双弹簧振子问题的处理
弹簧双振子问题的处理
弹簧双振子问题的处理如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。
现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：1A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？2A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为AA m F a =，而B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。
其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。
得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。
但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。
从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。
那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。
设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：am m F B A )(+=选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a BB B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a AB A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法
弹簧双振子简谐运动周期公式的推导方法弹簧双振子简谐运动是指两个振子之间存在弹性作用力，且其运动周期相同的振动运动。
其周期的计算方法如下：假设两个振子的质量分别为m1和m2，它们的自由长分别为l1和l2，弹性常数分别为k1和k2，则它们的角动量方程分别为：I1*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0I2θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0其中I1和I2分别表示振子1和振子2的转动惯量，θ1和θ2分别表示振子1和振子2的摆角。
将这两个方程化简后得到：(I1+I2)*θ1'' + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)θ2'' - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将θ1''和θ2''带入上式，得到：(I1+I2)*((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = 0(I1+I2)(k2θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2 = 0将两式合并得到：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 -(k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2移项后的结果是：(I1+I2)((k1+k2)θ1 - k2θ2) + (k1+k2)θ1 - k2θ2 = (I1+I2)(k2*θ1 - (k1+k2)θ2) - k2θ1 + (k1+k2)*θ2化简得到：(I1+I2)*(k1+k2-k2)θ1 = (I1+I2)(k2-k1-k2)*θ2即：(k1+k2-k2)*θ1 = (k2-k1-k2)*θ2化简得到：k1θ1 = k2θ2得到结论：弹簧双振子的运动周期T满足公式：T = 2πsqrt((I1+I2)/(k1m1+k2m2))其中sqrt表示平方根。
双弹簧振子问题的处理
双弹簧振子问题的处理湖北省恩施高中 陈恩谱如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。
现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：① A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？② A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为AA m F a =，而B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。
其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。
得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。
但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。
从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。
