，4:3.【点睛】此题考查正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正多边形和圆，锐角三角函数，相似正多边形的性质.21．（1）见解析；（2）83π【解析】【分析】（1）连接OD ，由OA ＝OD 知∠OAD ＝∠ODA ，由AD 平分∠EAF 知∠DAE ＝∠DAO ，据此可得∠DAE ＝∠ADO ，继而知OD ∥AE ，根据AE ⊥EF 即可得证；（2）作OG ⊥AE ，知AG ＝CG ＝12AC ＝4，证四边形ODEG 是矩形，得出OA ＝OB ＝OD ＝CG+CE ＝4，再证△ADE ∽△ABD 得AD 2＝192，据此得出BD 的长及∠BAD 的度数，利用弧长公式可得答案．【详解】（1）证明：连接OD ，如图1所示：∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵AD 平分∠EAF ，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：作OG⊥AE于点G，连接BD，如图2所示：则AG＝CG＝12AC＝4，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4+4＝8，∠DOG＝90°，∴AB＝2OA＝16，∵AC＝8，CE＝4，∴AE＝AC+CE＝12，∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD，∴AE ADAD AB=，即1216ADAD=，∴2192AD=，在Rt△ABD中，222161928BD AB AD=--=，在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，则弧BD的长度为608180π⋅⋅＝83π．【点睛】本题考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、弧长公式等知识点．22．(1)tan∠BCD=34；(2)(ⅰ)138；(ⅱ) AF与CD的位置关系是AF⊥CD，理由见解析．【解析】【分析】(1)作DM⊥BC，得到△DMB∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例结合AD=4BD，AC=3，BC=1，即可求得tan∠DCM的值；(2)(ⅰ)连接OE，OF，作OH⊥BE，证得OHCE为矩形，设⊙O的半径为r，得到OF=OE=CH=r，OH=CE=32，HF=BH=CH-BC=1r-，在Rt△OHF中，利用勾股定理即可得解；(ⅱ)延长CD交AF于点K，由(ⅰ)知CF94=，求得tan∠CAF34=，由于tan∠BCD=34，得到∠CAF=∠BCD，从而得到AF与CD的位置关系是AF⊥CD．【详解】(1)如图，过D作DM⊥BC，垂足M．∵∠ACB=90°，∴DM∥AC．∴△DMB∽△ACB．∵AD=4BD，AC=3，BC=1，∴15DM BD BMAC BA BC===，即1315DM BM==，∴35 DM=，15BM=，则14155CM=-=，∴在Rt△DMC中，tan∠DCM=335445DMCM==，(2)(ⅰ) 如图，连接OE，OF，∵⊙O与AC相切于AC中点E，∴OE⊥AC．作OH⊥BE，垂足为H，∵∠ACB=90°，∴OHCE为矩形．设⊙O的半径为r，则OF=OE=CH=r．OH=CE=12AC=32，HF=BH=CH-BC=1r-．∴在Rt△OHF中，222OF OH HF=+，∴()222312r r⎛⎫=+-⎪⎝⎭，解得：r=138；(2)(ⅱ) AF与CD的位置关系是AF⊥CD，理由如下：如图，延长CD交AF于点K，由(ⅰ)知，CF=BC＋BF=1+2()914r-=，在Rt△ACF中，∠ACB=90°，∴tan∠CAF=93434 CFAC==，∵tan∠BCD=34，∴∠CAF=∠BCD，即∠CAF=∠FCK，∵∠CAF+∠F=90°，∴∠FCK+∠F=90°，即AF⊥CD．【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数以及勾股定理，解题的关键是作出合适的辅助线，构建相似三角形和直角三角形．利用正切的定义求出tan∠CAF是解决第(ⅱ)问的关键．23．(1)证明见解析；(2)① 45；② 5【解析】【分析】(1)由切线长定理得到DC=DA，进一步得到∠DCA=∠DAC，再证明∠E=∠DCE，即可得到DE=DC=DA，进而得到D是AE的中点；(2)①由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，当∠ABC=45°时，∠ABC=90°=∠DCO=∠DAO，且OC=OA，此时四边形AOCD是正方形；②证明△DAC ∽△OBC ，由面积比是1:4，得到对应边之比AD ：OB=1:2，且OB=5，求出AD=5，再由D 是AE 中点得到AE=5，进而求出△ABE 的面积．【详解】(1)证明：连接AC ，如下图所示：∵DA 切O 于点A ，DC 切O 于点C ，∴AD CD =，∴DAC DCA ∠=∠．∵AB 是O 的直径，∴90ACB ACE ∠=∠=︒．∵DA 切O 于点A ，∴90EAB ∠=︒．∵90E EAC DCA DCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴E ECD ∠=∠，∴ED CD AD ==，即点D 是AE 的中点．(2)① 连接OC ，如下图所示，当∠ABC=45°时，四边形AOCD 是正方形，理由如下：当∠ABC=45°时，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半知：∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，又CD 和DA 均是O 的切线，∴∠DCO=∠DAO=90°，∴四边形AOCD 是矩形，又OC=OA ，∴四边形AOCD 是正方形．故答案为：45°．② 连接AC ，如下图所示，∵四边形AOCD 内角和为360°，且∠DCO=∠DAO=90°， ∴∠ADC+∠AOC=180°，又∠COB+∠AOC=180°，∴∠ADC=∠COB ，且DC=DA ，CO=BO ，∴△DAC 与△COB 均是等腰三角形， ∴△DAC ∽△OBC ，由相似三角形面积等于相似比的平方，且ΔΔ:1:4ADC BOC S S =，故有AD ：OB=1:2，且OB=125 ∴5，又D 是AE 中点，∴5∴11=255=522∆=⋅⋅⨯ABE AB AE S ．故答案为：5．【点睛】本题考查了圆的切线、圆周角定理、正方形的判定方法、相似三角形的判定及性质等，属于综合题，熟练掌握基本的性质及定理是解决此类题的关键.24．（1）证明见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO＋∠1＝90°，而∠CDA＝∠CBD，∠CBD＝∠1，于是∠CDA＋∠ADO＝90°；（2）根据切线的性质得到ED＝EB，OE⊥BD，则∠ABD＝∠OEB，得到tan∠CDA＝tan∠OEB＝OBBE＝12，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到CDCB＝ODBE＝OBBE＝12，求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长．