2021年人教版高一数学必修一第5单元三角函数(讲解和习题)

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部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案必须掌握的典型题

(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案必须掌握的典型题单选题1、已知f (x )=2√3sinwxcoswx +2cos 2wx ，（w >0），若函数在区间(π2,π)内不存在对称轴，则w 的范围为（）A ．(0,16]∪[13,34]B ．(0,13]∪[23,34]C ．(0,16]∪[13,23]D ．(0,13]∪[23,56]2、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A 、B 、C 为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB 的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3、f(x)=−sinx−x cosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4、已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于y 轴对称，则|φ|的最小值为（） A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π125、若函数f (x )=sin (ωx +π3) (ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是（）A ．(0，112]∪[16，712]B ．(0，16]∪[13，23] C ．(0，712]D ．[13，23]6、把函数f(x)=sin (2x −π4)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移a(a >0)个单位长度，得到函数y =cosx 的图象，则a 可以是（） A ．π8B ．π4C ．π2D ．3π47、已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3,−2cos3)，则角α的弧度数为（） A ．3−π2B ．π2−3C ．π−3D ．3π2−38、在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第x 天时太阳直射点的纬度值为y ，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y 与x 近似满足y =23.4392911sin0.01720279x .则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（）（精确到1）参考数据π0.01720279≈182.6211A ．290B ．291C ．292D ．293 多选题9、已知tanθ=2，则下列结论正确的是（）A ．tan(π−θ)=−2B ．tan(π+θ)=−2C ．sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=−17D ．sin2θ=45 10、下列四个函数中，以π为周期且在(0,π2)上单调递增的偶函数有（） A ．y =cos |2x |B ．y =sin2x C ．y =|tanx |D ．y =lg |sinx |11、若角α的终边上有一点P (a,2a )(a ≠0)，则2sinα−cosα的值可以是（） A ．−3√55B ．√55C ．−√55D ．3√55填空题12、如果角α是第三象限角，则点P(tanα,sinα)位于第_______象限13、已知函数f (x )=sin (πx +φ)(|φ|<π)的图象过点(13,1)，若f (x )在[−2,a ]内有5个零点，则a 的取值范围为______.部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案(一)参考答案1、答案：C分析：先通过三角恒等变换将f (x )化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．函数化简得f (x )=√3sin2wx +cos2wx +1=2sin (2wx +π6)+1，由2wx +π6=kπ+π2(k ∈Z )，可得函数的对称轴为x =kπ+π32w(k ∈Z )，由题意知，kπ+π32w≤π2且(k+1)π+π32w≥π，即k +13≤w ≤3k+46，k ∈Z ，若使该不等式组有解，则需满足k +13≤3k+46，即k ≤23，又w >0，故0≤3k+46，即k >−43，所以−43<k ≤23，又k ∈Z ，所以k =0或k =1，所以w ∈(0,16]∪[13,23]． 2、答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，根据定义逐项判断即可得出结论.若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34，则一个弓形面积S =π6−√34，则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32，而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 3、答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可. 由f(−x)=−sin (−x )+x cosx+x 2=−−sinx−xcosx+x 2=−f (x )，所以f (x )为奇函数，故排除选项A. 又f (π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C 4、答案：A分析：首先将函数f (x )化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数g(x)的解析式，然后利用函数图象的对称性建立φ的关系式，求其最小值． f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin (2x +π3)，所以g(x)=f(x +φ)=2sin [2(x +φ)+π3] =2sin (2x +2φ+π3)，由题意可得，g(x)为偶函数，所以2φ+π3=kπ+π2(k ∈Z)，解得φ=kπ2+π12(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π12．故选：A. 5、答案：A分析：根据题意可得函数f (x )在区间(π，2π)内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间(π，2π)为单调区间的子集得到关于ω的不等式组，解不等式组可得所求．解：函数y =sin x 的单调区间为[kπ+π2，kπ+3π2]，k ∈Z ，由kπ+π2⩽ωx +π3⩽kπ+3π2，k ∈Z ，得kπ+π6ω⩽x ⩽kπ+7π6ω，k ∈Z ．∵函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，∴函数f(x)在区间(π，2π)内单调，∴(π，2π)⊆[kπ+π6ω，kπ+7π6ω]，k∈Z，∴ {kπ+π6ω⩽πkπ+7π6ω⩾2π，k∈Z，解得k+16⩽ω⩽k2+712，k∈Z.由k+16<k2+712，得k<56．当k=0时，得16⩽ω⩽712，当k=−1时，得−56⩽ω⩽112，又ω>0，故0<ω⩽112，综上得ω的取值范围是(0，112]∪[16，712]，故选A6、答案：D分析：根据三角函数的图象变换得到y=sin(x+a−π4)，得到sin(x+a−π4)=cosx，结合选项，逐项判定，即可求解.由题意，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数y=sin(x−π4)的图象，将该图象向左平移a(a>0)个单位长度，得到y=sin(x+a−π4)的图象，所以sin(x+a−π4)=cosx，对于A中，当a=π8时，sin(x+π8−π4)=sin(x−π8)≠cosx，故A错误；对于B中，当a=π4时，sin(x+π4−π4)=sinx≠cosx，故B错误；对于C中，当a=π2时，sin(x+π2−π4)=sin(x+π4)≠cosx，故C错误；对于D中，当a=3π4时，sin(x+3π4−π4)=sin(x+π2)=cosx，故D正确．故选：D．7、答案：A分析：先根据定义得α正切值，再根据诱导公式求解tanα=−2cos32sin3=−sin(π2−3)cos(π2−3)=tan(3−π2)，又0<3−π2<π2，α为锐角，∴α=3−π2，故选：A.8、答案：B分析：设闰年个数为x，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式366x+365(1200−x)=365.2422×1200，求解x即可.解：T=2πω=2π0.01720279=2×182.6211=365.2422，所以一个回归年对应的天数为365.2422天假设1200年中，设定闰年的个数为x，则平年有1200−x个，所以366x+365(1200−x)=365.2422×1200解得：x=0.2422×1200=290.64.故选：B.9、答案：ACD分析：对于A，B利用诱导公式可求解；对于C，D利用齐次式化简可判断. 对于A选项，tan(π−θ)=−tanθ=−2，故A选项正确；对于B选项，tan(π+θ)=tanθ=2，故B选项错误；对于C选项，sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=tanθ−32tanθ+3=2−34+3=−17，故C选项正确；对于D选项，sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=44+1=45，故D选项正确.故选：ACD10、答案：CD分析：由单调性判断出A选项，由奇偶性判断B选项，C选项可画出函数图象进行判断，D选项，先判断出y=|sinx|的最小正周期，单调性及奇偶性，进而作出判断.y=cos|2x|在(0,π2)上不单调，故A错误；y =sin2x 为奇函数，故B 错误； y =|tanx |图象如下图：故最小正周期为π，在(0,π2)上单调递增，且为偶函数，故C 正确；y =|sinx |最小正周期为π，在(0,π2)上单调递增，且为偶函数，则y =lg |sinx |也是以π为周期且在(0,π2)上单调递增的偶函数，故D 正确. 故选：CD 11、答案：AD分析：根据三角函数的定义计算，注意分类讨论．若α的终边上有一点P (a,2a )(a ≠0)，则cosα=2()2=√5|a |={√55,a >0−√55,a <0，sinα=2()2=√5|a |={2√55,a >0−2√55,a <0 ，所以2sinα−cosα={3√55,a >0−3√55,a <0.故选：AD. 12、答案：四分析：由角α是第三象限角，可判断出tanα>0,sinα<0，从而可判断出点P 的位置因为角α是第三象限角，所以tanα>0,sinα<0，所以点P(tanα,sinα)位于第四象限，所以答案是：四13、答案：[176,23 6)分析：根据题意求得f(x)=sin(πx+π6)，由x∈[−2,a]时，得到πx+π6∈[−2π+π6,aπ+π6]，结合正弦函数的性质，列出不等式3π≤aπ+π6<4π，即可求解.由题意知，函数f(x)的图象过点(13,1)，所以sin(π3+φ)=1，解得π3+φ=π2+2kπ,k∈Z，因为|φ|<π，所以φ=π6，所以f(x)=sin(πx+π6)，当x∈[−2,a]时，可得πx+π6∈[−2π+π6,aπ+π6]，因为f(x)在[−2,a]内有5个零点，结合正弦函数的性质可得3π≤aπ+π6<4π，所以176≤a<236，即实数a的取值范围是[176,236).所以答案是：[176,23 6).。

