双弹簧振子问题研究
简谐振动练习题研究弹簧振子和单摆的运动规律
简谐振动练习题研究弹簧振子和单摆的运动规律
简谐振动是物理学中的一个重要概念，描述了一种周期性运动的规律。在本文中，我们将通过练习题来研究弹簧振子和单摆的运动规律，并进行详细的解析。
一、弹簧振子的运动规律 弹簧振子由弹簧和质点构成，当质点受到外力作用时，会产生周期性振动。我们将通过以下练习题来研究其运动规律。
1. 练习题1： 一个质点质量为m，挂在一根劲度系数为k的弹簧上，设弹簧的伸长量为x，请问质点的振动频率是多少？
解析： 根据胡克定律，弹簧的力 F = -kx，其中x为弹簧的伸长量。根据牛顿第二定律，质点所受的合力为 F = ma，其中a为质点的加速度。
将上述两个等式联立，可得 ma = -kx，进一步得到 a = - (k/m) x。此为二阶常系数线性齐次微分方程的标准形式。
假设振动的解为 x = A cos(ωt + φ)，其中 A 为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
将上述解代入方程 a = - (k/m) x 中，化简后可得 d²x/dt² = - (k/m) x。 根据上述微分方程的特征方程 λ² + (k/m) = 0，解得 λ = ±i√(k/m)。 根据欧拉公式，cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2，sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)。 因此，我们可以得到 x = A cos(√(k/m) t + φ) 的解，其中A为振幅，φ为初相位。
根据上述解，我们可以得出振动频率 f = ω/2π = 1/(2π) √(k/m)。 练习题1的答案为：振动频率 f = 1/(2π) √(k/m)。 2. 练习题2： 一个质点质量为m，挂在一根劲度系数为k的弹簧和一个阻尼系数为b的阻尼器上，设弹簧的伸长量为x，请问质点的振幅随时间的变化规律是什么？
解析： 在存在阻尼力的情况下，质点所受合力为 F = -kx - bv，其中v为质点的速度。
弹簧双振子模型在高考物理中的应用
弹簧双振子模型在高考物理中的应用作者：周毅慧武维来源：《物理教学探讨》2024年第05期摘要：從质心的概念出发，系统阐述如何在质心参考系中运用质心运动定理推导得出弹簧双振子速度、加速度变化规律，并探讨如何在相关高考题目中应用有关结论解题。
关键词：质心参考系；质心运动定理；弹簧双振子模型；高考物理；中学物理中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2024）5-0052-6两物体通过轻质弹簧连接的运动模型称为“弹簧双振子模型”，该模型涉及到的动力学和能量问题，是高中物理力学常见的问题，也是近几年高考的考查热点。
这类问题中物体的运动情况复杂，涉及位移、速度、加速度等多个物理量变化，需要综合运用牛顿运动定律、能量守恒定律和动量守恒定律来解决。
弹簧双振子模型是一个典型的一维二体运动模型，如果选取系统的质心作为参考系会使解题过程大大简化。
这里质心是一个重要的力学概念，虽然高中物理教学中没有涉及，但对学优生而言，掌握质心和质心参考系，可以更清晰地分析两物体的相互作用过程，从而快速、准确地解决问题。
1 弹簧双振子模型的动力学特征如图1所示，质量分别为mA和mB的两个物体A和B（均可视为质点），用一根劲度系数为k的轻质弹簧连接起来，静止放置在光滑水平面上。
初始时刻弹簧处于原长，长度为l0。
现给A物体一个水平向右的初速度v0，或对A施加水平向右的恒力F，弹簧会被压缩，A、B 物体开始运动。
选取系统的质心为参考系，以质心C为原点，建立如图2所示的一维坐标系x。
当弹簧处于原长时，设A、B物体到质心的距离分别为lA、lB，质心的位置应满足下面在质心参考系中给图1（a）中A物体一个水平向右的初速度，对图1（b）中A物体施加水平向右的恒力。
两种情况下，对弹簧双振子运动模型的动力学特征进行分析。
