概率论中微积分思想的应用

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数学知识在其他领域的运用

数学知识在其他领域的运用

数学在其他领域中的运用数学,从古到今,都是科学王冠上那颗最耀眼的珠宝,光芒从未褪去它应有的光芒。

在数学的发展中,涌现一大批伟大的数学家,他们在数学的发展中留下了光辉的一笔。

数学在其他领域中,运用同样很广泛。

数学在物理学中运用,在物理学发展中,数学方法为其解决了许多困难。

从天体物理中,可以发现,数学的统计知识发挥巨大的运用。

一,开普勒三大定律,开普勒发现行星运动的三大定律,促进了人类对宇宙的认知,同时也推动了物理学的发展。

然而,在发展规律的过程,却是数学的统计知识的功劳,第谷话费二十年的心血,记录大量的有关行星运动的轨迹和数据,然而第谷却没有能够很好的去统计数据,从中发现自然的奥秘。

开普勒很好的利用数据,统计数据,从中发现规律,三大定律的发现为后来牛顿的万有引力定律奠定了基础。

二,行星轨迹方程。

哈雷慧星的周期是75或76 年,怎么算出来的,轨迹是怎么定性的描述的?众所周知,天体运动是不规律的,有变化的,怎么才能描述运动规律?现在回归到数学问题,在一群点均匀的散落在一条直线的上下,怎样求解直线方程,可知方法就是最小二乘法的使用,最小二乘法是伟大的数学家高斯发明的一种减小误差的方法。

最小二乘法原理在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym);将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1)。

Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中:a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和…∑(Yi - Y计)2‟最小为“优化判据”。

令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数φ对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零。

数学研究论文:应用概率统计论文15篇

数学研究论文:应用概率统计论文15篇

数学课题研究论文应用概率统计论文15篇【摘要】数学应用意识的培养是一个长期的过程,不要期望通过一门课程或短时期就会立竿见影,这个过程需要经历渗透、交叉、反复、螺旋上升,然后才能逐级递进、不断深化。

总之,在教学中我们要构建师生合作互动的平台,培养交流与合作精神,逐步提高学生的数学应用意识和能力。

【关键词】应用概率统计概率统计概率统计论文应用概率统计论文:数学应用意识概率统计论文一、正确理解现实中的随机性和规律性我们熟知许多科学定律,例如牛顿力学定律,化学中的各种定律等。

但是在现实中,事实上很难用如此确定的公式描述一些现象。

比如,人的寿命对于个人来说是难于事先确定的。

就个体来说,一个有很多坏习惯的人(比如吸烟、喝酒、不锻炼的人)可能比一个很少得病、生活习惯良好的人活得更长。

实际上活得长短是受许多因素影响的,有一定的随机性。

这种随机性可能和人的经历、基因、习惯等无数说不清的因素都有关。

总体来说,人的平均年龄非常稳定。

一般而言,女性的平均寿命比男性多几年。

这就是规律性。

一个人可能活过这个平均年龄,也可能活不到这个年龄,这是随机性。

但是总体来说,平均年龄的稳定性,却说明了随机之中有规律性。

又比如你每天见到什么人是比较随机的,但规律就是:你在不同的地方一定会见到不同的人,你在课堂上会见到同班同学,你在宿舍会碰到同寝室的室友,你去打球会见到球友,这两种规律就都是统计规律。

二、巧借实例自然引入新概念着重培养学生的数学应用意识,教师在教学中的示范作用很重要。

概率统计课程的概念是教学的难点,教师上课如果直接写出来,则学生会感到很突兀,很抽象且难于接受。

一个教学经验丰富的教师应当重视概念引入的教学设计,从学生的认知规律出发,先使学生对概念形成感性认识,揭示概念产生的实际背景和基础,了解概念形成的必要性和合理性。

例如极大似然估计的概念教学,一般引入的第一个例子是有个同学和一个猎人去打猎,一只野兔从前方经过,只听一声枪响,野兔就倒下了,这发命中目标的子弹是谁打的?同学们一定会推断是猎人,你们会说猎人命中目标的概率比同学的大,这个例子说明了你们形成了极大似然估计的初步思想。