那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。
设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a BB B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a AB A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a ’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。
弹簧振子的典型特征与解题应用
弹簧振子的典型特征与解题应用高炜弹簧振子与单摆是中学物理中研究简谐运动的两个理想模型，但由于在平时的教学和学习中，单摆的地位比弹簧振子更突出一些，致使许多学习者轻视了弹簧振子的应有的地位。
各类考试中涉及到弹簧振子的题目又较多，因此，研究弹簧振子的典型特征并积极利用这些特征解题是极其重要的。
典型特征1：在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F 与回复加速度a 大小相等，方向相反。
例1. 如图1所示，质量为3m 的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m 的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg ，求小球运动到最高点时，台秤的示数为_____________，小球的瞬时加速度的大小为_____________。
s图1解析：当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg ，即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg ，由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg 。
由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度，设该时刻小球加速度大小为a ，此时框架的加速度大小为0，则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得：()F F M m g F mg m a m N N 合=-+=-=⨯+⨯430解得：a g =由弹簧振子的典型特征1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g ，方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg 。
典型特征2：如图2所示，O 为平衡位置，假设一弹簧振子在A 、B 两点间来回振动，振动周期为T ，C 、D 两点关于平衡位置O 点对称。
从振子向左运动到C 点开始计时，到向右运动到D 点为止，即振子由C →A →C →O →D 的运动时间为t T =2。
图2例2. 如图3所示，一轻质弹簧与质量为m 的物体组成弹簧振子，在竖直方向上A 、B 两点间做简谐振动，O 为平衡位置，振子的振动周期为T 。
用v—t图像破解弹簧双振子问题
用v—t图像破解弹簧双振子问题作者：武莲实来源：《中学生数理化·学研版》2015年第05期弹簧双振子是高中物理的重要物理模型之一其特点是质点在振动过程中无固定的悬点。
本模型涉及力和运动动量和能量等多方面的联系。
下面就常见的三类弹簧双振子问题来分析它们运动的一般规律。
一、系统质心静止不动质心系中物体相对质心做简谐振动图例如图所示两物体A、用轻质弹簧相连静止在光滑水平面上现同时对A、两物体施加等大反向的水平恒力F、F使A、同时由静止开始运动在运动过程中对A、两物体及弹簧组成的系统正确的说法是整个过程中弹簧不超过其弹性限度））。
A。
机械能守恒。
机械能不断增加C。
当弹簧伸长到最长时系统的机械能最大D。
当弹簧弹力的大小与F、F的大小相等时A、两物体速度为零。
解析：F、F加在A、上以后A、向两侧做加速度a=F-kx减小的加速运动。
当F=kx后加速度为零速度达到最大以后kx>FA、向两侧做减速运动到速度减为零时弹簧伸长到最长以后弹簧伸长量减小F、F开始做负功则系统的机械能减少。
从A、开始运动到弹簧伸长到最长的过程F、F都一直做正功使系统的机械能增加以后再分别沿原来的反方向先做加速运动再做减速运动速度同时减小到零后重复上述过程显然在F=F=kx时A、两物体的速度最大动能最大。
在整个过程中F与F既有做正功的过程也有做负功的过程所以机械能既有增加的过程又有减少的过程则只有C正确。
v-t如图所示图在t=0时刻A向左运动向右运动t时刻两个速度均达最大t时刻两物速度均为零弹簧拉到最长F、F做正功系统的机械能最大t3到t时间内F、F均做负功t时刻两物体回到原位置。
答案为C。
二、系统质心做匀速直线运动质心系中物体相对质心做简谐振动图3例如图3所示质量相等的a、b两木块用轻弹簧连接静止在光滑的水平面上现给木块b一个向左的初速度此后）。
A。
弹簧有最大压缩量时a的速度一定比b的速度大。
弹簧有最大伸长量时两木块的速度都等于零C。
弹簧双振子的不动点解法
