15--8弹簧双振子模型
2019-2020年高中物理人教必修二微专题讲义8.8 弹簧模型中的功能问题(二)(解析版)
第八章机械能守恒定律小专题8弹簧模型中的功能问题（二）【知识清单】1.由力与运动的关系分析物体的运动过程（1）单振子振动系统单振子系统是指弹簧一端连接物体、另一端固定的物理情景。
①物体受到的外力除弹簧的弹力外都是恒力时，物体的运动只能是变加速运动。
②物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，当物体的加速度为零时速度最大；速度为零时加速度最大。
③物体在同向经过关于平衡位置对称的位置时，其运动学量具有对称时：合力、加速度大小相等方向相反；速率、动能、动量、势能相同。
○4为了快捷分析物体的动态过程，可以采用极限方法而忽略中间突变过程，但要注意“弹簧可拉可压”的特点。
○5当物体在变化的弹力作用下而做匀变速运动时，除弹簧的弹力外物体必然至少还受到一个变化的外力，以保证物体所受的合力恒定。
（2）双振子系统双振子系统是指轻质弹簧两端都边接着物体，两物体在外力作用下皆处于运动之中的物理情景。
○1双振子系统中两物体的速度相等时物体间距离出现极值（最大或最小），弹簧的弹性势能达到最大，注意是速度相等而非速率相等时。
②双振子系统中两物体的加速度相等时物体间的速度差值达到最大③双振子系统的运动过程分析也可结合速度图象，有时需利用（动量定理、动量守恒）功能原理、能量守恒等进行辅助分析2.涉及弹簧的弹性势能的定量计算（1）由其他量求解弹性势能时通常需由能量守恒或功能关系（有时需结合动量守恒）。
（2）由弹性势能只做为系统运动过程中所涉及到的一种能量形式时可利用：①位置的对称性当系统在初末状态下弹簧的形变量（伸长量与压缩量）相同，则此过程中弹性势能变化量为零。
②位置变化的相同性当系统经历两个初末位置相同的过程时，两过程中弹性势能的变化量相同。
③弹性势能公式当弹性势能公式E p ＝12kx 2做为题设条件时可直接使用。
【考点题组】【题组四】双振子系统始末状态弹性势能的对称性1.如图所示，质量均为m 的A 、B 两物体分别固定在质量不计的轻弹簧的两端，当A 静止时弹簧的压缩量为l 。
15-8双振子模型
专题15—8 弹簧双振子模型结论例：在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等，现突然给左端小球一个向右的速度V ，试分析从开始运动到弹簧第一次恢复原长这一过程中两球的运动情况并求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度？ [析与解]：刚开始，A 向右运动，B 静止，A 、B 间距离减小，弹簧被压缩，对两球产生斥力，相当于一般意义上的碰撞，此时A 动量减小，B 动量增加。
当两者速度相等时，两球间距离最小，弹簧形变量最大。
接着，A 、B 不会一直做匀速直线运动，弹簧要恢复原长，对两球产生斥力，A 动量继续减小，B 动量继续增加。
所以，到弹簧第一次恢复原长时，A 球动量最小，B 球动量最大。
在整个过程中，系统动量守恒，从开始到第一次恢复原长时，弹簧的弹性势能均为零，即系统的动能守恒。
A B mv mv mv =+222111222A B mv mv mv =+ 解得： A v v =0B v = （这组解即为刚开始两个物体的速度） 或 0A v =B v v = （此组解为弹簧第一次恢复原长时两个物体的速度）例1．图6所示，在光滑的水平面上，物体A 跟物体B 用一根不计质量的弹簧相连，另一物体C 跟物体B 靠在一起，但不与B 相连，它们的质量分别为m A =0．2 kg ，m B =m C =0．1 kg ．现用力将C 、B 和A 压在一起，使弹簧缩短，在这过程中，外力对弹簧做功7．2 J ．然后，由静止释放三物体．求：(1)弹簧伸长最大时，弹簧的弹性势能．(2)弹簧从伸长最大回复到原长时，A 、B 的速度．(设弹簧在弹性限度内)2．木块a 和b 用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a 的质量1kg 紧靠在墙壁上，在质量为2kg 的b 上施加向左的水平力使弹簧压缩，储存36J 的势能，如图1所示，当撤去外力后，al 离开墙壁后弹簧的最大势能是多少？图6AB C v例3．如图8所示，木块B 和木块C 的质量分别为3/4M 和M ，固定在长为L ，劲度系数为k 的弹簧的两端，静止于光滑的水平面上。
