【K12教育学习资料】高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.4指数函数课时提升作业理
2020届高考数学一轮复习第二章函数2.4指数函数与对数函数教师用书(PDF,含解析)
<２ꎬ∴ ０.６－１ >０.６２ ꎬＢ 正确ꎻＣ 中ꎬ∵ ( ０.８) －１ ＝ １.２５ꎬ∴ 问题转化为
比较 １.２５０.１ 与１.２５０.２ 的大小ꎬ∵ 函数 ｙ ＝ １.２５ｘ 在 Ｒ 上是增函数ꎬ
０.１<０.２ꎬ∴ １.２５０.１ <１.２５０.２ ꎬ即 ０.８－０.１ <１.２５０.２ ꎬＣ 错误ꎻＤ 中ꎬ
２.对数函数的图象与性质
ａ>１
０<ａ<１
图 象
定义域:(０ꎬ＋∞ )
值域:Ｒ
性
过点(１ꎬ０) ꎬ即 ｘ ＝ １ 时ꎬｙ ＝ ０
质 当 ｘ>１ 时ꎬｙ>０ꎻ
当 ｘ>１ 时ꎬｙ<０ꎻ
当 ０<ｘ<１ 时ꎬｙ<０
当 ０<ｘ<１ 时ꎬｙ>０
在(０ꎬ＋∞ )上是增函数
在(０ꎬ＋∞ )上是减函数
３.反函数 指数函数 ｙ ＝ ａｘ( ａ>０ 且 ａ≠１) 与对数函数 ｙ ＝ ｌｏｇａ ｘ( ａ>０ 且 ａ
②ｌｏｇａ
Ｍ Ｎ
＝ ｌｏｇａ Ｍ－ｌｏ Ｍ( ｎ∈Ｒ) .
( ３) 对数的重要公式
①换底公式:ｌｏｇａ
Ｎ
＝
ｌｏｇｂ
Ｎ (
ｌｏｇｂ ａ
ａꎬｂ
均大于
０
且不等于
１ꎬＮ>０)ꎻ
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.4 函数的奇偶性与周期性课时规范训练 理
第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.4 函数的奇偶性与周期性课时规范训练 理 北师大版[A 级 基础演练]1．(2015·高考广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋－x 2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数．答案：D2．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1>0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)， 又∵f x 2－f x 1x 2－x 1>0(x 1，x 2∈[0，＋∞))，∴f (x )是[0，＋∞)上的增函数，∴f (1)<f (2)＝f (－2)<f (3)．答案：B3．(2014·高考湖南卷)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1， ∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1. ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1. ∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1. 答案：C4．(2015·高考课标卷Ⅱ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.答案：15．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －16．已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________. 解析：由g (x )＝f (x )＋9，故g (－2)＝f (－2)＋9＝3， ∴f (－2)＝－6. 又∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－6，∴f (2)＝6. 答案：67．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．解：由f (m )＋f (m －1)>0， 得f (m )>－f (m －1)， 即f (1－m )<f (m )．又∵f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数， ∴f (x )在[－2,2]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，1－m >m ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m <12，解得－1≤m <12.8．(2016·辽宁大连质检)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0 ，＋∞)上是增函数． ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．[B 级 能力突破]1．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－12解析：∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.答案：A2．(2015·高考山东卷)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－32x －12x－1＞0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.答案：C3．(2016·辽宁五校联考)规定[x ]表示不超过x 的最大整数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ∈－∞，0x －[x ]，x ∈[0，＋∞，若方程f (x )＝ax ＋1有且仅有四个实数根，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－14D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，－15解析：将方程f (x )＝ax ＋1有且仅有四个实数根的问题转化为分析两个函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋1的图像交点问题．当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是以1为周期的函数，且f (x )＝x －k ，x ∈[k ，k ＋1)(k ∈N )，当x ∈(－∞，0)时，f (x )是指数型函数，将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像向下平移2个单位，则过点(0，－1)，如图所示，而y ＝ax ＋1为恒过定点(0,1)，斜率为a 的直线．由图可知，当直线介于图中两条直线l 1，l 2之间时满足题意．显然直线l 1与函数图像的交点个数为4，直线l 2与函数图像的交点个数为5，又k 1＝－12，k 2＝－13，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－13.答案：B4．