【详解】（1）连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠1＝90°，又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠1，∴∠1＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵EB为⊙O的切线，∴ED＝EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+∠DBE＝90°，∴∠ABD＝∠OEB，∴∠CDA＝∠OEB．而tan∠ABD＝12，∴tan∠CDA＝12，∴tan∠OEB＝OBBE＝12，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴CDCB＝ODBE＝OBBE＝12，∴CD＝12×4＝2，在Rt△CBE中，设BE＝x，∴（x+2）2＝x2+42，解得x＝3．即BE的长为3．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．25．（1）如图所示：⊙O即为所求．见解析；（2）①如图2，补全图形，见解析；②证明见解析；③EF＝833．【解析】【分析】（1）直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案；（2）①按题意画出图形即可；②连接OB，OC，证明AE⊥BC．可得出AE⊥EF，则结论得证；③得出∠BOD=60°，设OD=x，则OB=OE=2+x，得出cos∠BOD122 OD xOB x===+，求出x=2，得出tan∠BAD83EF EFAE===EF的值．【详解】（1）如图所示：⊙O即为所求．（2）①如图2，补全图形：②证明：连接OB，OC，∵OB＝OC，∴点O在线段BC的垂直平分线上，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴AE⊥BC．∵直线EF为⊙O的切线，∴AE⊥EF，∴EF∥BC；③解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ，∴∠BAD ＝12∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∵DE ＝2，设OD ＝x ，∴OB ＝OE ＝2+x ，在Rt △OBD 中，∵OD ⊥BC ，∠BOD ＝60°，∴cos ∠BOD ＝122OD x OB x ==+， ∴x ＝2，∴OD ＝2，OB ＝4，∴AE ＝8，在△AEF 中，∵AE ⊥EF ，∠BAD ＝30°，∴tan ∠BAD ＝8EF EF AE ==，∴EF ．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，平行线的判定，能综合运用知识点进行推理计算是解此题的关键．26．（1）详见解析；（2）AE =【解析】【分析】(1)连接DE ，由90ABE ∠=︒，得AE 是O 的直径，从而得90ADE ∠=︒，结合D 是AC 的中点，即可得到结论；(2)易证ADE AEF ∽，从而得AE AD AF AE=，结合6AF =，AD=CD=2，即可求解. 【详解】（1）连接DE ，∵90ABC ∠=︒，∴90ABE ∠=︒，∴AE 是O 的直径.∴90ADE ∠=︒.∴DE AC ⊥.又∵D 是AC 的中点，∴DE 是线段AC 的垂直平分线.∴AE CE =；（2）∵2CD CF ==，∴26AF AC CF CD CF =+=+=，AD=CD=2，∵EF 与O 相切于点E ，∴90AEF ADE ∠=∠=︒.又∵DAE EAF ∠=∠，∴ADE AEF ∽∴AE AD AF AE =，即26AE AE=. ∴AE 23=.【点睛】本题主要考查圆的基本性质和相似三角形的综合，掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键.27．（1）见解析；（2）见解析；（3）485【解析】【分析】（1）连接OD ，如图，根据平行线的性质得∠BOC ＝∠A ，∠DOC ＝∠ODA ，由∠A ＝∠ODA ，得出∠BOC ＝∠DOC ，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；（2）先证明△OCD≌△OCB得到∠ODC＝∠OBC＝90°，然后根据切线的判定方法得到结论；（3）在Rt△ADG中用勾股定理得到OD2＝DG2+OG2进行求解．【详解】（1）证明：连接OD，如图，∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A，∠DOC＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠BOC＝∠DOC，∴BE DE=，即点E是弧BD的中点；（2）证明：在△OCD和△OCB中，OD OBBOC DOC OC OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCD≌△OCB（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（3）解：在△ADG中，tan∠ADG＝34＝AGDG，设DG＝4x，AG＝3x；又∵⊙O的半径为5，∴OG＝5﹣3x；∵OD2＝DG2+OG2，∴52＝（4x）2+（5﹣3x）2；∴x1＝65，x2＝0；（舍去）∴DF＝2DG＝2×4x＝8x＝8×65＝485．【点睛】此题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是熟知圆的基本性质、切线的性质及勾股定理的应用.28．（1）证明见解析；（2）O是半径是1．【解析】【分析】⊥，通过直角所对的圆周角（1）连接OD，若证CD是O的切线，则需要得到OD CD∠=∠可证得是直角，可知∠ADB=90°，通过半径相等得到角相等，再由CDA CBD ⊥，即可得证；OD CD（2）通过条件可得到∠C=30°，从而找到OD与OC的倍数关系，再通过BC=3即可求得圆的半径．【详解】证明：（1）如图，连接OD，OD OB OA∴==∴∠=∠∠=∠,OBD ODB ODA OAD∠=∠CDA CBD∴∠=∠CDA ODBAB 是O 直径90ADB ODB ODA ∴∠=∠+∠=︒90CDA ODA ODC ∴∠+∠=∠=︒OD CD ∴⊥CD ∴是O 的切线（2）30,CBD OBD ODB ∠=︒∠=∠60AOD OBD ODB ∴∠=∠+∠=︒又90ODC ∠=︒30C ∴∠=︒，12OD OB OC ∴== 13OB BC ∴= 3BC =1OB =∴O ∴是半径是1【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．。