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C.如果μ=tanθ,则弹簧测力计示数等于mgsinθ
D.无论μ取何值,弹簧测力计示数都不能确定
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情境命题3 功能问题 【典例3】某高中兴趣学习小组成员,在学习完必修1与必修2后设计出如图所示 的实验。OA为一水平弹射器,弹射口为A。ABCD为一光滑曲杆,其中AB水平,BC为 竖直杆(长度可调节),CD为四分之一圆环轨道(各连接处均圆滑连接),其圆心为 O′,半径为R=0.2 m。D的正下方E开始向右水平放置一块橡皮泥板EF,长度足够 长。现让弹射器弹射出一质量m=0.1 kg的小环,小环从弹射口A射出后沿光滑曲 杆运动到D处飞出,不计小环在各个连接处的能量损失和空气阻力。已知弹射器 每次弹射出的小环具有相同的初速度。某次实验中小组成员调节BC高度h=0.8 m。 弹出的小环从D处飞出,现测得小环从D处飞出时速度vD=4 m/s,求:
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弹簧双振子运动过程
弹簧双振子运动过程嘿，朋友！咱们今天来聊聊弹簧双振子运动过程，这可是个相当有趣的话题。
想象一下，有两个小球通过一根弹簧连接在一起，然后它们就在那来回振动，是不是感觉有点奇妙？弹簧双振子运动，其实就像是两个小伙伴在弹簧上跳来跳去。
当其中一个小球被拉开，弹簧就像被拉长的橡皮筋，积攒着力量，迫不及待地想把小球拉回来。
在这个过程中，能量可是在不停地转换呢。
就好像你兜里的钱，一会儿变成买零食的快乐，一会儿又变成了长身体的营养。
弹簧储存的弹性势能会变成小球的动能，让小球快速地运动起来；而小球的动能又会在运动到一定位置时，重新转化为弹簧的弹性势能。
两个小球振动的频率和幅度也很有讲究。
如果两个小球的质量不一样，那它们振动起来可就大不相同啦。
就好比一个大人和一个小孩一起跳绳，大人跳得慢而且幅度小，小孩跳得快还跳得高。
而且，弹簧的劲度系数也会影响它们的运动呢。
劲度系数大的弹簧，就像一个严厉的老师，拉着小球不让它们跑得太远；劲度系数小的弹簧，就像一个温柔的妈妈，对小球的限制没那么严格。
在研究弹簧双振子运动时，咱们得仔细观察小球的位置变化、速度变化。
这可不是一件轻松的事儿，得有耐心，就像钓鱼一样，不能着急，等着鱼儿上钩。
你想想，如果能准确掌握弹簧双振子的运动规律，那在实际生活中能有多大的用处啊！比如说，在制造减震装置的时候，不就可以利用这个原理让设备更加稳定吗？汽车的悬挂系统不就是这样嘛，让咱们坐在车里感觉更加平稳舒适。
所以说，弹簧双振子运动虽然看起来复杂，但只要咱们用心去琢磨，就能发现其中的奥秘和乐趣。
这不仅能让咱们学到知识，还能启发咱们去解决更多实际的问题，难道不是一件很棒的事情吗？总之，弹簧双振子运动充满了趣味和挑战，值得咱们深入探索和研究。
高考物理弹簧模型
高考物理弹簧模型1.高考物理弹簧弹力的计算弹簧弹力的大小可以由胡克定律来计算，即弹簧发生形变时，在弹性限度内，弹力的大小与弹簧伸长(或缩短)的长度成正比，数学表达式为，其中是一个比例系数，叫弹簧的劲度系数.弹簧的弹力不是一个恒定的力，而是一个变力，其大小随着弹簧形变量的变化而变化，同时还与弹簧的劲度系数有关。
2.高考物理弹簧弹力的特点(1)弹簧弹力的大小与弹簧的形变量有关，当弹簧的劲度系数保持不变时，弹簧的形变量，弹簧的形变量发生变化，弹簧的弹力相应地发生变化;形变量不变，弹力也力也就保持不变，由于弹簧的形变不能发生突变，故弹簧的弹力也不能瞬间发生变化，这与绳子的受力情况不同。
(2)当轻弹簧受到外力的作用时，无论弹簧是处于平衡状态还是处于加速运动状态，弹簧各个部分所受的力的大小是相同的。