1.1 惯性参考系中的弹簧双振子在图1（a）所示的运动情形中，系统所受合外力为0，故质心系为惯性参考系，质心速度vC应满足mAv0=（mA+mB）vC当>（ｍ８／ｍＡ）>4.6时，A物体会在一段时间内反向运动。
弹簧振子的基本性质与振动分析
弹簧振子的基本性质与振动分析弹簧振子是物理学中的一个经典问题，它具有广泛的应用和研究价值。
本文将介绍弹簧振子的基本性质和振动分析。
首先，我们来了解一下弹簧振子的基本结构。
弹簧振子由一个质点和一个弹簧组成，质点可以看作是挂在弹簧上的物体。
当质点受到外力作用时，弹簧会发生变形，产生恢复力。
弹簧的恢复力与变形的大小成正比，且方向与变形方向相反。
这种恢复力使得质点在弹簧的作用下产生振动。
弹簧振子的振动可以分为简谐振动和非简谐振动。
简谐振动是指质点在弹簧的作用下，沿着一个确定的轨迹以相同的周期进行振动。
简谐振动的周期与质点的质量和弹簧的劲度系数有关，质量越大，劲度系数越小，周期越长。
非简谐振动是指质点在弹簧的作用下，振动的周期和振幅都会发生变化。
这种振动的特点是周期不固定，振幅随时间变化。
非简谐振动的产生原因主要是弹簧的变形不再满足胡克定律，即弹簧的恢复力不再与变形成正比。
弹簧振子的振动分析可以通过求解弹簧振子的运动方程来实现。
运动方程可以通过牛顿第二定律得到，即质点的加速度等于受力除以质量。
在弹簧振子中，质点受到弹簧的恢复力和外力的作用，因此运动方程可以表示为：m * a = -k * x + F(t)其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是质点的位移，F(t)是外力。
通过解这个运动方程，我们可以得到弹簧振子的运动规律。
对于简谐振动，解的形式为：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，A是振幅，ω是角频率，φ是初相位。
对于非简谐振动，解的形式比较复杂，需要借助数值方法或近似方法进行求解。
非简谐振动的研究对于理解振动系统的行为和性质具有重要意义。
除了振动分析，弹簧振子还有其他一些重要的性质。
例如，弹簧振子的能量守恒性质。
在振动过程中，弹簧振子的总能量保持不变，只是在动能和势能之间进行转换。
这个性质在工程和科学研究中有广泛的应用。
此外，弹簧振子还有共振现象。
当外力的频率与弹簧振子的固有频率相等或接近时，弹簧振子的振幅会显著增大，这就是共振现象。
弹簧振子实验不确定度的分析研究
了用静伸长法求弹簧劲度 系数 中逐差法 和用最小二乘法作 Ｅ ｃｌ ｘｅ 直线拟合这两 种数据处 理方法 的精确
性差异 ， 通过计算 得出测量弹簧劲度系数时静伸长精确 度高 于振 动法 的结论 。实验结 果具 有一定 的 并
理论意义 ， 并对 于改进弹簧振子实验过程有 重要 的指导作用。 关 键 词： 弹簧劲度系数 ； 线性 回归 ； 不确定度 ； 相关 系数
实 验是 通 过 测 量 大 头 朝 上 的锥 形 弹 簧 加 不
由
口 一
一
＋
。 令 — Ｔ ， Ｍ ， ， ２ｘ—
同负载 时 ， 弹簧的伸长量 ｘ来求 ｋ 其 中 ｇ一 ， ９８Ｎ／ 测 量数 据见 表 １ ． Ｅ， 。
１ １ 分 组 求差法 处理 数据 ． 测 量 得 一 ０ １ ７１ ． ６ ｍ， ＝ ． ６ ＝ １ ７３ｍ， ＝０
静力 伸 长法 和振 动 法进 行 实 验 ， 中静力 伸长 法 其
是根 据胡 克定律 即 ： 一 一 Ｘ 原理 ， Ｆ ｋ 测量 Ｆ Ｘ 关 －
０ ０ ） ｍ ＝０ ０ ×９ ８— ０ ５ ８Ｎ， 三次 测 ． ６ ｇ— ｇ＝ ． ６ ． ＝ ． ８ 则
量 的弹簧平均劲度系数 一 ３ ５ ±０ ０ ／ 其 ． １ ． ５ ｍ， Ｎ 中 ｋ的不确 定度 Ｕ 忌 （）一 ００ ｍ。 ． ５Ｎ／
弹簧振子实验不确定度 的分析研究
同时得 到 Ｔ ＿ 线 性 关 系 图。 次 测 量 是 用 秒 表 ２Ｍ 本 测 出振 动 ３ ０次 的时 间 ， 测量 数据 见表 ２ 。
表 ２ 周 期 平 方 与质 量 的 关 系
Ｎ／ 而振 动法求 得劲 度 系数 的不确 定度 （ ）一 ｍ， 志
文献标志码 ： Ａ 中图分类号 ： ４ ． Ｏ２ １ １
弹簧振子运动
弹簧振子运动弹簧振子是指由于弹簧的弹性特性而产生的往复振动的物理系统。
