一元二次方程韦达定理、根与系数的关系练习+答案
21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系
是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x 2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
22.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 2 4ac
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
0 有两个不相等的实数根 0 有两个相等的实数根 0 没有实数根
2
1
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
2
b 求证： x1 x2 a
2
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
1 ∴两根之积2m10 m 且 0,
∴
2 1 m时 ,方程有一根为零. 2
利用根与系数关系解答一元二次方程有关问题的思路要领.
利用根与系数关系解答一元二次方程有关问题的思路要领在学完根与系数关系，做了一些基本练习后，再选做一些稍有一定难度的、有一定综合性和灵活性的题目，对于发展自己的解题能力，提高自己的数学水平是非常有益处的。
做这类题目时，先应立足于独立思考，再把自己的解答与同伴交流，或交于老师批阅；当再思不得其解时，可请教教师或同学，彻底弄清其中的道理，明晰思维受阻原因，领会思路、方法与策略。
下面例说利用根与系数关系解答有关问题的思路要领，希望对同学们学习这块内容有所启发。
题1 当a 取什么数值时，关于未知数x 的方程ax 2＋4x-1=0只有正数根？（02年广州市中考题）做题时要先读题，读懂题，因而首先要学会观察，理解题目的叙述所表达的准确意义。
这里，从形式上看ax 2＋4x-1=0是二次方程，但题目中却只是说“关于未知数x 的方程”，这其中隐含的意义是什么呢？这是审题时必须意识到的。
其实即是要分两种情况来讨论：一是a ＝0的情形，一是a ≠0的情形。
当a ＝0时，41=x ，符合题意；当a ≠0时，ax 2＋4x-1=0是二次方程，这时，要使它只有正数根，有两层含义：①有根存在；②根是正的，即要求根的判别式△≥0，x 1x 2＞0， x 1＋x 2＞0（这里x 1、x 2分别表示此方程的两个根）。
即有42- 4a(-1)≥0，04,01>->-aa ，解得－4≤a ＜0。
综合a ＝0和 a ≠0两种情况，知当－4≤a ≤0时，方程ax 2＋4x-1=0只有正数根。
当然，对于也可以由根的判别式和求根公式进行分析得出结果，有兴趣的同学可自己完成。
这里，值得提醒同学们注意的是在运用韦达定理（即根与系数间的关系）解题时，常要与根的判别式联系起来考虑。
题2 已知：关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的两个实数根是x 1,x 2，且（x 1-x 2）2=16。
如果关于x 的另一个方程x 2-2mx+6m －9=0的两个实数根都在x 1和x 2之间，求m 的值。
根与系数的关系(韦达定理)练习题 (2)
一元二次方程根与系数的关系练习题一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=02．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=03．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．124．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．35．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣16．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣27．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m28．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．1759．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．810．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．201111．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．012．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．201013．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣414．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013二．填空题（共5小题）15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=_________．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是_________．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为_________．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为_________．三．解答题（共11小题）20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m 的值．21．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．28．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．解答：解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程无根；故本选项错误；C、∵x1+x2=1；故本选项错误；D、∵x1+x2=2；故本选项正确；故选D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求解即可．解答：解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α?β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选：B．点评：此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1?x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1?x2=﹣2代（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．故选A．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：由a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根据问题的需要，灵活变形．解答：解：把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=﹣3．∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1?x2=．6．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：由两根之和的值建立关于a的方程，求出a的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积．解答：解；由题意知x1+x2=a=4a﹣3，∴a=1，∴x1x2=﹣2a=﹣2．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误．7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2考点：根与系数的关系．分析：设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系，整理即可得到正确的答案；解答：解：∵方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍，∴设一根为a，则另一根为3a，由根与系数的关系，得：a?3a=n，a+3a=﹣m，整理得：3m2=16n，故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大．8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．175考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0①，又由韦达定理知a?b=7②；所以，根据①②来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可．解答：解：∵a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，∴a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0，∴a2+ma+7﹣5a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+7﹣5b=0，即b2+mb+7=5b；又由韦达定理，知a?b=7；∴（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25a?b=25×7=175．故选D．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．解答：解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；故选D．点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由于m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果解答：解：∵m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，∴m2+m=2011，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．0考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算．解答：解：由题意有x12+x1﹣3=0，x22+x2﹣3=0，即x12=3﹣x1，x22=3﹣x2，所以x13﹣4x22+19=x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19=3x1﹣=3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=﹣1，所以原式=4×（﹣1）+4=0．