2021年江苏各市(苏州扬州泰州盐城无锡等)中考数学真题分项汇编20 压轴题含详解

专题20压轴题一、函数压轴1．（2021·江苏南通市）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”． （1）分别判断函数22,y x y x x =+=-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数3(0),y x y x b x=>=-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC 的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =-≥的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当12,W W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．2．（2021·江苏常州市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数()0y kx k =≠和二次函数2134y x bx =-++的图像都经过点(4,3)A 和点B ，过点A 作OA 的垂线交x 轴于点C ．D 是线段AB 上一点（点D 与点A 、O 、B 不重合），E 是射线AC 上一点，且AE OD =，连接DE ，过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，以DE 、DF 为邻边作DEGF ．（1）填空：k =________，b =________；（2）设点D 的横坐标是(0)t t >，连接EF ．若FGE DFE ∠=∠，求t 的值； （3）过点F 作AB 的垂线交线段DE 于点P ．若13DFPDEGFSS =，求OD 的长．3．（2021·江苏盐城市）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P 绕着某定点A 顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P '．经过进一步探究，小明发现，当上述点P 在某函数图像上运动时，点P '也随之运动，并且点P '的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A 的坐标和角度α的大小来解决相关问题．（初步感知）如图1，设(1,1)A ，90α=︒，点P 是一次函数y kx b =+图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点1(1,1)P -．（1）点1P 旋转后，得到的点1P '的坐标为________；（2）若点P '的运动轨迹经过点2(2,1)P '，求原一次函数的表达式． （深入感悟）（3）如图2，设(0,0)A ，45α=︒，点P 反比例函数1(0)y x x =-<的图像上的动点，过点P '作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M ，求OMP '的面积． （灵活运用）（4）如图3，设A (1,，60α=︒，点P 是二次函数2172y x =++图像上的动点，已知点(2,0)B 、(3,0)C ，试探究BCP '△的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．4．（2021·江苏宿迁市）如图，抛物线21y 2x bx c =-++与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)，与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ，点P 在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P 在第四象限，点Q 在P A 的延长线上，当①CAQ =①CBA +45°时，求点P 的坐标；(3)如图①，若点P 在第一象限，直线AP 交BC 于点F ，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H ，当①PFH 为等腰三角形时，求线段PH 的长．5．（2021·江苏扬州市）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ①月利润=月租车费-月维护费；①两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润． 在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围． 二、几何压轴6．（2021·江苏泰州市）如图，在①O 中，AB 为直径，P 为AB 上一点，P A ＝1，PB ＝m （m 为常数，且m ＞0）．过点P 的弦CD ①AB ，Q 为BC 上一动点（与点B 不重合），AH ①QD ，垂足为H ．连接AD 、BQ ．（1）若m ＝3． ①求证：①OAD ＝60°； ①求BQDH的值； （2）用含m 的代数式表示BQDH，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的①O ，对于点Q 的任意位置，都有BQ 2﹣2DH 2+PB 2的值是一个定值，求此时①Q 的度数． 7．（2021·江苏徐州市）如图1，正方形ABCD 的边长为4，点P 在边AD 上（P 不与,A D 重合），连接,PB PC ．将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到PE ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到PF ．连接EF EA FD ,,． （1）求证： ①PDF ∆的面积212S PD =； ①EA FD =；（2）如图2，EA FD .的延长线交于点M ，取EF 的中点N ，连接MN ，求MN 的取值范围．8．