弹簧振子是物理学中重要的研究对象之一，对于理解振动现象、力学和能量转化等概念具有重要意义。
本文将介绍弹簧振子的基本原理、运动方程、能量转化以及一些实际应用。
弹簧振子的基本原理是建立在胡克定律的基础上的，即弹簧的伸长或压缩与其所受的力成正比。
在没有施加外力的情况下，弹簧处于平衡位置。
当外力作用于弹簧时，弹簧开始变形，并且由于弹性势能的存在，弹簧具有恢复力，试图将变形恢复到平衡位置。
这种恢复运动会导致弹簧振动。
弹簧振子的运动方程可以通过牛顿第二定律推导得到。
假设弹簧的伸长或压缩量为x，弹簧的弹性常数为k，振子的质量为m。
根据牛顿第二定律，可以得到以下方程：m * d^2x/dt^2 = -k * x其中，d^2x/dt^2表示x对时间t的二阶导数，即加速度。
可以看出，弹簧振子的运动方程是一个二阶线性常微分方程。
解这个方程可以得到弹簧振子的运动规律。
弹簧振子存在两种运动方式：简谐振动和非简谐振动。
简谐振动指的是振幅大小恒定、振动周期固定的振动，其运动方程的解为：x = A * cos(ωt + φ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示相位差。
简谐振动的特点是振幅恒定且周期固定。
非简谐振动则是指振幅和周期会随着时间的变化而产生变化的振动。
这种振动通常是由于非线性的恢复力导致的。
非简谐振动的运动方程一般不能用简单的三角函数表示，需要使用数值方法或近似方法求解。
弹簧振子的能量转化也是一个重要的物理现象。
在弹簧振动的过程中，振子的动能和势能会不断转化。
当振子处于平衡位置时，动能为零、势能为最大。
当振子到达最大位移时，动能达到最大值、势能达到最小值。
在振子运动的过程中，动能和势能会不断相互转化，总能量保持不变。
除了在物理学研究中的重要性，弹簧振子在实际生活中也有各种应用。
例如，弹簧振子的特性被应用于钟摆的设计中，通过调节振动频率来控制钟摆的走时准确度。
弹簧振子的典型特征与解题应用
弹簧振子的典型特征与解题应用高炜弹簧振子与单摆是中学物理中研究简谐运动的两个理想模型，但由于在平时的教学和学习中，单摆的地位比弹簧振子更突出一些，致使许多学习者轻视了弹簧振子的应有的地位。
各类考试中涉及到弹簧振子的题目又较多，因此，研究弹簧振子的典型特征并积极利用这些特征解题是极其重要的。
典型特征1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F 与回复加速度a 大小相等，方向相反。
例1. 如图1所示，质量为3m 的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m 的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg ，求小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时加速度的大小为_____________。
s图1解析：当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg ，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg ，由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg 。
由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a ，此时框架的加速度大小为0，则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得：()F F M m g F mg m a m N N 合=-+=-=⨯+⨯430解得：a g =由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g ，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg 。