弹簧双振子的不动点解法1不动点综述我们这里所谓的不动点，即双振子的质心，质心不动，即以质心为参考系.因为此类方法前人已有很多描述，这里我们仅稍作梳理. [TP6GW68.TIF，Y#]如图1所示在光滑水平面上由原长为L、劲度系数为k的轻弹簧连接着A、B两个小球（可看作质点），质量分别为m、2m，易知质心O与A、B距离之比为2∶1，初始时弹簧无形变.现分三类简单情况研究稳态振动.（1）将弹簧压缩后无初速释放；（2）不压缩弹簧，但给A一个初速度v0；（3）既不压缩也无初速，但对B施加一个恒力F.那么在质心参考系中看到的两个振子各自的振动情况将如图2所示.以向右为正方向.我们仅研究其中一个球的位移情况，另一个的读者可自行推导.第一种情况如图2上，最基本也核心：质心O是一个不动的点，相当于将弹簧固定在O点，切开分配，A、B两个小球分别接在原长为2L/3、L/3的固定弹簧上振动；根据劲度系数反比于弹簧长度，kA=3k/2，故A振动的圆频率为ω=kA/m=3k/2m，可以证明B亦然；且O系中二者初始时均无速度，即处于振动中的最大位移，则A的振幅是初始压缩量的2/3.（图中OA、OB为A、B在质心系中振动的平衡位置，即弹簧无形变）.有了这些参数，A振动位移为xA=AAcosωt.[TP6GW69.TIF，Y#]第二种情况如图2中：质心具有v0/3向右的平动速度，无加速度；故A、B的初始位置为平衡位置（弹簧无形变），且各自相对于质心的速度如图；但这并不影响弹簧的按质心分配，故二者振动的圆频率同上.A相对于OA的振幅可根据平衡位置的速度vAm=AAω解出，从而质心系中A的振动位移为xA=AAcos（ωt+3π/2），转到地面参考系时只需再叠加O本身的位移即可.第三种情况如图2下：质心具有a0=F/3m的平动加速度，则以其为参考系时，A、B初始位于最大位移（速度为0），但受到恒力作用：A受到惯性力ma0=F/3，B受到的是F与惯性力之差：F-2ma0=F/3.作为恒力，它们不影响振动频率，但影响平衡位置；两小球在质心系中具有的新平衡位置OA′、OB′可以这样确定：OA′在OA左方AA=（F/3）/kA=2F/9k处，再代入xA=AAcosωt即可.对于更复杂的情况，可以将第二、三两种情况结合起来，以能量等关系求解振幅、初相位等；但以质心为不动点模式下的弹簧分配不受影响，振动频率始终不变.2复杂的稳态振动模式在大学里，这类问题多是先列位移再求导之类的枯燥解法，能不能改变一下？例1如图3所示完全相同的两个单摆并排悬挂，摆长均为l，摆球质量均为m，且用原长等于悬点间距的、劲度系数为k的轻弹簧相连，试研究这周期性运动模式：初始时A球离开原位置一小段距离A，而B未动，然后由静止释放后的运动.解如图4左所示是两球的回复力情况，其中F=kA，F′=mgsinθ≈mgA/l.以向右为正，质心O的初始位移是A/2，如图4右，加速度大小a0F+F′-F2mgA2l；在质心系中，A球相对其平衡位置的初位移（即左半弹簧缩短量）为A/2，回复力大小为FA=F+F′-ma0=kA+mgA2l.二者初始均无速度，为最大位移，故质心为振幅A/2、圆频率ω0=a0/（A/2）=g/l的单摆运动，其位移x0=（A/2）cosω0t.而质心系中A的振幅亦为A/2，圆频率为ω=FA/（A/2）m=g/l+2k/m，不是简单的半根弹簧！故A的位移为x=（A/2）cosωt.回到地面系，A相对于其原平衡位置的位移为xA=x+x0=（A/2）×（cosω0t+cosωt）.例2图5对学习竞赛的同学来说应是非常熟悉，这里我们把原题复杂化一下：光滑水平面上，中央是质量为M的大球，1、2两小球质量分别为m1、m2，球均可视为质点.要想形成两小球始终反向而大球不动的振动模式，k1、k2要满足什么关系呢？结论当然是圆频率相等，即k1/m1=k2/m2.此条件下我们来分析两小球同向、大球反向动的模式.如图6所示，大球左边受到的是挤压力，右边受到的是拉伸力，如果将其竖切，总能找到一个切面，是挤压力到拉伸力的转折点，则该面上应是无作用力的；想象由此将大球分成左右两份，左边质量为λM，右边为（1-λ）M，它们在振动中将互不影响.三振子系统被分割成了两个相互独立的双振子系统，其中O1、O2分别为左、右系统的不动点（质心），剩余三条虚线为三球各自的平衡位置.根据分配特性，λM相当于接在左弹簧中长为m1L/（m1+λM）的一段（L为左弹簧原长）上，其劲度系数为kA=（m1+λM）k1/m1.同理（1-λ）M相当于接在劲度系数为.kB=[m2+（1-λ）M]k2/m2的弹簧上.欲两系统振动圆频率相同，则需kA/λM=kB/[（1-λ）M]，整理得λ=m1/（m1+m2），过程中已用到图5的结论.最后，ωkAλM=（m1+m2+M）k1/Mm1，而各球的位移就不缁述了.最后我们反观一下，果真可以这样切开吗？注意大球，它在左右两个系统中的位移是一样大的，我们假设为x；则左部的加速度aA=kAx/λM=x×kA/λM；右部加速度为aB=kBx/（1-λ）M=x×kB/[（1-λ）M]，显然我们的λ可使aA=aB，满足分离条件，因此将大球拆分符合实际规律，可以等效替代.3评价其实不动点法不见得能比求导解析快捷，但二者恰好体现了两类顺序：是先建立物理模型，再代数运算；还是先数学运算，再分析模型？二者并无优劣之分，解析法的适用范围更广.质心系的最大意义在于展现简易生动的运动情景，避免学生堕入只有公式和运算的形而上学的怪圈，进而有利于培养学生对自然科学的兴趣和感知能力.。
有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧
有关弹簧问题中应用简谐运动特征的解题技巧黄 菊 娣（浙江省上虞市上虞中学 312300）弹簧振子的运动具有周期性和对称性，因而很容易想到在振动过程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出现的；而经过半个周期后一些物理量则是大小相等，方向相反．但是上面想法的逆命题是否成立的条件是：①此弹簧振子的回复力和位移符合kx F -=（x 指离开平衡位置的位移）；②选择开始计时的位置是振子的平衡位置或左、右最大位移处，若开始计时不是选择在这些位置，则结果就显而易见是不成立的．在这里就水平弹簧振子和竖直弹簧在作简谐运动过程中应用其特征谈一谈解题技巧，把复杂的问题变简单化，从而消除学生的一种碰到弹簧问题就无从入手的一种恐惧心理．一、弹簧振子及解题方法在判断弹簧振子的运动时间，运动速度及加速度等一些物理量时所取的起始位置很重要，在解题方法上除了应用其规律和周期性外，运用图象法解，会使问题更简单化．例1 一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，则正确的说法是………………………………………（ ）A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度大小相等，方向相反，则Δt 一定等于2T的整数倍C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一度相等D ．若Δt ＝2T，则在t 时刻和（t ＋Δt ）时刻弹簧的长度一定相等 解法一：如图1为一个弹簧振子的示意图，O 为平衡位置，B 、C 为两侧最大位移处，D 是C 、O 间任意位置．对于A 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处位移大小、方向都相同，所经历的时间显然不为T ，A 选项错．对于B 选项，当振子由D 运动到B 再回到D ，振子两次在D 处运动速度大小相等，方向相反，但经过的时间不是2T，可见选项B 错． 由于振子的运动具有周期性，显然加速度也是如此，选项C 正确．对于选项D ，振子由B 经过O 运动到C 时，经过的时间为2T，但在B 、C 两处弹簧长度不等，选项D 错．正确答案选C ．解法二：本题也可利用弹簧振子做简谐运动的图象来解．如图2所示，图中A 点与B 、E 、F 、I 等点的振动位移大小相等，方向相同．由图可见，A 点与E 、I 等点对应的时刻差为T 或T 的整数倍；A 点与B 、F 等点对应的时刻差不为T 或T 的整数倍，因此选项A 不正确．用同样的方法很容易判断出选项B 、D 也不正确．故只有选项C 正确．图1说明：比较两时刻的振动情况或根据两时刻的振动情况确定两时刻间的时间间隔跟周期的关系时，借助振动图象可以较方便而准确地作出判断．二、利用弹簧振子作简谐运动过程中的位移、能量变化特征来巧解题例2 物体A 与滑块B 一起在光滑水平面上做简谐振动，如图所示，A 、B 之间无相对滑动，已知轻质弹簧的劲度系数k ，A 、B的质量分别m 和M ，则A 、B （看成一个振子）的回复力由 提供，回复力跟位移的比为 ，物体A 的回复力由 提供，其回复力跟位移的比为 ，若A 、B 之间的静摩擦因数为μ，则A 、B 间无相对滑动的最大振幅为 ．解析：因水平面光滑，平衡位置在弹簧原长处． （A ＋B ）作为整体，水平方向只受弹簧弹力，故Kx F -=，由牛顿第二定律得：a m M F )(+=，x mM ka +-=．对于A 物体，水平方向只受B 对A 的静摩擦力F f ，故F f 即为A 的回复力．由于A 、B 间无相对滑动，所以任何时候A 与B 的位移x 和加速度a 都相同，故有kxF -=和x mM mkma F f +-==，k mM mK +=．当mg F F f f μ=→max 时，m a x x →，kgm M x )(max +=μ．例3 （2004年石家庄市试题）如图所示，一轻弹簧的左端固定在竖直墙上，右端与质量为M 的滑块相连，组成弹簧振子，在光滑的水平面上做简谐运动．当滑块运动到右侧最大位移处时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子，继续做简谐运动．新振子的运动过程与原振子的运动过程相比……………………………………………（ ）A ．新振子的最大速度比原振子的最大速度小B ．新振子的最大动能比原振子的最大动能小C ．新振子的振动周期比原振子的振动周期大D ．新振子的振幅比原振子的振幅小解析：滑块振动到最大位移处加放木块，相当于增大滑块质量后从最大位移处由静止释放，振动过程中总能量不变，振动过程中仍能恰好到达该位置，即振幅不变，振子的最大弹性势能不变．由简谐运动中机械能守恒，故振子的最大动能不变，但最大速度变小（因振子质量变大了），可见选项A 对BD 错；又由周期随振子质量增大而增大，故知选项C 正确．注：若改为“当滑块运动到平衡位置时，在滑块上轻轻放上一木块组成新振子”，那由于碰撞使总机械能减小．例4 一根用绝缘材料制成的轻弹簧，劲度系数为k ，一端固定，另一端与质量为m 、带正电荷、电量为q 的小球相连，静止在光滑绝缘水平面上，当施加水平向右的匀强电场E 后，（如图所示）小球开始做简谐运动，关于小球的运动有如下说法，正确的是 （填序号）．①球的速度为零时，弹簧伸长qE /k ； ②球做简谐运动的振幅为qE /k ； ③运动过程中，小球的机械能守恒；④运动过程中，小球动能改变量、弹性势能改变量、电势能改变量的代数和为零．