故选D．点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简．求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3﹣x1，x22=3﹣x2．12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则代数式（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：首先根据方程的解的定义，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，则有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解．解答：解：∵m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．故选C．点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的定义，将x1、x2分别代入原方程，求得x12=﹣x1+1、x22=﹣x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=﹣1；最后将其代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，∴x12+x1﹣1=0，即x12=﹣x1+1；x22+x2﹣1=0，即x22=﹣x2+1；又根据韦达定理知x1?x2=﹣1∴（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）=﹣2x1?（﹣2x2）=4x1?x2=﹣4；故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，∴m2﹣m﹣2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知，m+n=1，∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）15．（2014?广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2﹣x1x2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m2﹣m+﹣）+2=3（m﹣）2+；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．16．（2013?江阴市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=﹣5．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1?x2的值，再整体代入即可求解．解答：解：根据根与系数的关系可得，x1?x2=﹣1，x1+x2=﹣23．则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=﹣2﹣3=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1?x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是1．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值．解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a2﹣2a+2．x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2a）2﹣2（a2﹣2a+2）=2a2+4a﹣4=2．解a2+2a﹣3=0，得a1=﹣3，a2=1．又方程有两实数根，△≥0即（2a）2﹣4（a2﹣2a+2）≥0．解得a≥1．∴a=﹣3舍去．∴a=1．点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为﹣．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系可知，两根之和等于﹣，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出a，b和c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值．解答：解：由2x2+3x﹣1=0，得到：a=2，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=9+8=17＞0，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和x2，则x1+x2=﹣；由x2﹣5x+7=0，找出a=1，b=﹣5，c=7，∵b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，∴此方程没有实数根．综上，两方程所有的实数根的和为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为﹣4．考点：根与系数的关系．分析：由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．解答：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，∴m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，∴mn﹣（m+n）+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．三．解答题（共11小题）20．（2004?重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．解答：解：由判别式大于零，得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3，m2=1．∵m2=1＞，故舍去．∴m=﹣3．点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用．21．（1998?内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和．即可确定m的取值情况．解答：解：设原方程的两根为x1、x2，则有：，∴．又∵，∴m2﹣20=29，解得m=±7，∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=（±7）2﹣40=9＞0∴存在实数±7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决．容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式△．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？考点：根与系数的关系．分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入上面两个式子，消去x1和x2，整理得：4k2﹣k=0，解得k=0或k=，当k=0时，显然不合题意，当k=时，其判别式△=1≥0，所以当k=时，方程两根之比为1：3．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程，注意检验是否满足判别式大于0．23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可．解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程：（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=25，整理可得：m2﹣3m﹣4=0，解得m=4或m=﹣1，当m=4或m=﹣1一元二次方程的判别式都大于0，但当m=﹣1时，ab=﹣8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），所以m=4．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于m的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．解答：解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令y=，则y==（2k﹣1）2﹣2（1+k2）=2k2﹣4k﹣1=2（k﹣1）2﹣3，其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=﹣7＜0，所以没有满足△≥0的k的值，所以该题目无解．点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，可求出x1+x2，x1?x2的值，再结合x1﹣x2=2，可求出k的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定k的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣（2k﹣1），x1?x2==﹣2k，又∵x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=22，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，∴（2k+1）2=4，∴k1=，k2=﹣，又∵△=（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根，∴（2k+1）2＞0，∴k≠﹣，∴k1=，k2=﹣．点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（x1﹣1）（x2﹣1）=，即x1x2﹣（x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2﹣（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．解答：解：∵x1+x2=k，x1x2=k（k+4），∵（x1﹣1）（x2﹣1）=，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=，∴k（k+4）﹣k+1=，解得k=±3，当k=3时，方程为x2﹣3x+=0，△=9﹣21＜0，不合题意舍去；当k=﹣3时，方程为x2+3x﹣=0，△=9+3＞0，符合题意．故所求k的值为﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0．27．（2011?南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．专题：代数综合题；压轴题．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）解得k≤0．