典型特征2：如图2所示，O 为平衡位置，假设一弹簧振子在A 、B 两点间来回振动，振动周期为T ，C 、D 两点关于平衡位置O 点对称。
从振子向左运动到C 点开始计时，到向右运动到D 点为止，即振子由C →A →C →O →D 的运动时间为t T =2。
图2例2. 如图3所示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成弹簧振子，在竖直方向上A 、B 两点间做简谐振动，O 为平衡位置，振子的振动周期为T 。
关于弹簧振子振动频率的探讨
关于弹簧振子振动频率的探讨吴三丰,学号pb06203218.如图(1),一个弹簧联上一个振子,质量为m,弹簧劲度系数为k,显然有:k m于是图（1）如图(2) ,振子m受控于劲度系数为k1,k2的两弹簧作简谐振动,自静止时位置o起振,求其振动方程.当m位移为x时,可得方程:)x该方程为简谐振动方程,解为:图(2) 基于此,增加弹簧的数量以及振子数目可以使问题变得复杂,然而好在这类振动方程是线性的,增加之后只不过方程个数增多,解出该线性方程组即可.如图(3),弹簧原长时两振子静止于o1,o2两点,现弹簧受迫变形,随后撤去外力,求其振动的频率.设m1自o1点位移为x1,m2自o2点位移为x2,则由牛顿第二定律可得:即:=对于图(3),再增加一个振子,如图(4),这可得到如下运动方程:m1 k m2该方程系数矩阵为: o1 o2…………( *) 图(3) 可以发现,所列方程皆是二阶线性微分方程组,解此类微分方程组，可由线性代数方法求得,现给出一般的情况.(以上假定系数矩阵可以相似对角化,并且c1到c2为负的,这样保证振动为简谐振动) m k m k m令:则图(4)显然,这个方程非常易解,可知:于是,由得到:xi 是x1’,. . .,xn’的线性组合,那么,…,就是原振子振动的特征频率,各振子的振动为这些在特征频率下的简谐振动的组合.现解决(*)式留下的问题.的特征值为0,,.于是,当图(4)中系统受外力并随后消失后,系统的振动频率只能为0,,三种,其中0意义是明显的:系统平动或静止.如图(5),6个质量均为m的小球,串在光滑圆环上,彼此间用劲度系数均为k的6个弹簧相连,整个系统在水平面内.当各小球处在平衡时,弹簧均为原长试求特征频率.m 6523图(5)把小球依次编号,设各小球偏离平衡位置位移为,, . . .,统一表为.则各球动力方程为:于是,其系数矩阵为:其特征值为,-4,0,-3,-3,-1,-1.这就说特征频率为,0 ,,.总之,运动方程系数阵特征值是与振动特征频率一致.。
简谐振动实验研究弹簧振子的周期和频率
简谐振动实验研究弹簧振子的周期和频率简谐振动是物理学中一个重要的研究对象，它广泛应用于各个领域。
本文将围绕简谐振动展开，重点研究弹簧振子的周期和频率，并通过实验来验证理论结果。
1. 引言简谐振动是指在恢复力的作用下，物体在平衡位置附近做往复振动的现象。
它具有周期性和定常性的特点，被广泛应用于机械、电子、光学等领域。
2. 弹簧振子的周期弹簧振子是简谐振动的一种典型实例，我们首先来研究它的周期。
根据弹簧的胡克定律，弹簧的恢复力与位移成正比，可以表示为：F =-kx，其中F为恢复力，k为弹簧的劲度系数，x为位移。
根据牛顿第二定律，我们可以得出弹簧振子的运动方程：m(d²x/dt²) = -kx，其中m为振子的质量。
将振子位置的变化表示为函数形式：x = A*cos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
带入运动方程，可以得到：mω²A*cos(ωt+φ) = -kA*cos(ωt+φ)。
由上式可知，振子的角频率与角位移的关系式为：ω = sqrt(k/m)。
因此，振子的周期T = 2π/ω，即T = 2π*sqrt(m/k)。
3. 弹簧振子的频率频率是指单位时间内振动的次数，可以用来描述简谐振动的快慢程度。
振子的频率f与周期T的关系为：f = 1/T。
将周期的表达式代入其中，可以得到：f = 1/(2π*sqrt(m/k))。
由此可见，弹簧振子的频率与振子的质量和劲度系数有关。
4. 实验步骤为了验证弹簧振子周期和频率的理论结果，我们可以进行如下实验。