特殊极限的重要公式

特殊极限的重要公式

特殊极限的重要公式特殊极限是微积分中的重要概念,它在求解一些复杂问题时起到了关键作用。

在研究特殊极限时,有一些重要的公式被广泛应用。

本文将介绍一些常见的特殊极限公式,并给出它们的应用指导意义。

1. 正弦极限:lim(x→0) sin(x)/x = 1这个公式的重要性在于它提供了计算一些其他复杂极限的基础。

它可以应用于求解微分中的一些常见问题,例如计算函数的导数。

在实际应用中,正弦极限可以帮助我们计算函数在某个点的斜率,从而解决诸如曲线的凹凸性、最大最小值等问题。

2. 自然对数极限:lim(x→0) ln(1+x)/x = 1这个公式的重要性在于它与指数函数的相关性质。

在应用中,自然对数极限可以帮助我们计算复杂函数的导数,特别是对数函数和指数函数。

它也是求解微分方程、解决复利计算、描述复杂随机过程等问题的基础。

3. e的幂函数极限:lim(x→∞) (1+1/x)^x = e这个公式的重要性在于它与复利计算、人口增长、物质衰变等问题中的应用。

e是一个重要的数学常数,它在各个领域中的应用广泛。

e的幂函数极限可以帮助我们计算各种复杂的增长或衰减过程,并且在概率论、统计学、金融学等领域中有着重要的应用,如连续复利公式、伯努利实验等。

4. 座标平方根的极限:lim(x→0) sqrt(1+x)-1/x = 1/2这个公式的重要性在于它与图形的切线和曲率有关。

座标平方根的极限可以帮助我们计算函数在某一点的切线斜率,进而求解曲线的切线方程、求切线与坐标轴的交点等。

它在微积分、物理学等领域中的应用非常广泛。

5. 切比雪夫不等式:lim(n→∞) (1/n) ∑(|x_i - μ|/σ) = 0这个公式的重要性在于它与概率论和统计学中的分布特征有关。

切比雪夫不等式可以帮助我们估计一个随机变量与其均值之间的关系,从而描述数据的离散程度或分散程度。

它在统计推断、贝叶斯统计、模拟实验等领域中有着重要的应用。

以上是一些特殊极限的重要公式,它们在不同领域中扮演着重要的角色。

概率论和数学分析的联系及相互间的应用

概率论和数学分析的联系及相互间的应用

概率论和数学分析的联系及相互间的应用胡鹏飞 01213039(徐州师范大学数学系,徐州 221116)摘要 本文首先通过简述数学分析在概率论发展过程中对概率论的渗透与推动,反映了概率论与数学分析的关系.接着又通过一些实例的解答,讨论了两门学科之间解题方法的相互应用,从另一方面反映概率论与数学分析之间的联系.本文的重要结论是给出了求解形如()()⎰∞∞-++-++dx e c bx axkjx ix 22的公式.关键词 随机变量; 分布函数; 数学期望; 大数定律.一、概率论与数学分析的联系众所周知,概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上,而概率论的调色板,则始终是以数学分析为底色的.但是作为微积分的一门后继课程,概率论并非按微积分中的思维方法发展下去,而是另辟蹊径,其发展路径与微积分大相径庭,最终成为了随机数学的典型代表,具备了与微积分分庭抗争的地位.更因其非线性、反因果的非理性特征,显得比经典的数学分析更具有时代精神.而作为确定性数学典型代表的数学分析对概率论的发展具有很大作用,因此寻绎数学分析在概率论中的地位,阐述概率论的因果特征是很有意义的.1.集合论与概率论的公理化体系集合论是在微积分的营养液中培育出的一颗明珠,而公理集合论使微积分的纷争彻底休止.众所周知,数学的研究对象一般都是内涵着某种结构的集合,或者是可以通过集合定义的事物.因此说,集合论可以充当整个现代数学的基础.在这一点上,数学分析和概率论都不应例外.由于集合论与微积分之间存在着明显的源和流的关系,又由于勒贝格积分有效地建立了集合论与测度论的联系,进而形成了概率论的公理化体系.因而集合论对概率论的渗透可视为微积分对概率论的一次较有力的推动.2.函数、随机变量与分布函数在函数关系的对应下,随机事件先是被简化为集合,继之被简化为实数,随着样本空间被简化为数集,概率相应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数F(x),F(x)的性质是十分良好的:单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导.因之,数学分析中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域.随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等等,显然借鉴或搬运了微积分的现成成果.不难确知,概率论的公理化、体系化的动力源,不仅是集合论和测度论,更重要更基本的仍然是数学分析的那一套理论.因此,概率论形成体系后的高歌猛进,不妨视作概率论向着微积分的靠拢与回归.3.级数在概率论中的特殊作用200年前,拉格朗日就指出凡是函数都能用幂级数表示的事实.随后傅立叶发现所有函数都能用傅立叶级数表示,康托尔引入点集拓扑的概念.然而对概率论产生影响的不光是傅立叶级数,还有等比级数、二项式和式、调和级数等等.作用是方方面面的,有的构成反例,有的便于计算,有的揭示出了特殊的计算方法等等.4.雅可比行列式与随机变量函数的分布德国数学家雅可比在数学领域的杰出贡献较为集中地体现在他引进的“雅可比行列式”上.应用雅可比行列式J 可以一揽子解决多维随机变量()y x ,的函数()y x Z ,的概率分布问题.在函数()y x Z Z ,=较为简单的情况下,用不用雅可比行列式进行变量替换,难易程度是差不多的.但是()y x Z Z ,=的表达式稍微复杂一些,雅可比行列式的作用将很显著.5.分布函数的性质与极限定理极限论构成了数学分析的基础,微积分中一系列重要的概念和方法都与极限的关系密切.概率论中运用极限的地方非常多,诸如分布函数的性质、大数定律、中心极限定理等等.综上分析,显而易见,数学分析的思想方法已经渗透到概率论的各个方面.没有微积分的推动,就没有概率论的公理化与系统化,概率论就难以形成一门独立的学科.数学分析与概率论的亲源关系,决定了概率论的确定论的特征.由此可见,概率论具有线性性与非线性性的双重特点,是一门同时包含着确定性和非确定性二重品格的特殊的数学学科.下面以一些实例来从另一方面体现概率论与数学分析的联系.二、概率论与数学分析方法的相互应用 1.概率论中的数学分析解题方法 (1) 微分法某些随机事件的概率有依赖于一个变量的特点(比如依赖于时间变量等).该概率作为一未知函数,有类比于通过微分方程确定未知函数的途径.从局部性质(增量研究)入手,由微分的方法可求出所需的概率.例1(见[1]) 某机器在t ∆时间内因故障而停止的概率为()t o t a ∆+∆ (a 为一正常数).如果机器在不重叠的时间内停止的各个事件彼此独立,如在时刻0t 机器在工作着.试求此机器由时刻0t 到t t +0这段时间内不停工作的概率.解 在机器工作稳定的情况下,所求概率应该只与时间区间[0t ,t t +0]的长短有关,而与起点0t 无关.故所求概率只是t 的函数,记为()t P .由于对()t P 的整体性状的信息认识不足,只是局部地知道机器在充分小的t ∆时间内因故障停车的概率为()t o t a ∆+∆,这启发我们去考查()t P 在局部范围的增量变化特征.明显地,机器在[0t ,t t t ∆++0]内不停,当且仅当在[0t ,t t +0]及[t t +0,t t t ∆++0]两段时间内都不停.利用这两个事件的独立性,获知()()()()()[]t o t a t P t P t P t t P ∆-∆-=∆=∆+1,所以()()()()()t o t P t t aP t P t t P ∆⋅-∆-=-∆+,从而tt P t t P ∆-∆+)()(=()()()1o t P t aP ⋅--.注意到()t P 的有界性,令t ∆→0,得到)()(t aP dtt dP -=, 这就是未知概率()t P 所应满足的微分方程.解此方程,即得到()t P =C at e -,其中C 为任意常数.由假定在时刻0t 机器在工作,此即是初始条件()10=P ,于是可求出1=c ,故得()t P = ate-.(2) 逐项微分法设离散型随机变量ξ的概率分布为(),,,2,1,n i p a P i i ===ξ满足10≤≤i p ,11=∑=ni ip,其中i p 含有参数()n i ,,2,1 =,在求数学期望()ξE 时,可通过对11=∑=ni ip两边关于参数求导以达到目的.而在求方差()ξD 时,可对()a E =ξ(a 是上面求出之值)两边再对参数求导得()2ξE ,再由()ξD ()2ξE =()[]2ξE -得出结果.例2(见[2]) 设随机变量ξ~()λP 求()ξE 与()ξD . 解 由条件知λλe k k k=∑∞=0!,两边同时对λ求导得,λλe k kk k =∑∞=-01!,所以,!0λλλe k kk k=∑∞=(﹡)从而λλ-∞=∑⋅e k k k k!=λ,即()λξ=E .对于与上式等价的(*)式两边关于λ求导,得λλλe k kk k )1(!12+=∑∞=-,所以)1(!2λλλλ+=∑∞=e k kkk ,即()2ξE =)1(λλ+,从而()ξD ()-=2ξE ()[]2ξE ()λλλλ=-+=21.对于连续型的情况可以类似求解.(3) 幂级数法根据变量数学期望与方差的定义,利用随机变量的概率分布或分布密度的特点,我们可以用逐项微分法求出随机变量的数学期望与方差.对于概率分布或分布密度含有参数的随机变量,也可应用逐项微分法求出其数学期望与方差.例3(见[4]) 设随机变量ξ服从参数为()p r ,的负二项分布()10,1<<≥p r ,即{}==m P ξ11--r m C r p rm q-, p q r r m -=+=1,,1, , 求()ξE .解 其计算过程用到公式1)1(1+-r x ∑∞==rm r m C rm x -, 该公式是由∑∞==-011n n x x ()10<<x 连续逐项求导r 次后得到的.事实上 ()=ξE =-∞=--∑rm rm r r m qp mC11r rp=∑∞=-rm r m r m q C r r p 1)1(1+-r q p r= (4) 特殊函数法Gamma 函数与Beta 函数在概率论中有广泛的应用.对于Gamma 函数,其表现形式为()⎰∞--=Γ01dx e x s x s ()0>s ,重要结论有:()()()()!1,1,21,11n n s s =+ΓΓ=+Γ=⎪⎭⎫⎝⎛Γ=Γπ .借助Gamma 函数,概率论中有重要的Γ分布.参数为(λα,)(0,0>>λα)的Γ分布密度函数为()x p ⎪⎩⎪⎨⎧Γ=--0,)(1x e x λαααλ .0,0≤>x x当1==n α时, Γ分布()λ,1F 称为参数为λ的指数分布,而当2n =α,21=λ时, Γ分布又称为自由度为n 的2x 分布.