故K的取值范（4分）围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1（5分）x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．（7分）∵k为整数，∴k的值为﹣1和0．（8分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．28．（2012?怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．解答：解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，∴△=4a2﹣4（a﹣6）?a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，解得，a=24＞0；∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a ﹣6=1，∴a=12，9，8，7；∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．29．（2010?东莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．解答：解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程组，解得，∴m=x1?x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．30．（2005?福州）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．解答：解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．∴△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）=﹣4﹣8m．当﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣时．方程有两个实数根．（2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3．又∵m≤﹣，且m为整数．∴m的值为﹣2，﹣1．点评：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0，b2﹣4ac≥0），根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2=．。
一元二次方程试题及答案
一元二次方程根与系数的关系一、选择题1。
（2011•南通）若3是关于方程x2－5x＋c＝0的一个根,则这个方程的另一个根是（）A、﹣2B、2C、﹣5D、5分析:由根与系数的关系,即3加另一个根等于5,计算得．解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x=5，即x=2．故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得．2。
（2011南昌,9，3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（）A.1B.2 C。
﹣2 D.﹣1分析：根据根与系数的关系得出x1x2==﹣2，即可得出另一根的值．解答:解：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴x1x2==﹣2,∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C．点评:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．3。
（2011湖北荆州，9，3分）关于x的方程ax2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1－x1x2+x2=1－a，则a的值是()A、1B、－1C、1或－1D、2分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=－ba，x1x2= ca，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2－8a(a+1)＞0，即a2－2a+1＞0,（a－1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2－（3a+1)x+2（a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1－x1x2+x2=1－a，∴x1－x1x2+x2=1－a，∴x1+x2－x1x2=1－a，∴ 3a+1a－2a+2a=1－a，解得:a=±1，又a≠1，∴a=－1．故选：B．点评:此题主要考查了根与系数的关系,由x1－x1x2+x2=1－a，得出x1+x2－x1x2=1－a是解决问题的关键．4.（2011湖北咸宁，6,3分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A、﹣3B、﹣1C、1D、3分析：设方程另一个根为x1,根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1)=2，解此方程即可．解答：解:设方程另一个根为x1,∴x1+(﹣1）=2，解得x1=3．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣,x1•x2=．5.（2011•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1,则另一个根为(）A、1B、﹣1C、2D、﹣2分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解:设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根，∴由韦达定理，得x1•x2=﹣2，即﹣x2=﹣2，解得，x2=2．即方程的另一个根是2．故选C．点评:此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时,要注意等式中的a、b、c所表示的含义．6。
苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程第3讲根的判别式与韦达定理(含答案)
中考要求知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题例题精讲板块一根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到2224(24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．根的判别式与韦达定理②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根．⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=21x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的根的情况（）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根【解析】方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca=---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．1k <B ．0k ≠C ．10k k <≠且D ．1k >【解析】由题可得36360k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】2400k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =；⑵当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =．【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，．【答案】1，2，3【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤．又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-．【答案】1a =，12b =-【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b ac b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+=∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>．方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为：224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二韦达定理☞如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-，求两根之和与两根之积【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得124422x x --+=-=，122x x ⋅=-=【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x ⑴12x x +=；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=+的值．【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ++++=++===+=☞利用韦达定理求参数的值【例10】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=【解析】略【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1-，则它的另一根等于，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =-代入原方程，求p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。
九年级上册第02讲_一元二次方程的根与系数的关系(教师版)