（2021·江苏苏州市）如图，在矩形ABCD 中，线段EF 、GH 分别平行于AD 、AB ，它们相交于点P ，点1P 、2P分别在线段PF 、PH 上，1PP PG =，2PP PE =，连接1PH 、2P F ，1PH 与2P F 交于点Q ．已知::1:2AG GD AE EB ==．设AG a =，AE b =．（1）四边形EBHP 的面积______四边形GPFD 的面积（填“>”、“=”或“<”）；（2）求证：12PFQ P HQ ∽△△； （3）设四边形12PPQP 的面积为1S ，四边形CFQH 的面积为2S ，求12S S 的值．9．（2021·江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且1AE =，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图1，求CF 的长；（2）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）ABC 是边长为3的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正方形BFGH ，其中点F 、G 都在直线AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．10．（2021·江苏无锡市）已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE为直角边在直线=．BC的上方作等腰直角三角形AEF，90∠=︒，设BE mAEF（1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，①当1m=时，求线段CF的长；3①在PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．11．（2021·江苏南京市）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？π．在图①所示的（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4cm圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图①中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．①设AD的长为a，点B在母线OC上，OB b=．圆柱的侧面展开图如图①所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B 的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．专题20压轴题一、函数压轴1．（2021·江苏南通市）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”． （1）分别判断函数22,y x y x x =+=-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数3(0),y x y x b x=>=-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC 的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =-≥的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当12,W W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）函数y =x +2没有“等值点”； 函数2y x x 的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）b =-（3）98m <-或12m -<<．．【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求A ，B (2b ，2b)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数y =x 2-2（x ≥m ）的图象为W 1，将W 1沿x =m 翻折后得到的函数图象记为W 2，可得W 1与W 2的图象关于x =m 对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案． 【详解】解：（1）①函数y =x +2，令y =x ，则x +2=x ，无解， ①函数y =x +2没有“等值点”； ①函数2yx x ，令y =x ，则2x x x -=，即()20x x -=，解得：1220x x ==，， ①函数2yx x 的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）①函数3y x=，令y =x ，则23x =，解得：x =负值已舍)，①函数3y x=的“等值点”为A ； ①函数y x b =-+，令y =x ，则x x b =-+， 解得：2b x =，①函数y x b =-+的“等值点”为B (2b ，2b)；ABC 的面积为11•••32222B A b bBC x x -==，即2240b --=，解得：b =-（3）将W 1沿x =m 翻折后得到的函数图象记为W 2． ①W 1与W 2两部分组成的函数W 的图象关于x m =对称，①函数W 的解析式为()()22222()y x x m y m x x m ⎧=-≥⎪⎨=--<⎪⎩， 令y =x ，则22x x -=，即220x x --=， 解得：1221x x ==-，，①函数22y x =-的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令y =x ，则2(2)2m x x --=，即()2241420x m x m -++-=，当2m ≥时，函数W 的图象不存在恰有2个“等值点”的情况； 当12m -<<时，观察图象，恰有2个“等值点”；当1m <-时，①W 1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)， ①函数W 2没有“等值点”，①()()224141420m m ⎡⎤=-+-⨯⨯-<⎣⎦，整理得：890m +<， 解得：98m <-．