新教材高中数学第五章三角函数第2课时单调性最大值与最小值课后篇巩固提升含解析新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：第2课时单调性、最大值与最小值课后篇巩固提升合格考达标练1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )A.(-π4,π4) B.(π4,3π4)C.(π,3π2) D.(3π2,2π)y=|sin x|的图象即可求解.故选C .2.(2021山西太原高一期末)函数y=sin π3-2x 的单调递减区间是( )A.2k π-π12,2k π+5π12(k ∈Z ) B .k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ) C .2k π+5π12,2k π+11π12(k ∈Z ) D .k π+5π12,k π+11π12(k ∈Z )解析y=sinπ3-2x =-sin 2x-π3,由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,得k π-π12≤x ≤k π+512π,k ∈Z .故函数y=sinπ3-2x 的单调递减区间是k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ).故选B . 3.函数y=cos x+π6,x ∈0,π2的值域是( ) A.-√32,12B.-12,√32C.√32,1 D.12,1解析因为0≤x ≤π2,所以π6≤x+π6≤23π.所以cos 23π≤cos x+π6≤cos π6,所以-12≤y ≤√32.故选B .4.函数y=2sinxsinx+2的最小值是( )A.2B.-2C.1D.-1y=2sinxsinx+2=2-4sinx+2,当sin x=-1时,y=2sinxsinx+2取得最小值-2.故选B .5.函数y=sin 2x+2cos x (π3≤x ≤4π3)的最大值和最小值分别是( )A.74,-14 B.74,-2 C.2,-1D.2,-2y=sin 2x+2cos x (π3≤x ≤4π3)=1-cos 2x+2cos x=-(cos x-1)2+2, 又cos x ∈[-1,12].所以当cos x=-1,即x=π时,函数y 取得最小值为-4+2=-2;当cos x=12,即x=π3时,函数y 取得最大值为-14+2=74.6.函数f (x )=13sinπ4-x ,x ∈[0,π]的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .答案3π4,π 0,3π4解析f (x )=-13sin x-π4,令-π2+2k π≤x-π4≤π2+2k π,k ∈Z ,则-π4+2k π≤x ≤3π4+2k π,k ∈Z 时,f (x )单调递减. 又0≤x ≤π,所以0≤x ≤3π4, 即f (x )的单调递减区间为0,3π4, 同理f (x )的单调递增区间为3π4,π,所以f (x )在x ∈[0,π]上的单调递减区间为0,3π4,单调递增区间为3π4,π.7.sin 1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为 .<sin 1<sin 21<π2<2<3<π,sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3.y=sin x 在0,π2上单调递增,且0<π-3<1<π-2<π2,所以sin(π-3)<sin1<sin(π-2), 即sin3<sin1<sin2.8.若y=a sin x+b 的最大值为3,最小值为1,则ab= .2a>0时,{a +b =3,-a +b =1,解得{a =1,b =2,所以ab=2.当a<0时,{a +b =1,-a +b =3,解得{a =-1,b =2,所以ab=-2. 综上可得,ab=±2.等级考提升练9.已知sin α>sin β,α∈-π2,0,β∈π,32π,则( )A.α+β>πB.α+β<πC.α-β≥-32πD.α-β≤-32π解析因为β∈π,32π,所以π-β∈-π2,0,且sin(π-β)=sin β.因为y=sin x 在x ∈-π2,0时单调递增,sin α>sin β, 所以sin α>sin(π-β),则α>π-β,即α+β>π.故选A . 10.函数y=2+cosx 2-cosx(x ∈R )的最大值是( )A.5B.52C.3D.5y=42-cosx -1,而1≤2-cos x ≤3,所以43≤42-cosx ≤4,所以13≤y ≤3.故函数y 的最大值是3. 11.已知函数f (x )=sin (x +π6),其中x ∈[-π3,α],若f (x )的值域是[-12,1],则α的取值范围是( ) A.(0,π3] B.[π3,π2] C.[π2,2π3]D.[π3,π]解析若-π3≤x ≤α,则-π6≤x+π6≤α+π6,∵当x+π6=-π6或x+π6=7π6时,sin x+π6=-12,∴要使f (x )的值域是[-12,1], 则有π2≤α+π6≤7π6,π3≤α≤π,即α的取值范围是[π3,π]. 12.函数f (x )=15sin x+π3+cos x-π6的最大值为 ( )A.6B.1C.35D.15解析因为x+π3+π6-x =π2, 所以f (x )=15sin x+π3+cos x-π6=15sin x+π3+cosπ6-x=15sin x+π3+sin x+π3=65sin x+π3≤65.所以f (x )max =65. 故选A .13.(多选题)(2021广州番禺高一期末)设函数f (x )=sin x-π4,则下列结论正确的是( ) A.f (x )的最小正周期为2π B .f (x )的图象关于直线x=π4对称 C .f (x )的图象关于点-π4,0对称 D .f (x )在区间0,π2上单调递增A,ω=1,T=2π,故A 正确;对于B,由x-π4=k π+π2,k ∈Z ,解得x=k π+3π4,k ∈Z , k=0时,x=3π4,k=-1时,x=-π4,故B 错误;对于C,由x-π4=k π,k ∈Z ,解得x=k π+π4,k ∈Z ,k=0时,x=π4,k=-1时,x=-3π4,故C 错误; 对于D,由-π2<x-π4<π2,解得-π4<x<3π4, 故函数在-π4,3π4上单调递增,故D 正确.故选AD .14.若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间0,π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω= .3f (x )=sin ωx (ω>0)过原点,∴当0≤ωx ≤π2,即0≤x ≤π2ω时,y=sin ωx 单调递增;当π2≤ωx ≤3π2,即2ω≤x ≤3π2ω时,y=sin ωx 单调递减. 由f (x )=sin ωx (ω>0)在0,π3上单调递增, 在π3,π2上单调递减知,π2ω=π3,则ω=32.15.已知函数f (x )=1-2a-2a cos x-2sin 2x 的最小值为g (a ),a ∈R . (1)求g (a );(2)若g (a )=12,求a 及此时f (x )的最大值.y=f (x )=1-2a-2a cos x-2(1-cos 2x ),令t=cos x ,则y=2t 2-2at-2a-1,t ∈[-1,1], 当a2<-1,即a<-2时,y min =f (-1)=1;当-1≤a 2≤1,即-2≤a ≤2时,y min =f (a2)=-a 22-2a-1. 当a2>1,即a>2时,y min =f (1)=-4a+1.故g (a )={1,a <-2,-a 22-2a -1,-2≤a ≤2,-4a +1,a >2.(2)由g (a )=12,得a=-1,此时f (x )=2cos 2x+2cos x+1, 当cos x=1时,f (x )max =5,此时x=2k π,k ∈Z .16.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|φ|<π2),若函数y=f (x )的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,且直线x=π6是函数y=f (x )图象的一条对称轴.(1)求ω的值;(2)求y=f (x )的单调递增区间; (3)若x ∈[-π6,π3],求y=f (x )的值域.因为函数y=f (x )的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为π2,所以函数的周期T=π,所以ω=2ππ=2. (2)因为直线x=π6是函数y=f (x )图象的一条对称轴,所以2×π6+φ=k π+π2,k ∈Z ,φ=k π+π6,k ∈Z .又|φ|<π2,所以φ=π6.所以函数f (x )的解析式是y=sin (2x +π6). 令2x+π6∈[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z ,解得x∈[kπ-π3,kπ+π6],k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.(3)因为x∈[-π6,π3],所以2x+π6∈-π6,5π6.所以sin(2x+π6)∈[-12,1],即函数的值域为[-12,1].新情境创新练17.(2020浙江丽水高一期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω,φ∈R),若fπ4=0,且f(x)在区间5π28,2π7上是单调函数,则ω的最大值是.解析由fπ4=0,且f(x)在区间5π28,2π7上是单调函数,易得5π28<π4<2π7,且fπ4=0,可得当x∈5π28,π4时与x∈π4,2π7时,f(x)均单调,可得T4≥π4−5π28=π14,T≥2π7,同理T4≥2π7−π4=π28,T≥π7,综上可得T≥2π7,即2π|ω|≥2π7,可得|ω|≤7,故ω的最大值是7.。

2020-2021学年新教材人教A版高一数学必修第一册第五章三角函数单元测试

2020-2021学年新教材高一数学人教A 版必修第一册第五章三角函数单元测试题一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知扇形的圆心角为2 rad ，弧长为4 cm ，则这个扇形的面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 22．已知a ＝tan 5π12，b ＝cos 3π5，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4，则( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b3．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6等于( ) A.35 B.45C ．－35D ．－455．函数f (x )＝x sin x 的图象大致是( )6．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α7．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为( )A ．75米B ．85米C ．(50＋253)米D ．(60＋253)米8．已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0,2π]，则函数f (x )的所有零点之和等于( )A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( )A ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2C ．y ＝sin|2x |D ．y ＝|sin x |10．已知sin θ＝－23，且cos θ>0，则( )A ．tan θ<0B ．tan 2θ>49C ．sin 2θ>cos 2θD ．sin 2θ>011．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )在[0，π]上有三个零点C ．当x ＝π8时，函数f (x )取得最大值D ．为了得到函数f (x )的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)12．若函数f (x )＝1＋4sin x －t 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π上有2个零点，则t 的可能取值为( )A ．－2B ．0C ．3D ．4三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．tan 15°＝________.14．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．15．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则A ＝________.16．已知函数f (x )＝3sin 3x －a cos 3x ＋a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫29π＝3，则实数a ＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点A ，且点A 的纵坐标为45.(1)求cos α和sin α； (2)求tan 2α的值．18．(12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．19．(12分)(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 2(π－α)＋2sinαsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋1的值； (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－θ的值．20．(12分)在①tan α＝43，②7sin 2α＝2sin α，③cos α2＝277这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos(α＋β)＝－13，________，求cosβ.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最值，并求出取最值时x 的值；(3)求不等式f (x )≥2的解集．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的表达式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，若关于x 的方程f (x )＋g (x )－a ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有实数解，求实数a的取值范围．三角函数单元测试参考答案1．解析：设半径为R ，由弧长公式得4＝2R ，即R ＝2 cm ，则S ＝12×2×4＝4 (cm 2)，故选A.答案：A2．解析：a ＝tan 5π12>1，b ＝cos 3π5<0,1>c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cosπ4>0.∴a ＞c ＞b .则12<t －14<1或－1<t －14<0，解得3<t <5或－3<t <1，故选ABD. 答案：ABD13．解析：tan 15°＝tan(45°－30°)＝1－tan 30°1＋tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 314．解析：由图象可知：当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＝－1时，y min ＝k －3＝2，∴k ＝5，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＝1时，y max ＝5＋3＝8. 答案：8 15．解析：由sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，得sin A ＝2sin B ①. 由3cos A ＝－2cos(π－B )，得3cos A ＝2cos B ②. 由①2＋②2得：sin 2A ＋3cos 2A ＝2，即2cos 2A ＝1.由②和A ，B 为三角形的内角，可知角A ，B 均为锐角，则cos A ＝22.所以A ＝π4.答案：π416．解析：①因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫29π＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝3sin 2π3－a cos 2π3＋a ＝3，解得：a ＝1；②将a ＝1代入，得f (x )＝3sin 3x －cos 3x ＋1，化简得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6＋1，故－π2＋2k π≤3x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z。