(2016·荆门调研)定义在R 上的函数f (x )，对任意x 均有f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)且f (2 016)＝2 016，则f (2 028)＝__________.解析：∵x ∈R ，f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)， ∴f (x ＋4)＝f (x ＋2)－f (x )＝－f (x －2)， ∴f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f (x )， 则函数f (x )是以12为周期的函数． ∵f (2 016)＝2 016，∴f (2 028)＝f (2 028－12)＝f (2 016)＝2 016. 答案：2 0165．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图像关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图像如图所示，由f (x －1)>0，得－2＜x －1＜2，即－1＜x ＜3.答案：(－1,3)6．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定：其中正确命题的序号为________．①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数； ③f (x )的图像关于x ＝1对称； ④f (x )的图像关于x ＝2对称． 解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－(－f (x ＋2＋2))＝f (x ＋4)， 即f (x )的周期为4，②正确．∴f (4)＝f (0)＝0(∵f (x )为奇函数)，即①正确， 又∵f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )， ∴f (x )的图像关于x ＝1对称，∴③正确，又∵f(1)＝－f(3)，当f(1)≠0时，显然f(x)的图像不关于x＝2对称，∴④错误．答案：①②③7．(2016·广东湛江月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x ＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)求f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)的值．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1，f(4)＝0.又f(x)是周期为4的函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝0.∴f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝0.。
【配套K12】高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课时提升作业理
课时提升作业六函数的奇偶性与周期性(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·福州模拟)若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则一定成立的是( )A.函数f(g(x))是奇函数B.函数g(f(x))是奇函数C.函数f(f(x))是奇函数D.函数g(g(x))是奇函数【解析】选C.由题意得,函数f(x),g(x)满足f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),则有f(g(-x))=f(g(x)),g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),g(g(-x))=g(g(x)),故f(f(x))是奇函数.2.(2016·郑州模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是( )A.y=log2|x|B.y=cos2xC.y=D.y=log2【解析】选A.对于A,函数y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数;对于B,函数y=cos2x在区间(1,2)上不是增函数;对于C,函数y=不是偶函数;对于D,函数y=log2不是偶函数.【加固训练】(2016·大连模拟)下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( )A.y=-B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合,只有选项C符合要求.3.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2017)+f(2018)的值为( )A.-2B.-1C.0D.1【解析】选D.因为函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),又函数的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f((2+x)+2)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的周期为4.又函数的图象关于x=1对称,所以f(0)=f(2),所以f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=21-1+20-1=1.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.4.(2016·九江模拟)已知定义在R上的偶函数f(x),在x≥0时,f(x)=e x+ln(x+1),若f(a)<f(a-1),则a的取值范围是( )A.(-∞,1)B.C. D.(1,+∞)【解析】选B.根据题中所给的函数解析式,可知函数在[0,+∞)上是增函数,根据偶函数图象的对称性,可知函数在(-∞,0]上是减函数,所以f(a)<f(a-1)等价于|a|<|a-1|,解得a<.【加固训练】(2016·唐山模拟)f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+ln(1+x).则当x<0时,f(x)= ( )A.-x3-ln(1-x)B.x3+ln(1-x)C.x3-ln(1-x)D.-x3+ln(1-x)【解析】选 C.当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),因为f(x)是R上的奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)],所以f(x)=x3-ln(1-x).5.(2016·深圳模拟)若函数f(x)=为奇函数,则a= ( )A. B. C. D.-【解析】选A.因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f(x)==,所以=,所以-(1-2a)=1-2a,所以1-2a=0,所以a=.