综上，m 的取值范围为98m <-或12m -<<．【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2021·江苏常州市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数()0y kx k =≠和二次函数2134y x bx =-++的图像都经过点(4,3)A 和点B ，过点A 作OA 的垂线交x 轴于点C ．D 是线段AB 上一点（点D 与点A 、O 、B 不重合），E 是射线AC 上一点，且AE OD =，连接DE ，过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，以DE 、DF 为邻边作DEGF ．（1）填空：k =________，b =________；（2）设点D 的横坐标是(0)t t >，连接EF ．若FGE DFE ∠=∠，求t 的值； （3）过点F 作AB 的垂线交线段DE 于点P ．若13DFPDEGFSS =，求OD 的长．【答案】（1）34，1；（2）t =（3）11536 【分析】（1）把(4,3)A 分别代入一次函数解析式和二次函数解析式，即可求解； （2）先证明EF =ED ，结合D (t ，34t )，F (t ， 2134t t -++)，可得点E 的纵坐标为：2173882t t -++，过点A 作AM ①EG ，延长GE 交x 轴于点N ，由4cos cos 5EM AOC AEM AE ∠=∠==，从而得217334882554t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭=，进而即可求解； （3）先推出23DP DC =，由FP ①AC ，得23DQ DP DA DC ==，结合35DQ DH DF OD ==，可得DA =32DQ =2331132544t t ⎛⎫⨯⨯-++ ⎪⎝⎭，结合DA +OD =5，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）把(4,3)A 代入()0y kx k =≠得：34k =，解得：34k =， 把(4,3)A 代入2134y x bx =-++得：2134434b =-⨯++，解得：b =1，故答案是：34，1；（2）①在DEGF 中，FGE FDE ∠=∠，①FGE DFE ∠=∠， ①FDE ∠=DFE ∠， ①EF =ED ，①设点D 的横坐标是(0)t t >，则D (t ，34t )，F (t ， 2134t t -++)， ①点E 的纵坐标为：（34t 2134t t -++）÷2=2173882t t -++，联立213434y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：43x y =⎧⎨=⎩或394x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，①A (4，3)，① 过点A 作AM ①EG ，延长GE 交x 轴于点N ，则①AEM =①NEC =①AOC ， ①4cos cos 5EM AOC AEM AE ∠=∠==， 又①AE OD =54t =，①217334882554t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭=，解得：t =t =①t =（3）当13DFPDEGFSS =时，则23DP DC =， ①AB ①FP ，AB ①AC ， ①FP ①AC ， ①23DQ DP DA DC ==，①①FDQ =①ODH ，①334cos cos 554tDQ DH FDQ ODH DF OD t ∠===∠==， 又①DF =2134t t -++-34t =211344t t -++，①DQ =23113544t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，①DA =32DQ =2331132544t t ⎛⎫⨯⨯-++ ⎪⎝⎭，①DA +OD =5，①2331132544t t ⎛⎫⨯⨯-++ ⎪⎝⎭+54t =5，解得：239t =或4t =（舍去）， ①OD =54t =11536．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，根据题意画出图形，添加合适的辅助线，熟练掌握锐角三角函数的定义，平行四边形的性质，是解题的关键．3．（2021·江苏盐城市）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P 绕着某定点A 顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P '．经过进一步探究，小明发现，当上述点P 在某函数图像上运动时，点P '也随之运动，并且点P '的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A 的坐标和角度α的大小来解决相关问题．（初步感知）如图1，设(1,1)A ，90α=︒，点P 是一次函数y kx b =+图像上的动点，已知该一次函数的图像经过点1(1,1)P -． （1）点1P 旋转后，得到的点1P '的坐标为________；（2）若点P '的运动轨迹经过点2(2,1)P '，求原一次函数的表达式．（深入感悟）（3）如图2，设(0,0)A ，45α=︒，点P 反比例函数1(0)y x x=-<的图像上的动点，过点P '作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M ，求OMP '的面积．（灵活运用）（4）如图3，设A (1,，60α=︒，点P是二次函数2172y x =++图像上的动点，已知点(2,0)B 、(3,0)C ，试探究BCP '△的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．