它们都是概率论中非常重要的连续型分布.利用卷积公式和数学归纳法可以证明Γ分布可加性,即若()λα,~i i x Γ,0>i α,0>λ,n i ,,2,1 =.是相互独立的则()λααα,~211n ni ix+++Γ∑=例4(见[8]) 设随机变量n ξξξ,,,21 相互独立,服从参数为λ的指数分布,ni i n 11=∑=ξξ,求证λξ11-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n E . 证明 由于ξ服从参数为λ的指数分布,即服从Gamma 分布()λ,1Γ,n i ,,2,1 =,又它们相互独立,由Γ分布的可加性知n ξξξ+++ 21~()λ,n Γ,所以()()()()()().1)!1()!2(1)()(01)1(0121211λλλλλλλξξξξξξξλλ-=--=Γ-Γ=Γ=Γ⋅=+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎰⎰∞+---∞+---n n n n n n n n y d e y n n dy e y n y n y y n E nE E y n y n n n n 令 2.数学分析中概率方法 我们知道,数学分析是学习概率论的基础,所以我们经常遇到用数学分析的基本方法去解决一些概率问题.而下面我们将从以下几个方面说明数学分析中一些不太好解决的问题可以很方便地用概率的方法去解决.(1) 无穷级数的求和例1(见[1]) 试证自然倒数平方的级数和61212π=∑∞=n n证明 不妨设有放回地取出两数为ξ和η,则可能出现的结果为:1A :”ηξ,互素”2A :”ηξ,有公因子2” 3A :”ηξ,有公因子3”q A :”ηξ,有公因子q ”(q 为素数)由于k A ()后按素数顺序取值且2,,,3,2,1≥=k q k 互斥,从而∞=∞=∞===-Ω=2__________221q q q q q q A A A A .再设"",""q C q B q q 中有因子中有因子ηξ==,则()()qC P q B P q q 1,1==, 从而()()()21qC P B P A P q q q ==, 故()()()()() q q q q A P A P A P A P A P A P 5322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222211511311211q , 根据Euler 变换无穷乘积为级数的方法,可得()2121611π==∑∞=n nA P ,由此立得61212π=∑∞=n n. (2) 积分的计算例2(见[5]) (1) 计算形如 ()()⎰∞∞-++-++dx e c bx axkjx ix 22的值;(2)设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤+++=1,,,0,2,,,212222121n n n n x x x n x x x x x x G ,求极限n G n dx dx dx n21lim ⎰⎰⎰∞→.解 (1) 直接计算是很麻烦的.现利用随机变量的数学期望与方差的公式以及分布函数的性质进行计算.如果随机变量ξ服从正态分布()2,σμN ,则()()2,σξμξ==D E ,于是()()⎰∞∞-++-++dx e c bx axkjx ix22⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞∞-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-dx e c dx xe b dx e x a ei i j x i i j x i i j x ij k 222222222242222 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰∞∞-∞∞-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-i c dx i ex i b dx i e x i a e i i j x i i j x i j k πππππ222222222224222()()[]i c E i b E i a e i j k πξπξπ++=+-242()()[]()[]i c E i b E D i a ei j k πξπξξπ+⋅++=+-242⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-i c i j i b i j i i a eij k πππ2422242⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅=+-c i bj i aj ai i eij k 2422242π 以此结果计算dx ex 2-∞∞-⎰的值.将 0,0,1,1,0,0======k j i c b a 代入得所求积分结果为π,经验证结果正确,这在数学积分中是一种很重要的积分.(2) 求多重积分时,用普通的近似方法往往无法实现,因为这时所需的运算次数是非常惊人的.而用大数定律作理论基础,可获得n 重积分(n 很大时)的近似值.设随机变量序列{}() ,2,1=n n ξ独立同分布,均在[]1,0上服从均匀分布,则有 ()()(),,2,131,21 ===n D E n n ξξ n G n dx dx dx n21lim ⎰⎰⎰∞→(){}n n G P ∈=ξξξ,,,21()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+++=21122222122221n n nP n P ξξξξξξ()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+++=∑=6116112112222221ξξξξξξE n P E n P n i i n(这里用到了概率单调性) 由于{}n ξ独立同分布,可见{}2nξ独立同分布,运用辛钦大数定律,知()1611lim 2112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑=∞→ξξE n P n i i n 从而得()()1611lim 222221=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+++∞→ξξξξE nP n n 即1lim 21=⎰⎰⎰∞→n G n dx dx dx n.(3)极限的求证例3(见[6]) 证明极限 21!lim 0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∑n n k k n e k n . 解 构造如下的随机模型:设1ξ,2ξ, 为一列独立的随机变量,且均服从参数为1的普哇松分布,则 ()1=k E ξ , ()1=k D ξ , 3,2,1=k .根据中心极限定理,得⎰∑∞--=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-0212210lim dt e nn P t n i i n πξ.另一方面,∑=ni i1ξ服从参数为n 的普哇松分布,从而⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→0lim 1n n P n i i n ξ=⎪⎭⎫ ⎝⎛<∑=n P n i i 1ξ=∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k n i i k P 01ξ=n n k k e k n -=∑0!. 由标准正态分布函数的性质有212121212222=⋅=⎰⎰∞∞--∞--dt edt et t ππ,由上知21!lim 0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∑n n k k n e k n .参考文献[1] 马文.概率应用及思维方法[M].重庆大学出版社,1989.[2] 叶乃琛.用逐项微分法求随机变量得数学期望与方差[J].中国包头职大学报, 1999,9: 53-54,62.[3] 陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究, 2003,6(3):43-44. [4] 于义良.概率论中的微积分方法[J].工科数学,1997,13(4):163-166. [5] 孙荣恒.趣味随机问题[M].北京:科学出版社,2004.[6] 张德然.概率论思维论[M].合肥:中国科学技术大学出版社, 2004. [7] 魏宗舒.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2002.[8] 颜贵兴.概率论与数学分析中的方法的相互运用[J].南宁师范高等专科学校学报, 2001,1:31-33.The Connection and Application Between Probabilityand Mathematical AnalysisHu Pengfei(Dept. of Mathematics, Xuzhou normal university, Xuzhou, 221116)Abstract The infiltration and promotion of mathematical analysis in the development of probability which reflect the connection between them are described in this paper .The other, this paper reflect the connection between probability and mathematical analysis through discussing the solving methods in each other and some examples are solved. This paper gives a important conclusion to solve the problem such as()()dx e c bx axkjx ix⎰∞∞-++-++22.Keywords stochastic variable; distribution function; mathematical expectation; law of large numbers.。