【一题多解】本题还可以采用如下解法方法一:选A.由已知f(x)为奇函数得f(-1)=-f(1),即=,所以a+1=3(1-a),解得a=.方法二:选A.因为f(x)的分子是奇函数,所以要使f(x)为奇函数,则它的分母必为偶函数,所以1-2a=0,所以a=.方法三:选A.因为f(x)为奇函数,且-不在f(x)的定义域内,故也不在f(x)的定义域内,所以-a=0,所以a=.【方法技巧】利用函数的奇偶性求参数的思路利用函数的奇偶性的定义转化为f(-x)=±f(x),建立方程,使问题得到解决,但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦,为了使解题更快,可采用特值法.【加固训练】1.(2016·衡水模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(0)=-1,且对任意x∈R,有f(x)=-f(2-x)成立,则f(2015)的值为( )A.1B.-1C.0D.2【解析】选C.由函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=-f(2-x)可知函数f(x)是周期为4的周期函数,令x=1得,f(1)=-f(2-1)=-f(1),所以f(1)=0,所以f(2015)=f(4×504-1)=f(-1)=f(1)=0.2.(2016·天水模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2018)的值为( )A.2B.0C.-2D.±2【解析】选A.因为g(-x)=f(-x-1),所以-g(x)=f(x+1).又g(x)=f(x-1),所以f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2018)=f(2)=2.3.(2016·秦皇岛模拟)函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为( )A.{x|x>2或x<-2}B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4}【解析】选C.由题意可知f(-x)=f(x),即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)·(ax+b),(2a-b)·x=0恒成立,故2a-b=0,即b=2a.则f(x)=a(x-2)(x+2).又函数在(0,+∞)上单调递增,所以a>0.f(2-x)>0,即ax(x-4)>0,解得x<0或x>4.4.(2014·湖南高考)若f=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .【解析】由偶函数的定义得f=f,即ln-ax=ln+ax,-3x=2ax,a=-.答案:-二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lnx,则f的值为.【解析】由已知可得f=ln=-2,所以f=f(-2).又因为f(x)是奇函数,所以f=f(-2)=-f(2)=-ln2.答案:-ln2【加固训练】已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)= .【解析】根据题意,f(x)==1+,而h(x)=是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-=.答案:7.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x≤1时,f(x)=2x-1,则f+f(1)+f+f(2)+f= .【解析】依题意知,函数f(x)为奇函数且周期为2,所以f+f(1)+f+f(2)+f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)-f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.答案:8.(2016·合肥模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m 的取值范围是.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数.所以解得-1≤m<.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2014·山东高考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( )A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知,f关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是( )A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.因为2⊗x=,x⊕2=,所以f(x)===,该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.2.(5分)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f= ( )A.-1B.0C.1D.2【解题提示】利用函数g(x)=ln(-3x)的奇偶性求解.【解析】选D.设g(x)=ln(-3x)=f(x)-1,g(-x)=ln(+3x)=ln=-g(x).所以g(x)是奇函数,所以f(lg2)-1+f-1=g(lg2)+g=0,因此f(lg2)+f=2.3.(5分)(2016·长沙模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数,若函数y=f(x+1)为偶函数,且当x≥1时,有f(x)=1-2x,则f,f,f的大小关系是.【解析】因为函数y=f(x+1)为偶函数,图象的对称轴为y轴,把y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(x)的图象,所以函数y=f(x)的图象的对称轴为x=1.又已知当x≥1时,有f(x)=1-2x,此时f(x)为减函数,所以当x<1时,f(x)为增函数,所以f>f>f.答案:f>f>f4.(12分)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值.(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.(3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),即f(1+x)=f(1-x).从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.设当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).5.(13分)已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数.(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0.(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.【解析】(1)若x1+x2=0,显然不等式成立.若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1,同理可证f(x1)+f(x2)<0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.综上所述,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.(2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得即解得0≤a<1.故所求实数a的取值范围是[0,1).。