【答案】（1）(1,3)；（2）1322y x =+；（3）12；（4）存在最小值，118【分析】 （1）根据旋转的定义得112AP AP '==，观察点1P '和(1,1)A 在同一直线上即可直接得出结果． （2）根据题意得出2P 的坐标，再利用待定系数法求出原一次函数表达式即可．（3）先根据1(0)y x y x x =-⎧⎪⎨=-<⎪⎩计算出交点坐标，再分类讨论①当1x ≤-时，先证明()PQA P MA AAS '≌再计算OMP '面积．①当-10x <<时，证()PHO OP M AAS '≌，再计算122P MO PHO k S S '===即可． （4）先证明OAB 为等边三角形，再证明()C AO CAB SAS '≌，根据在Rt C GB '中，9030C GB C B C '''∠=︒-∠=︒，写出122C ⎛'⎝⎭，从而得出OC '的函数表达式，当直线l 与抛物线相切时取最小值，得出112y =+，由'B C T B C P S S '''=计算得出BCP '△的面积最小值．【详解】（1）由题意可得:112AP AP '== ①1P '的坐标为(1,3)故答案为：(1,3)；（2）①2(2,1)P '，由题意得2P 坐标为(1,2)①1(1,1)P -，2(1,2)P 在原一次函数上，①设原一次函数解析式为y kx b =+则12k b k b -+=⎧⎨+=⎩①1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①原一次函数表达式为1322y x =+； （3）设双曲线与二、四象限平分线交于N 点，则1(0)y x y x x =-⎧⎪⎨=-<⎪⎩解得(1,1)N -①当1x ≤-时作PQ x ⊥轴于Q①45QAM POP '∠=∠=︒①PAQ P AN '∠=∠①PM AM ⊥①90P MA PQA '∠=∠=︒①在PQA △和P MA '中PQA P MA PAQ P AM AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩①()PQA P MA AAS '≌122P MA PQA k S S'=== 即12OMP S '=；①当-10x <<时作PH ⊥于y 轴于点H①45POP NOY '∠=∠=︒①PON P OY '∠=∠①90MP O MOY P OY ''∠=︒-∠-∠45P OY '=︒-∠①POH POP P OY ''∠=∠-∠45P OY '=︒-∠①POH OMP '∠=∠在POH 和OP M '中PHO OMP POH MP O PO P O ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩①()PHO OP M AAS '≌ ①122P MO PHO kS S '===；（4）连接AB ，AC ，将B ，C 绕A 逆时针旋转60︒得B '，C'，作AH x ⊥轴于H①A ，(2,0)B①1OH BH ==①2OA AB OB ===①OAB 为等边三角形，此时B '与O 重合，即(0,0)B '连接C O '，①60CAC BAO ∠=∠='︒①CAB C AB ''∠=∠①在C AO '和CAB △中C A CA C AO CAB BA OA =⎧⎪∠=∠'⎨='⎪⎩①()C AO CAB SAS '≌①1C O CB '==，120C OA CBA ∠'=∠=︒①作C G y '⊥轴于G在Rt C GB '中，9030C GB C B C '''∠=︒-∠=︒ ①1sin 2C G OC C BG '''=⋅∠=①OG =，即12C ⎛' ⎝⎭，此时OC '的函数表达式为：y = 设过P 且与B C ''平行 的直线l解析式为y b =+①B P BC C P S S '''=①当直线l 与抛物线相切时取最小值则2172y b y x ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩2172b x +=++①21702x b +-= 当0∆=时，得112b =①112y =+ 设l 与y 轴交于T 点①'B C T B C P SS '''= ①12B C P SB T CG '''=⨯⨯ 1111222=⨯⨯ 118=【点睛】本题考查旋转、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式、反比例函数的几何意义、两函数的交点问题，函数的最小值的问题，灵活进行角的转换是关键．4．（2021·江苏宿迁市）如图，抛物线21y 2x bx c =-++与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)，与y 轴交于点C ．连接AC，BC ，点P 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P 在第四象限，点Q 在P A 的延长线上，当①CAQ =①CBA +45°时，求点P 的坐标；(3)如图①，若点P 在第一象限，直线AP 交BC 于点F ，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H ，当①PFH 为等腰三角形时，求线段PH 的长．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）（6，-7）；（3）PH=5或1.5或158 【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断①ACB =90°，继而可得①ACO =①CBA ，在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，易得①OCE 是等腰直角三角形，可得①OCE =45°，进一步可推出①ACE =①CAQ ，可得CE ①PQ ，然后利用待定系数法分别求出直线CE 与PQ 的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，由题意可得若①PFH 为等腰三角形，则①CFG 也为等腰三角形，设G （0，m ），求出直线AF 和直线BC 的解析式后，再解方程组求出点F 的坐标，然后分三种情况求出m 的值，再求出直线AP 的解析式，进而可求出点P 的坐标，于是问题可求解．