高考物理常用模型十四：弹簧振子和单摆
专题 弹簧振子、单摆《机械振动与波》
【解析】（1）
（2）按题设从O→C为正方向，则当振子在平衡位置右侧时位移为正，在平衡位置左侧时位移为负．所以当振子从C→O运动时，位移方向为正，大小在减少，回复力方向为负，加速度方向为负，回复力和加速度的大小都在减小．振子的速度方向为负，加速度与速度方向一致，速度在增大；振子到达O位置时位移X=0，F、a均为零，υ最大．当振子从O→B运动时，位移方向为负，位移x在增大，回复力F、加速度a方向为正，大小在增大，此过程速度方向为负，a与υ反向，振子从O→B做减速运动，υ在减小，到达B位置时F、a为正向最大，υ=0．
C、A1<A2D、条件不足，无法确定
【解析】当C轻放在B槽内时，BC间发生一次完全非弹性碰撞，两者速度由不同达到相同，此时有一部分机械能转化为内能．由于机械能损失，所以振幅减小，A2<A1；
公式推导也可得出同样的结论：B、C碰撞，遵从动量守恒定律，
显然，
【点评】若在极端位置时把C轻放在B槽内结果又如何？
a2=F2/m=8/2=4m/s2，方向向左．
【点评】
【例题3】上题中，若弹簧振子的振幅为8cm，此弹簧振子振动的周期为〖A〗
A、0.63s B、2s C、8s D、条件不足，无法判断
【解析】因为是简谐运动，所以：
【点评】
【例题4】弹簧振子在BC间作简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10cm，由B→C运动时间为1s，则〖B〗
A． B． C． D．
【解析】本题不是非常简单，考查的知识点很多，稍有不足，就会选错。
物体做简谐运动，取整体为研究对象，是由弹簧的弹力充当回复力。取上面的小物块为研究对象，则是由静摩擦力充当向心力。当两物体间的摩擦力达到最大静摩力时，两物体达到了简谐运动的最大振幅。又因为两个物体具有共同的加速度，根据牛顿第二定律对小物体有 ，取整体有 ，两式联立可得 ，答案为C。
高中物理-机械振动-简谐振动-单摆
单摆单摆的概念单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成。
单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球，就构成单摆。
单摆的周期公式若小球只限于铅直平面内摆动，则为平面单摆，若小球摆动不限于铅直平面，则为球面单摆。
单摆运动近似的周期的公式：其中L指摆长，g是当地重力加速度。
从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关。
受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsinθ）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长L和重力加速度g有关。
在有些振动系统中L不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s²，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。
物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”。
等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用。
绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。
但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T 只和l和当地的重力加速度g有关，即而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。
如果振动的角度大于5°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。
如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。
利用单摆测当地重力加速度的实验单摆只在最大摆角小于等于5°时，单摆的振动才可以近似看为为简谐振动。
单摆的固有周期公式：由该式可推导：据此，我们只要通过实验方法测出摆长L和周期T，就可以通过计算得到当地的重力加速度。
弹簧振子的典型特征与解题应用
弹簧振子的典型特征与解题应用高炜弹簧振子与单摆是中学物理中研究简谐运动的两个理想模型，但由于在平时的教学和学习中，单摆的地位比弹簧振子更突出一些，致使许多学习者轻视了弹簧振子的应有的地位。
各类考试中涉及到弹簧振子的题目又较多，因此，研究弹簧振子的典型特征并积极利用这些特征解题是极其重要的。
典型特征1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F 与回复加速度a 大小相等，方向相反。
例1. 如图1所示，质量为3m 的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m 的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg ，求小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时加速度的大小为_____________。