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北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合培优提升训练题3（附答案详解） 1．如图，已知C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，若∠CAB=30°，则∠D 的度数是（）A ．30°B ．70°C ．75°D ．60°2．下列说法正确的个数有（）①一元二次方程的一般形式为ax 2+bx +c ＝0②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．③同弦或等弦所对的圆周角相等④方程x 2＝x 的解是x ＝1．A ．0B ．1C ．2D ．33．有下列四个命题，其中正确的有( )①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 4．如图，点,,A B C 均在⊙O 上，若60,2A OB ∠=︒=，则阴影部分的面积是（）A ．43πB ．53πC ．73πD ．83π 5．如图，C ，D 分别是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为（）A ．80°B ．90°C ．100°D ．105° 6．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠AOB ＝130°，则∠C 的度数为（）A ．150°B ．130°C ．115°D ．120°7．一个扇形的圆心角为120︒，扇形的弧长等于4,π则该扇形的面积等于（）A．2πB．4πC．12πD．24π8．正三角形的内切圆与外接圆的面积的比为（）A．1：3 B．1：4 C．1：2 D．3：49．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．25°10．如图，⊙O的直径BD＝4，∠A＝600，则BC的长度为（）A．B．C．D．⊥交O于点C，点D是O上一点，11．如图，AB是O的弦，OC AB∠=︒，则BOCADC35∠的度数为（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒12．如图，过⊙O 上一点A 作⊙O 的切线，交直径BC 的延长线与点D，连接AB，若∠B＝25°，则∠D 的度数为( )A．25°B．40°C．45°D．50°13．如图，已知P A，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是_____；连接OA、OB，则∠AOB＝_____．14．如图，∠MAN=60°，点B，C为射线AN，AM上的动点（点C，B不与点A重合），且CB=43，⊙O经过A,B,C三点，在CB上取点D,且CD=BD．则⊙O的半径为_______.∠的15．如图，AB是圆O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，48∠=，则AOECOD度数为________．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=________度．17．如右图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，且∠AOB与∠COD互补，弦CD＝8，则弦AB的长为____________18．要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图，使底面半径r与母线l的比r∶l=3∶4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取_____.19．如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，D 是BC 的中点，如果22ABC ∠=，那么DBC ∠=________度．20．如图，△ABC 内接于半径为2的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC=______．21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为_______．22．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为。

23．以A 为圆心，半径为9的四分之一圆，与以点C 为圆心，半径为4的四分之一圆如图所示放置，且90ABC ∠=︒，则图中阴影部分的面积为________．24．如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边及直角三角板ABD 的直角边重合于AB ，其中量角器0刻度线的端点与点A 重合，点P 从A 处出发沿AD 方向以每秒cm 的速度移动，CP 与量角器的半圆弧交于点E ，已知AB=10cm ，第5秒时，点E 在量角器上对应的读数是度．25．如图，点A 是⊙O 上一点，OA ⊥AB ，且OA=1，AB=3，OB 交⊙O 于点D ，作AC ⊥OB ，垂足为M ，并交⊙O 于点C ，连接BC ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）过点B 作BP ⊥OB ，交OA 的延长线于点P ，连接PD ，求sin ∠BPD 的值．26．已知：如图，在半径是4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 是OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM ＞MC ，连接DE ，DE=15．（1）求证：△AMC ∽△EMB ；（2）求EM 的长；（3）求sin ∠EOB 的值．27．如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，且DH 是O 的切线，连接DE 交AB 于点F ，连接BE ．（1）求证：DC DE =；（2）若4AE =，23EF FD =．求： ①BE 的长；②cos BDF ∠的值．28．已知⊙O 的直径AB =4，点C 在⊙O 上，连接AC ，沿AC 折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．（1）如图1，当经过圆心O时，求的长．（2）如图2，当与AB相切于A时．①画出所在的圆的圆心P．②求出阴影部分弓形的面积．29．如图，已知：矩形ABCD，以对角线AC的中点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为点K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．（1）求证：AE=CK；（2）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径．30．如图1，点A、B、C分别是⊙O上不重合的三点，连接AC、BC．（1）如图2，点P是直线AB上方且在⊙O外的任意一点，连接AP、BP.试比较∠APB 与∠ACB的大小关系，并说明理由；（2）若点P是⊙O内任意一点，连接AP、BP，比较∠APB与∠ACB大小关系；（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是直线y＝－x上一动点，当∠APB取得最大值时，直接写出．．．．点P的坐标，并简要说明点P的位置是如何确定的．31．