【详解】解：（1）把A (-1，0)，B (4，0)代入21y 2x bx c =-++，得 102840b c b c ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ①抛物线的解析式是213222y x x =-++； （2）令x =0，则y =2，即C （0，2），①222125AC =+=，2222420BC =+=，AB 2=25，①222AC BC AB +=，①①ACB =90°，①①ACO +①CAO =①CBA +①CAO =90°，①①ACO =①CBA ，在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，如图，则CE =OE =2，①①OCE =45°，①①ACE =①ACO +45°=①CBA +45°=①CAQ ，①CE ①PQ ，①C （0，2），E （2，0），①直线CE 的解析式为y =-x +2，设直线PQ 的解析式为y =-x +n ，把点A （-1，0）代入，可得n =-1，①直线PQ 的解析式为y =-x -1， 解方程组2132221y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=--⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或67x y =⎧⎨=-⎩， ①点P 的坐标是（6，-7）；（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，①PH ①y 轴，①①PHC =①OCB ，①FPH =①CGF ，①若①PFH 为等腰三角形，则①CFG 也为等腰三角形，①C （0，2），B （4，0），①直线BC 的解析式为122y x =-+， 设G （0，m ），①A （-1，0），①直线AF 的解析式为y =mx +m ， 解方程组122y x y mx m ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，得4221521m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ①点F 的坐标是425,2121m m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， ①()222222224254252,2,21212121m m m m CG m CF FG m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当CG =CF 时，()222425222121m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得：m =， 此时直线AF 的解析式为yx，解方程组213222y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪⎪⎩10x y =-⎧⎨=⎩或5x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点P的坐标是（5），此时点H的坐标是（5）， ①PH5=； 当FG =FC 时，2222425425221212121m m m m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得m =12或m =12-（舍）或m =2（舍）， 此时直线AF 的解析式为y =12x +12， 解方程组2132221122y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩， ①点P 的坐标是（3，2），此时点H 的坐标是（3，12），①PH =2-12=1.5； 当GF =GC 时，()22242522121m m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得34m =或m =2（舍去）， 此时直线AF 的解析式为y =34x +34， 解方程组2132223344y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或52218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ①点P 的坐标是（52，218），此时点H 的坐标是（52，34）， ①PH =21315848-=；综上，PH=5或1.5或158．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．5．（2021·江苏扬州市）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数．．； ①月利润=月租车费-月维护费；①两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）50150a <<【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x 辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，同（1）可得y 甲和y 乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y 关于x 的表达式，根据二次函数的性质，结合x 的范围求出最值，再比较即可；（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100a -<<，即可求出a 的范围． 