高考数学一轮复习 第二章函数2.4《指数与指数函数》收尾精炼 理 新人教A版.pdf
2014届高考一轮复习收尾精炼：指数与指数函数 一、选择题 1．若函数f(x)＝则f(log43)等于( )． A. B．3 C. D．4 2．函数f(x)＝3·4x－2x在x[0，＋∞)上的最小值是( )． A．－ B．0 C．2 D．10 3．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是( )． 4．设a＝40.8，b＝80.46，c＝－1.2，则a， b，c的大小关系为( )． A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 5．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )． A．f＜f＜fB．f＜f＜f C．f＜f＜fD．f＜f＜f 6．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1在x(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是( )． A．2－2＜m＜2＋2 B．m＜2 C．m＜2＋2 D．m≥2＋2 7．已知f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x≤0时，f(x)＝2x.若n∈N*，an＝f(n)，则a2 013等于( )． A．2 013 B． 2 C． D．－2 二、填空题 8．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为__________． 9．已知f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)，且f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值是__________． 10．(2013届湖南长沙一中月考)已知函数f(x)＝则使得f(x)＞1的x的取值范围是__________． 三、解答题 11．函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当xM时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值． 12．已知函数f(x)＝2x－. (1)若f(x)＝2，求x的值； (2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．一、选择题 1．B 解析：∵0＜log43＜1， ∴f(log43)＝＝3. 2．C 解析：设t＝2x， ∵x∈[0，＋∞)，∴t≥1. ∵y＝3t2－t(t≥1)的最小值为2， ∴函数f(x)的最小值为2. 3．B 解析：y＝a|x|＝ 当x≥0时，与指数函数y＝ax(a＞1)的图象相同； 当x＜0时，y＝a－x与y＝ax的图象关于y轴对称，由此判断B正确． 4．A 解析：∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝－1.2＝21.2,1.6＞1.38＞1.2，y＝2x为R上的增函数，∴a＞b＞c. 5．B 解析：利用对称性，三点到直线x＝1距离越远函数值越大． 6．C 解析：(方法一)令t＝3x，则问题转化为函数g(t)＝t2－mt＋m＋1在t∈(1，＋∞)上的图象恒在x轴的上方， 即Δ＝(－m)2－4(m＋1)＜0或 解得m＜2＋2. (方法二)令t＝3x，问题转化为m＜，t∈(1，＋∞)， 即m比函数y＝，t∈(1，＋∞)的最小值还小， 又y＝＝t－1＋＋2 ≥2＋2＝2＋2， 所以m＜2＋2. 7．C 解析：设2＋x＝t，∴x＝t－2. ∴f(t)＝f[2－(t－2)] ＝f(4－t)＝f(t－4)． ∴f(x)的周期为4. ∴a2 013＝f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝. 二、填空题 8．m＜n 解析：a＝∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减，由f(m)＞f(n)得m＜n. 9．12 解析：f(1)＝a＋a－1＝3， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝a0＋a0＋a1＋a－1＋a2＋a－2＝2＋3＋(a＋a－1)2－2＝12. 10．(－2,0]∪(2，＋∞) 解析：由或 得－2＜x≤0或x＞2. 三、解答题 11．解：由3－4x＋x2＞0，得x＞3或x＜1， ∴M＝{x|x＞3或x＜1}． f(x)＝－3×(2x)2＋2x＋2 ＝－32＋. ∵x＞3或x＜1，∴2x＞8或0＜2x＜2， ∴当2x＝，即x＝log2时，f (x)最大，最大值为，f(x)没有最小值． 12．解：(1)当x＜0时，f(x)＝0； 当x≥0时，f(x)＝2x－. 由条件可知2x－＝2， 即22x－2×2x－1＝0， 解得2x＝1±. ∵2x＞0，∴x＝log2(1＋)． (2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1)． ∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)． ∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]． 故m的取值范围是[－5，＋∞)．。
2020届高考数学一轮复习第二章函数2.4指数与指数函数教师用书(PDF,含解析)
答案 (１)Ｃ (２)Ｄ
１－１ 已知定义在 Ｒ 上的奇函数 ｆ( ｘ) 和偶函数 ｇ( ｘ) 满足 ｆ( ｘ) ＋ｇ( ｘ) ＝ ａｘ －ａ－ｘ ＋２( ａ>０ꎬ且 ａ≠１) ꎬ若 ｇ(２) ＝ ａꎬ则 ｆ(２) 等于
( )
Ａ.２
１５ Ｂ. ４
１７ Ｃ. ４
Ｄ.ａ２
１－１ 答案 Ｂ 解析 因为 ｆ( ｘ) ＋ｇ( ｘ)＝ ａｘ －ａ－ｘ ＋２ꎬ①
(２) 作出函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ) 的图象ꎬ如图所示.