如图，在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点F ，过点C 作CE AB ∥，与过点A 的切线相交于点E ，连接AD .（1）求证：AD AE =；（2）若10AB =，45AC =，求AE 的长.32．如图，在Rt ABC ∠中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BD ⊥交AB 于点E ，作BDE 的外接圆．（1）判断直线AC 与BDE 外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若2tan 2ABD ∠=，6AD =，求BC 的长．33．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，弧AB ＝弧AC ，AP 是⊙O 的切线，交BO 的延长线于点P(1) 求证：AP∥BC(2) 若tan∠P＝34，求tan∠PAC 的值34．如图，△ABC内接于⊙O，点D为⊙O上一点，连接BD、AD、CD，AD交BC于点E，作AG⊥CD于点G交BC于点F，∠ADB＝∠ABC．（1）如图1，求证：AB＝AC；（2）如图2．若BC为直径，求证：EF2＝BE2+CF2（3）如图在（1）的条件下，若∠ADC＝60°，6CE＝5BF，DG＝127，求⊙O的半径长．35．每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，（1）写出A、B、C的坐标．（2）以原点O为中心，将△ABC围绕原点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．（3）求（2）中C到C1经过的路径以及OB扫过的面积．36．如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A 关于l 的对称点A '，线A B '与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建气站，所得路线ACB 是最短的，为了让明点C 的位置即为所求，不妨在l 直线上另外任取一点C '，连接AC '，BC '，证明AC CB AC C B ''+<+，请完成这个证明．（2）如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．参考答案1．D【解析】【分析】由AB 为O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得90ACB ∠=︒，又由30CAB ∠=︒，即可求得B 的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得D ∠的度数.【详解】AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，∴9060B CAB ∠=︒-∠=︒，∴60D B ∠=∠=︒.故选：D .【点睛】此题考查了圆周角定理，此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角等于直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键.2．A【解析】【分析】根据有关性质与定理，分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：①一元二次方程的一般形式为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），所以①错误；②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以②错误；③同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；④方程x 2＝x 的解是x ＝1或x ＝0，所以④错误；故选：A ．【点睛】此题考查了圆周角定理、一元二次方程的一般形式和解法以及垂径定理，要能根据有关性质对命题的真假进行判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．C【解析】真命题有③④，故选C ．4．D【解析】【分析】先由圆周角的性质求得∠BOC 的度数，再根据扇形面积公式计算得出答案即可．【详解】解：∵60A ∠=︒，∴∠BOC ＝2∠A ＝120°，∴S 扇BOC 21204=2=3603ππ⨯ ∵S ⊙O 2=2=4ππ⨯，∴S 阴影48=433πππ-= 故选：D ．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解此题的关键是熟练掌握扇形面积公式．5．B【解析】【分析】根据题意，可得AB 是以点C 为圆心，BC 长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB 的度数是90°，据此解答即可．【详解】如图，，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选B．【点睛】（1）此题主要考查了作图-基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．6．C【解析】【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠D的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．【详解】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，∠D=12∠AOB=65°，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ACB=180°，∴∠ACB=115°，故选C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．C【解析】【分析】根据弧长公式180n r l π=，代入求出r 的值，即可得到结论．【详解】解：由题意得，4π＝120180r π，解得：r ＝6，∴S ＝1642π⨯⨯＝12π．故选：C.【点睛】本题考查了扇形的面积公式，弧长公式，熟记公式是解题的关键．8．B【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得到等边三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为1：2，从而得到它的内切圆与外接圆的面积的比．【详解】解：等边三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为1：2，所以等边三角形的内切圆与外接圆的面积的比为1：4．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与外接圆,相似图形的性质,熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键.【解析】【分析】连接OC，根据切线的性质定理可得∠OCD＝90°，再求得∠DOC＝50°，利用圆周角定理即可求得∠A的度数．