【详解】 解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x 辆，由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，解得：x =37或x =-1（舍），①当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；（2）设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦，y 乙=35001850x -，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x ＜37，y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦=25018001850x x -++，当x =1800502--⨯=18时，利润差最大，且为18050元； 当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x ≤50，y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦=25018001850x x --，①对称轴为直线x =1800502--⨯=18， 当x =50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；（3）①捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+，对称轴为直线x =1800100a -， ①x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大， ①180016.517.5100a -<<， 解得：50150a <<．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x 为整数得到a 的不等式．二、几何压轴6．（2021·江苏泰州市）如图，在①O 中，AB 为直径，P 为AB 上一点，P A ＝1，PB ＝m （m 为常数，且m ＞0）．过点P 的弦CD ①AB ，Q 为BC 上一动点（与点B 不重合），AH ①QD ，垂足为H ．连接AD 、BQ ．（1）若m ＝3．①求证：①OAD ＝60°；①求BQ DH的值； （2）用含m 的代数式表示BQ DH ，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的①O ，对于点Q 的任意位置，都有BQ 2﹣2DH 2+PB 2的值是一个定值，求此时①Q 的度数．【答案】（1）①见解析；①2；（2（3）存在半径为1的圆，45°【分析】（1）①连接OD ，则易得CD 垂直平分线段OA ，从而OD =AD ，由OA =OD ，即可得①OAD 是等边三角形，从而可得结论；①连接AQ ，由圆周角定理得：①ABQ =①ADH ，从而其余弦值相等，因此可得BQ AB DH AD= ，由①可得AB 、AD 的值，从而可得结论；（2）连接AQ 、BD ， 首先与（1）中的①相同，有BQ AB DH AD =，由①APD ①①ADB ，可求得AD 的长，从而求得结果； （3）由（2）的结论可得：22(1)BQ m DH =+，从而BQ 2﹣2DH 2+PB 222(1)m DH m =-+当m =1时，即可得是一个定值，从而可求得①Q 的值．【详解】（1）①如图，连接OD ，则OA =OD①AB =P A +PB =1+3=4①OA =122AB = ①OP =AP =1即点P 是线段OA 的中点①CD ①AB①CD 垂直平分线段OA①OD =AD①OA =OD =AD即①OAD 是等边三角形①①OAD =60°①连接AQ①AB 是直径①AQ ①BQ根据圆周角定理得：①ABQ =①ADH ，①cos cos ABQ ADH ∠=∠①AH ①DQ在Rt ①ABQ 和Rt ①ADH 中cos cos BQ DH ABQ ADH AB AD∠==∠= ①BQ AB DH AD= ①AD =OA =2，AB =4 ①422BQ AB DH AD ===（2）连接AQ 、BD与（1）中的①相同，有BQ AB DH AD= ①AB 是直径①AD ①BD ①①DAB +①ADP =①DAB +①ABD =90°①①ADP =①ABD①Rt ①APD ①Rt ①ADB ①PA AD AD AB= ①AB =P A +PB =1+m ①1AD PA AB ==+①BQ AB DH AD ===（3）由（2）知，BQ DH =①BQ m DH即22(1)BQ m DH =+①BQ 2﹣2DH 2+PB 2=22222(1+)2(1)m DH DH m m DH m -+=-+当m =1时，BQ 2﹣2DH 2+PB 2是一个定值，且这个定值为1，此时P A =PB =1，即点P 与圆心O 重合①CD ①AB ，OA =OD =1①①AOD 是等腰直角三角形①①OAD =45°①①OAD 与①Q 对着同一条弧①①Q =①OAD =45°故存在半径为1的圆，对于点Q 的任意位置，都有BQ 2﹣2DH 2+PB 2的值是一个定值1，此时①Q 的度数为45.【点睛】本题是圆的综合，它考查了圆的基本性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，难点是第（3）问，得出BQ 2﹣2DH 2+PB 222(1)m DH m =-+后，当m =1即可得出BQ 2﹣2DH 2+PB 2是一个定值． 7．（2021·江苏徐州市）如图1，正方形ABCD 的边长为4，点P 在边AD 上（P 不与,A D 重合），连接,PB PC ．将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到PE ，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到PF ．连接EF EA FD ,,． （1）求证：①PDF ∆的面积212S PD =； ①EA FD =；（2）如图2，EA FD .的延长线交于点M ，取EF 的中点N ，连接MN ，求MN 的取值范围．【答案】（1）①见详解；①见详解；（2）4≤MN ＜【分析】（1）①过点F 作FG ①AD 交AD 的延长线于点G ，证明PFG CPD ≌，即可得到结论；①过点E 作EH ①DA 交DA 的延长线于点H ，证明PEH BPA ≌，结合PFG CPD ≌，可得GD =EH ，同理：FG =AH ，从而得AHE FGD ≌，进而即可得到结论；（2）过点F 作FG ①AD 交AD 的延长线于点G ，过点E 作EH ①DA 交DA 的延长线于点H ，可得①AMD =90°，MN =12EF ，HG = 2AD =8，EH +FG = AD =4，然后求出当点P 与点D 重合时， EF 最大值=P 与AD 的中点重合时，EF 最小值= HG =8，进而即可得到答案．