北京市西城区2014年高三第一学期期末试数学【文】试题及答案
2024年北京市西城区高三一模数学答案
2024.4 第1页（共6页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）C（ 6 ）A（ 7 ）A（ 8 ）B（ 9 ）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11（12）π3 π3（答案不唯一） （13）y =（14）6−n 13−（15）① ③ ④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分） 解：（Ⅰ）连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．………1分因为在三棱柱111ABC A B C −中，四边形11A ABB 是平行四边形， 所以E 为1A B 的中点．………2分因为D 为BC 的中点， 所以1//DE A C ．………3分又因为1A C ⊄平面1AB D ，⊂DE 平面1AB D ， 所以1//AC 平面1AB D ． ………5分（Ⅱ）因为1AB AC ⊥，AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11A ACC ．………6分所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x yz −．………7分 则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(1,1,0)D ，(0,2,0)C ． 所以1(,,)202AB =，(,,)110AD =．2024.4 第2页（共6页）设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =m ，则10,0,AB AD =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即220,0.x z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =−，则1y =，1z =．于是(1,1,1)=−m ． ………10分因为AC ⊥平面11A ABB ，所以(0,2,0)AC =是平面11A ABB 的一个法向量． ………11分 所以3cos ,3||||AC AC AC 〈〉==⋅m m m ．………13分由题设，二面角11D ABA −−的平面角为钝角， 所以二面角11D AB A −−的余弦值为 ………14分（17）（共13分）解：（Ⅰ）由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =．………1分 在ABC △中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =．………3分因为sin 0,sin 0A B >>， 所以1cos 2B =． ………4分 又0πB <∠<， ………5分 所以π3B ∠=．………6分 （Ⅱ）选条件①：BC………7分设BC 边中点为M ，连接AM ，则AM =，4BM =．在ABM △中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+−⋅⋅，………9分 即2π21168cos3AB AB =+−⋅． 整理得2450AB AB −−=． 解得5AB =或1AB =−（舍）．………11分 所以ABC △的面积为1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅=△．………13分2024.4 第3页（共6页）选条件③：7b =．………7分 在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−，………9分即222π7816cos3c c =+−⋅． 整理得28150c c −+=． 解得3c =或5c =．………11分当3c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△ 当5c =时，ABC △的面积为1sin 2ABC S ac B ==△．………13分（18）（共13分）解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 因为549542>，所以甲进入决赛．………3分（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中9环”的概率可估计为242605=； “甲命中10环” 的概率可估计为242605=； “乙命中9环” 的概率可估计为301602=； “乙命中10环” 的概率可估计为151604=．………5分所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222212122212121113()()()()C ()C ()5452524100⨯+⨯+⨯⨯=． ………10分 （Ⅲ）7a =和8．（写出一个即可）………13分2024.4 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，2222,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪−=⎩………3分解得224,3a b ==．所以椭圆G 的方程为22143x y +=． ………5分（Ⅱ）由题设，直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则(2,2)E k m +,直线OE 的方程为()2my k x =+． ………6分 由22,3412,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(43)84120k x kmx m +++−=．………7分由2248(43)0=−+>Δk m ，得2243<+m k ．设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则122843kmx x k +=−+，212241243m x x k −=+． ………8分直线AC 的方程为11(2)2yy x x =++． ………9分联立直线AC 和OE 得11(2)()22y mx k x x +=++． 解得1111111244()44()(2)2M y y kx m x mmx k mx kk x y +===++++−．………11分同理可得224()4N kx m x mx k +=+．所以122112()(4)()(4)4(4)(4)M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++．………12分因为1221()(4)()(4)+++++kx m mx k kx m mx k22121222222222(4)()82(412)8(4)8(43)4343430kmx x k m x x kmkm m km k m km k k k k =++++−++=−++++=，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称． 所以||||=OM ON ．………15分2024.4 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln e =++x f x x x x ，所以1()1(1)e '=+++x f x x x． ………2分所以(1)2e 2f '=+．所以曲线()y f x =在点(,())11f 处切线的斜率为2e 2+．………4分（Ⅱ）当1a =−时，()ln()e =+−−x f x x x x ，()f x 的定义域为(,0)−∞．11()1(1)e (1)(e )'=+−+=+−x x f x x x x x． ………6分因为1e 0xx−<， 所以(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． ………9分 （Ⅲ）1e ()(1)()'=++xf x x x a．当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞． 所以()0'>f x ，()f x 在(0,)+∞上单调递增．因为1()0>f a ，所以0a >不合题意．………11分当0a <时，()f x 的定义域为(,0)−∞．因为(,1)x ∈−∞−时，()0f x '>；(1,0)x ∈−时，()0f x '<． 所以()f x 的单调递增区间为(,1)−∞−；单调递减区间为(1,0)−． 所以max 1()(1)1ln()e=−=−+−−f x f a a ． ………13分设1()1ln()e =−+−−g x x x ，则2211e 1()e e +'=+=x g x x x x ， 因为1(,)e ∈−∞−x 时，()0'<g x ；1(,0)e∈−x 时，()0'>g x ，所以()g x 的单调递减区间为1(,)e −∞−；单调递增区间为1(,0)e −．所以min 1()()1e=−=−g x g ．所以集合{|()1}−≥x f x 有且只有一个元素时1ea =−．………15分2024.4 第6页（共6页）（21）（共15分） 解：（Ⅰ）记1122i i i n in t a b a b a b =+++．因为1233,2,0t t t ===， ………3分 所以2=K ．………4分（Ⅱ）（ⅰ）B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =．因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有3m 个． 另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得 这两列的数均为1，故B 中满足1==i p i q b b 的(,,)i p q 的个数共有2C n r 个． 所以23C n m r =．当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解． 所以B 不满足3m r =．………9分（ⅱ）由（ⅰ）可得23C nm r =，即2C 3nr m =．下面考虑满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数：对B 中满足0≠i t 和3的−m K 行，每行恰有两组(,)p q 使1==i p i q b b 且p q a a ≠，所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为2C 2()2()3−=−n r m K K ．………11分设数列A 中有x 项为1，−n x 项为0．满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,)p q 的个数为()−x n x ． 所以满足1==i p i q b b ，但p q a a ≠的(,,)i p q 的个数为()−rx n x ．………13分所以2C ()2()3−=−n r rx n x K ．所以222C ()(33)326−=−=−+−nr rx n x r K x nx n n 22222331()()(4)6426424−+−=−−≥≥r n n r n n n n n n ． ………15分。
2014北京市西城区高一(上)期末数学
x 2，
x 2，
（Ⅰ）解：原不等式可化为
x2
−
2x
−
3
（1）
0，
或
x2
−
2x
+
3
0.