【详解】连接OC，∵DC是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC＝50°，∴∠A＝12∠DOC＝25°．故选D．【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理，正确得出∠DOC＝50°是解题关键．10．C【解析】试题分析：根据同弧所对的圆周角相等可得：∠D=∠A=60°，根据直径所对的圆周角为直角可得：∠BCD=90°，则根据Rt△BCD的性质可得：BC=2.考点：（1）、圆的基本性质；（2）、直角三角形的性质11．C【解析】【分析】由圆周角和圆心角的关系可得出∠AOC=2∠ADC=70°，再由垂径定理得出∠BOC=∠AOC=70°即可．【详解】∵∠ADC=35°，∴∠AOC=2∠ADC=70°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，∴=AC BC．∴∠AOC=∠BOC=70°．故选C．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明=AC BC．12．B【解析】【分析】连接OA．由圆周角定理求得∠DOA=50°，接下来，由切线的性质可证明∠OAD=90°，最后在△OAD中依据三角形内角和定理可求得∠D的度数．【详解】解：连接OA．∵∠B=25°．∴∠DOA=2∠B=50°．∵AD是⊙的切线，∴∠OAD=90°．∴∠D=180°-90°-50°=40°．故选B．【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠DOC和∠OCD的度数是解题的关键．13．8 120°【解析】【分析】由切线长定理可得PA=PB，再由∠P=60°，可判定△PAB为等边三角形，进而得到AB=PA=8，连接OA，OB，由切线性质可得∠PAO＝∠PBO＝90°，再由四边形内角和即可求出∠AOB 的度数.【详解】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝PB，∵PA＝8，∴AB＝8．如图，连接OA，OB，则∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，故答案为：8，120°．【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质以及四边形内角和定理，解题的关键是由切线长定理判定△PAB为等边三角形.14．4【解析】作OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于E 的辅助线，利用垂径定理和勾股定理即可得解. 解：连接OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于E ，∵∠MAN=60°，∴∠BOC=120°，∠OBE=30°，∵BE=12BC=143232⨯=，在Rt△BEO 中，BO=2OE ，设OE=x ，则BO=2x ，由勾股定理得，（2x ）2=x 23)2，解得，x=4.即⊙O 的半径为4.故答案为：4.15．36【解析】【分析】先根据题意得出∠DOE ＝∠COD ＝∠BOC ＝48°，再由补角的定义即可得出结论.【详解】∵弧BC ＝弧CD ＝弧DE ，48COD ＝∠，∴∠DOE ＝∠COD ＝∠BOC ＝48°，∴∠AOE ＝180°－48°－48°－48°＝36°，故答案为36°. 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及补角的定义，解本题的要点在于要得出∠DOE＝∠COD＝∠BOC＝48°.16．100【解析】试题解析：连接AE，∵点D是的中点，∴∠AED=∠CED=40°，∴∠AEC=80°．∵∠AEC+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-∠AEC=180°-80°=100°．考点：圆周角定理.17．6【解析】【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB＋∠BOE＝∠AOB＋∠COD知∠BOE＝∠COD，据此可得BE＝CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°，又∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD=8，∵AE为⊙O的直径，半径为5，∴∠ABE＝90°，AE=10，∴2222-=-=，1086AE BE故答案为：6．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，解题的关键是应用圆的性质和勾股定理解决问题．18．270°【解析】【分析】利用圆锥底面圆周长=圆锥侧面展开图的弧长，列出方程求解即可．【详解】设底面半径是3a ，则母线长是4a ，利用底面周长=展开图的弧长可得·42?3180n a a ππ=，解得n=270，故答案为：270°. 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键明确圆锥的底面圆周长=圆锥侧面展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．19．34【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得∠C=90°，由直角三角形的两锐角互余可求得∠A=68°，再根据圆周角定理的推论即可解答.【详解】∵AB 为直径，∴∠C=90°，∵∠ABC=22°，∴∠A=90°-∠ABC=68°；∵∠DBC为DC所对的的圆周角，∠A为BC所对的圆周角，D是BC的中点，∴∠DBC=12∠A=34°．故答案为：34.【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，熟练运用定理及推论是解决问题的关键.20．23【解析】【分析】过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理得出BD=CD，由圆周角定理得出∠BOC=120°，由等腰三角形的性质得出∠BOD=∠COD=60°，再由直角三角形的性质求出CD的长，进而得出答案．【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，则BD=CD，∵△ABC内接于半径为2的⊙O，且∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，CO=BO=2，∴∠BOD=∠COD=60°，CO=BO=2，∴3，∴3故答案为：23【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，正确运用垂径定理是解题关键．21．215【分析】如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=12OP=1，然后在在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH=15，即CD=2CH=215．