勒贝格积分的基本理论及其应用探析

勒贝格积分的基本理论及其应用探析

勒贝格积分的基本理论及其应用探析一、引言勒贝格积分是微积分学中的重要概念之一,在实际问题的求解中发挥了重要作用。

本文旨在探讨勒贝格积分的基本理论,并结合实际应用进行分析。

二、勒贝格积分的定义与性质勒贝格积分是对非负函数而言的一种广义积分,它是由法国数学家亨利-勒贝格在19世纪末提出的。

勒贝格积分的定义是通过简单函数的逼近来实现的。

与黎曼积分相比,勒贝格积分具有以下特点:1. 非负性:勒贝格积分定义要求被积函数非负。

2. 收敛性:勒贝格积分定义中的逼近序列必须收敛。

3. 可测性:被积函数必须是可测函数。

三、勒贝格积分的应用探析1. 几何学中的应用勒贝格积分在几何学中具有重要应用。

例如,通过勒贝格积分可以计算曲面的面积、体积以及重心位置等。

此外,在计算物体的质心、电荷分布等问题中,勒贝格积分也可以发挥重要作用。

2. 概率论与统计学中的应用勒贝格积分在概率论与统计学中也有广泛应用。

例如,在概率密度函数的计算中,勒贝格积分可以用来计算随机变量的概率。

此外,在统计推断中,通过对概率分布函数进行勒贝格积分可以计算得到随机变量的期望值和方差等重要统计量。

3. 数值计算中的应用勒贝格积分在数值计算中也具有重要应用。

由于一些函数无法通过解析方法求积分,数值计算方法可以通过勒贝格积分的逼近来实现积分的计算。

例如,常用的数值积分方法之一的随机采样方法就是基于勒贝格积分理论。

4. 物理学中的应用勒贝格积分在物理学中也有广泛应用。

例如,在电磁场问题中,可以通过对电荷密度进行勒贝格积分来计算电场强度。

类似地,在流体力学中,可以通过对流体密度进行勒贝格积分来计算物体所受的浮力。

5. 经济学中的应用勒贝格积分在经济学中也有一些应用。

例如,在经济学中的效用函数计算中,可以通过对效用函数进行勒贝格积分来计算消费者的总效用。

此外,在确定需求曲线和供给曲线时,勒贝格积分也可以发挥重要作用。

四、勒贝格积分的优势与不足1. 优势勒贝格积分相较于黎曼积分具有更广泛的适用性,可以处理更加一般的函数。

傅里叶变换 微积分

傅里叶变换 微积分

傅里叶变换与微积分引言傅里叶变换和微积分是数学中两个重要的概念和工具。

傅里叶变换是一种将函数从时域(时间域)转换到频域的方法,它在信号处理、图像处理、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。