（2）
【 1 分】
解不等式组（1），得 2 x 3 ；解不等式组（2），得 x 2 .
=
2
，
c
=
log2
1 3
.将
a, b,
c
按从小到大排列为_____.
3. 若函数 f (x) = x2 − 2x 在区间 (a, +) 上是增函数，则 a 的取值范围是_____.
4.
函数
f (x) =| 2x
−
1
|
−
x
1 2
的零点个数为_____.
5. 给定数集 A .若对于任意 a,b A ，有 a + b A ，且 a − b A ，则称集合 A 为闭集合.给出如下四个结论：
1.D； 2.D； 3.C； 4.B； 5.C； 6.A； 7.A； 8.B； 9.C； 10.D.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.
11. − 1 ； 2
12. ，或 ； 33
13. −6 ；
14. − 5 ； 5
15. 1 ； 2
16. sin 3x 等（答案不唯一）.
x （ⅰ）判断函数 y = g(x) 在 (0,1] 上的单调性，并加以证明；
x （ⅱ）设 s 0 ， t 0 ，证明： g(s + t) g(s) + g(t) .
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北京市西城区-第一学期期末考试高三数学理及答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin 3A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,) （C ）(0,4)（D ）(8,)侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）2 x3ya321258zE FCB A已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p，16q ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则CAB AB AB ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A ，()P B p .所以()()()()P C P AB P AB P AB ……………… 5分111(1)222p pp1122p . ……………… 6分 因为114()225P C p ， 所以35p. ……………… 7分 又因为113p q ，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分 当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <. 因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k )8)(8(32)(102212121--++-=x x k x x k x kx 0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ， 所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
北京市西城区(普通校)2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题
市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分 考试时间：120分钟 A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值X 围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）45-（C ）34（D ）34-4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =（ ）（A ）1()2AB AC + （B ）1()2AB AC - （C ）1()2AB BC +（D ）1()2AB BC -5．函数2(sin cos )y x x =-的最小正周期为（ ） （A ）2π（B ）3π2（C ）π （D ）π26．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（ ） （A ）6π （B ）6π-（C ）3π（D ）3π-7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（ ） （A ）4（B ）2（C ）3（D ）18．当[0,π]x ∈时，函数()cos 3sin f x x x =-的值域是（ ） （A ）[2,1]-（B ）[1,2]-（C ）[1,1]-（D ）[2,3]-9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）（A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位 （C ）向左平移2π3个单位（D ）向右平移2π3个单位10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（ ） （A ）21m + （B ）1（C ）||m（D ）21m -二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值X 围是_____． 14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()sin sin cos f x x x x =+⋅的最大值是_____． 16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ+=-；③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33f x f x ππ-=+． 其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，其中(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(2=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ； （Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α．19．（本小题满分10分）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ∈Z ，b ∈Z ．设集合{|()0}A x f x ==，{|(())0}B x f f x ==，且A B =．（Ⅰ）证明：0b =； （Ⅱ）求a 的最大值．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．已知集合{,}A a b =，则满足{,,}AB a b c =的不同集合B 的个数是_____．2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则 实数m 的取值X 围是_____．5．已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得M =成立，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．已知函数()31([0,1])g x x x =+∈，则()g x 在区间[0,1]上的几何平均数为_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．7．（本小题满分10分）已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+． 设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+； （Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值．市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1 A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.B ；3.B ；4.A ；5.C ；6.A ；7.B ；8.A ；9.C ； 10.D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-； 12.1213-； 13.(,)42ππ； 14.32；； 16. ①②③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=.【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=. 【10分】 所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当30︒=α时，1)22=a ， 【 1分】 所以11(,)22+a b =， 【 2分】 所以||+=a b = 【 4分】（Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，1(,22=-b ，得 1(cos ,sin 22+=-+ααa b ，1(cos ,sin 22-=+-ααa b ， 由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】 因为 222213()()||||(sincos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 7分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】 （Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒， 所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 22-=αα， 即 π1sin()62-=α. 【12分】 因为 π02<<α， 所以 πππ663-<-<α， 【13分】 所以 ππ66-=α， 即3π=α.【14分】19.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：显然集合A ≠∅．设 0x A ∈，则0()0f x =． 