s图1解析：当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg ，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg ，由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg 。
由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a ，此时框架的加速度大小为0，则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得：()F F M m g F mg m a m N N 合=-+=-=⨯+⨯430解得：a g =由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g ，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg 。
典型特征2：如图2所示，O 为平衡位置，假设一弹簧振子在A 、B 两点间来回振动，振动周期为T ，C 、D 两点关于平衡位置O 点对称。
从振子向左运动到C 点开始计时，到向右运动到D 点为止，即振子由C →A →C →O →D 的运动时间为t T =2。
图2例2. 如图3所示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成弹簧振子，在竖直方向上A 、B 两点间做简谐振动，O 为平衡位置，振子的振动周期为T 。
简谐运动典型实例的分析——弹簧振子与单摆
自 己凭 兴 趣 、 感 觉 去 写 还 不 能 让 学 生 把 字 写 好 ， 师 还 要 教 凭 老 给学 生 练 习 写 字 的 方 法 靖 江 城 东 小 学 朱 志 明 老 师 在谈 到 写字 教学 时说 ：凭 感 觉 来 写 ， 时 能 写 得 好 ． 时却 不 能 写好 ！ “ 有 有 上师 范 时 ， 练 字 就 是 这 样 ， 年 级 还 获 得 了一 等 奖 ， 、 年 级 却 我 一 二 三 什 么 奖也 没有 获得 ． 管 还 是 很 认 真 地 练 写 。 照 规 律 来 写 。 尽 按 写 好 就 有 了 自信 。 凭感 觉 来 写 ， 感 性 阶 段 ： 照规 律来 写 ， 上 是 按 就 升 到 了理 性 阶段 。 ” 就 是 说 ． 凭 感 觉 练 习写 字 是 不 行 的 。 也 仅 在 谈 到 写 字 教 学 时 ． 们 的 老 师 有 这 样 一 个 认 识 ． 写 得 我 字 好 是 天 赋 。这 话 有 一 定 的道 理 ， 不 是 真理 ． 正 能 把 字 写 好 ， 但 真 是 要 通 过 不 懈 的努 力 才 能 达 到 现 在 有 不 少 学 生 写 字 的姿 势 不 正 确 ． 字 时 ， 姿 不 正 ， 写 坐 握 笔 姿 势 不 正 确 ， 业 纸放 不 正 ， 的 字大 的 大 ， 的 小 ， 歪 扭 作 写 小 歪 扭 ， 蜒 起 伏 ， 难 看 。所 以 ， 们 低 年 级 的 老 师 一定 要 强 调 平 蜿 很 我 时写字 的习惯 。 求学生 写字时坐要 有坐势 ， 做 到 ： 正 、 要 要 头 肩 平 、 直 、 安 ； 做 到 “ 个 一 ” 即 身 体 离 桌 子 一 拳 ， 睛 离 桌 腰 足 要 三 ， 眼 面一尺 ， 指离笔尖一寸 。另外 。 要 做到写字时心无旁鹜 ， 手 还 心 中只 想 着 写 字 ． 千万 不 能 在 写 字 时 还 想 着 其 他 事 情 。 这些 要 求 不是 老 师 讲一 次 学 生 就 能 终 生 做 到 的 ． 在 学 生 作 业 时 反 复强 要 调 。 他 们 养 成 良好 的写 字 习 惯 。 了 良好 的 写 字 习惯 ． 有 可 让 有 才 能把 字 写好 。 老 师 是学 生学 习 的 榜 样 。小 学 生 的模 仿 能 力极 强 ． 生 喜 学 欢 模 仿 老 师 写 字 ， 师 的 字 写 得 好 坏 ． 接 影 响 到 学 生 的 字 写 老 直 得 好 坏 ． 别 是 低 年 级 的 语 文 老 师 ， 响 更 大 ， 学 如 漆 啊 ！低 特 影 幼 年 级 的 老 师 在 教 学 生 写 字 时 ． 从 简 单 的 笔 画 教 起 ． 简 单 的 要 从 间架 结 构 教 起 ， 多 作 示 范 。 学 生 学 有 榜 样 现 在 ， 堂 上 不 要 让 课 少 老师为 了让课 堂显 示 出完整性 ， 注重 阅读 、 析 、 只 分 口语 交 际 ． 忽 视 了 课 堂 上 的 写 字 教 学 ． 种 现 象 已 经 延 伸 到 了 低 年 而 这 级． 这种 现象 是 要 不得 的 《 习字 册 》 专 供 学 生 练 习写 字 用 的 ， 以我 们 老 师要 用好 是 所 《 习字 册 》 有 部 分 老 师 把 《 字册 》 的 写 字 练 习 当 做 是抄 写 字 。 习 上 词 的 练 习 ， 就 违 背 了 出一 本 《 字 册 》 初 衷 。我 们 要 还 原 它 这 习 的 本来 的 作 用— — 练 习 写 字 。 要 求 学 生 完成 这项 作 业 时 ． 做 到 要 忠 实 字 帖 ， 丝 不 苟 ； 偏 不 倚 ， 确 到位 。 前 先 读 一 读 范 字 ， 一 不 准 写 分 析 该 字 的笔 画 、 构 。 读 的 基 础 上 再 去 描 红 。 红 的时 候 想 结 在 描 想 事 前 自己 的分 析 是 否正 确 ， 后 再 临 写 ， 写 时要 把 读 、 最 临 临 的心 得 用 上 去 ， 万 不 能 应 付 差 事 ， 草 了事 。 就 不 能 达 到 练 千 草 那 习 的效 果 了 。 课 后 生 字 的学 习书 写 ． 能 达 到 练 字 的 目的 。 教 师 在 课 堂 也 上 要 舍得 花 时 间 去 进 行 写 字 教 学 ， 师 在 黑 板 上 要 范 写 ． 领 教 引 学 生 书 空 ． 导 学 生 描 红 ． 过 一 系 列 的 教 学 行 为 有 意 识 地 引 指 通