微积分是数学中研究函数变化的工具,它涉及到极限、导数、积分等概念,是数学中的基础和重要分支之一。

本文将详细介绍傅里叶变换和微积分的概念、原理和应用。

傅里叶变换概念傅里叶变换是一种将函数从时域(时间域)转换到频域的方法。

它将一个连续周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的叠加,从而表示函数在不同频率下的分量。

傅里叶变换的数学表达式如下:∞(t)e−iωt dtF(ω)=∫f−∞其中,F(ω)是函数f(t)的傅里叶变换,ω是频率,i是虚数单位。

原理傅里叶变换的原理是基于欧拉公式,将复指数函数e iωt分解为正弦和余弦函数的叠加形式。

通过将函数f(t)与复指数函数的乘积在整个时域上积分,可以得到函数在不同频率下的分量。

傅里叶变换有两种形式:连续傅里叶变换(CTFT)和离散傅里叶变换(DFT)。

连续傅里叶变换适用于连续信号,而离散傅里叶变换适用于离散信号。

离散傅里叶变换是连续傅里叶变换的一种离散化表示,通过对信号进行采样和离散化,可以将信号从时域转换到频域。

应用傅里叶变换在信号处理和图像处理中有广泛的应用。

它可以用于滤波、频谱分析、信号压缩等方面。

在图像处理中,傅里叶变换可以将图像从空间域转换到频域,通过滤波和逆变换可以实现图像增强和去噪等操作。

此外,傅里叶变换还在物理学和工程学中有重要的应用。

在物理学中,傅里叶变换可以用于解析波动方程和量子力学中的波函数。

在工程学中,傅里叶变换可以用于信号处理、通信系统、图像处理和控制系统等方面。

微积分概念微积分是数学中研究函数变化的工具,它涉及到极限、导数、积分等概念。

微积分的基本思想是通过无限小的变化来描述函数的变化。

微积分可以分为微分学和积分学两个部分。

微分学研究函数的变化率和斜率,导数是微分学的核心概念。

高等教育:概率论第1章1-2

三次射击都击中目标
A3 A2 A3 A2 第三次击中但第二次未击中
A1 A2
前两次都未击中目标 A1 A2
A2 A3
后两次至少有一次未击中目标 A2 A3
A1A2 A1A3 A2 A3
至少有两次击中目标
1.2 随机事件的概率及其性质
1.2.1 概率的统计定义
试验一 : 皮尔逊(pearson)投掷硬币试验
8 解:(1) P(B A) P(B A) P(B AB) P(B) P(AB)
10 1 22
(2) P(B A) P(B) P(AB) P(B) P(A) 1 1 1 23 6
(3) P(B A) P(B) P(AB) 1 1 3 28 8
第1章 随机事件及其概率
1.1 随机事件及其关系
1.1.1 样本空间与随机事件 概率论把观察客观事物的过程称为试验,而把
满足下列三个条件的试验称为随机试验:
1.可重复性 2. 可观察性 3.不确定性
样本点:随机试验的每一个可能结果称为一样本点。 以 e 表示;
样本空间:随机试验的所有结果组成的集合。
记作:A B
(2)事件的相等:若A B且 B A,即A和B的样本点完全相同。 记作:A B
(3) 事件的并(和)--和事件: 事件A和事件B至少有一个发生,这
一事件称为A与B的和事件。记为 A B 或 A B 推广1:有限个 A1 A2 ... An 或 A1 A2 ... An 推广2:可列个 A1 A2 ... An ...
1、交换律:A∪ B=B ∪ A,AB=BA 2、结合律:(A ∪ B) ∪ C=A ∪(B ∪ C),