新教材高中数学第五章三角函数5-4-2第1课时周期性奇偶性课件新人教A版必修第一册

T
周期,因为f(2x+T)=f[2(x+ 2
)]=f(2x),所以
T
2
才是最小正周期.
3.周期函数的周期不唯一.若T是函数f(x)的最小正周期,则kT(k∈Z,k≠0)也
是函数f(x)的周期.
4.并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为
常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,而最小正数是不存在的,所以常
3
答案 (1)× (2)×
3
(3)×
微练习
若函数y=f(x)是以2为周期的函数,且f(5)=6,则f(1)=
答案 6
解析由已知得f(x+2)=f(x),所以f(1)=f(3)=f(5)=6.
.
)
微判断
(1)周期函数y=f(x)的定义域可以为[a,b](a,b∈R).(
)
(2)所有的函数都有最小正周期.(
π.
1
π
(3)sin ( + 6π)- =sin
3
4
知,y=sin
1
π
1
3
+ 2π-
x6π.
的周期为
4
3
π
4
=sin
1
3
π
- ,由周期函数的定义
4
(4)函数y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示,
由图象可知,y=|cos x|的周期为π.
反思感悟求函数最小正周期的常用方法
求三角函数的最小周期,一般有两种方法:(1)公式法,即先将函数化为
2.最小正周期
条件如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期

部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案知识点归纳总结(精华版)

(名师选题)部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案知识点归纳总结(精华版)单选题1、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin12、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（） A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π3、函数f(x)=sin (2x −π3)的一个对称中心的坐标是（） A ．(0,0)B ．(0,−√32)C ．(π2,0)D ．(π6,0) 4、为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（） A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度 C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度5、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ），则点P 第一次到达最高点需要的时间为（）s .A ．2B ．3C ．5D ．10 6、已知sinθ=45，则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=（）A ．−169B ．169C ．−43D ．437、若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα，则tanα=（） A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√1538、将函数y =2sin (x +π3)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（） A ．π12B ．π6C ．π3D ．2π3多选题9、如图，正方形ABCD 的长为2，O 为边AD 中点，射线OP 绕点O 按逆时针方向从射线OA 旋转至射线OD ，在旋转的过程中，记∠AOP 为x ，射线OP 扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为f (x )，则下列说法正确的是（）A ．f (π4)=12B ．f (x )在(π2,π)上为减函数C ．f (x )+f (π−x )=4D ．f (x )图象的对称轴是x =π2 10、下列各式中值为12的是（）． A ．2sin75°cos75°B ．1−2sin 25π12C ．sin45°cos15°−cos45°sin15°D ．tan20°+tan25°+tan20°tan25°11、已知函数f(x)=3sin(ωx +π3)(ω>0)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，则下列结论正确的是（） A ．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)的图象关于(−π6,0)对称C．f(x)在(−5π12,π12)上单调递减D．f(x)的图象关于直线x=7π12对称填空题12、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若cosA(sinC−cosC)=cosB,a=2,c=√2，则角C大小为_____.13、已知sinα−3cosα=0，则sin2α+sin2α=__________.部编版高中数学必修一第五章三角函数带答案(四十七)参考答案1、答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r的等式，由此求解出r的值.设扇形的半径为R，圆心角为α，面积为S，因为2R+αR=20，所以S=12αR2=(10−R)R≤(10−R+R2)2=25，取等号时10−R=R，即R=5，所以面积取最大值时R=5,α=2，如下图所示：设内切圆圆心为O，扇形过点O的半径为AP，B为圆与半径的切点，因为AO+OP=R=5，所以r+rsin∠BPO =5，所以r+rsin1=5，所以r=5sin11+sin1，故选：C.2、答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y=cosx的图象向右平移π3得到函数f(x)=cos(x−π3)的图象，则函数f(x)=cos(x−π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k∈Z)，而函数又在[−a,a]上单调递增，所以{−a≥−23πa≤π3⇒a≤π3，于是0<a≤π3，即a的最大值为π3. 故选：A.3、答案：D分析：解方程2x−π3=kπ,k∈Z即得解.解：令2x−π3=kπ,k∈Z,∴x=12kπ+π6，令k=0,∴x=π6，所以函数f(x)=sin(2x−π3)的一个对称中心的坐标是(π6,0).故选：D4、答案：D分析：根据三角函数图象的变换法则即可求出．因为y=2sin3x=2sin[3(x−π15)+π5]，所以把函数y=2sin(3x+π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象．故选：D.5、答案：C分析：设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，根据题意求出A,ω,φ，再令ℎ(t)=6可求出结果. 设点P离水面的高度为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+2，依题意可得A=4，ω=8π60=2π15，φ=−π6，所以ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)+2，令ℎ(t)=4sin(2π15t−π6)=6，得sin(2π15t−π6)=1，得2π15t−π6=2kπ+π2，k∈Z，得t=15k+5，k∈Z，因为点P第一次到达最高点，所以0<t<2π2π15=15，所以k=0,t=5s.故选：C6、答案：B分析：由诱导公式和同角关系sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)可化为sin 2θcos 2θ，再由同角关系由sinθ求出cos 2θ，由此可得结果.∵ sinθ=45，∴ cos 2θ=1−sin 2θ=925 则sin (π−θ)cos(π2+θ)cos (π+θ)sin(π2−θ)=sinθ(−sinθ)(−cosθ)cosθ=sin 2θcos 2θ=169，故选：B. 7、答案：A分析：由二倍角公式可得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α，再结合已知可求得sinα=14，利用同角三角函数的基本关系即可求解.∵tan2α=cosα2−sinα∴tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin 2α=12−sinα，解得sinα=14，∴cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=√1515. 故选：A.小提示：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sinα. 8、答案：D分析：由三角函数平移变换可得平移后函数为y =2sin (x +m +π3)，根据对称性得到m +π3=kπ(k ∈Z )，结合m >0可得所求最小值.将y =2sin (x +π3)向左平移m (m >0)个单位长度得：y =2sin (x +m +π3)， ∵y =2sin (x +m +π3)图象关于原点对称，∴m +π3=kπ(k ∈Z )，解得：m =−π3+kπ(k ∈Z )，又m >0， ∴当k =1时，m 取得最小值2π3. 故选：D.9、答案：AC分析：求出当0<tanx≤2时，函数f(x)的解析式，可判断A选项的正误；利用f(x)的单调性可判断B选项的正误；利用对称性可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.对于A选项，当0<tanx≤2时，设OP交AB于点E，tanx=tan∠AOE=|AE||OA|=|AE|，所以，f(x)=12|OA|⋅|AE|=12tanx，∵0<tanπ4≤2，∴f(π4)=12tanπ4=12，A选项正确；对于B选项，当x∈(π2,π)时，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即函数f(x)在(π2,π)上单调递增，B选项错误；对于C选项，取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD=x，所以，∠AOF=π−x，将射线OF绕O点按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S=f(x)，因为S+f(π−x)=4，即f(x)+f(π−x)=4，C选项正确；对于D选项，由C选项可知，f(x)+f(π−x)=4，则f(π4)+f(3π4)=4，所以，f(3π4)=4−f(π4)=72≠f(π4)，所以，函数f (x )的图象不关于直线x =π2对称，D 选项错误.故选：AC.小提示：关键点点睛：本题考查函数基本性质的判断问题，在判断函数f (x )的单调性时，需要充分利用f (x )的几何意义，结合面积的对称性来求解，另外在判断某些结论不成立时，可充分利用特殊值来进行否定. 10、答案：AC分析：选项A 利用二倍角的正弦求值；选项B 利用二倍角的余弦求值；选项C 逆用两角差的正弦公式求值；选项D 利用两角和的正切公式求值.因为2sin75°cos75°=sin (2×75°)=12，故选项A 正确；因为1−2sin 25π12=cos (2×5π12)=−√32，故选项B 错误；因为sin45°cos15°−cos45°sin15°=sin (45°−15°)=12，故选项C 正确；因为1=tan (20°+25°)=tan20°+tan25°1−tan20°tan25°，整理得，tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1，故选项D 错误；故选：AC. 11、答案：BD分析：先利用f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离和周期的关系求出ω值，再利用整体思想求其周期、单调性和对称轴.因为f(x)的图象对称轴与对称中心的最小距离为π4，所以T4=π4，即T =π，即选项A 错误；由T =2πω=π，得ω=2，即f(x)=3sin(2x +π3)，因为f(−π6)=3sin(−π3+π3)=3sin0=0，所以f(x)的图象关于(−π6,0)对称，即选项B 正确；当−5π12<x <π12时，则−π2<2x +π3<π2，所以f(x)=3sin(2x +π3)在(−5π12,π12)上单调递增，即选项C 错误；因为f(7π12)=3sin(7π6+π3)=3sin 3π2=−3，所以f(x)的图象关于直线x =7π12对称，即选项D 正确. 故选:BD. 12、答案：π6解析：根据三角形内角和以及诱导公式将B 转化为A,C ，利用两角和公式，可求出A ，再用正弦定理，即可求解.因为cosA (sinC −cosC )=cosB, 所以cosA (sinC −cosC )=−cos (A +C ),所以cosAsinC =sinAsinC,所以sinC (cosA −sinA )=0, 因为C ∈(0,π),∴sinC ≠0，所以cosA =sinA ，则tanA =1，所以A =π4，又a sinA =√2sinC ，则sinC =12，因为c <a ，所以0<C <π4，故C =π6. 故答案为:π6.小提示：本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，属于基础题. 13、答案：32##1.5分析：首先根据同角三角函数的基本关系求出tan α，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；解：因为sin α−3cos α=0，所以tan α=sin αcos α=3，所以sin 2α+sin2α=sin 2α+2sinαcosα=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=32+2×332+1=32所以答案是：32。

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.2三角函数的概念一课一练含解析第一册

第五章三角函数5.2三角函数的概念第1课时任意角的三角函数的定义考点1有关任意角的三角函数的定义的问题1。

(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为（1，—1），则cos α等于（ )。

A.1 B.—1 C .√22 D.-√22 答案：C解析:∵角α的终边上一点的坐标为(1,—1)，此点与原点的距离r =√12+(-1)2=√2,∴cos α=x r =√2=√22. 2。

(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P （—4,3），则2sin α+tan α的值是（）。