由 ｆ ２( ｘ) －ａｆ( ｘ) ＝ ０ꎬ得 ｆ( ｘ) ＝ ０ 或 ｆ( ｘ) ＝ ａ.显然 ｆ( ｘ) ＝ ０ 只
有 １ 个实数根ꎬ因此只需 ｆ( ｘ) ＝ ａ 有 ２ 个不同的实根即可. 利用
图象可得实数 ａ 的取值范围是[１ꎬ＋∞ ).
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
②ａ
－
ｍ ｎ
＝１ ｍ ａｎ
＝
ｎ
１ ａｍ
(
ａ>
０ꎬｍ、ｎ∈Ｎ∗
ꎬｎ>
１)
.
( ３) 有理数指数幂的运算性质
①ａｒ ������ａｓ ＝ ａｒ＋ｓ( ａ>０ꎬｒ、ｓ∈Ｑ) ꎻ
②( ａｒ ) ｓ ＝ ａｒｓ( ａ>０ꎬｒ、ｓ∈Ｑ) ꎻ
③( ａｂ) ｒ ＝ ａｒ ｂｒ( ａ>０ꎬｂ>０ꎬｒ∈Ｑ) .
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第一讲函数的概念及其表示课件
即
b≤23，则
4，解得
b＝12.
答案：D
(2)已知函数 f(x)＝x2＋x，1x，>0x，≤0， 则满足 f(x)＋fx－12>1 的 x 的取值范围是________.
解析：当 x≤0 时，f(x)＋fx－12＝(x＋1)＋x－12＋1＝2x＋32>1， 解得－14<x≤0；
考点一 求函数的定义域 考向 1 具体函数的定义域 通性通法：求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函 数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组 求解.对于实际问题，定义域还应使实际问题有意义. 熟记常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于 0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.
对于函数φ(x)＝ln x，它的图象(图略)只经过整点(1，0)，所以 它是一阶整点函数.故选 AD.
答案：AD
【反思感悟】本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数 学运算、直观想象等核心素养.破解新定义函数题的关键是紧扣新 定义函数的概念，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问
B.(－8，－2)∪(－2，1] D.－92，－2
解析：∵f(x)的定义域为[－8，1]，∴－ x＋82≤≠20x＋ ，1≤1， 解得 －92≤x≤0，且 x≠－2.∴g(x)的定义域为－92，－2∪(－2，0].
答案：C
考点二 求函数的解析式 [例 3](1)已知 f(x＋1)＝x2－1，求 f(x)的解析式. 解：f(x＋1)＝x2－1＝(x＋1)2－2x－2＝(x＋1)2－2(x＋1). 可令t＝x＋1，则有f(t)＝t2－2t.故f(x)＝x2－2x.
考向 2 抽象函数的定义域 通性通法：求抽象函数定义域的方法
高考数学一轮复习第二章函数2.4指数与指数函数课件文北师大版
考点(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键
点:(1,a),(0,1),
1
-1,
.
2.与指数函数有关的函数图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,
通过平移、对称变换得到其图像.
3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像
3.指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此,应用指数函数的
单调性解题时,当底数a不确定时,应分a>1和0<a<1两种情况进行讨论.
第九页，共27页。
-10
-10考点
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)3
考点(kǎo
diǎn)2
考点 1
指数幂的化简与求值
例 1 求值与化简:
4
(1)化简 16x8 y4 (x<0,y<0)得(
减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的图象的基础上向左平移
得到的,所以b<0.故选D.