从掷骰子游戏看高等数学对概率论发展的影响

从掷骰子游戏看高等数学对概率论发展的影响从掷骰子游戏看高等数学对概率论发展的影响概率论是数学中一门重要的分支,研究的是不确定性事件的规律性。

在概率论发展的历程中,高等数学起到了举足轻重的作用。

本文将以掷骰子游戏为例,探讨高等数学对概率论发展的影响。

掷骰子游戏是人们常见的一种概率实验,其实质是随机事件的进行。

掷骰子的结果不确定,但是通过概率论的研究,我们可以得出掷出每一个点数的可能性,并得出概率。

在掷骰子的过程中,高等数学中的一些概念和技巧被应用于概率论的计算,为我们提供了一种理论基础和数学工具。

首先,高等数学中的排列与组合为概率论的研究奠定了基础。

在掷骰子游戏中,出现的可能结果是有限的。

假设我们掷一个六面骰子,点数可能为1、2、3、4、5、6。

那么在一次掷骰子的实验中,可能出现的结果有六个,即样本空间为{1,2,3,4,5,6}。

而概率论中研究的是不同事件的发生概率,也就是所关心的事件在样本空间中的子集。

而这其中,排列与组合这一概念和技巧能够帮我们计算不同事件发生的可能性。

通过排列和组合的方法,我们可以计算出掷骰子点数和为7的可能性是6/36,点数和为8的可能性是5/36,以此类推。

高等数学中的排列与组合帮助我们形成了概率论中关于事件发生概率的计算方法。

其次,高等数学中的数列与级数在概率论的极限计算中有着重要的应用。

当我们进行多次实验时,我们可以关注实验结果的频率,在大量重复实验的情况下,频率趋近于的概率被称为是实验概率。

而这里面涉及到的概念和计算方法,同样是在高等数学中的数列与级数中得到了解决。

通过数列与级数的极限计算,我们能够在实际中得到概率的近似值。

例如,在掷骰子游戏中,我们可以掷100次骰子,记录每个点数出现的频率,并通过计算频率的极限值来近似计算掷出每一个点数的可能性。

数列与级数的应用让概率论有了更准确的计算方法。

此外,在概率论中,还应用到了高等数学中的微积分。

微积分和概率论在掷骰子游戏中的应用主要集中在概率密度函数和累积分布函数的计算上。

(整理)微积分的产生与发展

微积分的产生与应用一、微积分产生背景在十六世纪末、十七世纪初的欧洲,文艺复兴带来了人们思维方式的改变.资本主义制度的产生,使社会生产力大大得到解放.资本主义工厂手工业的繁荣和向机器生产的过渡,促使技术科学和数学急速向前发展.在科学史上,这一时期出现了许多重大的事件,向数学提出了新的课题.公元1492 年,哥伦布发现了新大陆,证实了大地是球形的观念;1543 年,哥白尼发表了《天体运行论》,使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇;开普勒在1609〜1619年,总结出行星运动的三大定律,导致后来牛顿万有引力的发现;1609年伽里略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球,把人们的视野引向新的境界.这些科学实践拓展了人们对世界的认识,引起了人类思想上的质变.十六世纪对数学的研究从常量开始进入了变量的领域.这成为数学发展史上的一个转折点,也是“变量”数学发展的第一个决定性步骤.由于“变量”作为新的问题进入了数学,对数学的研究方法也就提出了新的要求.在十七世纪前半叶,解析几何的观念已经有一系列优秀的数学家接近了.但是十七世纪三十年代,解析几何才被笛卡尔(Descartes, R.(法)1596〜1650)和费尔马(Fermat, P. de(法)1601 〜1665)创立.在解析几何里,由于建立了坐标系,可以用字母表示变动的坐标,用代数方程刻画一般平面曲线,用代数运算代替几何量的逻辑推导,从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究,使数与形紧密地结合起来了.这种新的数学方法的出现与发展,使数学的思想和方法的发展发生了质的变化,恩格斯把它称为数学的转折点.此后人类进入了变量数学阶段,也是变量数学发展的第一个决定性步骤.为十七世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件。

二、微积分的产生过程微积分是经过长时间的酝酿才产生的.微积分的原理可以追溯到古代.在中国,公元前4世纪的桓团、公孙龙等所提出的“一尺之棰,日取其半,万世不竭” ;公元3 世纪的刘徽,公元5 〜6世纪的祖冲之、祖暅对圆周率、面积以及体积的研究, 都包含有极限和微积分的思想萌芽.在欧洲,公元前3世纪古希腊的欧几里得(Euclid)、阿基米得(Archimedes 约公元前287〜212)所建立的确定面积和体积的方法,也都包含有上述萌芽.在十六世纪末、十七世纪初,由于受力学问题的研究、函数概念的产生和几何问题可以用代数方法来解决的影响,促使许多数学家去探索微积分•开普勒(Kepler. J (德)1571〜1630)、卡瓦列里(Cavalieri , F. B.(意)1598〜1647)和牛顿的老师巴罗(Barrow , I .(英)1630〜1677)等人也研究过这些问题,但是没有形成理论和普遍适用的方法. 1 638年,费尔马首次引用字母表示无限小量,并运用它来解决极值问题.稍后,他又提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线的方法,并用这种方法解决了一些切线问题和极值问题.后来,英格兰学派的格雷果里(Gregory, J(英)1638〜1675卜瓦里斯(Wallis , J.(英)1616-1703)继续费尔马的工作,用符号“ 0”表示无限小量,并用它进行求切线的运算.到十七世纪早期,他们已经建立起一系列求解无限小问题的特殊方法.诸如,求曲线的切线、曲率、极大极小值,求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度、物体重心的计算等.但他们的工作差不多都局限于一些具体问题的细节之中,还缺乏普遍性的规律.到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

第一个重要极限的推广及应用探析

第一个重要极限的推广及应用探析重要极限是微积分中极为重要的概念,它在数学的各个领域都有着重要的应用。

第一个重要极限就是极限定义中的“极限存在”的概念。

本文将围绕第一个重要极限展开探讨,首先从其基本概念和推广入手,然后介绍其在不同领域的应用,并对其进行深入分析和探讨。

1. 第一个重要极限的基本概念和推广我们来回顾一下第一个重要极限的基本定义。

设函数f(x)在点x=a的邻域内有定义,如果对于任意给定的正数ε,总存在另一个正数δ,使得当0 <|x-a| < δ时,就有|f(x)-L| < ε成立,那么称函数f(x)当x趋近于a时的极限为L,记作lim(x→a) f(x) = L。

这就是第一个重要极限的基本定义,它描述了函数在某一点附近的取值情况。

当我们知道函数在某一点的极限存在时,就可以推广到更多的数学概念和问题中。

第一个重要极限在推广时可以应用到连续性、导数、积分以及泰勒公式等数学概念和问题中。

首先是连续性的概念,如果函数f(x)在点x=a的邻域内有定义,并且lim(x→a) f(x) = L存在,那么就有f(a) = L成立,即函数f(x)在点x=a处连续。

其次是导数的概念,在微积分中,我们知道导数可以通过极限来定义,即f’(a)=lim(x→a)[f(x)-f(a)]/(x-a),这就是导数的定义公式,其中使用了极限的求解方法。