(3)弹簧弹力的方向与弹簧的形变有关，在拉伸和压缩两种情况下，弹力的方向相反.在分析弹簧弹力的方向时，一定要全面考虑，如果题目没有说明是哪种形变，那么就需要考虑两种情况。
(4)根据胡克定律可知，弹力的大小与形变量成正比，方向与形变的方向相反，可以将胡克定律的表达式写成F=kx，即弹簧弹力是一个线性回复力，故在弹力的作用下，物体会做简谐运动。
3.高考物理弹性势能与弹力的功弹簧能够存储弹性势能，其大小为Ep=kx2/2，在高中阶段不需要掌握该公式，但要知道形变量越大，弹性势能就越大，在形变量相同的情况下，弹性势能是相等的;一般情况下，通常利用能量守恒定律来求弹簧的弹性势能，由于弹簧弹力是一个变力，弹力的功就是变力的功，可以用平均力来求功，也可以通过功能关系和能量守恒定律来求解。
4.高考物理常见的弹簧类问题(l)弹簧的平衡与非平衡问题;(2)弹簧的瞬时性问题;(3)弹簧的碰撞问题;(4)弹簧的简谐运动问题;(5)弹簧的功能关系问题;(6)弹簧的临界问题;(7)弹簧的极值问题;(8)弹簧的动量守恒和能量守恒问题;(9)弹簧的综合性问题.5.高考物理处理弹簧模型的策略(l)判断弹簧与连接体的位置，分析物体的受力情况;(2)判断弹簧原长的位置，现长的位置，以确定弹簧是哪种形变以及形变量的大小;(3)分析弹簧弹力的变化情况，弹箦弹力不能发生突变，以此来分析计算物体的运动状态;(4)根据相应的物理规律列方程求解，例如，物体处于平衡时，运用平衡条件和胡克定律求解。
用v—t图像破解弹簧双振子问题
用v—t图像破解弹簧双振子问题作者：武莲实来源：《中学生数理化·学研版》2015年第05期弹簧双振子是高中物理的重要物理模型之一其特点是质点在振动过程中无固定的悬点。
本模型涉及力和运动动量和能量等多方面的联系。
下面就常见的三类弹簧双振子问题来分析它们运动的一般规律。
一、系统质心静止不动质心系中物体相对质心做简谐振动图例如图所示两物体A、用轻质弹簧相连静止在光滑水平面上现同时对A、两物体施加等大反向的水平恒力F、F使A、同时由静止开始运动在运动过程中对A、两物体及弹簧组成的系统正确的说法是整个过程中弹簧不超过其弹性限度））。
A。
机械能守恒。
机械能不断增加C。
当弹簧伸长到最长时系统的机械能最大D。
当弹簧弹力的大小与F、F的大小相等时A、两物体速度为零。
解析：F、F加在A、上以后A、向两侧做加速度a=F-kx减小的加速运动。
当F=kx后加速度为零速度达到最大以后kx>FA、向两侧做减速运动到速度减为零时弹簧伸长到最长以后弹簧伸长量减小F、F开始做负功则系统的机械能减少。
从A、开始运动到弹簧伸长到最长的过程F、F都一直做正功使系统的机械能增加以后再分别沿原来的反方向先做加速运动再做减速运动速度同时减小到零后重复上述过程显然在F=F=kx时A、两物体的速度最大动能最大。
在整个过程中F与F既有做正功的过程也有做负功的过程所以机械能既有增加的过程又有减少的过程则只有C正确。
v-t如图所示图在t=0时刻A向左运动向右运动t时刻两个速度均达最大t时刻两物速度均为零弹簧拉到最长F、F做正功系统的机械能最大t3到t时间内F、F均做负功t时刻两物体回到原位置。
答案为C。
二、系统质心做匀速直线运动质心系中物体相对质心做简谐振动图3例如图3所示质量相等的a、b两木块用轻弹簧连接静止在光滑的水平面上现给木块b一个向左的初速度此后）。
A。
弹簧有最大压缩量时a的速度一定比b的速度大。
弹簧有最大伸长量时两木块的速度都等于零C。
_弹簧双振子模型_在物理竞赛中的应用_王建峰
振动周期都是 T = 2 P
建立如图 2 所示的坐标系 , 即以质心为坐标 原点, 向右为正方向。 在任意时刻 t, A 相对质心 的位置 mB x1 = l 0 + A cos ( 2 P t+ U )。 m A + mB T A 为简谐振 动的振幅, 大小 为 m S, U m A + mB 为初相位。 通过参考圆可求得 x 1 随时间的变化 率即速度 2P 2P v 1 = - A ( ) sin( t + U )。 T T 现已知在 t = 0 时刻 , A 位于初始位置, mB mB x0 = l0 + S, m A + mB m A + mB