【详解】解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=12OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴22OC OH15-=∴15故答案为15【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可【解析】试题分析：设正三角形的边长为2r ，则圆锥的母线l =2r ，底面半径为r ，则侧面积=rl π=2πr²，底面积为πr²，然后求出比值.考点：圆锥的侧面积计算.23．97364π- 【解析】【分析】观察图形可知，图中阴影部分的面积=半径为9的四分之一圆的面积+半径为4的四分之一圆的面积－长9宽4的长方形面积，根据扇形的面积公式和长方形面积公式代入数据计算即可【详解】2211979+49436444πππ⨯⨯-⨯=- 24．105°【解析】试题分析：如图，连接OE ，∵∠ACB=90°，∴点C 在以AB 为直径的圆上，∴∠AOE=2∠ACP ，∵∠BAC=30°，AB=10，∴AC=AB·cos30°=5，∵点P 的速度是cm/s ，运动时间是5s ，∴AP=5，∴AP=AC ，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=75°，∴∠ACP=（180-∠DAC ）÷2=52．5°，∴∠AOE ＝１０５°，即点E 在量角器上对应的读数是105度．考点：1．共圆的条件；2．三角函数；3．圆周角定理．25．(1)证明见解析；（2）13 【解析】【分析】（1）连结OC ，根据垂径定理由AC ⊥OB 得AM=CM ，于是可判断OB 为线段AC 的垂直平分线，所以BA=BC ，然后利用“SSS”证明△OAB ≌△OCB ，得到∠OAB=∠OCB ，由于∠OAB=90°，则∠OCB=90°，于是可根据切线的判定定理得BC 是⊙O 的切线；（2）在Rt △OAB 中，根据勾股定理计算出OB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt △PBO 中，由∠BPO=30°得到PB=3OB=23；在Rt △PBD 中，BD=OB ﹣OD=1，根据勾股定理计算出PD=13，然后利用正弦的定义求sin ∠BPD 的值．【详解】解：（1）连结OC ，如图，∵AC ⊥OB ，∴AM=CM ，∴OB 为线段AC 的垂直平分线，∴BA=BC ，在△OAB 和△OCB 中{OA OCOB OB BA BC===，∴△OAB ≌△OCB ，∴∠OAB=∠OCB ，∵OA ⊥AB ，∴∠OAB=90°，∴∠OCB=90°，∴OC ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △OAB 中，OA=1，∴2OB ==，∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，∵PB ⊥OB ，∴∠PBO=90°，在Rt △PBO 中，OB=2，∠BPO=30°，∴在Rt △PBD 中，BD=OB ﹣OD=2﹣1=1，∴PD∴sin ∠BPD=BD PD ==．【点睛】本题考查切线的判定；全等三角形的判定与性质．26．（1）证明见解析；（2）EM=4；（3）sin ∠．【解析】【分析】（1）连接A 、C ，E 、B 点，那么只需要求出△AMC 和△EMB 相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的对应角相等，即可得△AMC ∽△EMB ；（2）根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC 的长度，根据已知条件推出AM 、BM 的长度，然后结合（1）的结论，很容易就可求出EM 的长度；（3）过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和（1）（2）所求的值，可推出Rt △EOF 各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sin ∠EOB 的值．【详解】（1）证明：连接AC、EB，如图1，∵∠A=∠BEC，∠B=∠ACM，∴△AMC∽△EMB；（2）解：∵DC是⊙O的直径，∴∠DEC=90°，∴DE2+EC2=DC2，∵DE=15，CD=8，且EC为正数，∴EC=7，∵M为OB的中点，∴BM=2，AM=6，∵AM•BM=EM•CM=EM（EC﹣EM）=EM（7﹣EM）=12，且EM＞MC，∴EM=4；（3）解：过点E作EF⊥AB，垂足为点F，如图2，∵OE=4，EM=4，∴OE=EM，∴OF=FM=1，∴22-=4115∴sin ∠EOB=15EF OE =．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质.27．（1）见解析；（2）①82，②1cos 3BDF ∠=【解析】【分析】（1）连接OD ，利用切线的性质与已知条件证明ODCA ，利用平行线的性质与同弧所对的圆周角相等，证明C DEC ∠=∠可得结论，（2）①利用三角形的相似先求圆的半径，再利用勾股定理求BE 的长，②利用BDF BAE ∠=∠相等求cos BDF ∠的值即可．【详解】（1）证明：连接OD ，∵DH AC ⊥，且DH 是O 的切线，∴90ODH DHA ∠=∠=︒，∴OD CA ，∴C ODB ∠=∠，∵OD OB =，∴OBD ODB ∠=∠，∴OBD C ∠=∠∵OBD DEC ∠=∠，∴C DEC ∠=∠，∴DC DE =；（2）①由（1）可知：ODAC ，∴AEF ODF ∠=∠，∴AFE OFD ∠=∠， ∴AFE OFD △∽△，∴23EF AE FD OD==，∵4AE =，∴6OD =， ∵AB 为O 的直径， ∴()222226482BE AB AE =-=⨯-= ②在Rt AEB 中，41cos 123AE BAE AB ∠===， ∵BDF BAE ∠=∠，∴1cos 3BDF ∠=．【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，圆周角定理，勾股定理及锐角三角函数，掌握相关的知识点是解题的关键．28．（1）的长=；（2）①P 点为所求，见解析； ②S 阴=π-2．【解析】【分析】（1）只要证明△EAO 是等边三角形即可解决问题；（2）①过A 点作AP ⊥AB ，再截取AP=2，则P 点为所求，如图2；②只要证明四边形AOCP 是正方形即可解决问题；【详解】（1）作半径OE ⊥AC 于F ，连接AE ，如图1，∵沿AC 折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，∴OF =OE =OF ，∵OE ⊥AC ，∴AE =AO ，∵OA =OE ，∴AE=AO=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AEO=60°，∴的长=．（2）①过A点作AP⊥AB，再截取AP=2，则P点为所求，如图2，②连接PC、OC，∵AP=OA=OC=PC=2，∴四边形P AOC为菱形，而∠P AO=90°，∴四边形P AOC为正方形，∴S阴=×2×2=π-2．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质.29．