简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律
简谐振动弹簧振子与单摆的运动规律简谐振动是指物体在一个恢复力作用下，以某一特定频率围绕平衡位置来回振动的现象。
其中，弹簧振子和单摆是两种常见的简谐振动体系。
本文将介绍弹簧振子和单摆的运动规律。
一、弹簧振子弹簧振子是通过连接弹性系数为k的弹簧和质量为m的物体来实现的。
弹簧振子的平衡位置是指物体静止时所处的位置，通常是将弹簧的伸长长度设为平衡位置。
1. 振动方程对于弹簧振子而言，其振动方程可以表示为：m * a + k * x = 0其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，k是弹簧的劲度系数，x是物体距离平衡位置的位移。
2. 运动规律根据振动方程，我们可以推导出弹簧振子的运动规律。
假设物体在t=0时刻的位移为x_0，速度为v_0，则弹簧振子的位移可以表示为：x = A * cos(ωt + φ)其中，A是振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离；ω是角频率，表示单位时间内物体的振动次数；φ是初相位，表示物体在t=0时刻的相位。
利用初条件，我们可以求解振幅和初始相位。
物体的速度可以表示为：v = -A * ω * sin(ωt +φ)由于速度和位移之间存在90°的相位差，我们可以得到速度的初相位：φ_v = φ + π/23. 简谐振动的特点弹簧振子的简谐振动具有以下特点：- 振动周期：T = 2π/ω，表示物体完成一个完整振动所需要的时间。
- 振动频率：f = 1/T，表示单位时间内物体的振动次数。
- 动能和势能：弹簧振子的动能和势能之和保持不变，即E =1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 1/2kA^2，其中E为总能量。
二、单摆单摆由一个允许转动的杆和一个挂在杆末端的质点组成。
当质点被拉至一侧并释放时，它将在重力的作用下来回摆动。
1. 振动方程对于单摆而言，其振动方程可以表示为：m * a + mg * sinθ = 0其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，g是重力加速度，θ是质点与竖直方向的夹角。
高考物理常用模型十四：弹簧振子和单摆
模型十四：弹簧振子和单摆◆弹簧振子和简谐运动①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。
加速度为m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。
③弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：W =－△EP 其中W 为弹簧弹力做功。
④在平衡位置速度、动量、动能最大；在最大位移处回复力、加速度、势能最大。
⑤振动周期 T= 2πm K(T 与振子质量有关、与振幅无关)通过同一点有相同的位移、速率、回复力、加速度、动能、势能；半个周期，对称点速度大小相等、方向相反。
半个周期内回复力的总功为零，总冲量为2t mv 一个周期，物体运动到原来位置，一切参量恢复。
一个周期内回复力的总功为零，总冲量为零。
◆碰撞过程两个重要的临界点：（1）弹簧处于最长或最短状态：两物块共速，具有最大弹性势能，系统总动能最小。
（2）弹簧恢复原长时：两球速度有极值，弹性势能为零。
◆单摆T l g=<︒25πθ() (T 与振子质量、振幅无关)影响重力加速度有：①纬度，离地面高度；②在不同星球上不同，与万有引力圆周运动规律；③系统的状态(超、失重情况)；④所处的物理环境有关，有电磁场时的情况；⑤静止于平衡位置时等于摆线张力与球V 1V 2 BA V 0B AA 球速度为V0，B 球静止，弹簧被压缩 状态分析 受力分析 A 球向左，B 球向右 V 2↑ V 1↓ 过程分析 A 球减速， B 球加速 条件分析临界状态：速度相同时，弹簧压缩量最大F F 图2图1质量的比值。
弹簧振子和单摆PPT教学课件(1)
2、离子方程式的书写及判断正误
（2004全国卷1）下列离子方程式正确的
是（ D ） A．澄清的石灰水与稀盐酸反应
Ca(OH)2 + 2H+ == Ca2+ + 2H2O B．钠与水的反应
Na + 2H2O == Na+ + 2OH-+ H2↑ C．铜片插入硝酸银溶液中
Cu + Ag+ == Cu2+ + Ag
机械振动复习2
弹簧类问题 1、弹簧的平衡问题
这类题常以单一的问题出现，涉及到的知识是 胡克定律，一般用f=kx来求解。
2、弹簧的非平衡问题
这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所 引起的力、加速度、速度、功能和合外力等其它 物理量发生变化的情况。
3、 弹力做功与动量、能量的综合问题
在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与、 能量联系，一般以综合题出现。将机械能守恒、 功能关系和能量转化结合在一起。分析解决这类 问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能