第02讲_一元二次方程的根与系数的关系知识图谱根与系数的关系知识精讲三点剖析一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；3．已知方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；5．逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0∆≥是否成立韦达定理例题1、若方程240x c -+=的一个根为2+，则方程的另一个根为______，c =______．【答案】2-，1c =【解析】根据韦达定理，124x x +=，因为12x =+22x =-(12221c x x =⋅=-=例题2、设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是．【答案】1k =【解析】由根与系数的关系得()1221x x k +=+，2122x x k ⋅=+．且有()()224142840k k k ∆=+-+=->，即12k >．所以()()12118x x ++=．从而2230k k +-=，解之得3k =-或1k =．又12k >，所以1k =．例题3、如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值．【答案】当a b =时，2b a a b +=；当a b ≠时，12522b a a b +=【解析】当a b =时，2b aa b+=；当a b ≠时，a 、b 为方程2130x x m -+=的两个根，所以13a b +=，则2a =，11b =或2b =，11a =．所以21112511222b a a b +=+=．例题4、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．【答案】（1）m≤4（2）﹣12【解析】（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，∴m≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，得：m=﹣12．例题5、已知关于x 的方程211300x x a -++=的两根都大于5，求a 的取值范围．【答案】104a <≤【解析】设1x ，2x 是方程的两根，1212121212(5)(5)5()250301112141200x x x x x x x x a x x a --=-++>⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪∆=--⎩≥，解得104a <≤．随练1、已知m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，那么m n +=_______．【答案】3【解析】由于m ，n 是有理数，并且方程20x mx n ++=2-，所以方程的另一个根是2-．由韦达定理知：(2)2)m -=-+，(2)2)n =-⨯∴4m =，1n =-，∴4mn =-，3m n +=．随练2、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+a=0的两个实数根，且x 12﹣x 22=10，则a=_____．【答案】214【解析】由两根关系，得根x 1+x 2=5，x 1•x 2=a ，由x 12﹣x 22=10得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）=10，若x 1+x 2=5，即x 1﹣x 2=2，∴（x 1﹣x 2）2=（x 1+x 2）2﹣4x 1•x 2=25﹣4a=4，∴a=214．随练3、如果实数,a b 分别满足222a a +=，222b b +=，求11a b+的值【答案】当a b ≠时，111a b +=；当a b =时，当1a b ==-+时，111a b +=+，当1a b ==--时，111a b+=-【解析】由题意知：,a b 为方程2220x x +-=的两个根，且0,0a b ≠≠，解方程2220x x +-=得：11x =-+21x =--⑴当a b ≠时，有2a b +=-，2ab =-，11212a b a b ab +-∴+===-；⑵当a b =时，方程的根为11x =-+21x =--当1a b ==-+时，1121a b a ∴+===；当1a b ==--时，1121a b a ∴+===-随练4、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【答案】-1【解析】有实数根，则△≥0，且22121216x x x x +=+，联立解得m 的值．依题意有：12212221212222(2)5164(2)4(5)0x x m x x m x x x x m m +=-+⎧⎪=-⎪⎨+=+⎪⎪∆=+--≥⎩由①②③解得：1m =-或15m =-，又由④可知m ≥94-∴15m =-舍去，故1m =-随练5、已知关于x 的方程24280x x m --+=的一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．【答案】52m >【解析】设1x ，2x 是方程的两根，且11x >，21x <，即110x ->，210x -<，因此1212121212(1)(1)()10284164(28)0x x x x x x x x m x x m --=-++<⎧⎪=-+⎪⎨+=⎪⎪∆=+->⎩，解得52m >．随练6、关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0的两个根，且x 12＋x 22＝8，求m 的值．【答案】（1）12m ＜（2）－1【解析】（1）∵一元二次方程x2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b 2－4ac ＝4－8m ＞0，解得：12m ＜∴m 的取值范围为12m ＜．（2）根据根与系数关系得：x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝2mx 12＋x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝4－4m ＝8，∴m ＝－1，当m ＝－1时，△＞0，∴m 的值为－1．拓展1、已知方程22240x mx m -+-=的一个解为1，则另一个解为__________，m =__________．【答案】0；2【解析】212mx +=，212x m ⋅=-，解得20x =，2m =．2、已知方程2230x mx -+=的两根的平方和为5，则m=__________．【答案】±【解析】设2230x mx -+=的两根分别为12,x x ，则12,2m x x +=123.2x x =而22222121212()23,35,44m m x x x x x x +=+-=-∴-=即232,m m =∴=±3、已知关于x 的一元二次方程x 2＋2（m ＋1）x ＋m 2－1＝0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足（x 1－x 2）2＝16－x 1x 2，求实数m 的值．【答案】（1）m≥－1（2）1【解析】（1）由题意得△＝[2（m ＋1）]2－4（m 2－1）≥0，整理得8m ＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m 的取值范围是m≥－1；（2）由两根关系，得x1＋x2＝－（2m ＋1），x 1•x 2＝m 2－1，（x 1－x 2）2＝16－x 1x 2（x 1＋x 2）2－3x 1x 2－16＝0，∴[－2（m ＋1）]2－3（m 2－1）－16＝0，∴m 2＋8m －9＝0，解得m ＝－9或m ＝1∵m≥1∴m ＝1．4、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1+2x 2=2，求实数m 的值．【答案】（1）m ≤4（2）m=﹣12【解析】（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；（2）∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2（x 1+x 2）+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．5、实数k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(23)(24)0x k x k --+-=．（1）有两个正根？（2）两根异号，且正根的绝对值较大？（3）一根大于3，一根小于3？【答案】（1）2k >（2）322k <<（3）72k >【解析】[]2(23)(24)0(1)(24)0x k x k x x k --+-=⇒---=，故1x =或24x k =-（1）若两根均为正，则240k ->，故2k >；（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，则0421k <-<，故322k <<；（3）由13<可知，72432k k ->⇒>．6、阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x 、2x ，则根与系数关系为：12b x x a +=-，12cx x a =．已知210p p --=，210q q --=，且1pq ≠，求1pq q +的值．【答案】1【解析】由210p p --=，210q q --=有0p ≠，0q ≠，又1pq ≠，所以1p q≠则210q q --=可变形为211(10q q --=．由210p p --=及1p q ≠，可知p 与1q是方程210x x --=的根，因此111pq p q q+=+=．。
专题05 根与系数关系的应用(解析版)
专题05 根与系数的关系问题考纲要求:1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.基础知识回顾:1.一元二次方程的概念及一般形式只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式：()200.ax bx c a ++=≠ 2.一元二次方程的四种解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法. 3.一元二次方程的根的判别式判别式24b ac ∆=-与方程的根的关系： Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； Δ＜0⇔方程没有实数根； 4.一元二次方程的根与系数的关系韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b cx x x x a a+=-= 应用举例:招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.【例1】若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．﹣2【答案】A【解析】解：根据题意得x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣2，所以（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝1+x 1+x 2﹣x 1x 2＝1+1﹣（﹣2）＝4．故选：A．【例2】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023 B．2021 C．2020 D．2019【答案】A【解析】∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，∴a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．