（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD是矩形，得到AD∥BC，AD=BC，于是得到∠DAE=∠BCK，得到∠BKC=∠AED=90°，推出△BKC≌△ADE，即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求证AE=AC，然后即可求得AC即可．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAE=∠BCK，∵BK⊥AC，DH∥KB，∴∠BKC=∠AED=90°，在△BKC与△ADE中，，∴△BKC≌△ADE，∴AE=CK；（2）DG是圆的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，∵DE=6，∴GE=6，又∵F为EG中点，∴EF=EG=3，∵△BKC≌△DEA，∴BK=DE=6，∴EF=BK，且EF∥BK，∴△AEF∽△AKB，且相似比为1：2，∴EF为△ABK的中位线，∴AF=BF，又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，在△AFD≌△BFH中，，∴△AFD≌△BFH（AAS），∴HF=DF=3+6=9，∴GH=6，∵DH∥KB，BK⊥AC，四边形ABCD为矩形，∴∠AEF=∠DEA=90°，∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DAE，∴△AEF∽△DEA，∴AE：ED=EF：AE，∴AE2=EF•ED=3×6=18，∴AE=3，∵△AED∽△HEC，∴，∴AE=AC，∴AC=9，则AO=，故⊙O的半径是．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.圆周角定理. 30．（1）∠APB＜∠ACB；（2）∠APB＞∠ACB；（3）.【解析】【分析】（1）设AP与⊙O交于点E，连接AE，根据圆周角定理可知∠AEB=∠ACB，再由三角形外角的性质可得∠AEB＞∠APB，由此可得出结论；（2）设BP的延长线与⊙O交于点D，连接AD，根据圆周角定理可知∠D=∠C，再由三角形外角的性质可得∠D＜∠APB，由此可得出结论；（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与直线y＝－x相切的圆，切点就是使得∠APB 最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、勾股定理等知识即可解决问题．【详解】（1）∠APB＜∠ACB如图，不妨设PB交AB上方圆弧于点E，连接AE.∵∠AEB是△PAE的外角∴∠AEB＞∠APB又∵∠AEB=∠ACB∴∠APB＜∠ACB（2）∠APB＞∠ACB，在图中，延长BP交圆于点D，连接AD．∵∠D=∠C，又∵∠D＜∠APB，∴∠APB＞∠ACB．（3）,在线段AB的垂直平分线上找一点Q，当以点Q为圆心、QA为半径的圆与直线y=－x相切于第四象限时，则切点即为所要确定的点P的位置.如图，⊙Q切直线于点P，作AB的垂直平分线CQ.设CQ的长为x，由条件可知：OA=1，OC=CE=3，则QE=3－x，QD=，∴Rt△AQC中，,∴,解得：，显然点P在第四象限比在第二象限时∠APB更大,∴,∴,∴P.【点睛】本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、等边三角形的判定等知识，难度较大．AD31．（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明△AEC和△ADC全等即可证明AD=AE，（2）设AE=AD=x，CE=CD=y，利用勾股定理列出关于x和y的等式，即可求出AE的长．【详解】（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，∵CE∥AB，∴∠E=90°，∴∠E=∠ADB，∵在△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BCA=∠ACE，又∵AC=AC，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD=AE ；（2）解：设AE=AD=x ，CE=CD=y ，则BD=（10-y ），∵△AEC 和△ADB 为直角三角形，∴AE 2+CE 2=AC 2，AD 2+BD 2=AB 2，AB=10，，AE=AD=x ，CE=CD=y ，BD=（10-y ）代入得：22210)280(100y x y x -⎧+=⎨+=⎩，解得：84x y =⎧⎨=⎩, 所以AD ＝8.【点睛】考查了圆的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线性质，全等三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，综合程度较高．32．（1）直线AC 与DBE 外接圆相切．理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）可先观察图，猜想位置关系为相切，而要证明相切，需证得垂直，故取BD 的中点O ，联结OE 后，结合两半径构成的等腰三角形性质和角平分线定义，易证得确为垂直关系；（2）由（1）的结论，根据相似三角形的判定方法证明ADE ABD △△，进而根据相似三角形的性质结合正切值再求出AE =AB =，然后推出AOD ABC △△，由相似三角形的性质即可求出求BC 的长．【详解】解：（1）直线AC 与DBE 外接圆相切．理由：∵DE BD ⊥．∴BE 为BDE 外接圆的直径，取BE 中点O ，连结OD ，∴OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，∴CBD OBD ∠=∠，∴ODB CBD ∠=∠．∵90C ∠=︒∴90CBD BDC ∠+∠=︒，∴90ODB BDC ∠+∠=︒，即OD AC ⊥，又∵点D 在AC 上∴直线AC 与BDE 外接圆相切．（2）∵OD AC ⊥，∴90ADE ODE ∠+∠=︒∵DE BD ⊥∴90ODB ODE ∠+∠=︒∴ADE ODB ∠=∠∴ADE ABD ∠=∠又A A ∠=∠∴ADE ABD △△∴tan 2AE AD DE ABD AD AB BD ===∠=662AE AB ==解得AE =AB =EB AB AE =-==∴122OD OE EB ===∴+2AO AE OE ==∵A A ∠=∠，90ADO C ∠=∠=︒∴AOD ABC △△∴OD AOBC AB=∴3262222922OD ABBCAO⨯⋅===【点睛】本题考查圆切线的判定及性质，圆周角定理，相似三角形的判定及其性质，解题的关键是做辅助线解决问题．33．（1）见解析；（2）2【解析】分析：（1）作AH⊥BC于H，如图，利用弧、弦、圆周角之间的关系由弧AB=弧AC得到AB=AC，则根据等腰三角形的性质得BH=CH，再根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，然后根据切线的性质得OA⊥AP，于是可判断AP∥BC；（2）根据平行线的性质，由AP∥BC得到∠P=∠PBC，再根据正切的定义得到tan∠OBH=34OHBH=，设OH=3x，则BH=4x，OB=5x，然后在Rt△ABH中利用正切的定义可计算出tan∠ABH=2，然后证明∠ABH=∠C=∠PAC即可．