再次是积分的概念,在定积分中,我们经常要求解被积函数的极限情况,以确定积分的存在性。

最后是泰勒公式的概念,泰勒公式利用了函数在某一点的各阶导数,然后根据极限的定义来推导出函数在该点附近的近似表达式。

通过这些推广,我们可以看到第一个重要极限在数学中的广泛应用,以及其对其他数学概念和问题的重要意义。

2. 第一个重要极限在不同领域的应用第一个重要极限在数学中有着广泛的应用,可以应用于解析几何、微积分、数学分析、概率论等不同领域。

首先是解析几何中的应用,我们知道两点之间的距离可以通过坐标公式计算得到。

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概率论中微积分思想的应用张子颖;汪太月【摘要】概率论与微积分是数学中2个不同的分支,应用微积分中已有理论对概率论中的连续型随机变量的概率密度、分布函数、条件概率以及数学特征等进行探讨,充分体现了微积分思想在概率论应用中的重要作用,较好地实现了两者有机统一,为后续研究起到了铺垫作用.【期刊名称】《湖北理工学院学报》【年(卷),期】2016(032)004【总页数】6页(P48-53)【关键词】微积分;概率论;极限;数学思想【作者】张子颖;汪太月【作者单位】东北大学工商管理学院,辽宁沈阳110819;湖北理工学院数理学院,湖北黄石435003【正文语种】中文【中图分类】O211概率论与微积分是数学的2个不同分支,概率论是研究随机现象统计规律的一门数学科学,微积分即采用极限这一工具对函数进行了很好地研究,微积分思想不仅贯穿于高等数学的整个学习当中,同时也是构建概率论大厦的基石[1].例如在映射作用下,集合被简化为随机事件,进而集合再被简化为实数,当样本空间被简化为实数集时,概率也相应由集函数近似成实函数.以函数的观点来衡量分布函数F(x),在概率论中,分布函数F(x)有着十分良好的性质,如单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导等[2],故高等数学中有关微积分的思想可以顺利地运用于概率论领域.连续型随机变量的分布函数、概率密度的表示以及期望、方差等都或多或少借鉴或运用了微积分的现有成果.再如概率论中运用极限论的地方也很多,如分布函数的相关性质、中心极限定理、大数定律、随机过程等[3].总而言之,微积分思想已经渗透到了概率论的各个方面,可以说若无微积分思想对概率论的推动,就不会有公理化和系统化的概率论,概率论也就不能形成数学的一个重要的分支[4].然而,概率论作为继高等数学后开设的一门课程,并非是高等数学的简单后继,而是对微积分思想的延伸,这也就开辟出一片崭新的数学天地.概率论的发展路径与高等数学有着很大的差别,概率论朝随机数学的方向前进,并成为随机数学的典型代表,有着和高等数学同等的地位,为古老数学学科注入了新鲜血液,使得数学能够与时俱进,从而进一步向前发展.微积分主要包括微分学和积分学[5],虽然它和概率论是数学的2个不同分支,但是它与概率论有着紧密的联系.高等数学中有关函数方面的种种思想和方法可以广泛地运用于概率论领域.如随机变量的分布函数、概率密度的表示以及期望方差等,都或多或少借鉴或运用了微积分的现有成果.再如概率论中运用极限论的地方也很多,如分布函数的相关性质、中心极限定理、大数定律、随机过程等.下面将逐一体现微积分思想在概率论中的应用.1.1 泊松积分在概率论中的应用反常积分e-x2dx称为泊松积分,且,它在概率论中有着很好的应用[6].若随机变量X~N(μ,σ2)分布,利用泊松积分很容易计算随机变量的期望E(X)和方差D(X),已知正态分布的概率密度函数为:根据期望及方差的定义有:x.令,则:E(X)=,若二维随机变量分布,可以利用泊松积分来探讨(X,Y)的边缘分布.因为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为:f(x,y)=其中-∞<x<+∞,-∞<y<+∞.而(X,Y)关于X的边缘概率密度为:由于:于是:令,则:从而:由泊松积分得:同理有:泊松积分在对数正态分布中同样也有应用,若随机变量X的函数Y=lnX服从正态分布N(μ,σ2),则称X服从参数为μ和σ2的对数正态分布.设随机变量X服从参数为μ和σ2的对数正态分布.则利用泊松积分很容易求X的k阶原点矩.令Y=lnX,由对数正态分布的定义知Y~N(μ,σ2),且X=eY,于是:E(Xk)=E(ekY)令,则:泊松积分在其他分布中同样也有很好的应用,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为: 其中-∞<x<+∞,-∞<y<+∞,同样可以利用微积分理论来求(X,Y)的边缘分布.因为:所以:其中-∞<x<+∞.同理有:泊松积分是微积分中的反常积分,它在概率论中的应用充分体现了微积分理理论同概率论的有机结合,下面进一步体现说明这一点.1.2 Γ(α)函数的指数分布中的应用含参变量积分tα-1e-tdt称为Γ函数,Γ函数是微积分中的一个重要函数,定义域是区间(0,+∞).它在概率论中的指数分布、正态分布、卷积计算中有着很好的应用[6].先来看Γ函数在指数分布的数字特征计算中的应用.随机变量X服从参数为EXP(λ)的指数分布,其概率密度为:1)连续随机变量X的数学期望为:置换积分变量λx=t得Γ函数的特殊形式,即:2)连续随机变量X的方差:D(X)=E(X2)-(EX)2=积分做置换变量法积分化为Γ函数的形式,置换积分变量λx=t得:3)连续随机变量X的k阶原点矩:(k=1,2,3,…).4)连续随机变量X的k阶中心矩:正态分布是概率论与数理统计中最常用的一类重要分布.而Γ(α)函数在正态分布的应用中起着重要作用.