材料和装置：- 弹簧振子装置- 秒表- 测量尺子实验步骤：1) 将弹簧挂在固定支架上，使其垂直向下悬挂。
2) 调整弹簧振子的初位移，并释放振子，开始振动。
3) 使用秒表记录振子完成若干个完整振动的时间，并计算平均时间。
4) 通过测量尺子测量弹簧振子的质量和劲度系数。
5. 数据处理与结果分析根据实验所得数据，可以计算出弹簧振子的周期和频率。
弹簧振子实验的技巧和步骤
弹簧振子实验的技巧和步骤弹簧振子实验是物理学实验中常见且重要的实验之一，通过实验可以研究弹簧振子的运动规律。
在进行弹簧振子实验时，需要掌握一些技巧和步骤，本文将介绍弹簧振子实验的相关内容。
一、实验器材与材料准备在进行弹簧振子实验前，首先需要准备实验所需的器材与材料。
常见的实验器材包括弹簧、托盘、重物、放大器等。
实验材料可以选择一些具有一定质量且易于悬挂的物体作为负载。
二、实验设置1. 将弹簧固定在支架上，确保其垂直挂放；2. 将负载悬挂在弹簧下方，使其与地面保持一定的距离；3. 使用可调整高度的托盘来调节负载的位置，使其与弹簧保持平衡。
三、测量步骤1. 调整弹簧振子系统，使其处于静止状态；2. 使用标尺等工具测量弹簧的定常长度；3. 将负载稍微拉下，使弹簧发生微小的形变，并释放负载；4. 在负载振动的过程中，使用计时器测量振动的周期，并记录数据；5. 重复上述步骤多次，取平均值以提高实验数据的准确性；6. 可以调节负载的质量或振幅等条件，进一步观察弹簧振子系统的行为。
四、数据处理1. 将实验所得的周期数据记录下来；2. 计算每次实验的周期平均值，并计算标准偏差以评估测量数据的精确程度；3. 根据实验数据，绘制弹簧振子的周期与负载质量或振幅之间的关系图；4. 可以根据实验结果进行数据分析，如拟合曲线、计算振子的周期与弹性系数之间的关系等。
五、注意事项1. 实验时需保证实验器材和测量装置的准确性和精确性；2. 确保实验环境的稳定，避免外界因素对实验结果的影响；3. 合理安排实验步骤和操作顺序，确保实验的顺利进行；4. 注意安全操作，避免负载或弹簧的突然脱离。
总结：弹簧振子实验是一项经典且重要的物理实验，在掌握实验技巧和步骤的基础上，可以通过实验研究弹簧振子的运动规律。
实验中需要注意实验器材和测量装置的准确性和精确性，同时保持实验环境的稳定，以获得准确的实验结果。
通过数据处理和分析，可以更好地理解和应用弹簧振子的相关知识。
坐标法解_弹簧双振子模型_
收稿日期:2008-06-18基金项目:贵州师范大学学生科研研究基金重点资助项目(2008.01)作者简介:陈卫国(1973-),男,湖南株洲人,硕士研究生,研究方向:物理课程与教学论。
坐标法解“弹簧双振子模型”陈卫国1,余 雷1,汤 捷2,龙家础3(1.贵州师范大学理学院,贵州贵阳550001;2.株洲县第六中学,湖南株洲412100;3.贵阳市第六中学,贵州贵阳550001) 摘 要:根据理想“弹簧双振子模型”的物理特点,运用矢量与坐标相结合的方法,对“弹簧双振子模型”进行了物理与数学上的推导,得到了确定双振子任意时刻位置的简洁普遍公式。
运用公式对“弹簧双振子模型”的各种情况进行处理,结果正确,这表明“弹簧双振子模型”的运动情况可以由所得公式表示。
关键词:弹簧双振子;物理模型;坐标;矢量中图分类号:O178 文献标识码:A 文章编号:1004-2237(2008)06-0033-06引言矢量既有大小,又有方向[3]。
如果被运算的矢量在同一条直线上,那么,我们就可以用一个带有正负号的数值把矢量的大小和方向都表示出来[2]。
为此,我们沿矢量所在的直线建立坐标,规定凡是方向跟坐标正方向相同的矢量都取正值,方向相反的矢量都取负值。
根据数值的正负号就可以知道矢量的方向,而矢量的大小等于它们的绝对值。
理想弹簧双振子模型[1]涉及速度、动量[4]、位移、位置等矢量,且这些矢量都在同一直线上。
因此,用坐标法处理弹簧双振子模型能够帮助学生对矢量的概念有初步的认识,更方便地研究和处理一些涉及到矢量运算的物理问题[5]。
图1 弹簧双振子模型图1 弹簧双振子模型分析一个双振子轻弹簧,自由长度l 0,初始时长为l ,二振子的质量分别为m A 、m B ,中间连一个弹性系数为K 的轻弹簧,静止置于光滑水平面上。