招数二、已知关于两根关系式的值，求参数利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.【例3】若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3【答案】B【解析】α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m，∵+＝＝＝﹣，∴m＝﹣3；故选：B．【例4】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在【答案】A【解析】∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，∴，解得：m＞﹣1且m≠0，∵x 1、x 2是方程mx 2﹣（m+2）x+=0的两个实数根，∴x 1+x 2=，x 1x 2=，∵=4m ，∴=4m ，∴m=2或﹣1，∵m ＞﹣1，∴m=2， 故选A ．【例5】关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，则m n 的值为（ ） A ．﹣8 B ．8 C ．16 D ．﹣16 【答案】C【解析】∵关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1， ∴2m -=﹣1，2n=﹣2，∴m =2，n =﹣4， ∴m n =（﹣4）2=16．故选C ． 招数三、最值问题先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题.【例6】若t 为实数，关于x 的方程的两个非负实数根为a 、b ，则代数式的最小值是（ ）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．16 【答案】A【解析】∵a ，b 是关于x 的一元二次方程的两个非负实根，∴可得a +b =4，ab =t ﹣2，===，∵≥0，∴代数式的最小值是﹣15，故选A ．方法、规律归纳:1. 韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b cx x x x a a+=-= 2.常考的变形：12121211.x x x x x x ++=()2221212122.x x x x x x +=+- 实战演练:1.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则x 22﹣4x 12+17的值为（ ） A ．﹣2 B ．6 C ．﹣4 D ．4【答案】D【解析】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣1，x 1?x 2＝﹣3，x 12+x 1＝3，∴x 22﹣4x 12+17＝x 12+x 22﹣5x 12+17＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2﹣5x 12+17 ＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x 12+17＝24﹣5x 22＝24﹣5（﹣1﹣x 1）2 ＝24﹣5（x 12+x 1+1）＝24﹣5（3+1）＝4， 故选：D ．2. 已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________． 【答案】1【解析】设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4， ∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2， ∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3 故答案为：13.设1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根，则1211x x +的值为 ． 【答案】32-【解析】∵方程1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根， ∴1235x x +=，1225x x =-， ∴1211x x +=1212x x x x +=32()55÷-=32-． 故答案为：32-．4.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值． 【答案】（1）m ≤；（2）1【解析】（1）由题意△≥0， ∴（2m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，∴m ≤．（2）当m ＝2时，方程为x 2+3x+1＝0，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1x 2＝1， ∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1＝0，x 22+3x 2+1＝0， ∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）＝（x 12+2x 1+x 1﹣x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）＝（﹣1﹣x 1）（﹣1+x 2+2） ＝（﹣1﹣x 1）（x 2+1）＝﹣x 2﹣x 1x 2﹣1﹣x 1 ＝﹣x 2﹣x 1﹣2＝3﹣2＝1．5.已知于x 的元二次方程x 2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值． 【答案】（1）a ＜2；（2）a 的值为﹣1，0，1．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．6.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3.【解析】（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=37.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．【答案】①m；②．【解答】解：①根据题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得：m，②根据题意得：x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，x12+x22+x1x2﹣17＝﹣x 1x 2﹣17＝（2m+1）2﹣（m 2﹣1）﹣17＝0，解得：m 1＝，m 2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为．8.已知x 1，x 2 是关于x 的一元二次方程x 2-2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根． （1）若（x 1-1）（x 2 -1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）m 的值为6;（2）17.【解析】(1)(x 1－1)(x 2－1)＝28，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＝27，而x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5， ∴m 2＋5－2(m ＋1)＝27，解得m 1＝6，m 2＝－4， 又Δ＝[－2(m ＋1)]2－4×1×(m 2＋5)≥0时，m ≥2， ∴m 的值为6;(2) 若7为腰长，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的一根为7， 即72－2×7×(m ＋1)＋m 2＋5＝0， 解得m 1＝10，m 2＝4，当m ＝10时，方程x 2－22x ＋105＝0，根为x 1＝15，x 2＝7，不符合题意，舍去． 当m ＝4时，方程为x 2－10x ＋21＝0，根为x 1＝3，x 2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17 若7为底边，则方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两等根，∴Δ＝0，解得m ＝2，此时方程为x 2－6x ＋9＝0，根为x 1＝3，x 2＝3，3＋3<7，不成立， 综上所述，三角形周长为179.已知关于x 的一元二次方程22(21)40x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值． 【答案】（1）m ＞﹣174；（2）m =﹣4． 【解析】（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=24m-．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴222(21)2(4)m m----+=+-=22()2a b a b ab=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．10.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC的内切圆半径．【答案】（1）略；（2）2；（3）1．【解析】（1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1?x2＝4k，∵，∴，即，解得：k＝2；（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k，根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图，由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5，∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝．。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1
(2)两根之和等于3； m= 2 (3)两根之积等于1； m= 3
(4)两根的平方和等于8； m=0
(5)两根的和的相反数等于两根之积．m=0
巩固练习
练习10 已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x－m2＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2， 且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
x2 10x 9 0
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分别为
x1和x2，则x1＋x2的值等于___-_2____．
练习4 设a,b是一元二次方程x2＋x－2016＝0 的两个不相等的实数根,则a2＋2a＋b＝__2_0_1_5__．
巩固练习
练习5 已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0
x1 x2 p x1 x2 q
如果方程二次项系数不为1呢?