【详解】（1）①证明：过点F 作FG ①AD 交AD 的延长线于点G ，①①FPG +①PFG =90°，①FPG +①CPD =90°，①①FPG =①CPD ，又①①PGF =①CDP =90°，PC =PF ，①PFG CPD ≌（AAS ），①FG =PD ，①PDF ∆的面积21122S PD FG PD =⋅=； ①过点E 作EH ①DA 交DA 的延长线于点H ，①①EPH +①PEH =90°，①EPH +①BP A =90°，①①PEH =①BP A ，又①①PHE =①BAP =90°，PB =PE ，①PEH BPA ≌（AAS ），①EH =P A ，由①得：FG =PD ，①EH +FG =P A +PD =AD =CD ，由①得：PFG CPD ≌，①PG =CD ，①PD +GD = CD = EH +FG ，①FG + GD = EH +FG ，①GD =EH ，同理：FG =AH ，又①①AHE =①FGD ，①AHE FGD ≌，①EA FD =；（2）过点F 作FG ①AD 交AD 的延长线于点G ，过点E 作EH ①DA 交DA 的延长线于点H ，≌，由（1）得：AHE FGD①①HAE=①GFD，①①GFD+①GDF=90°，①①HAE+①GDF=90°，①①HAE=①MAD，①GDF=①MDA，①①MAD+①MDA=90°，①①AMD=90°，①点N是EF的中点，EF，①MN=12①EH=DG=AP，AH=FG=PD，①HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，此时EF最大值=当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，此时EF 最小值= HG =8，①MN 的取值范围是：4≤MN＜【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．8．（2021·江苏苏州市）如图，在矩形ABCD 中，线段EF 、GH 分别平行于AD 、AB ，它们相交于点P ，点1P 、2P 分别在线段PF 、PH 上，1PP PG =，2PP PE =，连接1PH 、2P F ，1PH 与2P F 交于点Q ．已知::1:2AG GD AE EB ==．设AG a =，AE b =．（1）四边形EBHP 的面积______四边形GPFD 的面积（填“>”、“=”或“<”）；（2）求证：12PFQ P HQ ∽△△； （3）设四边形12PPQP 的面积为1S ，四边形CFQH 的面积为2S ，求12S S 的值．【答案】（1）=；（2）见解析；（3）14【分析】（1）由四边形ABCD 为矩形及//GH AB ，//EF AD ，证明四边形PFCH 为矩形，四边形AGPE 、GDFP 、EPHB 均为矩形．再利用矩形的面积公式求解四边形EBHP 的面积与四边形GPFD 的面积，从而可得答案；（2）由1PP PG =，2PP PE =，结合2PE PH ab ⋅=，2PG PF ab ⋅=，结合21FPP HPP ∠=∠，证明21PP F PPH ∽△△．可得21PFP PHP ∠=∠．从而可得结论；（3）解法一：连接12PP ，FH ，证明12PPP CFH ∽△△．可得1221214PP P CFH SPP SFH ⎛⎫== ⎪⎝⎭．再证明12PQP FQH ∽△△．可得1221214PQP FQH S PP S FH ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，从而可得答案； 解法二：连接12PP 、FH ．证明四边形12PPOP ∽的四边形CFQH ．从而可得答案．【详解】解：（1）①四边形ABCD 为矩形，①90BAD B C ．①//GH AB ，①90B GHC ∠=∠=︒，90BAD PGD ∠=∠=︒．①//EF AD ，①90PGD HPF ∠=∠=︒．①四边形PFCH 为矩形．同理可得：四边形AGPE 、GDFP 、EPHB 均为矩形．①AG a =，AE b =，::1:2AG GD AE EB ==，①PE a =，PG b =，2GD PF a ==，2EB PH b ==．①四边形EBHP 的面积2PE PH ab =⋅=，四边形GPFD 的面积2PG PF ab =⋅=．．四边形EBHP 的面积=四边形GPFD 的面积．（2）①1PP PG =，2PP PE =，由（1）中2PE PH ab ⋅=，2PG PF ab ⋅=，①21PP PH PP PF ⋅=⋅，即21PP PF PP PH =， ①21FPP HPP ∠=∠，①21PP F PPH ∽△△． ①21PFP PHP ∠=∠． ①12PQF P QH ∠=∠， ①12PFQ P HQ ∽△△． （3）解法一：连接12PP ，FH ，①2122PP a CH a ==，1122PP b CF b ==， ①21PP PP CH CF=． ①1290PPP C ∠=∠=︒，①12PPP CFH ∽△△． ①12112PP PP FH CF ==，1221214PP P CFH S PP S FH ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 由（2）12PFQ P HQ ∽△△，得12PQ FQ P Q HQ =， ①12PQ P Q FQ HQ=． ①12PQP FQH ∠=∠，①12PQP FQH ∽△△． ①1221214PQP FQH S PP S FH ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△． ①12121PP P P P Q S S S =+△△，①()1211114444CFH FQM CFH FQM S S S S S S =+=+=△△△△． ①1214S S =． 解法二：连接12PP 、FH ．