A 。

—920B 。

920 C.—25 D.25答案:B解析：∵角α的终边经过点P （-4,3),∴r =|OP ｜=5。

∴sin α=35,cos α=—45，tan α=—34。

∴2sin α+tan α=2×35+(-34)=920。

故选B 。

3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A （x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为（ )。

A.√3 B.—√3 C.√33 D.—√33 答案:A解析：因为tan60°=√3,所以y x=√3,故选A 。

4。

（2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P (2sin30°，—2cos30°)，则sin α的值为( ）。

A 。

12B 。

-12 C.-√32 D 。

-√33答案：C解析:由题意得P (1，-√3）,它与原点的距离r =√12+(-√3)2=2，所以sin α=—√32。

5。

（2019·新疆兵团二中高三上第二次月考）已知点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ=( )。

A.—13 B 。

±13C 。

—3 D.±3答案:C解析：因为点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，所以a =log 313=—1,即M (13,-1)，所以tan θ=-113=-3,故选C 。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(2)

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷2（共22题）一、选择题（共10题）1.若函数f(x)=sin(2x−π3)与g(x)=cos(x+π4)都在区间(a,b)(0<a<b<π)上单调递减，则b−a的最大值为( )A．π6B．π3C．π2D．5π122.设函数f(x)=2sin(2x+φ−π6)(0<φ<π,x∈R)为偶函数，则φ等于( )A．π6B．π3C．2π3D．5π63.函数f(x)=cos(3x+φ)的图象关于原点中心对称的充要条件是( )A．φ=π2B．φ=kπ(k∈Z)C．φ=kπ+π2(k∈Z)D．φ=2kπ−π2(k∈Z)4.已知sin(π6+α)=35，π3<α<5π6，则cosα的值是( )A．3−4√310B．4−3√310C．2√3−35D．3−2√355.已知函数f(x)=2cos2x−sin2x+2，则( )A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为46.已知定义域是全体实数的函数y=f(x)满足f(x+2π)=f(x)，且g(x)=f(x)+f(−x)2，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2，现定义函数y=p(x)，y=q(x)为：p(x)={g(x)−g(x+π)2cosx,x≠kπ+π20,x=kπ+π2，q(x)={ℎ(x )+ℎ(x+π)2sin2x,x ≠kπ20,x =kπ2，其中 k ∈Z ，那么下列关于 y =p (x )，y =q (x ) 叙述正确的是 ( ) A ．都是偶函数且周期为 π B ．都是奇函数且周期为 πC ．都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D ．都不是周期函数7. 要得到函数 y =2sin2x 的图象，只需把函数 y =4sin (x +π6)cos (x +π6) 的图象 ( )A ．向左平移 π3个单位B ．向右平移 π3个单位C ．向左平移 π6 个单位D ．向右平移 π6 个单位8. 已知 sin (α−π4)=7√210，cos2α=725，则 tan α2= ( )A ． 3B ． −3C ． ±3D ． ±49. 将函数 y =2cos (π6−x)cos (x +π3) 的图象向右平移 φ（φ>0）个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则 φ 的最小值为 ( ) A ． π3B ． π4C ． π6D ． π1210. 已知 f (x )=√2sin (x +π6)，把 f (x ) 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 12 倍，纵坐标不变，再向右平移 π6 个单位，得到 g (x ) 的函数图象，则 ( )A ． g (x ) 图象的对称轴为 x =π3+kπ2，k ∈ZB ． g (x ) 图象的对称轴为 x =π4+kπ2，k ∈Z 且为奇函数C ． g (x ) 图象的对称轴为 x =π+2kπ，k ∈Z 且为奇函数D ． g (x ) 图象的对称轴为 x =5π6+2kπ，k ∈Z二、填空题（共6题）11. 若 α∈(0,π)，sin (π−α)+cosα=√23，则 sinα−cosα 的值为．12. 若 sin 2018α−(2−cosβ)1009≥(3−cosβ−cos 2α)(1−cosβ+cos 2α)，则 sin (α+β2)= ．13. 已知实数 x ，y 满足 (2x −y )2+4y 2=1，则 2x +y 的最大值为．14. 已知函数 y =f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,∣φ∣<π2) 在一个周期内的简图如图所示，则函数 f (x ) 的解析式为，方程 f (x )−lgx =0 的实根个数为．15. 若实数 x ，y 满足 2cos 2(x +y −1)=(x+1)2+(y−1)2−2xyx−y+1，则 xy 的最小值为．16. 已知函数 f (x )=sin (x −π2)（x ∈R ），下面命题中，真命题是．（1）函数 f (x ) 的最小正周期为 2π；（2）函数 f (x ) 在区间 [0,π2] 上是增函数；（3）函数 f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称；（4）函数 f (x ) 是奇函数；（5）函数 f (x ) 的图象是将 y =sinx 向左平移 π2 个单位长度得到的．三、解答题（共6题）17. 不用计算器求值（写出解答步骤）：(1) sin15∘−cos15∘； (2) cos75∘+sin75∘．18. 计算：(1) 化简：sin (π−α)cos (π+α)sin(π2+α)sin (−α)sin(3π2+α)；(2) 已知α∈(π2,π)，且sin(π−α)+cosα=713，求tanα．19.对于集合A={θ1,θ2,⋯,θn}和常数θ0，定义：μ=cos2(θ1−θ0)+cos2(θ2−θ0)+⋯+cos2(θn−θ0)n为集合A 相对θ0的“余弦方差”．(1) 若集合A={π3,π4}，θ0=0，求集合A相对θ0的“余弦方差”；(2) 求证：集合A={π3,2π3,π}相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，并求此定值；(3) 若集合A={π4,α,β}，α∈[0,π)，β∈[π,2π)，相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，求出α，β．20.求y=−5sin(x+π6)的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．21.已知函数y=f(x)的定义域D，值域为A．(1) 下列哪个函数满足值域为R，且单调递增？（不必说明理由）① f(x)=tan[(x−12)π]，x∈(0,1)，② g(x)=lg(1x−1)，x∈(0,1)．(2) 已知f(x)=log12(2x+1)，g(x)=sin2x，函数f[g(x)]的值域A=[−1,0]，试求出满足条件的函数f[g(x)]一个定义域D；(3) 若D=A=R，且对任意的x,y∈R，有∣f(x−y)∣=∣f(x)−f(y)∣，证明：f(x+y)=f(x)+f(y)．22.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，∣φ∣<π2）在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x−2π3π3x1x210π3ωx+φ0π2π3π22πsin(ωx+φ)010−10f(x)0√30y20 (1) 请写出上表的x1，x2，y2，及函数f(x)的解析式；(2) 将函数f(x)的图象向右平移2π3个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式及y=log12[g(x)−√32]的单调递增区间；(3) 在（2）的条件下，若F(x)=g2(x)+√33a⋅g(x)−1在x∈(0,2019π)上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】对于函数f(x)，令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ(k∈Z)，当x∈(0,π)时，令k=0，则5π12≤x≤11π12；对于函数g(x)，令2kπ≤x+π4≤π+2kπ(k∈Z)，解得−π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ(k∈Z)，当x∈(0,π)时，令k=0，则0<x≤3π4.易得当函数f(x)与g(x)均在区间(a,b)（0<a<b<π）上单调递减时，b的最大值为3π4，a的最小值为5π12，所以b−a的最大值为3π4−5π12=π3.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】C【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】A【解析】因为π3<α<5π6，所以π2<π6+α<π．所以cos(π6+α)=−√1−sin2(π6+α)=−45．所以cosα=cos[(π6+α)−π6]=cos(π6+α)cosπ6+sin(π6+α)⋅sinπ6=−45×√32+35×12=3−4√310.【知识点】两角和与差的余弦5. 【答案】B【解析】由题知，f(x)=1+cos2x−1−cos2x2+2=32cos2x+52，所以f(x)的最小正周期为2π2=π，当cos2x=1时，f(x)取得最大值4．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】A【解析】因为g(x)=f(x)+f(−x)2，所以g(−x)=f(−x)+f(x)2=g(x)，且g(x+π)=f(x+π)+f(−x−π)2=f(x−π)+f(−x+π)2=g(x−π)，即g(x)的一个周期为2π，当x≠kπ+π2时，p(−x)=g(−x)−g(−x+π)2cos(−x)=g(x)−g(x−π)2cosx=g(x)−g(x+π)2cosx=p(x),且p(x+π)=g(x+π)−g(x+2π)2cos(x+π)=g(x+π)−g(x)−2cosx=p(x)，当x=kπ+π2时，p(x)=0，所以y=p(x)是偶函数且周期为π；同理，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2，所以ℎ(−x)=f(−x)−f(x)2=−ℎ(x)，且ℎ(x+π)=f(x+π)−f(−x−π)2=f(x−π)−f(−x+π)2=ℎ(x−π)，即ℎ(x)的一个周期为2π，当x≠kπ+π2时，q(−x)=ℎ(−x)−ℎ(−x+π)2sin2(−x)=−ℎ(x)+ℎ(x−π)−2sin2x=ℎ(x)−ℎ(x−π)2sin2x=ℎ(x)−ℎ(x+π)2sin2x=q(x),且q(x+π)=ℎ(x+π)+ℎ(x+2π)2sin2(x+π)=ℎ(x+π)+ℎ(x)2sin2x=q(x)，当x=kπ+π2时，q(x)=0，所以y=q(x)是偶函数且周期为π．综上所述，选A．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质7. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【解析】由sin(α−π4)=7√210⇒sinα−cosα=75，①cos2α=725⇒cos2α−sin2α=725，所以(cosα−sinα)(cosα+sinα)=725，②由①②可得cosα+sinα=−15，③由①③得sinα=35，cosα=−45，所以角α为第二象限角，所以α2为第一，三象限角，tanα2=√1−cosα1+cosα=√1+451−45=3．【知识点】二倍角公式、半角公式9. 【答案】D【解析】由题意可得：y=2cos(π6−x)cos(x+π3)=2sin(x+π3)cos(x+π3)=sin(2x+2π3).向右平移φ（φ>0）个单位后可得y=sin[2(x−φ)+2π3]=sin(2x−2φ+2π3)的图象，因为平移后函数为偶函数，所以−2φ+2π3=π2+kπ，所以φ=π12−kπ2，k∈Z，因为φ>0，所以φ的最小值是π12．