【 1分】 因为 A B =，所以 0x B ∈， 即 0(())0f f x =，所以 (0)0f =， 【 3分】 所以 0b =． 【 4分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin f x a x =，a ∈Z ．① 当0a =时，显然满足A B =． 【 5分】② 当0a ≠时，此时{|sin 0}A x a x ==；{|sin(sin )0}B x a a x ==， 即{|sin ,}B x a x k k ==π∈Z ． 【 6分】因为 A B =，所以对于任意x ∈R ，必有sin a x k ≠π(k ∈Z ，且0)k ≠成立． 【 7分】所以对于任意x ∈R ，sin k x aπ≠，所以 1k a π>， 【 8分】 即 ||||a k <⋅π，其中k ∈Z ，且0k ≠．所以 ||a <π， 【 9分】 所以整数a 的最大值是3． 【10分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.4；2.12； 3.2-，1； 4.(2,2)-； 5.2. 注：3题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=.① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】③ 当212a -≥，即 0a ≤时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】 证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则 212121()()(22)(33)xxxxy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】①当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->， 解得32log ()2ax b>-. 【 8分】 ②当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xa b-<， 解得32log ()2ax b<-. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为()()g x f x x =-，所以(2)(2)2g x f x x +=+--，(3)(3)3g x f x x +=+--．由条件①，②可得(2)(2)2()22()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≥+--=-=；③【 2分】 (3)(3)3()33()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≤+--=-=． ④【 4分】所以(3)()(2)g x g x g x +≤≤+． （Ⅱ）解：由③得 (2)()g x g x +≥，所以(6)(4)(2)()g x g x g x g x +≥+≥+≥． 【 6分】由④得 (3)()g x g x +≤，所以(6)(3)()g x g x g x +≤+≤． 【 7分】 所以必有(6)()g x g x +=，即()g x 是以6为周期的周期函数． 【 8分】 所以(2014)(33564)(4)(4)41g g g f =⨯+==-=． 【 9分】 所以(2014)(2014)20142015f g =+=． 【10分】。
北京市西城区2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题(普通校试题
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高一数学 2014.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．若sin 0<α，且cos 0>α，则角α是（ ） （A ）第一象限的角 （B ）第二象限的角 （C ）第三象限的角（D ）第四象限的角2．已知向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，那么122|+=|e e （ ）（A ）1（B （C ）2（D 3．若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan =α（ ）（A （B ） （C ）2- （D ）12-4．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB AC ⋅=（ ）（A （B ）1（C （D ）25．在平面直角坐标系xOy 中，函数2sin()6y x π=-的图象（ ） （A ）关于直线6x π=对称 （B ）关于直线6x π=-对称 （C ）关于点(,0)6π对称（D ）关于点(,0)6π-对称 6．已知非零向量,OA OB 不共线，且13BM BA =，则向量OM =（ ） （A ）1233OA OB +（B ）2133OA OB +（C ）1233OA OB -（D ）1433OA OB -7．已知函数1()cos 22f x x x =+，则()12f π=（ ）（A ）2（B ）2（C ）1（D 8．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（ ） （A ）120︒（B ）90︒（C ）60︒（D ）30︒9．已知函数()sin cos f x x x =ωω在区间[,]63ππ-上单调递增，则正数ω的最大值是（ ） （A ）32（B ）43（C ）34 （D ）2310．已知函数()cos(sin )f x x =，则下列结论中正确的是（ ） （A ）()f x 的定义域是[1,1]- （B ）()f x 的值域是[1,1]- （C ）()f x 是奇函数（D ）()f x 是周期为π的函数二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin()6π-=______.12. 若sin =α，且(0,)∈πα，则α=______. 13. 已知向量(1,3)=a ，(2,)k =-b ．若向量a 与b 共线，则实数k =_____. 14. 若tan 2=α，且32π∈(π,)α，则sin()2π+=α______. 15. 已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ．若π,3〈〉=a b ，则c o s ()-=αβ_____. 16. 定义在R 上的非常值函数()f x 同时满足下述两个条件：① 对于任意的x ∈R ，都有2()()3f x f x π+=； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()66f x f x ππ-=+.则其解析式可以是()f x =_____.（写出一个满足条件的解析式即可）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知3tan 4=-α. （Ⅰ）求πtan()4-α的值；（Ⅱ）求2sin 3cos 3sin 2cos --αααα的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 22cos2f x x x x =⋅． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若[,]84x ππ∈，求()f x 的最大值与最小值．19.（本小题满分12分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1.,M N 分别是,BC DE 上的动点，且满足BM DN =.（Ⅰ）若,M N 分别是,BC DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （Ⅱ）求AM AN ⋅的取值范围.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合2{|430}A x x x =-+>，{|02}B x x =<≤，那么A B =_____.2. 已知2log 3a =，32b=，21log 3c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____. 3. 若函数2()2f x x x =-在区间(,)a +∞上是增函数，则a 的取值范围是_____. 4. 函数12()|21|xf x x =--的零点个数为_____.5. 给定数集A .若对于任意,a b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合.给出如下四个结论：① 集合{4,2,0,2,4}A =--为闭集合； ② 集合{|3,}A n n k k ==∈Z 为闭集合； ③ 若集合12,A A 为闭集合，则12AA 为闭集合；④ 若集合12,A A 为闭集合，且1A R Ø，2A R Ø，则存在c ∈R ，使得12()c A A ∉.其中，全部正确结论的序号是_____.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6.（本小题满分10分）已知函数()log (2)1a f x x =+-，其中1a >.（Ⅰ）若()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.7.（本小题满分10分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；（Ⅱ）设0a >，求()f x 在区间[0,]a 上的最大值.8.（本小题满分10分）设函数()f x ，()g x 的定义域分别为f g D D ，，且f g D D Ø.若对于任意f x D ∈，都有()()g x f x =，则称()g x 为()f x 在g D 上的一个延拓函数.给定2() 1 (01)f x x x =-<≤.（Ⅰ）若()h x 是()f x 在[1,1]-上的延拓函数，且()h x 为奇函数，求()h x 的解析式； （Ⅱ）设()g x 为()f x 在(0,)+∞上的任意一个延拓函数，且()g x y x=是(0,)+∞上的单调函数.（ⅰ）判断函数()g x y x=在(0,1]上的单调性，并加以证明； （ⅱ）设0s >，0t >，证明：()()()g s t g s g t +>+.