自主探究
2. 探究
一般地,一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a≠0）中, 两二根次之项和系等数于a未一必次是项1系，数它与的二两次根项的系和数、的积比与的系相数反分数别， 两有根怎之样积的等关于系常？数项与二次项系数的比。
b x1 x2 a
c x1 x2 a
请利用一元二次方程的求根公式验证！
自主探究
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2=
b a
,
x1x2=
c a
注：能用根与系数的关系的提条件为：
1. 一元二次方程为一般形式:ax2+bx+c=0 2. △=b2-4ac≥0
初高中数学衔接教材 §2.1 一元二次方程(含答案)
初高中数学衔接教材 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根： (1)0322=-+x x ；(2)0122=++x x ；(3)0322=++x x 。
} 用配方法可把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）变为2224()24b b ac x a a -+=①a ≠0，∴4a 2＞0。
于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。
由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。
综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－2ba； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0。
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。
（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=，22a x -=（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1。
专题：一元二次方程的根与系数的关系
九年级数学专题一：一元二次方程的根与系数的关系一、知识要点：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：12,22b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅====定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．二、例题讲解类型一、一元二次方程的两个根的有关计算例1.设x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，求x 12+x 22的值． 解：∵x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣2，x 1•x 2＝﹣3，∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；例2.设x 1与x 2为一元二次方程x 2+3x +2＝0的两根，求（x 1﹣x 2）2的值． 解：由题意可知：x 1+x 2＝﹣6，x 1x 2＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2 ＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20，练习1：（1）设a ，b 是方程x 2﹣x ﹣2021＝0的两个实数根，则a +b ﹣ab 的值为（ ）A ．2022B ．﹣2022C ．2020D ．﹣2020（2）已知方程x 2+2x +6＝10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ． D ．﹣（3）设x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 12x 2+x 1x 22的值为（ ）A ．9B ．﹣9C ．1D ．﹣1（4）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．（5）已知a 、b 是方程x 2+5x +3＝0的两个根，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ． 练习2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．类型二、由已知一元二次方程的一个根求出它的另一个根及未知系数例3.关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，则方程的另一个根与m的值.解：设方程的另一根为x＝p．∵关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0，∴1+m+3＝0，解得m＝﹣4；又由根与系数的关系知：1•p＝3，解得p＝3．故方程的另一根是3．练习3：（1）关于x的一元二次方程2x2﹣kx+12＝0的一个根x1＝2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝3，k＝10B．x2＝﹣3，k＝﹣10C．x2＝3，k＝﹣10D．x2＝﹣3，k＝10（2）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．（3）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2（4）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．3D．﹣3（5）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0，若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝9，求m的值．三、构造一元二次方程例4.已知实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x﹣4＝0B．x2﹣3x+4＝0C．x2+3x﹣4＝0D．x2+3x+4＝0解：∵实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x﹣4＝0．故选：A．练习4：（1）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了常数项，得到方程的两个根是﹣3、﹣1，胖何看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5、﹣4，则原来的方程是（）A．x2+4x﹣3＝0B．x2+4x﹣20＝0C．x2﹣4x﹣20＝0D．x2﹣4x﹣3＝0（2）已知关于x的方程x2+mx+n＝0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；例5.已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求a bb a的值；解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，∴a，b是x2﹣15x﹣5＝0的解，当a≠b时，a+b＝15，ab＝﹣5，＝＝＝＝﹣47．当a＝b时，原式＝2；练习5：若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为．练习6：已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值．练习7：已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），则的值为（）A．23B．﹣23C．﹣2D．﹣13练习8：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求①4s2﹣5s+t；②的值．例6.已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为．解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．∴1+﹣＝0．∴﹣﹣1＝0，又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．∴m+＝2．∴＝m+1+＝2+1＝3，四、利用一元二次方程中的根降次例7.设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2024B．2021C．2023D．