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图可知,若|y|=2x+1与
直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
第十四页，共27页。
15--15
考点(kǎo
<8,即
例 4 设函数 f(x)=
是(
1
2
2
1 A.(
1 -3
-∞,-3)
B.(1,+∞)
<
,
2 C.(-3,1)
高考数学一轮复习专题2.4指数与指数函数(讲)(2021年整理)
（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.4 指数与指数函数（讲）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.4 指数与指数函数（讲））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.4 指数与指数函数（讲）的全部内容。
第04节指数与指数函数【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测指数幂的运算1。
了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算。
2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用。
3.了解指数函数的变化特征.2014•浙江文8；理7;2015•浙江理12；2016•浙江文7；理12;2017•浙江5。
2018•浙江5,14，20；1.指数幂的运算;2。
指数函数的图象和性质的应用；3。
除小题单独考查外,在大题中考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等4。
备考重点：（1）有理指数幂的运算；（2)指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类讨论问题.指数函数的图象和性质【知识清单】1.根式和分数指数幂1。
根式(1)概念:式子错误!叫做根式,其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
(2）性质:（错误!）n＝a(a使错误!有意义）；当n为奇数时，错误!＝a，当n为偶数时，错误!＝｜a｜＝错误!2.分数指数幂(1）规定:正数的正分数指数幂的意义是a错误!＝错误!(a>0，m，n∈N＊，且n>1）;正数的负分数指数幂的意义是a－错误!＝错误!(a〉0，m，n∈N＊，且n>1）;0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.（2)有理指数幂的运算性质:a r a s＝a r＋s;（a r）s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b〉0，r，s∈Q。
高考数学复习第二章函数2.4指数与指数函数文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
(6)在(-∞,+∞)上
是 增函数
;
(5)当 x>0 时, 0<y<1 ;
当 x<0 时, y>1
(7)在(-∞,+∞)上
是 减函数
4/28
-5知识梳理
双基自测
1
自测点评
2
3
4
5
1.以下结论正确打“ ”,错误打“×”.
4
(1) (-4)4 =π-4. (
)
(2) 与( )n 都等于 a(n∈N*). (
(-y) 4 =2(-x)2(-y)=-2x2y.
3 3 -3
2×42 2 2
(2)原式= 8 3 3
(1)D (2)5102 -2
=
关闭
8
.
5
关闭
解析
答案
11/28
-12考点1
考点2
考点3
解题心得指数幂运算普通标准:
(1)有括号先算括号里.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂倒数.
因为 f(x)的定义域为 R,f(-x)=3 -x
f(x)是奇函数.又 y=3 和 y=x
关闭
1 -
3
=
1 x
-3 =-f(x),所以函数
3
1
在 R 上都为增函数,所以函数 f(x)
3
在 R 上是增函数.故选 B.