北京市西城区2013 —2014学年度第一学期期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D；2.D；3.C；4.B；5.C；6.A；7.A；8.B；9.C；10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-；12.3π，或32π；13.6-；14.5-；15.12；16.sin3x等（答案不唯一）.注：12题，得出一个正确的结论得2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（Ⅰ）解：因为3 tan4=-α，所以πtan tanπ4tan()π41tan tan4--=+⋅ααα【3分】7=-. 【6分】（Ⅱ）解：因为3 tan4=-α，所以2sin3cos2tan33sin2cos3tan2--=--αααααα【9分】1817=. 【12分】18.（Ⅰ）解：1cos4()2cos22xf x x x-=⋅1cos4422xx-=+【2分】1sin(4)62xπ=-+．【4分】因为242Tππ==，所以()f x的最小正周期是2π．【6分】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，1 ()sin(4)62f x xπ=-+．因为84x ππ≤≤， 所以 54366x πππ≤-≤， 【 8分】 所以 1sin(4)126x π≤-≤， 【 9分】所以 131sin(4)622x π≤-+≤． 【10分】所以，当6x π=时，()f x 取得最大值32；当4x π=时，()f x 取得最小值1．【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系. 【 1分】因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且,M N 分别是,BC DE 的中点，所以 5(,)44M ，1(2N ， 【 3分】所以 5311848AM AN ⋅=+=. 【 4分】 （Ⅱ）解：设BM DN t ==，则[0,1]t ∈.【 5分】所以(1,)22t M +，(1N t -. 【 7分】 所以3(1)(1)22t AM AN t t ⋅=+⋅-+2112t t ++=-213(1)22t =--+ 【10分】 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1； 【11分】 当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32. 【12分】一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|01}x x <<；2.c b a <<；3. [1,)+∞；4. 2；5.②④. 注：5题，选出一个正确的序号得2分，有错选不给分.6.（Ⅰ）解：函数()log (2)1a f x x =+-的定义域是(2,)-+∞. 【 1分】因为 1a >，所以 ()log (2)1a f x x =+-是[0,1]上的增函数. 【 2分】 所以 ()f x 在[0,1]上的最大值是(1)log 31a f =-；最小值是(0)log 21a f =-.【 4分】 依题意，得 log 31(log 21)a a -=--， 【 5分】 解得a =【 6分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()log (2)1a f x x =+-是(2,)-+∞上的增函数. 【 7分】在()f x 的解析式中，令0x =，得(0)log 21a f =-， 所以，()f x 的图象与y 轴交于点(0,log 21)a -. 【 8分】 依题意，得(0)log 210a f =-≤， 【 9分】 解得 2a ≥. 【10分】 7.（Ⅰ）解：原不等式可化为22230x x x ≥⎧⎨--<⎩，，（1） 或22230.x x x <⎧⎨-+>⎩，（2） 【 1分】解不等式组（1），得 23x ≤<；解不等式组（2），得2x <. 【 3分】 所以原不等式的解集为{|3}x x <. 【 4分】（Ⅱ）解：222,2,()|2|2, 2.x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩ 【 5分】① 当01a <<时，()f x 是[0,]a 上的增函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-+. 【 6分】② 当12a ≤≤时，()f x 在[0,1]上是增函数，在[1,]a 上是减函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =. 【 7分】③ 当2a >时，令()(1)(2)10f a f a a -=-->，解得1a >. 所以，当21a <≤此时()(1)f a f ≤，()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =；当1a >此时()(1)f a f >，()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-.【 9分】记()f x 在区间[0,]a 上的最大值为()g a ，所以222,01,()1,112,1a a a g a a a a a ⎧-+<<⎪⎪=≤≤+⎨⎪->+⎪⎩ 【10分】8.（Ⅰ）解：当0x =时，由()h x 为奇函数，得(0)0h =. 【 1分】任取[10)x ∈-，，则(01]x -∈，， 由()h x 为奇函数，得22()()[()1]1h x h x x x =--=---=-+， 【 2分】所以()h x 的解析式为221,01,()0,0,1,10.x x h x x x x ⎧-<≤⎪==⎨⎪-+-≤<⎩【 3分】（Ⅱ）解：（ⅰ）函数()g x y x=是(0,1]上的增函数. 【 4分】证明如下：因为()g x 为()f x 在(0,)+∞上的一个延拓函数，所以当(01]x ∈，时，2()()1g x f x x ==-. 记()()1()g x f x k x x x x x===-，其中(0,1]x ∈. 任取12,(0,1]x x ∈，且12x x <，则210x x x ∆=->， 因为211221212112()(1)11()()()0x x x x y k x k x x x x x x x -+∆=-=---=>， 所以函数()g x y x=是(0,1]上的增函数. 【 6分】 （ⅱ）由()g x y x = 是(0,)+∞上的单调函数，且(0,1]x ∈时，()g x y x =是增函数，从而得到函数()g x y x= 是(0,)+∞上的增函数. 【 7分】因为 0s >，0t >， 所以 s t s +>，s t t +>， 所以()()g s t g s s t s+>+， 即 ()()()s g s t s t g s ⋅+>+⋅. 【 8分】 同理可得：()()()t g s t s t g t ⋅+>+⋅.将上述两个不等式相加，并除以s t +，即得 ()()()g s t g s g t +>+. 【10分】。
2023-2024学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3）2．在复平面内，复数z =i−2i的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，b ∈R ，且a ＞b ，则（ ） A ．1a ＜1bB ．tan a ＞tan bC ．3﹣a ＜2﹣bD ．a |a |＞b |b |4．已知双曲线C 的一个焦点是F 1（0，2），渐近线为y =±√3x ，则C 的方程是（ ） A ．x 2−y 23=1B ．x 23−y 2=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=15．已知点O （0，0），点P 满足|PO |＝1．若点A （t ，4），其中t ∈R ，则|P A |的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，∠B ＝60°，b =√7，a ﹣c ＝2，则△ABC 的面积为（ ） A ．3√32B ．3√34 C ．32D ．347．已知函数f(x)=ln1+x1−x，则（ ） A ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴B ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心C ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴D ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心 8．设a →，b →是非零向量，则“|a →|＜|b →|”是“|a →•b →|＜|b →|2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设{a n }是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ．若存在无穷多个正整数k ，使S k ≤0，则q 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．（0，1）10．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A 1B 1C 1D 1E 1F 1．若其中三根柱子AA 1，BB 1，CC 1的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（ ）A ．47mB ．48mC ．49mD ．50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
【历年高一数学期末试题】北京市西城区(普通校)2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
高一数学
试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟
2015.1
A 卷 [必修 模块 4] 本卷满分： 100 分
三
题号
一
二
本卷总分
17
18
19
分数
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的 .
（ A） 1 m2
（ B） 1
（ C） | m |
（ D） 1 m2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .
11．若向量 a (1,2) 与向量 b ( , 1) 共线，则实数
_____．
12．已知 是第二象限的角，且 sin
5 ，则 cos
13
_____．
（Ⅰ）若 ab 0 ，判断 f (x) 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若 ab 0 ，解不等式： f ( x 1) f ( x) ．
（ B） (8,14)
（ C） (12,12)
（ D） ( 4,20)
3．已知角 的终边经过点 P(3, 4) ，那么 sin （ ）
（ A） 3 5
4
（ B）
5
3
（ C）
4
4．在△ ABC 中， D 是 BC 的中点，则 AD （ ）
（ A） 1 ( AB 2 1
（ C） ( AB 2
AC ) BC )
13．若
( , ) ，且 tan 1，则 的取值范围是 _____． 22
14．已知向量 a (1,3) ， b (2, 1) ， c (1,1)．若 c a + b ( , R ) ，则
西城区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案
20232024学年度第一学期期末试卷 第1页（共6页）北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）A （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）C（ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）A（ 9 ）B（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）3 （答案不唯一） （13）(4,)+∞ 4（14）2x =−2（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设2πππ2sin cos 2cos 0666a −=，解得a………3分所以2()cos 2cos f x x x x =−2cos21x x =−− ………5分 π2sin (2)16x =−−．………6分 所以()f x 的最小正周期为π．………7分（Ⅱ）因为π02x ≤≤， 所以ππ5π2666x −−≤≤．………9分所以1πsin (2)126x −−≤≤， 即π22sin (2)116x −−−≤≤．20232024学年度第一学期期末试卷 第2页（共6页）当ππ262x −=，即π3x =时，()f x 取得最大值1； 当ππ266x −=−，即0x =时，()f x 取得最小值2−． ………11分由题设2m −≤，且1M ≥．所以m 的最大值是2−；M 的最小值是1．………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则80303(A)2008020P =⨯=． ………4分（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=， 所以X 的所有可能取值为0,1,2．………5分3638C 5(0)14C P X ===， 122638C C 15(1)28C P X ===， 212638C C 3(2)28C P X ===． ………8分所以X 的分布列为故X 的数学期望0121428284EX =⨯+⨯+⨯=． ………10分 （Ⅲ）222231s s s ．………13分20232024学年度第一学期期末试卷 第3页（共6页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥．………1分又因为平面PAB ⊥平面PAD ， 平面PAB 平面PAD PA =， 且DE ⊂平面PAB ． 所以DE ⊥平面PAB ． ………2分 所以DE AB ⊥．………3分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAD ．………4分（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ．又PD ⊥平面ABCD ，所以,,DA DC DP 两两相互垂直． ………5分 如图建立空间直角坐标系D x y z −，………6分则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ． 所以(2,0,0)CB =,(0,2,2)CP =−,(1,0,1)DE =．设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0.CB CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即20,220.x y z =⎧⎨−+=⎩令1y =，则1z =．于是(0,1,1)=m ． ………8分设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则 1||sin ,|cos |2||||DE DE DE α=〉=〈=⋅m m m ．………10分 所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30．………11分（Ⅲ）因为(1,0,1)EP =−，所以点E 到平面PBC 的距离为2||||EP d ==⋅m m ． ………13分因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△． ………14分20232024学年度第一学期期末试卷 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，22222,411,c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩………3分解得228,2a b ==．………4分 所以椭圆E 的方程为22182x y +=．………5分（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =．………6分若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y k x =+．由221,48y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)840k x kx ++−=． ………8分设1122(,),(,)A x y B x y ，则122841kx x k −+=+． ………9分 所以1224241M x x k x k +−==+，21141M M y kx k =+=+．………10分因为M 是CD 的中点， 所以282241D M C k x x x k −=−=−+，222141D M Cy y y k =−=−+． ………11分 因为2248D D x y +=，………12分所以222282(2)4(1)804141k k k −−+−−=++． 整理得340k k +=． ………13分 解得0k =．………14分但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去． 综上，直线AB 的方程为0x =．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，e ()x f x x =， 所以2(1)e ()xx f x x −'=．………1分 所以(1)e f =，(1)0f '=．………3分 所以曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程为e 0y −=． ………4分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，且2(1)e ()axax f x x −'=．………6分令()0f x '=，得1x a=． ()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；单调递减区间为(,0)−∞和1(0,)a．………10分（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−，证明如下： 令1()()g x f x x=−，则2(1)e 1()ax ax g x x −+'=．设()(1)e 1ax x h ax =−+，则2()e ax x h a x '=．………12分所以当(0),x ∈−∞时，()0x h '<；当()0,x ∈+∞时，()0x h '>． 所以()h x 在(0),−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增． 从而()(0)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 的单调递增区间为(0),−∞和()0,+∞．………14分当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−； 当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−． 综上，当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）:(1,2),(2,3),(3,1)A ，或:(1,3),(3,2),(2,1)A ．………4分（Ⅱ）因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，故26C 15m =≤，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次．又因为1(1,2,,1)i i x y i m +==−，所以只有1,m x y 对应的数可以出现5次， 故1(4425)132m ⨯⨯+⨯=≤．………9分（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明(2)()21T N T N N +=++．因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，所以21()C (1)2N T N N N =−≤． 当3N =时，构造:(1,2),(2,3),(3,1)A 恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1．对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '： 首先，对于如下21N +个数对集合：{(1,1),(1,1)}N N ++，{(1,2),(2,1)}N N ++， {(2,1),(1,2)}N N ++，{(2,2),(2,2)}N N ++， ……，{(,1),(1,)}N N N N ++，{(,2),(2,)}N N N N ++，{(1,2),(2,1)}N N N N ++++，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以(2)()21T N T N N +++≤． 其次，对每个不大于N 的偶数{2,4,,1}i N ∈−，将如下4个数对并为一组：(1,),(,2),(2,1),(1,1)N i i N N i i N ++++++，共得到12N −组，将这12N −组数对以及(1,1),(1,2),(2,1)N N N N ++++按如下方式补充到A 的后面，即：,(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),,A N N N N N +++++(1,1),(1,2),(2,),(,1),(1,2),(2,1)N N N N N N N N N N N +−−++++++．此时恰有()21T N N ++项，所以(2)()21T N T N N +=++．综上，当N 为奇数时，()(()(2))((2)(4))((5)(3))(3)T N T N T N T N T N T T T =−−+−−−++−+[2(2)1][2(4)1](231)3N N =−++−+++⨯++1(1)2N N =−． ………15分。