别为 m A 和 m B 的两物块 A 和 B , A、 B 可视 为质 点 , 用一根劲度系数为 k 的轻质弹簧连接起来, 放 在光滑水平面上 , 弹簧原长为 l 0 。 可以将 A 、 B和 弹簧组成的系统装置称为/ 弹簧双振子模型0 。 该 模型在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出 现 , 从反馈情况来看失分是相当严重的。 究其原 也使学生勇于对老师讲过的、 对教材上给出的结 论大胆质疑, 不迷信权威 , 通过科学的分析和探 究实验 , 解决学习中的疑难 ; 并在探究过程中 , 学 习科学探究方法 , 发展初步的科学探究能力, 形 成探索真理的科学态度。 题目 3 1 小松在做/ 连接串联电路0 的实验 中 , 不慎把电路中一个灯泡的玻璃打碎了。 此时 , 她惊奇的发现 : 这个小灯泡几乎不发光, 可与其 串联的小灯泡不仅没熄灭 , 反而更亮了。 小松对 此产生了疑问: ( 1) 玻璃碎了以 后, 小灯泡仍有 电流通过 , 灯丝却几乎不发光, 那么玻璃外壳究竟起什么作 用呢? 请说出你的看法。 ( 2) 完好的小灯泡亮度的变 化与哪些因素 有关? 请你提出一种猜想 , 并设计一种验证你猜 想的实验方案。 参考答案 ( 1) 外壳破碎 , 由于散热, 使灯 丝温度降低, 达不到发光状态而无法发光, 所以 以外壳可以减少散热, 提高灯丝温度 , 有利于发 光。 ( 2 ) 猜想: 完好小灯泡的亮度是否与损坏小 灯泡电阻大小的变化有关? 方案: a 1 将外壳破碎 的小灯泡与完好的小灯泡串联在电路中 , 用电流 表测出外壳破碎的小灯泡电流 I 1 , 用电压表测出 其两端电压 U1 , 计算出电阻为 R 1 。 b1 用与外壳 破碎的规格相同的小灯泡将它换下 , 再与完好的 小灯泡串联在原电路中, 用电流表测出换上小灯
“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用
“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用简谐运动在高中阶段的物理学习中占据重要地位，其中“弹簧双振子模型”是师生共同面对的较为艰深的问题，出错率较高，在物理竞赛中是重要的考点。
“弹簧双振子模型”是简谐运动的理想模型。
该模型在运动过程中，设计机械能转化、动量、周期性变化等内容，是物理竞赛中频繁出现的知识，目的就是为了考验参赛者对于各部分知识的综合运用能力。
笔者将在下文探讨“弹簧双振子模型”的含义以及该模型在物理竞赛中的应用。
标签：弹簧双振子模型；物理竞赛；应用；动量；机械能一、“弹簧双振子模型”的含义振动是自然界中常见的物理现象，物理教学中对于振动部分的教学，一般将其提炼为质点沿弹簧方向振动的模型进行讨论。
实际生活中，较为理想的影响因素较少的简谐运动并不常见，质点除了在弹簧方向的振动以外，还会受到不同方向外力影响。
例如两个孩子手拉手在冰面上活动，冰面情况不可能为理想的阻力为零的情况。
对于这类问题，可以建立弹簧双振子模型进行研究，讨论其在其他方向的小振幅振动。
“弹簧双振子模型”一般由一个弹簧与两个振子组成。
振子质量远远大于弹簧质量，研究模型时忽略弹簧质量对模型的影响。
弹簧对振子产生的力为变力，力随着弹簧拉升压缩不停变化，振子运动遵循胡克定律，为简谐运动。
如果力是一直变化的，那么运用牛顿力学定律解决问题则不太实用，经典力学所需条件较为理想，采用动量守恒与能量守恒部分知识更容易解决弹簧双振子模型的问题。
近年来的物理竞赛频频出现“弹簧双振子模型”相关问题，表明了竞赛思想在于锻炼学生知识综合运用能力。
二、高中物理中弹簧特性在高中物理阶段，弹簧的弹力是变力，弹簧产生的弹力遵循胡克定律：F=-kx。
其中x是弹簧形变的大小而非弹簧的位移，符号表示的是弹簧的弹力与形变方向是相反的。
中学阶段，学生已经学习了势能知识，弹簧具有弹性势能，弹性势能的表达式为对于量是没有要求的，这就要求在高中物理阶段需要定量探讨弹簧问题，需要通过动量守恒、能量守恒等知识来进行量化。
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专题15-8弹簧双振子模型