关闭
B
解析
答案
7/28
-8知识梳理
双基自测
自测点评
1
2
3
4
5
4.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与
2020版高考数学一轮复习第二章函数2.4指数函数与对数函数教师用书(PDF,含解析)
２５，从而
３ｙ
＝
３ｌｎ ２ ｌｎ ３
＝
ｌｎ ｌｎ
２３ ３
＜
ｌｎ ｌｎ
９ ３
＝
２，５ｚ
＝
５ｌｎ ｌｎ
２ ５
＝
ｌｎ ｌｎ
２５ ５
＞
２，则
３ｙ＜
２ｘ
＜
５ｚ．
解法二（ 数形结合法） ：由 ２ｘ ＝ ３ｙ ＝ ５ｚ ，可设（ ２ ） ２ｘ ＝ （ ３ ３ ） ３ｙ ＝
（ ５ ５ ） ５ｚ ＝ ｔ．因为 ｘ，ｙ，ｚ 为正数，所以 ｔ＞ １． 因为 ２ ＝ ６ ２３ ＝ ６ ８ ， ３ ３ ＝
ａ≠１，ｍ，ｎ∈Ｒ，ｎ≠０）
对数的 重要公式
ａｌｏｇａＮ ＝ Ｎ；ｌｏｇａ ａＮ ＝ Ｎ（ ａ＞０ 且 ａ≠１，Ｎ＞０）
２．对数函数的图象与性质
ａ＞１
０＜ａ＜１
图 象
定义域：（０，＋∞ ）
值域：Ｒ
性
过点（１，０） ，即 ｘ ＝ １ 时，ｙ ＝ ０
质 当 ｘ＞１ 时，ｙ＞０；
当 ｘ＞１ 时，ｙ＜０；
ｍ
ａｎ ＝
ｎ ａｍ （ ａ＞０，ｍ，ｎ∈Ｎ∗ ，ｎ＞１） ．
ห้องสมุดไป่ตู้
（ ２） 正数的负分数指数幂：
ａ
－
ｍ ｎ
＝１ ｍ ａｎ
＝
ｎ
１ ａｍ
（
ａ＞
０，ｍ，ｎ∈Ｎ∗
，ｎ＞
１）
．
（３）０ 的正分数指数幂是 ０，０ 的负分数指数幂无
意义
有理数指数 幂的运算性质
（１） ａｒ ａｓ ＝ ａｒ＋ｓ（ ａ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ） ． （２） （ ａｒ ） ｓ ＝ ａｒｓ（ ａ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ） ． （３） （ ａｂ） ｒ ＝ ａｒ ｂｒ（ ａ＞０，ｂ＞０，ｒ∈Ｑ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 1 - 课时提升作业 七 指数函数 (25分钟 50分) 一、选择题(每小题5分,共35分) 1.(2016·宜春模拟)已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于 ( ) A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】选B.因为f(x)=2x+2-x,f(a)=3,所以2a+2-a=3.所以f(2a)=22a+2-2a=(2a+2-a)2-2=9-2=7. 2.(2016·长沙模拟)下列函数中值域为正实数的是 ( )
A.y=-5x B.y=
C.y= D.y= 【解析】选B.A中,y=-5x≤0,B中,因为1-x∈R,y=的值域是正实数,所以y=的值域是正实数,C中,y=≥0,D中,y=,由于2x>0,故1-2x<1,又1-2x≥0,故0≤y<1,故符合条件的只有B. 3.函数y=2x-2-x是 ( ) A.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 C.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 D.偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 【解析】选A.令f(x)=2x-2-x,则f(-x)=2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,排除C,D. 又函数y=-2-x,y=2x均是R上的增函数, 故y=2x-2-x在R上为增函数. 4.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 【解析】选A.由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.
5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 ( ) 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 2 - A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]
【解析】选B.由f(1)=得a2=.又a>0, 所以a=,因此f(x)=. 因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
6.函数y=+1的图象关于直线y=x对称的图象大致是 ( )
【解析】选A.由题意知,函数y=+1的图象过点(0,2),关于直线y=x对称的图象一定过(2,0)这个点.由于原函数为减函数,故所求函数也为减函数,由此可以排除B,C,D. 7.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}= ( ) A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2} 【解析】选B.f(x)为偶函数, 当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-4.
所以f(x)= 当f(x-2)>0时, 有或 解得x>4或x<0. 二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2016·太原模拟)计算:(·)6-4-·80.25-(-2017)0= . 【解析】原式=·-4×-·-1=22·33-7-2-1=98. 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 3 - 答案:98 9.已知函数f(x)=a2x-4+n(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(m,2),则m+n= . 【解析】当2x-4=0,即x=2时,y=1+n,即函数图象恒过点(2,1+n),又函数图象恒过定点P(m,2),所以m=2,1+n=2,即m=2,n=1,所以m+n=3. 答案:3 【加固训练】已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为 ( ) A.[9,81] B.[3,9] C.[1,9] D.[1,+∞) 【解析】选C.由f(x)过定点(2,1)可知b=2,因f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.可知C正确.