北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学 2015.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(12,12)（C ）(8,14)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）34（C ）34-（D ）45-4．已知函数sin y x =和cos y x =在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)25．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +=（ ） （A ）2AD（B ）2DA（C ）2BD（D ）2DB6．下列函数中，偶函数是（ ） （A ）()sin()f x x =π+ （B ）()tan()f x x =π- （C ）()sin()2f x x π=+ （D ）()cos()2f x x π=-7．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数cos y x =的图象（ ） （A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位（C ）向左平移π6个单位 （D ）向右平移π6个单位8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（ ）（A ）4（B ）2（C （D ）19．函数2sin y x =的最小正周期为（ ） （A ）2π（B ）π（C ）π2（D ）π410．已知向量(1,sin )θ=a ，(cos θ=b ，其中R θ∈，则||-a b 的最大值是（ ） （A ）4（B ）3（C ）2（D ）1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若(0,)∈πα，且α与角53π-终边相同，则=α_____． 12．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 13．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 14． 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()(sin cos )f x x x =+的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 函数()f x 的图象与2()cos(2)3g x x π=-的图象重合； ② 函数()f x 的图象关于点(,0)12π对称； ③ 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，且(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(2=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅱ）当|2||2|+=-a b a b 时，求角α．19．（本小题满分12分）已知函数()sin 21f x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若对于任意ππ[,]42x ∈，都有()2f x m -<成立，求实数m 的取值范围．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．函数1lg y x=的定义域是_____． 2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____． 3．662log 2log 9+=_____． 4．函数21,0,()4,0,x x f x x x ->⎧=⎨-<⎩的零点是_____．5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若(21)()f m f m ->，则实数m 的取值范围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}M x a x a =<<+． （Ⅰ）求集合U P ð；（Ⅱ）若U P M ⊆ð，求实数a 的取值范围．7．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R . （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．8．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.C ；3.D ；4. D ；5. A ；6. C ；7. C ；8.B ；9. B ； 10.B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.3π； 12. 12-； 13. 1213-； 14.32； 15. 2； 16. ① ② ③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=. 【10分】 所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由向量(cos sin )αα=，a，1(22=-b ， 得1(cos ,sin )22+=-+ααa b ，1(cos ,sin )22-=+-ααa b ， 【 1分】 由π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 2分】因为222213()()||||(sin cos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 5分】 所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 6分】 （Ⅱ）解：将|2||2|+=-a b a b 两边平方，化简得223(||||)80-+⋅=a b a b . 【 8分】 由||||1==a b ， 得 0⋅=a b ， 【 9分】所以 1cos 022αα-+=，所以 tan =α. 【11分】 注意到 π(0,)2∈α， 所以 π6α=. 【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()sin 21f x x x =+π12sin(2)3x =+-． 【 2分】因为函数sin y x =的单调递减区间为π3π[2π,2π]()22k k k ++∈Z ． 由 ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+()k ∈Z ， 【 4分】 得 5π11πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ． 所以()f x 的单调递减区间为5π11π[π,π]1212k k ++()k ∈Z ． 【 6分】 （Ⅱ）解： 因为 ππ[,]42x ∈， 所以 ππ2π2633x -≤≤，由（Ⅰ）得 π212sin(2)33x +-≤≤，所以 ()f x 的值域是[23]，． 【 8分】 ()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ[,]42x ∈． 【10分】所以 max ()2m f x >-，且 min ()2m f x <+，所以 14m <<， 即m 的取值范围是(1,4)． 【12分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01x x ∈<<R ，或1}x >；2. 12； 3. 2； 4. 2-，1； 5. 1(,1)3.注：4题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}U P x x x =-<ð， 【 2分】 即集合{|02}U P x x =<<ð. 【 4分】 （Ⅱ）解：因为 U P M ⊆ð，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩ 【 6分】解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩ 【 8分】所以 [2,0]a ∈-. 【10分】 注：第（Ⅱ）小问没有等号扣1分. 7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=.① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->，解得32log ()2ax b>-. 【 8分】 ② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xab-<， 解得32log ()2ax b<-. 【10分】。
北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．18．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．22．（4分）函数f（x）=的零点是．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：直接由sinα＜0，cosα＞0可得α为第四象限的角，结合α∈（0，2π）得到选项．解答：解：由sinα＜0，cosα＞0，可得α为第四象限的角，又α∈（0，2π），∴α∈．故选：D．点评：本题考查了三角函数的象限符号，是基础的会考题型．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的加减和数乘坐标运算，计算即可得到所求向量．解答：解：向量=（2，8），=（﹣4，2），若=2﹣，则=（4，16）﹣（﹣4，2）=（8，14）．故选B．点评：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量的加减和数乘运算，属于基础题．3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解答：解：由于角α的终边经过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，故选：B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的平行四边形法则、中点的性质即可得出．解答：解：∵D是BC的中点，∴=，故选：A．点评：本题考查了向量的平行四边形法则，属于基础题．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：化简可得y=1﹣sin2x，由周期公式可得答案．解答：解：化简可得y=（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x，∴由周期公式可得T==π，故选：C点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性，属基础题．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据余弦函数的性质即可得到结论．解答：解：若y=cos（x+φ）的一个零点是，则cos（+φ）=0，即+φ=kπ+，k∈Z即φ=kπ+，当k=0时，φ=，故选：A点评：本题主要考查余弦函数的求值，根据函数零点的定义结合余弦函数的性质是解决本题的关键．