例1：在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等，现突然给左端小球一个向右的速度V ，试分析从开始运动到弹簧第一次恢复原长这一过程中两球的运动情况并求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度？
例2．图6所示，在光滑的水平面上，物体A 跟物体B 用一根不计质量的弹簧相连，另一物体C 跟物体B 靠在一起，但不与B 相连，它们的质量分别为m A =0．2 kg ，m B =m C =0．1 kg ．现用力将C 、B 和A 压在一起，使弹簧缩短，在这过程中，外力对弹簧做功7．2 J ．然后，由静止释放三物体．求：
(1)弹簧伸长最大时，弹簧的弹性势能．
(2)弹簧从伸长最大回复到原长时，A 、B 的速度．(设弹簧在弹性限度内)
例3．如图8所示，木块B 和木块C 的质量分别为3/4M 和M ，固定在长为L ，劲度系数为k 的弹簧的两端，静止于光滑的水平面上。
一质量为1/4M 的木块A 以速度v 水平向右与木块B 对心碰撞并粘在一起运动，求弹簧达到最大压缩量时的弹性势能。
例4．木块a 和b 用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a 的质量1kg 紧靠在墙壁上，在质量为2kg 的b
上施加图
6
向左的水平力使弹簧压缩，储存36J 的势能，如图1所示，当撤去外力后，al 离开墙壁后弹簧的最大势能是多少？
1[析与解]：刚开始，A 向右运动，B 静止，A 、B 间距离减小，弹簧被压缩，对两球产生斥力，相当于一般意义上的碰撞，此时A 动量减小，B 动量增加。
当两者速度相等时，两球间距离最小，弹簧形变量最大。
接着，A 、B 不会一直做匀速直线运动，弹簧要恢复原长，对两球产生斥力，A 动量继续减小，B 动量继续增加。
所以，到弹簧第一次恢复原长时，A 球动量最小，B 球动量最大。
在整个过程中，系统动量守恒，从开始到第一次恢复原长时，弹簧的弹性势能均为零，即系统的动能守恒。
A B mv mv mv =+
222111222
A B mv mv mv =+ 解得： A v v =
0B v = （这组解即为刚开始两个物体的速度）
或 0A v =
B v v = （此组解为弹簧第一次恢复原长时两个物体的速度）
2解析：(1)在水平方向上因不受外力，故动能守恒．从静止释放到恢复原长时，物体B 、C 具有相同的速度v BC ，物体A 的速度为v A ，则有：
m A v A +(m B +m C )v BC =0
由机械能守恒得：
E 弹=21m A v Ａ２+2
1 (m B +m C )v BC ２ 解得：v A =6(m/s),v BC =-6 m/s(取水平向右为正)．
此后物体C 将与B 分开而向左做匀速直线运动．物体A 、B 在弹簧的弹力作用下做减速运动，弹簧被拉长，由于A 的动量大，故在相同的冲量作用下，B 先减速至零然后向右加速，此时A 的速度向右且大于B 的速度，弹簧继续拉伸，
直至A 、B 速度相等，弹簧伸长最大，设此时A 、B 的速度为v ．
由水平方向动量守恒可列式：
m A v A +m B v BC =(m A +m B )v
由机械能守恒可列式： 21 m A v Ａ２+21 m B v BC ２=2
1 (m A +m B )v ２+E 弹′ 解得：v =
2 m/s,E 弹′=4．8 J
(2)设弹簧从伸长最大回到原长时A 的速度为v 1，B 的速度为v 2，由动量守恒可列式： (m A +m B )v =m A v 1+m B v 2
由机械能守恒又可列式： 21 (m A +m B )v ２+E 弹′=21 m A v １２+2
1m B v ２２ 解得：v 1=-2 m/s(v 1=6 m/s 舍去)；v 2=10 m/s(v ２=-6 m/s 舍去)
此时A 向左运动，速度大小为2 m/s ；B 向右运动，速度大小为10 m/s ． 答案：（1）4．8 J （2）v A =2 m/s,v B =10 m/s。