若随机变量X服从正态分布,那么计算随机变量X的k阶中心矩就要用到Γ(α)函数:置换积分变量=t,得:1) 当k是奇数时,因为被积函数是奇函数,所以积分等于零,可得到:μk(X)=0,k=1,3,5,….2)当k是偶数时,因为被积函数是偶函数,所以有:置换积分变量t2=2μ,得:Γ函数不仅在处理指数分布的数字特征和计算正态分布的k阶中心矩中有着广泛应用,而且借助Γ函数,概率论中形成了一个很重要的-Γ分布.参数为α,λ(a>0,λ>0)的Γ分布的密度函数为:当α=n∈N时,Γ分布Γ(α,λ)=Γ(n,λ)称为厄兰分布[6-7],它能够很好的运用于排队论和可靠性理论研究之中.当α=1时,Γ分布Γ(α,λ)=Γ(1,λ)称作参数为λ指数分布;当时,Γ分布又称作自由度是n的x2分布.运用数学归纳法与卷积公式可证明Γ分布的可加性(再生性),即:若ξi~Γ(α,λ),αi>0,i=1,2,…,n,且它们均相互独立,则).下面讨论当n=2时,Γ函数在概率论中的运用情况.设ξ1~Γ(α1,λ),ξ2~Γ(α2,λ),且它们均相互独立,证明ξ1+ξ2~Γ(α1+α2,λ).证由假设知ξi的概率密度函数为:故只需求出ξ1+ξ2的概率密度函数为:事实上根据卷积公式有:令z-x=y令y=zt,则:结论得证.对于随机变量的期望计算中,Γ函数同样起到了重要作用.已知随机变量x1,x2,…,xn相互独立,且它们均服从参数为λ的指数分布,假设xi,利用Γ函数容易得到λ.因为xi(i=1,2,…,n)服从参数为λ的指数分布,所以服从Γ分布(1,λ),i=1,2,…,n,又因为它们相互独立,故由Γ分布的可加性有:x1+x2+…+xn~Γ(n,λ).故有:由以上的计算可以看出,应用微积分中的一些已知积分、级数性质等可以很好地简化概率论中数字特征的计算问题.不仅如此,微积分的基础思想——极限论也渗透到概率论中,在概率论中有广泛的应用.1.3 同阶数量级方法在概率论中的应用设α(n),β(n)都是n→∞时的无穷小量(或无穷大量),若,则称α(n)和β(n)为同阶无穷小量(或同阶无穷大量),记作α(n)=Oβ(n)[6].由于对任意可视为黎曼和,且当n→∞时,趋于,因此当n→∞时,有).考虑独立随机变量序列x1,x2,…,其中Xk的概率分布为:证明由期望及方差的定义可知:E|.所以:. 又有:由此可见,对任意的δ>0,当n→∞时,从而由李雅普洛夫定理[2]知,x1,x2,…,服从中心极限定理.1.4 微增量法在概率论中的应用在概率论中有一些随机事件的概率只依赖于一个变量的特点.虽然事件的概率是一个未知函数,但可以由事件的概率只依赖于一个变量的这一特性出发,通过微增量寻找等式,从而再通过求解微分方程的方法求出这个未知函数.具体步骤为:首先从这一个变量的局部性质出发(微增量),继而建立方程等式,最后应用微分方程的知识求出未知函数.下面举例说明.某机器在△t时间内因故障而停止工作的概率为α△t+o(△t)(α为正常数).假设机器在不重叠的时间内停止工作的各个事件相互独立.已知机器在时刻t0正常工作,试求机器从时刻t0到t0+t这段时间内正常工作的概率.在机器正常工作的情况下,所求概率只与时间区间[t0,t0+t]的长短有关,而与起点时刻t0无关.于是所求概率只与t有关,记为p(t).因为对函数p(t)的性质未知,且由题目条件知机器在任一时刻t的充分小的增量Δt时间内机器因故障而停止工作的概率为α△t+o(△t),故可先考查函数p(t)在微小增量△t时间内的变化特征.机器在[t0,t0+t+△t]内正常工作,当且仅当机器在[t0,t0+t]及[t0+t,t0+t+△t]这2段时间内均正常工作才成立.由题目假设可知这2 个事件相互独立,故有:p(t+△t)=p(t)p(△t)=p(t)[1-α△t-o(△t)],p(t+△t)-p(t)=-αp(t)△t-p(t)×o(△t),).因为p(t)≤1,故当△t→0,有:求解微分方程得:p(t)=Ce-αt(C为任意常数)(*).由题目假设知机器在t0时刻正常工作,于是由此知初始条件为p(0)=1,代入(*)式可求出C=1,得p(t)=e-αt,则机器从时刻t0到t0+t这段时间内正常工作的概率为e-αt.本例是概率论中求解概率的问题,但是其方法运用了微积分中极限的思维,显示出了微积分思想和概率论的紧密联系.当然,微分法在求解概率论中的期望和方差时也有巧妙的运用.1.5 逐项微分法在概率论中的应用在概率论中离散型随机变量的数学期望及方差分别定义为:连续型随机变量的数学期望及方差分别定义为:当随机变量服从某一带参数的分布时,则由随机变量数学期望的定义,在求期望时可运用逐项微分法,先对等式两边同时关于参数求导,再根据微积分理论中的级数及积分的知识求出结果.而在求方差时,由于在前面的步骤中已求出数学期望E(ξ),由公式D(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2可知,现只需要求出随机变量ξ的二阶矩E(ξ2)即可.下面通过具体例子加以说明.设随机变量X~p(λ),求E(X)与D(X).由离散型随机变量分布律的完备性可得:两边同时乘eλ得:两边对λ求导且由幂级数的可交换性可得:即:E(X)=λ.(**)式两边对λ求导得:E(X2)=λ+λ2,所以:D(X)=λ.本研究运用微积分的思想对概率论作了简单探讨,如求期望、方差、概率密度函数等问题,当然,其在概率论中的应用远非于此,在建立完备的概率空间中也起了至关重要的作用.微积分是构建概率论理论的基石,在后续的工作中将运用微积分的思想对概率论作进一步研究,同时用概率论的相关结论来丰富微积分的思想.。

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