2022解：∵a是方程x2+x﹣2023＝0的实数根，∴a2+a﹣2023＝0，∴a2＝﹣a+2023，∴a2+2a+b＝﹣a+2023+2a+b＝2023+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝2023+（﹣1）＝2022．故选：D．练习9：（1）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（）A．2023B．﹣2021C．2021D．﹣2023（2）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（）A．2008B．8002C．2009D．2020（3）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（）A．0B．2C．1D．﹣1（4）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是．（5）已知α、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则α2﹣5α﹣2β+7＝．例8．如果m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，那么多项式m3+2n2﹣mn﹣6m+2022的值是（）A．2022B．2023C．2029D．2030解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，∴m2＝﹣m+3，n2＝﹣n+3，∴m3＝m（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（﹣m+3）+3m ＝4m﹣3，∴m3+2n2﹣mn﹣6m+2022＝4m﹣3+2（﹣n+3）﹣mn﹣6m+2022＝﹣2（m+n）﹣mn+2025，∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，∴原式＝﹣2×（﹣1）﹣（﹣3）+2025＝2030．故选：D．练习10：（1）若a，b为一元二次方程x2﹣7x﹣1＝0的两个实数根，则a3+3ab+8b﹣42a值是（）A．﹣52B．﹣46C．60D．66（2）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045B．4044C．2022D．1（3）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（）A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021五、利用两根的性质解决有关的问题例9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．解：（1）Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＝4m2﹣12m+9﹣4m2＝﹣12m+9，∵△≥0，∴﹣12m+9≥0，∴m≤，∴实数m的取值范围是m≤；（2）由题意可得，x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1x2＝m2，又∵x1+x2＝6﹣x1x2，∴3﹣2m＝6﹣m2，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，又∵m≤，∴m＝﹣1，即m的值为﹣1．练习11.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2＝5，求k的值．练习12.已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2+m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，且x 12+x 22＝12，求m 的值．练习13.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．练习14.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且（x 1﹣x 2）2+m 2＝21，求m 的值．例10.关于x 的方程x 2﹣（2k ﹣1）x +k 2﹣2k +3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x 1、x 2，存不存在这样的实数k ， 使得|x 1|﹣|x 2|＝？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由． 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣（2k ﹣1）]2﹣4（k 2﹣2k +3）＝4k ﹣11＞0，解得：k ＞；（2）存在，∵x 1+x 2＝2k ﹣1，x 1x 2＝k 2﹣2k +3＝（k ﹣1）2+2＞0，∴将|x 1|﹣|x 2|＝两边平方可得x 12﹣2x 1x 2+x 22＝5，即（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝5， 代入得：（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣2k +3）＝5，解得：4k ﹣11＝5，解得：k ＝4．练习15.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．练习16.已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值．例11.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2＝a，x1+x2＝2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a≤1．练习17.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．。
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韦达定理与根与系数的关系练习题一、填空题1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当 时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个正根，一个负根；当m 时，方程有一个根为0。
2、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．3、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么=⋅21x x ．4、已知1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 5、设1x 、2x 是方程03422=-+x x 的两个根，则=++)1)(1(21x x ．6、若方程03422=--x x 的两根为βα、，则=+-22ββ2a a ．7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ． 8、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为1x 和2x ，且221-=+x x ，则=m ，()=+⋅2121x x x x 。
9、若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则=k ．10、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么=k 。
11、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则=m 。
12、已知方程022=+-mx x 的两根互为相反数，则=m 。
13、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。
14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。
若方程的两根互为倒数，则=m ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。
15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为 0 和 －1，则=q p : 。
16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为 。
17、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则=α ；=β ；=m 。
18、已知关于x 的方程032=+-k x x 的两根立方和为 0，则=k19、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为1x 、2x ，且431121-=+x x ，则=m 。