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】A【解析】已知f(x)=√2sin(x+π6)，把f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，可得y=√2sin(2x+π6)的图象；再向右平移π6个单位，得到g(x)=√2sin(2x−π6)的函数图象，令2x−π6=kπ+π2，可得x=kπ2+π3，k∈Z，故g(x)图象的对称轴为x=kπ2+π3，k∈Z，且g(x)为非奇非偶函数，故选：A．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质二、填空题（共6题）11. 【答案】43【解析】由诱导公式，得sin(π−α)+cosα=sinα+cosα=√23，所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=29，所以2sinαcosα=−79，所以 (sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=169．又 α∈(0,π)，2sinαcosα<0，所以 sinα>0，cosα<0，所以 sinα−cosα>0，所以 sinα−cosα=43．【知识点】同角三角函数的基本关系12. 【答案】 ±1【知识点】三角方程与不等式、两角和与差的正弦13. 【答案】 √2【解析】由题意可令 {2x −y =sinα,2y =cosα,则 2x +y =sinα+cosα=√2sin (α+π4)，结合正弦函数的性质可知，2x +y 的最大值 √2．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】 f(x)=2sin(2x +π6) ； 63【解析】显然 A =2，由图象过点 (0,1)，得 f (0)=1，即 sinφ=12，又 ∣φ∣<π2，所以 φ=π6，又 (11π12,0) 是图象上的点，所以 f (11π12)=0，即 2sin (11π12ω+π6)=0 .由题图可知，(11π12,0) 是图象在 y 轴右侧部分与 x 轴的第二个交点，所以11π12ω+π6=2π，解得 ω=2，所以函数 f (x ) 的解析式为 f (x )=2sin (2x +π6) .在同一平面直角坐标系内作出函数 y =f (x )=2sin (2x +π6) 和函数 y =lgx 的简图，如图所示．因为 f (x ) 的最大值为 2，所以令 lgx =2，得 x =100．由图象易知，这两个函数图象在 [11π12,17π12] 内有两个交点，又17π12+30π<100．且11π12+31π>100，所以这两个图象在 [11π12,100] 内有 62 个交点，另外在 (0,11π12) 内还有 1 个交点．所以方程 f (x )−lgx =0 共有 63 个实根．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】 14【解析】因为 2cos 2(x +y −1)=(x+1)2+(y−1)2−2xyx−y+1，所以 2cos 2(x +y −1)=x 2+2x+1+y 2−2y+1−2xyx−y+1，所以 2cos 2(x +y −1)=x 2+y 2+2x−2y−2xy+1+1x−y+1，故 2cos 2(x +y −1)=(x−y+1)2+1x−y+1=(x −y +1)+1x−y+1，由基本不等式可得 (x −y +1)+1x−y+1≥2 或 (x −y +1)+1x−y+1≤−2，所以 2cos 2(x +y −1)≥2，由三角函数的有界性可得 2cos 2(x +y −1)=2，故 cos 2(x +y −1)=1，即 cos (x +y −1)=±1，此时 x −y +1=1，即 x =y ，所以 x +y −1=kπ，k ∈Z ，故 x +y =2x =kπ+1，解得 x =kπ+12，故 xy =x ⋅x =(kπ+12)2，当 k =0 时，xy 的最小值 14．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、均值不等式的应用16. 【答案】（1）（2）（3）【解析】本题考查三角函数的图象与性质．注意到 f (x )=−cosx ．对于（1），函数 f (x )=−cosx 的最小正周期为 2π；对于（2），函数 f (x ) 在区间 [0,π2] 上是增函数；对于（3），函数 f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称；对于（4），函数 f (x )=−cosx 是一个偶函数；对于（5），将 y =sinx 向左平移 π2 个单位长度得到函数 y =sin (x +π2)=cosx 的图象．综上所述，其中的真命题是（1）（2）（3）．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −√22． (2)√62．【知识点】两角和与差的正弦18. 【答案】(1)sin (π−α)cos (π+α)sin(π2+α)sin (−α)sin(3π2+α)=sinα⋅(−cosα)⋅cosα−sinα⋅(−cosα)=−cosα．(2) 因为 sin (π−α)+cosα=sinα+cosα=713，所以 (sinα+cosα)2=49169，所以 (sinα−cosα)2=2−(sinα+cosα)2=2−49169=289169，又 α∈(π2,π)，所以 sinα>0，cosα<0，所以 sinα−cosα=1713，所以 sinα=1213，cosα=−513，所以 tanα=−125．【知识点】诱导公式、同角三角函数的基本关系19. 【答案】(1) 依题意：μ=cos 2(π3−0)+cos 2(π4−0)2=14+122=38．(2) 由“余弦方差”定义得：μ=cos 2(π3−θ0)+cos 2(2π3−θ0)+cos 2(π−θ0)3，则分子=(cos π3cosθ0+sin π3sinθ0)2+(cos 2π3cosθ0+sin2π3sinθ0)2+(cosπcosθ0+sinπsinθ0)2=(12cosθ0+√32sinθ0)2+(−12cosθ0+√32sinθ0)2+cos 2θ0=12cos 2θ0+32sin 2θ0+cos 2θ0=32.所以 μ=323=12 为定值，与 θ0 的取值无关．(3) μ=cos 2(π4−θ0)+cos 2(α−θ0)+cos 2(β−θ0)3，分子=(cos π4cosθ0+sin π4sinθ0)2+(cosαcosθ0+sinαsinθ0)2+(cosβcosθ0+sinβsinθ0)2=(12cos 2θ0+12sin 2θ0+sinθ0cosθ0)+(cos 2αcos 2θ0+sin 2αsin 2θ0+2sinθ0cosθ0sinαcosα)+(cos 2βcos 2θ0=(12+cos 2α+cos 2β)cos 2θ0+(12+sin 2α+sin 2β)sin 2θ0+(1+sin2α+sin2β)sinθ0cosθ0=1+cos2θ02(12+cos 2α+cos 2β)+1−cos2θ02(12+sin 2α+sin 2β)+12(1+sin2α+sin2β)sin2θ0=cos2θ02(cos 2α+cos 2β−sin 2α−sin 2β)+sin2θ02(1+sin2α+sin2β)+12(12+cos 2α+cos 2β)+12(12+sin 2α=cos2θ02(cos2α+cos2β)+sin2θ02(1+sin2α+sin2β)+12(12+cos 2α+cos 2β)+12(12+sin 2α+sin 2β)=32+12sin2θ0⋅(1+sin2α+sin2β)+12cos2θ0⋅(cos2α+cos2β).要使 μ 是一个与 θ0 无关的定值，则 {cos2α+cos2β=0,1+sin2α+sin2β=0,因为 cos2α=−cos2β，所以 2α 与 2β 终边关于 y 轴对称或关于原点对称．又 sin2α+sin2β=−1，得 2α 与 2β 终边只能关于 y 轴对称，所以 {sin2α=sin2β=−12,cos2α=−cos2β.又 α∈[0,π)，β∈[π,2π)，则当 2α=76π 时，2β=236π；当 2α=116π 时，2β=196π．所以 α=712π，β=2312π 或 α=1112π，β=1912π．故 α=712π，β=2312π 或 α=1112π，β=1912π 时，相对任何常数 θ0“余弦方差”是一个与 θ0 无关的定值．【知识点】任意角的三角函数定义、二倍角公式、同角三角函数的基本关系20. 【答案】当 x =−2π3+2kπ(k ∈Z ) 时，函数 y =−5sin (x +π6) 取得最大值 5；当 x =π3+2kπ(k ∈Z ) 时，函数 y =−5sin (x +π6) 取得最小值 −5．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】(1) f (x )=tan [(x −12)π]，x ∈(0,1) 满足； g (x )=lg (1x −1)，x ∈(0,1) 不满足．(2) 因为 f [g (x )]=log 12(2sin2x +1)∈[−1,0]，所以 2sin2x +1∈[1,2]，即 sin2x ∈[0,12]，所以 2x ∈[2kπ,kπ+π6]∪[2kπ+5π6,2kπ+π]，k ∈Z ．所以 x ∈[kπ,kπ+π12]∪[kπ+5π12,kπ+π2]，k ∈Z ，满足条件的 D =[0,π12]（答案不唯一）．(3) 假设存在 a ，b 使得 f (a +b )≠f (a )+f (b )．又有 ∣f (a )∣=∣f (a +b )−f (b )∣，∣f (b )∣=∣f (a +b )−f (a )∣，所以 −f (a )=f (a +b )−f (b )，−f (b )=f (a +b )−f (a )，结合两式：f (a )=f (b )，f (a +b )=0，所以 ∣f (b )−f (−a )∣=∣f (a +b )∣=0，故 f (−a )=f (b )=f (a )．由于 f (a +b )≠f (a )+f (b ) 知：f (a )≠0．又 ∣∣f (a 2)∣∣=∣∣f (a )−f (a 2)∣∣⇒f (a 2)=12f (a )．类似地，由于 f (−a )≠0，∣∣f (−a 2)∣∣=∣∣f (−a )−f (−a 2)∣∣，得 f (−a 2)=12f (−a )=12f (a )．所以 ∣f (a )∣=∣∣f (a 2)−f (−a 2)∣∣=0，与 f (a )≠0 矛盾，所以原命题成立．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的单调性、抽象函数22. 【答案】(1) 由表格根据五点法作图的规律，可得 π3+2π3=x 1−π3=x 2−x 1=10π3−x 2，解得 x 1=4π3，x 2=7π3，A =√3，y 2=−√3，f (x )=√3sin (12x +4π3)．(2) 将函数 f (x )=√3sin (12x +4π3) 的图象向右平移 2π3个单位，可得 y =√3sin (12x −π3+4π3)=−√3sin 12x 的图象；再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的 12，纵坐标不变，得到函数 g (x )=√3sinx 的图象．函数 y =log 12[g (x )−√32]=log 12[√3sinx −√32]，由 √3sinx −√32>0，可得 sinx >12，要求函数的单调递增区间，即求 y =sinx 的减区间，而 y =sinx 的减区间为 [π2,5π6)，故 y =log 12[g (x )−√32] 的单调递增区间为 [π2,5π6)．(3) F (x )=g 2(x )+√33a ⋅g (x )−1=3sin 2x +asinx −1，令 F (x )=0，则 asinx =1−3sin 2x ，显然当 sinx =0 时，F (x ) 不存在零点，因此只需考虑 sinx ≠0 时，F (x ) 的零点情况，令 t =sinx （sinx ≠0 且 0<x ≤2π），则 t ∈[−1,0)∪(0,1]，a =1−3t 2t=1t −3t ，则函数 y =1t−3t 在 [−1,0) 和 (0,1] 上单调递减，且 t =1 时 y =2，当 t =−1 时，y =−2，所以当 y ∈(−2,2) 时，y =t 与 y =1t −3t 有两个交点，此时方程 asinx =1−3sin 2x 存在 4 个实根，当 y ∈(−∞,−2)∪(2,+∞) 时，y =t 与 y =1t −3t 有一个交点，此时方程 asinx =1−3sin 2x 存在 2 个实根，当 y =2 或 y =−2 时，y =t 与 y =1t −3t 有两个交点，此时方程 asinx =1−3sin 2x 存在3 个实根．因为 F (x )=g 2(x )+√33a ⋅g (x )−1 在 x ∈(0,2019π) 上恰有奇数个零点，所以当 x ∈(2018π,2019π) 时，F (x ) 只可能存在 2 个零点．因此只有 a =2 时符合条件，所以 x ∈(0,2019π) 时 F (x ) 的零点为：2018×32+2=3029 个．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦函数的图象。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷含答案解析(27)