• 物质的提纯：除去杂质
过滤
蒸馏
液态混合物
蒸
△
馏
过 气（易挥发）
程 冷凝
液态纯净物
萃取和分液
除杂原则：
（1）不能引入新杂质，若引入，必 须进一步除去；
（2）提纯后物质质量不能损耗或减少 （该成分的量若能增多则更好）；
（3）实验过程和操作方法简单易行。
二、重要的定量实验 配制一定物质的量浓度的溶液
重力势能最大
ACD
弹簧振子的质量为M，弹簧劲度系数 为K，在振子上放一质量为m的木块， 使两者一起振动，木块的回复力是振子 对木块的摩擦力，也满足 F kx x是弹簧的伸长（或压缩）量那么为 （ ）．
弹簧专题之弹簧振子
弹簧专题之弹簧振子【模型构建】定义弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑空气阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。
用来研究简谐振动的规律。
弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。
若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。
在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。
当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。
但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。
动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。
这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。
势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。
在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。
弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧劲度系数和振子质量有关，与振幅大小无关。
右图为其运动图像。
（注意复习受迫振动，阻尼振动等相关知识）在简谐运动中，我们一般对模型甲（图１）比较熟悉，但模型乙（图２）也经常出现在试题中。
特别注意：模型甲乙都做简谐运动，甲中回复力（弹力），加速度，速度，位移各量都关于平衡位置Ｏ点对称。
但是乙是由弹簧弹力和弹簧重力一起提供回复力，弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称的，但是回复力（加速度）仍然是对称的。
特征图３1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F与回复加速度a大小相等，方向相反。
平衡位置合力为零，加速度为零，速度最大。
正负位移最大处回复力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。
２：如图３所示，O为平衡位置，假设一弹簧振子在A、B两点间来回振动，振动周期为T，C、D两点关于平衡位置O点对称。
从振子向左运动到C点开始计时，到向右运动到D点为止，即振子由C→A→C→O→D的运动时间为３：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即在振动过程中，振子在任意位置，弹簧振子的机械能不变，弹簧振子的机械能表现为振子的动能与弹簧储存的弹性势能之和。
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模型十四：弹簧振子和单摆
◆弹簧振子和简谐运动
①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。
加速度为
m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。
③弹簧可以贮存能量，弹力做功和弹性势能的关系为：W =－△EP 其中W 为弹簧弹力做功。
④在平衡位置速度、动量、动能最大；在最大位移处回复力、加速度、势能最大。
⑤振动周期 T= 2πm K
(T 与振子质量有关、与振幅无关)
通过同一点有相同的位移、速率、回复力、加速度、动能、势能；
半个周期，对称点速度大小相等、方向相反。
半个周期内回复力的总功为零，总冲量为2t mv 一个周期，物体运动到原来位置，一切参量恢复。
一个周期内回复力的总功为零，总冲量为零。
◆碰撞过程
两个重要的临界点：
（1）弹簧处于最长或最短状态：两物块共速，具有最大弹性势能，系统总动能最小。
（2）弹簧恢复原长时：两球速度有极值，弹性势能为零。
◆单摆
T l g
=<︒25πθ() (T 与振子质量、振幅无关)
影响重力加速度有：①纬度，离地面高度；②在不同星球上不同，与万有引力圆周运动规律；③系统的状态(超、失重情况)；④所处的物理环境有关，有电磁场时的情况；⑤静止于平衡位置时等于摆线张力与球V 1
V 2 B
A V 0
B A
A 球速度为V0，
B 球静
止，弹簧被压缩 状态分析 受力分析 A 球向左，B 球向右 V 2↑ V 1↓ 过程分析 A 球减速， B 球加速 条件分析
临界状态：速度相同时，弹簧压缩量最大
F F 图2
图1
质量的比值。