现给A 以νA 0的沿弹簧水平瞬间速度,给B 以νB 0的沿弹簧水平瞬间速度,试确定任意时刻A 、B 的位置。
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双弹簧振子问题的处理
如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。
现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：
① A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？
② A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？
本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为A
A m F a =，而
B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。
其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：
于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。
得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。
但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。
从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。
那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。
设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：
a m m F )(+=
选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a B
B B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：
选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a A
B A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a ’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。
很容易证明A 、B 作简谐运动的周期是相同的*，设为T ，则图五、图六合在一起，如图七所示，其中实线表示a'A 随时间的变化曲线，虚线表示a'B 随时间的变化曲线。
由a 绝对=a 相对+a 牵连，可知A 、B 对地的加速度a A 、a B 随时间的变化图象如图八所示，其中实线表示a A 随时间的变化曲线，虚线表示a B 随时间的变化曲线。
若m A <m B ，则图八变为图九所示。
从上述讨论中还可以知道，在t=T /4时，A 、B 的加速度相等，且都等于a ；在t=T /2时，A 、B 都运动到距O 最近的位置，此时弹簧被压缩到最短。
则从0~T /2这段时间内A 、B 的速度随时间的变化曲线为：
而且当弹簧压缩到最短时，A 、B 的共同速度为2
T a v ⨯
=，a B =2a 等等。
若A 、B 的质量相等，则有：
当弹簧被压缩到最短时，A 的加速度恰好为零，弹簧弹力恰为F 。
*设A 到质心O 的距离为r A ，B 到质心O 的距离为r B ，则有
A
B B A m m r r =…………………………① OA 段的劲度系数为k A ，OB 段的劲度系数为k B ，则有：
A
B B A r r k k =…………………………② ① ②联立可得
B
B A A k m k m =…………………………③ 而弹簧振子的周期为k m T π
2=，则由③式可知T A =T B ，即A 、B 的振动周期相同。