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件即数量积为0，计算即可得到．解答：解：=（+）•=+=+=0+==2．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的垂直的条件和向量的平方与模的平方的关系，考查运算能力，属于基础题．8．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简解析式可得f（x）=2cos（x+），当x∈[0，π]时，x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]．解答：解：∵f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）∴当x∈[0，π]时，x+∈[，]∴由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]故选：A．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：将y=sinx化为y=cos（x﹣），再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．解答：解：y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选C．点评：本题考查了三角函数的图象变换，中间用到了诱导公式，属于常考题型．10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，配方整理，再由二次函数的最值求法，即可得到所求最值．解答：解：，为单位向量，且•=m，则|+t|2=+t2+2t=1+t2+2tm=（t+m）2+1﹣m2，当t=﹣m时，|+t|2取得最小值1﹣m2，则|+t|（t∈R）的最小值为．故选D．点评：本题考查平面向量的数量积的性质，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：利用向量共线的充要条件列出方程，解方程求出λ的值．解答：解：∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．点评：解决有关向量共线的问题，应该利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用sin2α+cos2α=1，结合α是第二象限角，即可求得cosα．解答：解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，属于基础题．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是（，）．考点：三角函数线；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正切函数的图象特征求得θ的取值范围．解答：解：若，且tanθ＞1，则θ∈（，），故答案为：（，）．点评：本题主要考查正切函数的图象特征，属于基础题．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的线性运算、向量相等即可得出．解答：解：∵向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解得，∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量运算性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得其最大值．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinx•cosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴当sin（2x﹣）=1时函数取最大故答案为：点评：本题考查三角函数的最值，属基础题．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是①②③．．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象和性质进行判断即可．解答：解：①f（x）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），故①正确，②f（x+）=sin[2（x+）﹣）]=﹣sin（2x﹣）]，f（x﹣）=sin[2（x﹣）﹣）]=﹣sin（2x﹣），则f（x+）=f（x﹣）故②正确③f（）=sin（2×﹣）=sin=1为最大值，故x=是函数的对称轴，故③正确，故答案为：①②③．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式以及三角函数变换是解决本题的关键．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入计算即可求出值；（Ⅱ）由tanα的值求出sinα与cosα的值，原式利用二倍角的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵tanα=﹣2，∴tan（α﹣）===3；（Ⅱ）∵α∈（，π），tanα=﹣2，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）当α=30°时，求得+的坐标，可得|+|的值．（Ⅱ）由条件求得（+）•（﹣）=0，从而证得向量+与﹣垂直．（Ⅲ）若向量与夹角为60°，根据两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得，从而得到角α的值．解答：（Ⅰ）解：当α=30°时，=（，），所以，+=（，），所以，|+|==．（Ⅱ）证明：由向量=（cosα，sinα），=（﹣，），得+=（cosα﹣，sinα+），﹣=（cosα+，sinα﹣），由，得向量+，﹣均为非零向量．因为（+）•（﹣）=﹣=（cos2α+sin2α）﹣（+）=0，所以向量+与向量﹣垂直．（Ⅲ）解：因为||=||=1，且向量与夹角为60°，所以=||•||•cos60°=，所以，即．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于基础题．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．考点：集合的相等．专题：集合．分析：（Ⅰ）利用集合相等得到f（0）=0，从而求b；（Ⅱ）讨论a与0的关系，在a≠0时，因为A=B，对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，结合正弦函数的有界性得到，求得a的最大值．解答：（Ⅰ）证明：显然集合A≠∅．设x0∈A，则f（x0）=0．（1分）因为A=B，所以x0∈B，即f（f（x0））=0，所以f（0）=0，（3分）所以b=0．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=asinx，a∈Z．①当a=0时，显然满足A=B．（5分）②当a≠0时，此时A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，即B={x|asinx=kπ，k∈Z}．（6分）因为A=B，所以对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立．（7分）所以对于任意x∈R，，所以，（8分）即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．所以|a|＜π，（9分）所以整数a的最大值是3．（10分）点评：本题考查集合相等的运用以及正弦函数的有界性的运用，属于中档题．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是4．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和并集的运算，按照B中元素的个数依次写出满足条件的集合即可．解答：解：因为集合A={a，b}，满足A∪B={a，b，c}，所以B={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}共4个，故答案为：4．点评：本题考查并集及其运算，注意列举时按一定的顺序做到不重不漏，属于基础题．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的图象过点（4，2），代入幂函数的解析式求得即可．解答：解：∵4α=2，解得，故答案为：点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，属于基础题．22．（4分）函数f（x）=的零点是﹣2或1．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：转化为或求解即可．解答：解：∵函数f（x）=∴或解得：x=1，或x=﹣2故答案：﹣2，1；点评：本题考查了分段函数的解析式的求解，函数的零点的求解属于中档题．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是（﹣2，2）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴不等式f（m）＞f（2），等价为f（|m|）＞f（2），即|m|＜2，解得﹣2＜m＜2，故答案为：（﹣2，2）；点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为2．考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由g（x）=x，D=[0，1]，代入即可得到答案．解答：解：根据已知中关于函数g（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合g（x）=3x+1在区间[0，1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C==2，故答案为：2．点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的对称轴，得到，解出即可；（Ⅱ）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而得到答案．解答：（Ⅰ）解法一：因为f（x）=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，所以，f（x）的图象的对称轴方程为．由，得a=0．解法二：因为函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以必有f（0）=f（2）成立，所以﹣2a=0，得a=0．（Ⅱ）解：函数f（x）的图象的对称轴方程为．①当，即a≥2时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣2a．②当，即0＜a＜2时，因为f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为．③当，即a≤0时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递减，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=﹣（1+a）．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道中档题．．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得，再分类讨论求得它的解集．