详解：(1)证明:作AH⊥BC于H,如图,∵弧AB=弧AC,∴AB=AC,∴BH=CH,即AH垂直平分BC, ∴点O在AH上,∵AP为切线,∴OA⊥AP,∴AP∥BC;(2)解:∵AP∥BC,∴∠P=∠PBC,在RT△OBH中,tan∠OBH=34 OHBH=,设OH=3x,则BH=4x, ∴OB=5x,∴AH=OA+OH=8x,在RT△ABH中,tan∠ABH=84AH xBH x==2,∵∠ABH=∠C=∠PAC, ∴tan∠PAC2=.点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了等腰三角形的性质和定理.34．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）圆O的半径为3．【解析】【分析】(1)只需说明∠ABC=∠ACB即可；(2)将△AFC绕点A顺时针旋转90°至△AHB，连接HE，再证明△AHE和△AFE全等，在Rt△BHE中由勾股定理即可得出结论；(3)首先证明△ABC是等边三角形，再证明AD=BD+CD，接着通过计算得出BE、EF、FC三条线段之比，注意到∠BDC=120°，解三角形BDC可求出BC长度，利用垂径定理即可求得半径长度．【详解】∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；(2)∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，如图2，将△AFC绕点A顺时针旋转90°至△AHB，连接HE．则BH=CF，∠ABH=∠ACF=45°，∠F AC=∠HAB，AH=AF，∴∠HBE=∠ABH+∠ABC=90°，∵AG⊥CD于G，∴∠AGD=90°，∵∠ADC=∠ABC=45°，∴∠DAG=45°，∴∠F AC+∠BAE=∠BAC-∠DAG=90°-45°=45°，∴∠BAH+∠BAE=45°，即∠HAE=45°，∴∠HAE=∠F AE，在△AHE和△AFE中：AH AFHAE FAEAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AHE≌△AFE(SAS)，∴HE=FE，在Rt△BHE中，由勾股定理有：HE2=BH2+BE2，∴EF2=CF2+BE2；∴△ABC是等边三角形，如图3，延长DC至N，使CN=BD，连接AN，∵∠ABD+∠ACD=∠ACD+∠ACN=180°，∴∠ABD=∠ACN，在△ABD和△ACN中：AB ACABD ACNBD CN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACN(SAS)，∴AD=AN，∵∠ADC=60°，∴△ADN是等边三角形，∴AD=DN=DC+CN=DC+BD．将△AFC绕点A顺时针旋转60°至△AMB，连接EM，则∠MBA=∠FCA=60°，∠MAB=∠F AC，AM=AF，MB=CF，∵AG⊥DC于G，∠ADC=60°，∴∠EAF=30°，∴AD=2DG，∴∠BAE+∠F AC=∠BAC﹣∠EAF=30°，∴∠BAE+∠BAM=30°，即∠MAE=∠F AE=30°，在△MAE和△F AE中：AM AF MAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MAE ≌△F AE (SAS )，∴ME =FE ，作MQ ⊥BC 于Q ，∵∠MBE =∠MBA +∠ABE =120°，∴∠MBQ =60°，设BE =x ，CF =BM =y ，则BQ =y 2，MQ=2， ∴QE =BQ +BE =y 2+x ， ∴ME∴EF =ME∵6CE =5BF ，∴6(yx )，y ﹣5x ，整理得：(3x ﹣5y )(8x ﹣7y )=0，∵x ＞y ，所以3x =5y ，设x =5k ，y =3k ，则EF==7k ， ∴AC =BC =BE +EF+CF =15k ，∵∠DBE =∠DAC ，∠BDE =∠ADC =60°，∴△DBE ∼△DAC ， ∴51153BD BE k AD AC k ===， ∴AD =3BD ，又∵BD +CD =AD ，∴CD =2BD ，∴CD =23AD ， ∵DG =12AD =127， ∴AD =247， ∴BD =13AD =877，CD =23AD =1677，作CH ⊥BD 于H ，则∠CHD =90°，∠CDH =180°﹣∠CDB =60°，∴DH =12CD =877，CH =3DH =8217，所以BH =BD +DH =167，所以CB =22BH CH +=8，连接OB 、OC ，则OB =OC ，∠BOC =2∠BAC =120°，作OP ⊥BC 于P ，∠BOP =12∠BOC =60°，BP =12BC =4，∴OB =sin 60BP ︒3283，即圆O 83．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，等腰三角形与等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数等重要知识点．第三问比较复杂，通过推导得出BE 、EF 、FC 三线段之比是解答本题的关键． 35．（1）A （1，-4），B （5，-4），C （4，-1）；（2）见解析；（317π，412π【解析】【分析】（1）根据平面直角坐标系写出A、B、C的坐标即可；（2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）分别求出OC、OB的长，即可求出结果.【详解】解：（1）A（1，-4），B（5，-4），C（4，-1）（2）如图所示，（3）224117+=225441+=∴C到C1经过的路径l=n r180π=18017180π17π，OB扫过的面积21804141==3602Sππ⨯（）.36．（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析【解析】【分析】（1）连接A C'，利用垂直平分线的性质，得到A C CA'=，利用三角形的三边关系，即可得到答案；（2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图．【详解】（1）证明：如图，连接A C '∵点A 、A '关于l 对称，点C 在l 上∴A C CA '=，∴''CA CB A C CB A B +=+=，同理'''''AC C B A C C B +=+，在'A C B '∆中，有'''A B A C C B '<+∴''AC CB AC C B +<+；（2）解：①在点C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB （如图，其中D 是正方形的顶点）．②在点C 处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC CD DE EB +++（如图，其中CD 、BE 都与圆相切）．【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确确定点C的位置，从而确定铺设管道的最短路线．。