①2122PP a CH a ==，1122PP b CF b ==， ①21PP PP CH CF=． ①1290PPP C ∠=∠=︒，①12PPP CFH ∽△△． ①12112PP PP FH CF ==，12PPP CFH ∠=∠，21PP P CHF ∠=∠． 由（2）中12PFQ P HQ ∽△△，得12PQ FQ P Q HQ =， ①12PQ P Q FQ HQ=． ①12PQP FQH ∠=∠，①12PQP FQH ∽△△．①121212PQ P Q PP FQ QH FH ===，21P PQ HFQ ∠=∠，12PP Q FHQ ∠=∠． ①121212PQ P Q PP PP FQ HQ CF CH ====，1PPQ CFQ ∠=∠，2PP Q CHQ ∠=∠． 又12PPP C ∠=∠，12PQP FQH ∠=∠，①四边形12PPOP ∽的四边形CFQH ． ①211214S PP S CF ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定与性质，相似四边形的判定与性质，构建相似三角形的模型是解题的关键．9．（2021·江苏连云港的）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且1AE =，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图1，求CF 的长；（2）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）ABC 是边长为3的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正方形BFGH ，其中点F 、G 都在直线AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3（4）34π【分析】（1）由ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，BA BC =，BE BF =， ABE CBF ∠=∠，可证ABE CBF ∆∆≌即可；（2）连接CF ，ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，可证ABE CBF ∆∆≌，可得BCF ABC ∠=∠，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．可得点F 运动的路径的长3==AC ；（3）取BC 中点H ，连接HN ，由ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，可证≌∆∆DBM HBN ，可得NH BC ⊥．又点M在C 处时，==HN CD M 在D 处时，点N 与H 重合．可求点N 所经过的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，由①CGA =90°，点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，由四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即，可求x =点G 所经过的路径长为BC 长，点H 所经过的路径长为BN 的长34π=． 【详解】解:（1）①ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，①BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．①∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，①ABE CBF ∠=∠，①ABE CBF ∆∆≌，①1CF AE ==；（2）连接CF ，①ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，①BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．①∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，①ABE CBF ∠=∠，①ABE CBF ∆∆≌，①CF AE =，60∠=∠=︒BCF BAE ，①60ABC ∠=︒，①BCF ABC ∠=∠，①//CF AB ，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．①点F 运动的路径的长3==AC ；（3）取BC 中点H ，连接HN ， ①12BH BC =， ①12=BH AB ， ①CD AB ⊥，①12BD AB =，①BH BD =，①ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，①BM BN =，60∠=∠=︒ABC MBN ，①∠+∠=∠+∠DBM MBH HBN MBH ，①∠=∠DBM HBN ，①≌∆∆DBM HBN ，①=HN DM ，90∠=∠=︒BHN BDM ，①NH BC ⊥，又点M 在C 处时，==HN CD M 在D 处时，点N 与H 重合，①点N 所经过的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，①①CGA =90°，①点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，①四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，①①COB =90°，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即2223x x +=，①x =点G 所经过的路径长为BC 长=124π⨯⎝⎭， 点H 在以BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧BN 上运动，点H 所经过的路径长为BN 的长度，①点G 运动圆周的四分之一，①点H 也运动圆周的四分一，。