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷4（共22题）一、选择题（共10题）1.已知sinφ=−45，且φ为第四象限角，则tanφ=( )A．43B．34C．−43D．−342.cos300∘=( )A．−√32B．−12C．12D．√323.若cos(α−π4)=√26，则sin2α的值为( )A．49B．−49C．89D．−894.设集合A={x∣ x−1>0}，集合B={x∣ x≤3}，则A∩B=( )A．(−1,3)B．(1,3]C．[1,3)D．[−1,3]5.cos50∘=( )A．cos70∘cos20∘−sin70∘sin20∘B．cos70∘sin20∘−sin70∘cos20∘C．cos70∘sin20∘+sin70∘cos20∘D．cos70∘cos20∘+sin70∘sin20∘6.若α为第四象限角，则( )A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<07.函数f(x)=sin(x−π4)的图象的一条对称轴是( )A．x=π4B．x=π2C．x=−π4D．x=−π28.已知角θ的终边经过点P(3,−1)，则cosθ=( )A．−√1010B．√1010C．−3√1010D．3√10109.与600∘角终边相同的角可表示为( )A．k⋅360∘+220∘(k∈Z)B．k⋅360∘+240∘(k∈Z)C．k⋅360∘+60∘(k∈Z)D．k⋅360∘+260∘(k∈Z)10.若α=45∘+k⋅180∘(k∈Z)，则α的终边在( )A．第一或第三象限B．第二或第三象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限二、填空题（共6题）11.函数f(x)=sinπx的最小正周期为．12.函数y=sin(2x−π6)的最小正周期为．13.函数y=3cos2x+1的最小正周期为．14.cos20π3=．15.设函数f(x)=a⋅sin2x+b⋅cos2x(a,b∈R)，给出下列结论：①当a=0，b=1时，f(x)为偶函数；②当a=1，b=0时，f(2x)在区间(0,π4)上是单调函数；③当a=√3，b=−1时，f(∣∣x2∣∣)在区间(−2π,2π)上恰有3个零点；④当a=√3，b=1时，设f(x)在区间[t,t+π4](t∈R)上的最大值为φ(t)，最小值为φ(t)，则φ(t)−ψ(t)≤2√2；则所有正确结论的序号是．16.cos215∘−sin215∘=．三、解答题（共6题）17.已知函数f(x)=(1+1tanx )sin2x−2sin(x+π4)⋅sin(x−π4)．(1) 若tanα=2，求f(α)的值．(2) 若x∈[π12,π2)，求函数f(x)的值域．18.求证：cos2(A+B)−sin2(A−B)=cos2Acos2B．19.写出下列说法所表示的角：(1) 顺时针拧螺丝2圈；(2) 将时钟拨慢2时30分，分针转过的角；(3) 向右转体3周．20.已知2020年5月1日是星期五，问2020年10月1日是星期几？21.设函数f(x)=sinωx+sin(ωx−π2)，x∈R．若ω=12，求f(x)的最大值及相应的x的集合22.航海罗盘将圆周32等分．如图所示，把其中每一份所对圆心角的大小分别用角度和弧度表示出来．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】同角三角函数的基本关系2. 【答案】C【解析】因为cos300∘=cos(360∘−60∘)=cos60∘=12．故选：C．【知识点】诱导公式3. 【答案】D【解析】若cos(α−π4)=√26，则sin2α=cos(π2−2α)=cos(2α−π2)=2cos2(α−π4)−1=2×236−1=−89.【知识点】二倍角公式4. 【答案】B【解析】本题考查集合的运算．由题意得A={x∣ x>1}，则A∩B={x∣ 1<x≤3}．【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】D【解析】cos50∘=cos(70∘−20∘)=cos70∘cos20∘+sin70∘sin20∘，故D选项正确．【知识点】两角和与差的余弦6. 【答案】D【解析】当α=−π6时，cos2α=cos(−π3)>0，B不符合题意；当α=−π3时，cos2α=cos(−2π3)<0，A不符合题意；由α在第四象限可得：sinα<0，cosα>0，则sin2α=2sinαcosα<0，C不符合题意，D符合题意；故答案为：D．【知识点】任意角的三角函数定义7. 【答案】C【解析】对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把x=−π4代入后得到f(x)=−1，因而对称轴为x=−π4．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】D【知识点】任意角的三角函数定义9. 【答案】B【解析】与600∘角终边相同的角可表示为k⋅360∘+600∘=k⋅360∘+360∘+240∘=(k+1)⋅360∘+240∘，k∈Z．【知识点】任意角的概念10. 【答案】A【解析】当k=2n,n∈Z时，α=45∘+n⋅360∘(n∈Z)，α在第一象限；当k=2n+1,n∈Z时，α=225∘+n⋅360∘(n∈Z)，α在第三象限．【知识点】任意角的概念二、填空题（共6题）11. 【答案】2【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质13. 【答案】π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】−12【解析】cos20π3=cos(7π−π3)=−cosπ3=−12．【知识点】诱导公式15. 【答案】①④【解析】对于③：f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，所以f(∣∣x2∣∣)=2sin(∣x∣−π6)．由f(∣∣x2∣∣)=0得∣x∣−π6=kπ(k∈Z)，因为x∈(−2π,2π)，所在k=0或k=1．所以x=±π6或x=7π6，即f(∣∣x2∣∣)在(−2π,2π)共4个重点，③错误．对于④：f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，则原问题可在价为考查函数g(x)=2sin2x在[t,t+π4]，即区间的窗口长度为π4是，最高点与最低点的高度差ΔH注意到π4为周期的14．1：当g(x)在[t,t+π4]上不单调时，ΔH≤2．2：当g(x)在[t,t+π4]上单调时，ΔH=∣∣2sin2t−2sin(2t+π2)∣∣=∣2sin2t−2cos2t∣=∣∣2√2sin(2t−π4)∣∣≤2√2．故④正确．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】√32【解析】由二倍角公式可得：cos215∘−sin215∘=cos(2×15∘)=cos30∘=√32．【知识点】二倍角公式三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) f(x)=(sin2x+sinxcosx)+2sin(x+π4)cos(x+π4)=1−cos2x2+12sin2x+sin(2x+π2)=12+12(sin2x−cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tanα=2，得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=45，cos2α=cos2α−sin2αsin2α+cos2α=1−tan2α1+tan2α=−35．所以f(α)=12(sin2α+cos2α)+12=35．(2) 由（1），得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=√22sin(2x+π4)+12．由x∈[π12,π2)，得2x+π4∈[5π12,5π4)，所以−√22<sin(2x+π4)≤1，所以0<f(x)≤√2+12，所以函数f(x)的值域是(0,√2+12]．【知识点】二倍角公式、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】左边=1+cos(2A+2B)2−1−cos(2A−2B)2=cos(2A+2B)+cos(2A−2B)2=12(cos2Acos2B−sin2Asin2B+cos2Acos2B+sin2Asin2B) =cos2Acos2B=右边.所以原等式成立．【知识点】二倍角公式19. 【答案】(1) 顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，由负角的定义可知所表示的角为−720∘．(2) 拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，2时30分是2周半．由正角的定义可知将时钟拨慢2时30分，分针转过的角为900∘．(3) 向右转体即按顺时针方向旋转，结合负角的定义可知向右转体3周表示的角为−1080∘．【知识点】任意角的概念20. 【答案】按照公历记法，2020年5，7，8月各31天，6，9月各30天，2020年5月1日到2020年10月1日共有153天，因为每个星期有7天，所以由153=22×7−1知，从2020年5月1日再过154天恰好与5月1日相同，都是星期五，这一天是2020年10月2日，故2020年10月1日是星期四．【知识点】任意角的概念21. 【答案】f(x)=sinωx+sin(ωx−π2)=sinωx−cosωx，当ω=12时，f(x)=sin x2−cos x2=√2sin(x2−π4)，而−1≤sin(x2−π4)≤1，所以f(x)的最大值为√2，此时x2−π4=2kπ+π2，k∈Z，即x=4kπ+3π2，k∈Z，相应的x的集合为{x∣∣x=4kπ+3π2,k∈Z}．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质22. 【答案】11.25∘，π16．【知识点】弧度制。