10.(2016·广州模拟)已知0≤x≤2,则y=-3·2x+5的最大值为 . 【解析】令t=2x,因为0≤x≤2,所以1≤t≤4,又y=22x-1-3·2x+5,所以y=t2-3t+5=(t-3)2+,因为1≤t≤4,所以t=1时,ymax=. 答案: 【误区警示】解决本题易忽视换元后新元的取值范围致误,如本题令t=2x后,若忽视t的取值范围,则会误认为t∈R或t∈[0,2],从而出现错误. 【加固训练】已知函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,则m的取值范围为 .
【解析】设t=3x,则y=9x+m·3x-3=t2+mt-3.因为x∈[-2,2],所以t∈.又函数y=9x+m·3x-3在区间[-2,2]上单调递减,即y=t2+mt-3在区间上单调递减,故有-≥9,解得m≤-18.所以m的取值范围为(-∞,-18]. 答案:(-∞,-18]
(20分钟 35分) 1.(5分)(2016·保定模拟)已知2x=7y=k,-=4,则k的值是 ( )
A. B. C. D. 【解析】选B.由题意x=log2k,y=log7k,所以-=-=logk2-
logk7=logk=4,k4=,k=. 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 4 - 【加固训练】(2016·南昌模拟)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有 ( )
A.fC.f【解题提示】根据f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x)=f(2-x),由此可把f,f转化为[1,+∞)上的函数值. 【解析】选B.由已知条件可得f(x)=f(2-x).
所以f=f,f=f. 又因为f(x)=3x-1在[1,+∞)上递增, 所以f>f>f. 即f>f>f. 【方法技巧】比较函数值大小的方法 (1)单调性法:先利用相关性质,将待比较函数值调节到同一单调区间内,然后利用该函数在该区间上的单调性比较大小. (2)图象法:先利用相关性质作出函数的图象,再结合图象比较大小.
2.(5分)已知函数f(x)=2x-,函数g(x)=则函数g(x)的最小值是 . 【解析】当x≥0时,g(x)=f(x)=2x-为单调增函数,所以g(x)≥g(0)=0;当x<0时,g(x)=f(-x)=2-x-为单调减函数,所以g(x)>g(0)=0,所以函数g(x)的最小值是0. 答案:0
3.(12分)已知函数f(x)=. (1)若a=-1,求f(x)的单调区间. (2)若f(x)有最大值3,求a的值. (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
【解析】(1)当a=-1时,f(x)=, 令g(x)=-x2-4x+3, 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 5 - 由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减, 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).
(2)令g(x)=ax2-4x+3,f(x)=, 由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,
因此必有 解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1. (3)由指数函数的性质知,
要使f(x)=的值域为(0,+∞), 应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0.
4.(13分)(2016·珠海模拟)已知函数f(x)=1-(a>0且a≠1)是定义在 (-∞,+∞)上的奇函数. (1)求a的值. (2)求函数的值域. (3)当x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2恒成立,求实数t的取值范围. 【解题提示】由f(0)=0求a,借助ax的范围求值域,借助二次函数恒成立的知识求t的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,
所以f(0)=0,即1-=0.解得a=2. (2)因为y=f(x)=,所以2x=.由2x>0知>0, 所以-1即f(x)的值域为(-1,1). (3)不等式tf(x)≥2x-2等价于
≥2x-2,即(2x)2-(t+1)2x+t-2≤0. 令2x=u,因为x∈(0,1],所以u∈(1,2]. 又u∈(1,2]时,u2-(t+1)u+t-2≤0恒成立. 教育是最好的老师，小学初中高中资料汇集 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰- 6 - 所以解得t≥0. 故所求t的取值范围为[0,+∞). 【方法技巧】求解与指数函数有关的复合函数问题的策略 (1)首先熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. (2)对于同时含ax,a2x的表达式,通常可以令t=ax进行换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元后转化为我们熟悉的一元二次关系.