20、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则=m 。
21、一元二次方程01322=+-x x 的两根与0232=+-x x 的两根之间的关系是 。
22、请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程： ．23、已知一元二次方程的两根之和为 5，两根之积为 6，则这个方程为 。
24、若βα、为实数且0)(2|3|2=-+-+αββα，则以βα、为根的一元二次方程为 。
(其中二次项系数为1)25、求作一个方程，使它的两根分别是方程0232=-+x x 两根的二倍，则所求的方程为 。
二、解答题1、已知m ，n 是一元二次方程0522=--x x 的两个实数根，求m n m 23222++的值。
2、设1x 、2x 是方程01422=+-x x 的两个根，求 ||21x x - 的值。
3、已知1x 、2x 是方程022=+-a x x 的两个实数根，且23221-=+x x ．（1）求1x 、2x 及a 的值； （2）求21213123x x x x ++-的值．4、已知1x 、2x 是一元二次方程02=++n x m x 的两个实数根，且3)(2212221=+++x x x x ，5222221=+x x ，求m 和n 的值。
5、已知a a -=12，b b -=12，且b a ≠，求)1)(1(--b a 的值。
6、设：011632=--a a ，011632=--b b 且b a ≠，求b a -的值。
7、已知：βα、是关于x 的二次方程：04)4(2)2(2=-+-+-m x m x m 的两个不等实根。
(1)若m 为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2)若622=+βα时，求m 的值。
8、已知关于x 的二次方程012=-+mx x 的一个根是12-，求另一个根及m 的值．9、已知方程01052=-+mx x 的一根是－5，求方程的另一根及m 的值。
10、已知32+是042=+-k x x 的一根，求另一根和k 的值。
11、(1)方程032=+-m x x 的一个根是2，则另一个根是 。
(2)若关于y 的方程02=+-n my y 的两个根中只有一个根为0，那么n m 、应满足 。
12、如果1=x 是方程01322=+-mx x 的一个根，则=m ，另一个根为 。
13、已知关于x 的方程m x x =+522的一个根是－2，求它的另一个根及m 的值。
14、已知关于x 的方程tx x =-132的一个根是－2，求它的另一个根及t 的值。
15、在解方程02=++q px x 时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了q ，解得方程的根为4与－2。
这个方程的根应该是什么?16、已知一元二次方程05)1(82=-++-m y m y 。
(1)m 为何值时，方程的一个根为零?(2)m 为何值时 ，方程的两个根互为相反数?(3)证明：不存在实数m ，使方程的两个相互为倒数。
17、方程032=++m x x 中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。
18、已知一元二次方程07)12(82=-++-m x m x ，根据下列条件，分别求出m 的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；20、已知关于x 的一元二次方程0122=++mx x 的两根之差为11，求m 的值。
21、已知关于x 的二次方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。
22、已知方程02=++c bx x 有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求c b 、的值。
23、已知关于x 的方程01)1(22=++--m x m x 的两根满足关系式121=-x x ，求m 的值及两个根。
24、已知关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．25、βα、是关于x 的一元二次方程01)1(2=+--x x m 的两个实数根，且满足1)1)(1(+=++m βα，求实数m 的值．26、βα、是关于x 的方程044422=++-m m mx x 的两个实根， 并且满足10091)1)(1(=---βα，求m 的值。
27、已知：βα、是关于x 的方程01)2(2=+-+x m x 的两根，求)1)(1(22ββαα++++m m 的值。
28、已知关于x 的方程0)2(222=+--m x m x ，问：是否存在正实数m ,使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.29、关于x 的一元二次方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m 的值。
30、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )的两根之比为1:2，求证：ac b 922=。
31、已知方程042=++mx x 和016)2(2=---x m x 有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。
32、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 的两根为βα、，且两个关于x 的方程0)1(22=+++βαx x 与0)1(22=+++αβx x 有唯一的公共根，求c b a 、、的关系式。
33、已知1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根11+x 、12+x 是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，求常数q p 、的值。
34、已知方程0122=++mx x 的两实根是1x 和2x ，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。
35、已知07422=-+s s ，02472=--t t ，t s 、为实数，且1≠st .求下列各式的值： (1)t st 1+； (2)ts st 323+-。
36、已知1x 、2x 是关于x 的方程022=++n x m x 的两个实数根；1y 、2y 是关于y 的方程0752=++my y 的两个实数根，且211=-y x ,222=-y x ，求m 、n 的值。
37、关于x 的方程01)32(22=+++x m x m 有两个乘积为1的实根，0462)(222=-+-+++m m a x m a x 有大于0且小于2的根，求a 的整数值。
38、已知关于x 的方程022=+-nx mx 两根相等，方程0342=+-n mx x 的一个根是另一个根的3倍。
求证：方程0)()(2=-++-m k x n k x 一定有实数根。
39、已知关于x 的一元二次方程012)14(2=-+++m x m x ．(1)求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程两根为1x 、2x ，且满足211121-=+x x ，求m 的值．40、关于x 的方程041222=+-n mx x ，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。
41、已知关于y 的方程04222=---a ay y 。
(1)证明：不论a 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根；(2)a 为何值时，方程的两根之差的平方等于16?42、已知方程03522=+-n mx x 的两根之比为3:2，方程0822=+-m nx x 的两根相等(0≠mn )。
求证：对任意实数k ，方程01)1(2=++-++k x k n mx 恒有实数根。
43、如果关于x 的实系数一元二次方程03)3(222=++++m x m x 有两个实数根βα、， 那么22)1()1(-+-βα的最小值是多少?44、已知方程02=++b ax x 的两根为1x 、2x ，且0421=+x x ，又知根的判别式25=∆，求b a 、的值。
45、求一个一元二次方程，使它的两个根是62+和62-。
46、已知方程0752=-+x x ，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。
47、已知方程03322=--x x 的两个根分别为a 、b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是： (1)1+a 、1+b (2)a b 2、ba 248、已知两数之和为－7，两数之积为12，求这两个数。