2021_2022学年新教材高中数学第五章三角函数1.1任意角训练含解析新人教A版必修第一册

任意角A级——基础过关练1．－215°是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】B 【解析】由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．(2021年白银高一期中)下列选项中叙述正确的是( )A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．锐角一定是第一象限的角C．小于90°的角一定是锐角D．终边相同的角一定相等【答案】B 【解析】A中，当三角形的内角为90°时，不是象限角，A错误．B中，锐角的范围是(0°，90°)，是第一象限角，B正确．C中，0°＜90°，但0°不是锐角，C 错误．D中，终边相同的角不一定相等，比如45°和360°＋45°的终边相同，但两个角不相等，D错误．故选B．3．(2021年杭州模拟)下列说法：①第二象限的角必大于第一象限的角；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限．则( )A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误【答案】D 【解析】①第二象限的角不一定大于第一象限的角，如120°是第二象限角，390°是第一象限角，故①错误；②若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故②错误．故选D．4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C 【解析】可以给α赋一特殊值，如－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．(多选)下列四个选项中正确的有( )A．－75°角是第四象限角B．225°角是第三象限角C．475°角是第二象限角D．－315°是第一象限角【答案】ABCD 【解析】对于A，如图1所示，－75°角是第四象限角；对于B，如图2所示，225°角是第三象限角；对于C，如图3所示，475°角是第二象限角；对于D，如图4所示，－315°角是第一象限角．故选ABCD．6．已知α为第三象限角，则α2是__________________，2α是____________________________．【答案】第二或第四象限角第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴的角．7．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.【答案】270°【解析】因为5α＝α＋k·360°，k∈Z，所以α＝k·90°，k∈Z.又因为180°<α<360°，所以α＝270°.8．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．【答案】－75°或285°【解析】如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°＜α＜360°，令k＝0或k＝1，得α＝－75°或α＝285°.9．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角α的集合．解：(1){α|k·360°＋135°＜α＜k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．B级——能力提升练10．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上【答案】A 【解析】因为α＝β＋k·360°，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以其终边在x轴的非负半轴上．11．与－468°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}【答案】B 【解析】因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z.故选B．12．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．【答案】{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z} 【解析】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得终边在阴影部分内的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．13．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角．【答案】一或三【解析】由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．C 级——探究创新练14．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、N 之间的关系为( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅【答案】B 【解析】对集合M ：x ＝(2k ±1)·45°，k ∈Z ，即为45°的奇数倍；对于集合P ：x ＝(k ±2)·45°，k ∈Z ，即为45°的整数倍．所以M N .故选B ．15．如图所示，写出终边落在图中阴影部分(不包括边界)的角α的集合，并指出2α，α2分别是第几象限的角．解：由题意可知k ·360°＋135°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z ，所以k ·720°＋270°＜2α＜k ·720°＋300°，k ∈Z ，是第四象限角，k ·180°＋67.5°＜α2＜k ·180°＋75°，k ∈Z ，是第一或第三象限的角．。

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(18)

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.tan255∘=( )A．−2−√3B．−2+√3C．2−√3D．2+√32.已知θ是第三象限角，则√sin2θ−sin4θ可化简为( )A．sinθcosθB．−sinθcosθC．2sinθcosθD．−2sinθcosθ3.已知cos(π4−α)=45，则sin2α=( )A．−725B．725C．−15D．154.若α=−6，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.已知函数f(x)=3cos(π2x+2)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则∣x1−x2∣的最小值为( )A．4B．1C．12D．26.若α与β关于y轴对称，则( )A．α+β=π2+kπ(k∈Z)B．α+β=2kπ+π2(k∈Z)C．α+β=2kπ(k∈Z)D．α+β=2kπ+π(k∈Z)7.设函数f(x)=cos(x+π3)，则下列结论错误的是( )A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C．f(x+π)的一个零点为x=π6D．f(x)在(π2,π)单调递减8. 将函数 y =cos (x −π3) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平移 π6 个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为 ( ) A ． x =π2B ． x =π8C ． x =π9D ． x =π9. 已知函数 f (x )=sin (ωx +π6)+12(ω>0) 在区间 (0,π2) 上有且仅有两个零点，则实数 ω 的取值范围为 ( ) A ． (2,143]B ． [2,143)C ． [103,4)D ． (103,6]10. −300∘ 的弧度数是 ( ) A ． −π6B ． −π3C ． −5π6D ． −5π3二、填空题（共6题）11. 某公园草坪上有一扇形小径（如图），扇形半径为 40 m ，中心角为 120∘，甲由扇形中心 O 出发沿 OA 以每秒 2 米的速度向 A 快走，同时乙从 A 出发，沿扇形弧以每秒4π3米的速度向 B 慢跑，记 t (0≤t ≤20) 秒时甲、乙两人所在位置分别为 N ，M ，∣MN∣=f (t )，通过计算 f (5)，f (10)，f (15)，判断下列说法是否正确：（1）当 MN ⊥OA 时，函数 f (t ) 取最小值；（2）函数 y =f (t ) 在区间 [10,15] 上是增函数；（3）若 f (t 0) 最小，则 t 0∈[0,10]；（4）g (t )=f (t )−40 在 [0,20] 上至少有两个零点．其中正确的判断序号是（把你认为正确的判断序号都填上）．12. 已知 sinα=45，则 cos (α+π2)= ．13. 化简√1−2sin10∘cos10∘cos10∘−√1−cos 2170∘= ．14. 已知函数 f (x )={∣log 4x ∣,0<x <4sin (π4x −π2),4≤x ≤12，若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4，当 x 1<x 2<x 3<x 4 时，满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2 的取值范围是．15. 已知 0<α<π2，cos (α+π6)=35，则 cosα= ．16. 已知函数 f (x )=∣sinx∣+∣cosx∣−4sinxcosx −k ，若函数 y =f (x ) 在区间 (0,π) 内恰好有奇数个零点，则实数 k 的所有取值之和为．三、解答题（共6题）17. 已知函数 f (x )=sin (3x +π4)．(1) 求 f (x ) 的单调递增区间；(2) 若 α 是第二象限角，f (α3)=45cos (α+π4)cos2α，求 cosα−sinα 的值．18. 请回答：(1) 已知 f (α)=sin (2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan (π+α)，求 f (π3) 的值；(2) 已知 cos (75∘+α)=13，求 sin (α−15∘)+cos (105∘−α) 的值．19. 已知函数 f (x )=√2asin (x −π4)+a +b ．(1) 当 a =1 时，求函数 f (x ) 的单调递减区间；(2) 当 a <0 时，f (x ) 在 [0,π] 上的值域为 [2,3]，求 a ，b 的值．20. 设全集为 R ，A ={x∣ 2<x ≤5}，B {x∣ 3<x <8}，C ={x∣ a −1<x <2a }．(1) 求 A ∩B ，∁R (A ∪B )；(2) 若 A ∩B ∩C =∅，求实数 a 的取值范围．21. 已知 cosα=35，α∈(−π2,0)．(1) 求 tanα，sin2α 的值； (2) 求 sin (π3−α) 的值．22.如图，有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角∠PAQ始终为45∘（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，记tanθ=t．(1) 用t表示PQ的长度，并研究△CPQ的周长l是否为定值？(2) 问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】tan255∘=tan(180∘+75∘)=tan75∘=tan(45∘+30∘)=tan45∘+tan30∘1−tan45∘tan30∘=1+√331−1×√33=√33−√3=(3+√3)26=12+6√36=2+√3.【知识点】两角和与差的正切2. 【答案】A【解析】√sin2θ−sin4θ=√sin2θ(1−sin2θ)=√sin2θcos2θ=∣sinθcosθ∣，因为θ是第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，所以√sin2θ−sin4θ=sinθcosθ．故选A．【知识点】同角三角函数的基本关系3. 【答案】B【解析】因为cos(π4−α)=45，即√22cosα+√22sinα=45，平方可得12+sinαcosα=1625，所以sinαcosα=750，则sin2α=2sinαcosα=725．【知识点】二倍角公式4. 【答案】A【解析】因为−2π<−6<−3π2，所以角α的终边在第一象限．故选A．【知识点】任意角的概念5. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】D【解析】由于α，β关于y轴对称，得β=2kπ+π−α（k∈Z），即α+β=2kπ+π(k∈Z)．【知识点】弧度制7. 【答案】D【解析】函数f(x)的最小正周期为T=2π1=2π，则函数f(x)的周期为T=2kπ(k∈Z)，取k=−1，可得函数f(x)的一个周期为−2π，选项A正确；函数f(x)图象的对称轴为x+π3=kπ(k∈Z)，即x=kπ−π3(k∈Z)，取k=3，可得y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，选项B正确；f(x+π)=cos[(x+π3)+π)=−cos(x+π3)，函数f(x)的零点满足x+π3=kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ+π6(k∈Z)，取k=0，可得f(x+π)的一个零点为x=π6，选项C正确；当x∈(π2,π)时，x+π3∈(5π6,4π3)，函数f(x)在该区间内不单调，选项D错误．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【解析】将函数y=cos(x−π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，得到函数y=cos(x2−π3)的图象；再将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y=cos[12(x+π6)−π3]=cos(x2−π4)的图象，该函数图象的对称轴满足x2−π4=kπ(k∈Z)，即x=2kπ+π2(k∈Z)．结合选项，只有A符合，故选A．【知识点】三角函数的图象变换、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10. 【答案】D【知识点】弧度制二、填空题（共6题）11. 【答案】②③④【解析】建立如下图所示的平面直角坐标系，因为甲由扇形中心O出发沿OA以每秒2米的速度向A快走，所以N(2t,0)，乙从A出发，沿扇形弧以每秒4π3米的速度向B慢跑，所以∠AOM=4π3t40=πt30，因此M(40cosπt30,40sinπt30)，其中0≤t≤20，∣MN∣=f(t)=√(40cosπt30−2t)2+(40sinπt30)2=√4t2−160tcosπt30+1600，f(5)=10√17−4√3，f(10)=20√3，f(15)=50，f(5)<f(10)<f(15)，当t=10时MN⊥OA，因为f(5)<f(10)，所以此时函数f(t)不是最小值；当t=15时OM⊥OA，当t∈[10,15]时，结合图象可得M向左上方移动，而N沿x正半轴向右边移动，因此MN越来越大，y=f(t)增函数，由于当10≤t≤20时，f(t)≥f(10)，而f(5)<f(10)，所以若f(t0)最小，则t0∈[0,10]；由g(t)=f(t)−40=0得f(t)=40，因为f(0)=40，f(10)<40<f(15)，所以t∈[10,15]时，存在f(t)=40，即g(t)=f(t)−40在[0,20]上至少有两个零点．【知识点】三角函数模型的应用12. 【答案】−45【知识点】诱导公式13. 【答案】1【解析】原式=√(sin10∘−cos10∘)2cos10∘−√1−cos210∘=cos10∘−sin10∘cos10∘−sin10∘=1．【知识点】同角三角函数的基本关系14. 【答案】(−2,10)【解析】由题意，函数f(x)={∣log4x∣,0<x<4sin(π4x−π2),4≤x≤12={∣log4x∣,0<x<4−cos(π4x),4≤x≤12，画出函数的图象，如图所示，令PD，则0<a<1，由图象可知，设 y =a 和函数 y =f (x ) 的图象有四个交点，可得 0<x 1<x 2<4<x 3<8<x 4<12，其中 log 4x 1=−log 4x 2，则 log 4x 1+log 4x 2=log 4x 1x 2=0，解得 x 1x 2=1，且 x 3+x 4=16，则 x 4=16−x 3，所以 x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2=1×x 3(16−x 3)−50×1=1×(16x 3−x 32)−50=−x 32+16x 3−50=−(x 3−8)2+14,其中 4<x 3<6，设 g (x )=−(x −8)2+14，则函数 x ∈(4,6)，函数 g (x ) 单调递增，则 g (4)=−2，g (6)=10，所以 x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4−50x 1⋅x 2 的取值范围是 (−2,10)．【知识点】函数的零点分布、对数函数及其性质、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】3√310+25【解析】因为已知 0<α<π2，cos (α+π6)=35，所以 sin (α+π6)=45，所以cosα=cos [(α+π6)−π6]=cos (α+π6)cos π6+sin (α+π6)sinπ6=35×√32+45×12=3√3+410=3√310+25.【知识点】两角和与差的余弦16. 【答案】2√2+1（1，√2−2，√2+2之和）【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为函数y=sinx的单调递增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，所以令−π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π4+2kπ3≤x≤π12+2kπ3，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为[−π4+2kπ3,π12+2kπ3]，k∈Z．(2) 因为f(α3)=sin(α+π4)=45cos(α+π4)cos2α，所以sinαcosπ4+cosαsinπ4=45(cosαcosπ4−sinαsinπ4)(cos2α−sin2α)，即√22(sinα+cosα)=45×√22(cosα−sinα)(cosα−sinα)(cosα+sinα)，即sinα+cosα=45(cosα−sinα)2(cosα+sinα)．当sinα+cosα=0，即tanα=−1时，因为α是第二象限角，所以α=3π4+2kπ，k∈Z．此时，cosα−sinα=−√2．当sinα+cosα≠0时，有(cosα−sinα)2=54．因为α是第二象限角，所以cosα<0，sinα>0，所以cosα−sinα=−√52．综上所述，cosα−sinα=−√2或−√52．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、两角和与差的余弦18. 【答案】(1) f(α)=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)=−sinα⋅(−sinα)sinα⋅tanα=sin2αsinα⋅sinαcosα=cosα,则f(π3)=cosπ3=12．(2) 因为cos(75∘+α)=13，所以sin(α−15∘)+cos(105∘−α)=sin[(α+75∘)−90∘]+cos[180∘−(α+75∘)]=−cos(75∘+α)−cos(75∘+α)=−23.【知识点】诱导公式、同角三角函数的基本关系19. 【答案】(1) 当a=1时，f(x)=√2sin(x−π4)+1+b．因为y=sinx的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)，所以当2kπ+π2≤x−π4≤2kπ+3π2．即2kπ+3π4≤x≤2kπ+7π4(k∈Z)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是[2kπ+3π4,2kπ+7π4](k∈Z)．(2) f(x)=√2asin(x−π4)+a+b，因为x∈[0,π]，所以−π4≤x−π4≤3π4，所以−√22≤sin(x−π4)≤1．又因为a<0，所以√2a≤√2asin(x−π4)≤−a，所以√2a+a+b≤f(x)≤b．因为f(x)的值域是[2,3]，所以√2a+a+b=2，且b=3，解得a=1−√2，b=3．【知识点】正弦函数的性质20. 【答案】(1) 因为A={x∣ 2<x≤5}，B={x∣ 3<x<8}，所以A∩B={x∣ 3<x≤5}，A∪B={x∣ 2<x<8}，所以 ∁R (A ∪B )={x∣ x ≤2或x ≥8}．(2) 因为 A ∩B ={x∣ 3<x ≤5}，A ∩B ∩C =∅，所以可分 C =∅，C ≠∅ 两种情况讨论．当 C =∅ 时，a −1≥2a ，解得 a ≤−1；当 C ≠∅ 时，有 {2a ≤3,a −1<2a或 {a −1≥5,a −1<2a, 解得 −1<a ≤32 或 a ≥6．综上所述 a ≤32 或 a ≥6，即实数 a 的取值范围为 {a∣ a ≤32或a ≥6}．【知识点】交、并、补集运算21. 【答案】(1) 因为 cosα=35，α∈(−π2,0)，所以 sinα=−√1−cos 2α=−45，所以 tanα=sinαcosα=−43， sin2α=2sinαcosα=−2425；(2) sin (π3−α)=sin π3cosα−cos π3sinα=√32×35−12×(−45)=3√3+410.【知识点】两角和与差的正弦、二倍角公式22. 【答案】(1) 设 BP =t ，CP =1−t (0≤t ≤1)，所以 ∠DAQ =45∘−θ，DQ =ADtan (45∘−θ)=1−t 1+t ，则：CQ =1−1−t 1+t =2t 1+t ，所以 PQ =√(1−t )2+(2t 1+t )2=1+t 21+t，故 l =CP +CQ +PQ =1−t +2t 1+t +1+t 21+t =1−t +1+t =2，所以△CPQ的周长l是定值2hm．(2) S=S正方形−S△ABP−S△ADQ=1−t2−12⋅1−t1+t=2−12(t+1+21+t)≤2−√2,当且仅当t=√2−1时，等号成立，所以摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为2−√2hm2．【知识点】两角和与差的正切、均值不等式的应用。