解答：（Ⅰ）解：当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．证明如下：当a＞0，b＞0时，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，则．因为；又，所以△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，所以，当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理可得，f（x）在R上是减函数．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得．（*）①当a＜0，b＞0时，（*）式化为，解得．②当a＞0，b＜0时，（*）式化为，解得．点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解指数、对数不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过g（x）=f（x）﹣x，利用x+2，x+3分别代替x推出方程，由条件①，②转化，即可推出g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）g（x+2）≥g（x），然后推出g（x+3）≤g（x），说明g（x）是以6为周期的周期函数所然后求解函数值．解答：（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为g（x）=f（x）﹣x，所以g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2，g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3．由条件①，②可得g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2≥f（x）+2﹣x﹣2=f（x）﹣x=g（x）；【（2分）】③g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3≤f（x）+3﹣x﹣3=f（x）﹣x=g（x）．④【（4分）】所以g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）解：由③得g（x+2）≥g（x），所以g（x+6）≥g（x+4）≥g（x+2）≥g（x）．【（6分）】由④得g（x+3）≤g（x），所以g（x+6）≤g（x+3）≤g（x）．【（7分）】所以必有g（x+6）=g（x），即g（x）是以6为周期的周期函数．【（8分）】所以g=g（335×6+4）=g（4）=f（4）﹣4=1．【（9分）】所以f=g+2014=2015．【（10分）】点评：本题考查抽象函数的应用，函数的周期性以及不等式的证明，难度比较大．。
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北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2015.1 第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合1,0,1,2{}A，2{|}Bxxx，则集合AB（ ） （A）{1,0,1} （B）{1,2} （C）{0,1,2} （D）{1,1,2}
3．在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若2ab，3sin4B，则（ ） （A）3A （B）6A （C）3sin3A （D）2sin3A
4．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．设命题p：2log0,2xxx，则p为（ ） （A）2log0,2xxx （B）2log0,2xxx≤ （C）2log0,2xxx （D）2log0,2xxx≥
a=2，x=3 开始 xya
x=x+1 103yx
输出x 结束
否 是 5．设函数()yfx的定义域为R，则“(0)0f”是“函数()fx为奇函数”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天 13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ） （A）13 （B）34 （C）58 （D）45
8. 如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线,ACBD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,ABBCCDDA分别相交于点,,,EFGH，记四边形EFGH的面积为y，设BExAB=，则（ ）
（A）函数()yfx=的值域为(0,4] （B）函数()yfx=的最大值为8 （C）函数()yfx=在2(0,)3上单调递减 （D）函数()yfx=满足()(1)fxfx=-
7． 设抛物线2:4Wyx=的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l：1x=-的距离为d，则有（ ） （A）2||dAB≥ （B）2||dAB= （C）2||dAB≤ （D）2||dAB<
A B E C D G
H
F 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数i1iz，则||z______.
10．设平面向量,ab满足||3a，||2b，3ab，那么,ab的夹角____.
11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.
12．设12,FF为双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点，且直线2yx为双曲线C的一条渐近线，点P为C上一点，如果12||||4PFPF，那么双曲线C的方程为____；离心率为_____.
13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.
14. 设函数3||, 1,()log, 1.xaxfxxx≤ （1）如果(1)3f，那么实数a___； （2）如果函数()2yfx有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是___.
侧(左)视图 正(主)视图
俯视图
2 2
1 1 1
1 1 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数2π()12sin()4fxx，x∈R . （Ⅰ）求函数()fx的最小正周期； （Ⅱ）判断函数()fx在区间ππ[,]66上是否为增函数？并说明理由.
16．（本小题满分13分） 已知数列{}na满足25a，且其前n项和2nSpnn． （Ⅰ）求p的值和数列{}na的通项公式； （Ⅱ）设数列{}nb为等比数列，公比为p，且其前n项和nT满足55TS，求1b的取值范围．
17．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱1111DCBAABCD中，AA1底面ABCD，90BAD，BCAD//，且
122AAADBC，1AB. 点E在棱AB上，平面1AEC与棱11CD相交于点F.
（Ⅰ）求证：1AF∥平面1BCE； （Ⅱ）求证： AC平面11CDDC； （Ⅲ）写出三棱锥11BAEF体积的取值范围. （结论不要求证明） B C
A1 D1 D A B1 C1
E F 18．（本小题满分13分） 最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏
的情况如下： （1） 投资股市： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概 率 12 18 38
（2） 购买基金： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概 率 p
1
3 q
（Ⅰ）当12p=时，求q的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围； （Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的
可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分14分）
已知椭圆C：2211612xy的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点(,0)(4)Pmm满足条件||||FAeAP.
（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记PMF和PNF的面积分别为1S，2S，若122SS,求直线l的方程. 20．（本小题满分13分） 对于函数(),()fxgx，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数()fx和
()gx在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.
设函数2()(0)fxaxbxa,()lngxx. （Ⅰ）当1a,0b时, 判断函数()fx和()gx是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知ab，0a，且函数()fx和()gx相切，求切点P的坐标； （Ⅲ）设0a，点P的坐标为1(,1)e，问是否存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为2(e,2)呢？（结论不要求证明） 北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2015.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．22 10．2π3 11. 22 12．221416xy 5 13．9 14．2或4 (1,3] 注：第12，14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为2π()12sin()4fxx
πcos2()4x „„„„„„ 3分
sin2x， „„„„„„ 5分
所以函数()fx的最小正周期2ππ2T. „„„„„„ 7分
（Ⅱ）解：结论：函数()fx在区间ππ[,]66上是增函数. „„„„„„ 9分 理由如下： 由ππ2π22π22kxk≤≤， 解得ππππ44kxk≤≤， 所以函数()fx的单调递增区间为ππ[π,π]44kk，()kZ. „„„„„„ 12分 当0k时，知)(xf在区间ππ[,]44上单调递增， 所以函数()fx在区间ππ[,]66上是增函数. „„„„„„ 13分
16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得11Sp，242Sp， 因为 25a，212Saa， 所以 24215Spp， 解得 2p. „„„„„„ 3分 所以 22nSnn． 当2n≥时，由1nnnaSS， „„„„„„ 5分 得 22(2)[2(1)(1)]43nannnnn. „„„„„„ 7分 验证知1n时，1a符合上式， 所以43nan，*nN. „„„„„„ 8分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12nnnbTb. „„„„„„ 10分 因为 55TS， 所以 521(21)255b， 解得 14531b． „„„„„„ 12分 又因为10b，