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2021年人教版高一数学必修一第5单元三角函数（讲解和习题）基础知识讲解

一．运用诱导公式化简求值【基础知识】利用诱导公式化简求值的思路 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．

3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．

二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象

定义域 R R k∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R 单调性递增区间：递增区间：递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）

最值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z）时， ymin＝﹣1 无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）

（k∈Z）无对称轴周期 2π 2π π

三．同角三角函数间的基本关系【基础知识】 1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα． 2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin 2α＝2sin_αcos_α；（2）cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；

（3）tan 2α＝．【技巧方法】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．

四．两角和与差的三角函数【基础知识】（1）cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．五．二倍角的三角函数【基础知识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．

二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．

二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．六．半角的三角函数【基础知识】半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其

实就是二倍角关系），其公式为：∈tan＝＝＝；∈tan

＝＝＝．七．三角函数的积化和差公式【基础知识】三角函数的积化和差公式：（1）sinαsinβ＝[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）] cosαcosβ＝[cos（α﹣β）+cos（α+β）] （2）sinαcosβ＝[sin（α+β）+sin（α﹣β）] cosαsinβ＝[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）] （3）tanαtanβ＝ tanαcotβ＝．八．三角函数的和差化积公式【基础知识】三角函数的和差化积公式：（1）sinα+sinβ＝2sincos sinα﹣sinβ＝2cossin （2）cosα+cosβ＝2coscos cosα﹣cosβ＝﹣2sinsin （3）cosα+sinα＝sin（+α）＝cos（） cosα﹣sinα＝cos（+α）＝sin（﹣α）习题演练一．选择题（共12小题） 1．已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（） A．–2 B．–1 C．1 D．2 2．已知点(tan,cos)P在第三象限，则角



在第几象限（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设

0.5

2a，4log3b，3cos4c，则（）

A．cab B．bac C．abc D．acb 4．已知

25cos5，10sin10，、0,2，则cos的值为（）

A．

22 B．624 C．

2 D．12

5．关于函数()sin|||sin |fxxx有下述四个结论： ∈f(x)是偶函数 ∈f(x)在区间（2,）单调递增

∈f(x)在[,]有4个零点 ∈f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．∈∈∈ B．∈∈ C．∈∈ D．∈∈

6．若

4sincos3，且3π,π4，则sin(π)cos(π)（）

A．

3 B．23 C．43 D．43

7．已知 π()0,，且3cos28cos5，则sin（） A．

3 B．23

C．

3 D．59

8．已知函数sinfxAx0,0A的图象与直线0yaaA的三个

相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则fx的单调递减区间是（）

A．6,63kk，kZ B．63,6kk，kZ C．6,63kk，kZ D．63,6kk，kZ 9．设函数fx的定义域为R， ,2fxfxfxfx, 当0,1x时, 3fxx

, 则函数cosgxxfx在区间15,22上的所有零点的和为（）

A．7 B．6 C．3 D．

10．将函数

22coscos22fxxx



的图象向右平移4个单位，得到函数

ygx

的图象，则函数ygx的一个极大值点为（） A．

 B．38 C．58 D．78

11．函数sin()fxAx (0,0,2A＞＞＜

)的部分图象如图所示，若

12,,63xx

，且12fxfx，则12()fxx（）

A．1 B．

2 C．22 D．32

12．已知tan，

tan是方程23340xx的两根，若,,22，则

（）

A．3 B．

或2

3



C．

或23 D．

3



二．填空题（共6小题） 13．已知函数

sin(2)()

22yx

的图象关于直线3x对称，则的值是________．