解析：由水平面光滑施加水平向右的匀强电场E ，而q 带正电，故平衡位置在原长右边，当qE ＝kx 0（设此时弹簧伸长x 0）时，kEqx =0此时球的速度最大，故①错．弹簧原长时速度为0，故振幅＝kEq x =0，②正确．由简谐运动的对称性可知，弹簧最大伸长量为2x 0，又由于电场力做功，所以机械能不守恒，③错．由动能定理k k k E E E W ∆=-=12，电场弹簧W W W +=，故④正确．例5 如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场，此后……………（ ）A ．振子的振幅将增大B ．振子的振幅将减小C ．振子的振幅将不变D ．因不知电场强度的大小，所以不能确定振幅的变化解析：未加电场时，振子的平衡位置在弹簧原长处，振子的振幅大小为释放处与弹簧原长处之间的距离．加电场后，振子平衡位置右移，振幅大小等于释放振子处与新的平衡位置间的距离，可见加电场后振子的振幅将增大，即选项A 对．注：若改为“振动未过程中当弹簧伸长到最长时，突然加上一个沿水平向左的恒定的匀强电场”展开讨论．三、竖直弹簧振子作简谐运动过程中应用其特征巧妙解题，从而使复杂问题简单化例6 （2005年海淀区试题）如图所示，轻弹簧下端固定在水平地面上，弹簧位于竖直方向，另一端静止于B 点．在B 点正上方A 处，有一质量为m 的物块，物块从静止开始自由下落．物块落在弹簧上，压缩弹簧，到达C 点时，物块的速度为零．如果弹簧的形变始终未超过弹性限度，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）A ．物块在B 点时动能最大B ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块的加速度的最大值大于gC ．从A 经B 到C ，再由C 经B 到A 的全过程中，物块做简谐运动D ．如果将物块从B 点静止释放，物块仍能到达C 点解析：物块与弹簧接触后，在弹力等于重力之前仍向下做加速运动，故物块在B 点的速度、动能都未能达到最大，可见选项A 错；若将物块从B 处由静止释放，则此时加速度最大为g ，由振动的对称性知，物块下降到最低点时向上的加速度大小也为g ，今从A 处释放，到达B 时已具有一定的初速度，故所能下降的最低点肯定在由B 释放时所能达到的最低点之下，弹簧向上的弹力大于由B 处释放时的情况，此时的加速度大于g ，即选项B 正确，且也知D 错误；另外，由于物块在A 、B 间运动时受恒定的重力作用，不符合简谐运动的动力学特征kx F -=，故其振动不是简谐运动，可见选项C 错误．答案：B ．例7 劲度系数为k 的轻质弹簧，下端挂一个质量为m 的小球，小球静止时距地面高为h ，用力向下拉小球，使小球与地面接触，而后从静止放开小球（弹簧始终在弹性限度以内），则…………………（ ）A ．球在运动过程中距地面的最大高度为2hB ．球在上升过程中弹性势能不断减小C ．球距地面高度为h 时，速度最大D ．球在运动过程中的最大加速度是kh/m 解析：首先证明其运动为简谐运动，由平衡时mg ＝kx 0（x 0为弹簧伸长量）和下拉h 后弹力)(01h x k F +-=，（取竖直向下为正）回复力mg F F +=1kh mg h x k -=++-=)(0，符合简谐运动条件，振幅为h x h x =-+00，由简谐运动的对称性可知，A 正确．球在上升过程中在弹簧恢复原长之前弹性势能减小，但在弹簧原长时若小球还有向上速度，小球将继续压缩弹簧，故B 只是一种可能，由于一开始为平衡位置，故C 正确，由max ma F =，故D 正确．例8 如图所示，质量为m 的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅最大为A 的多少倍？解析：平衡位置处：mg ＝kx 0（x 0为弹簧压缩量）最低点时弹力F ＝1.5mg ＝kx 1，振幅A ＝x 1－x 0＝k mg5.0，由简谐运动的对称性可知，最高点时弹簧压缩量为kmgk mg k mg A x x 5.05.002=-=-=，物体在最高点时弹簧压缩最小，故对弹簧压力最小，所以最小压力为mg kx F 5.02min ==．要使物体在振动过程中不离开弹簧，物体到最高点时对弹簧没有压力，即弹簧为原长处，故最大振幅为A kmgx A 200==-='． 例9 如图所示，三角架质量为M ，沿其中轴线用两根轻弹簧拴一质量为m 的小球，原来三角架静止在水平面上．现使小球做上下振动，已知三角架对水平面的压力最小为零，求：（1）此时小球的瞬时加速度；（2）若上、下两弹簧的劲度系数均为k ，则小球做简谐运动的振幅为多少？解析：（1）当小球上下振动过程中，三角架对水平面的压力最小为零，则此时上下两根弹簧对三角架的作用力大小为Mg ，方向向上，小球此时受弹簧的弹力大小为Mg ，方向向下，故小球所受合力为)g (M m +，方向向下，小球此时运动到上面最高点即位移大小等于振幅处．根据牛顿第二定律，小球的瞬时加速度的最大值为：mgm M a m )(+=，加速度方向为竖直向下．（2）小球由平衡位置上升至最高点时，上面的弹簧（相当于压缩x ）对小球会产生向下的弹力kx ，下面的弹簧（相当于伸长x ）会对小球产生向下的弹力kx ，两根弹簧对小球的作用力为2kx ，故kMgx 2=，小时平衡位置处，上面弹簧（相当于伸长x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，下面的弹kx 0簧（相当于压缩x 0）对小球会产生向上的弹力kx 0，2kx 0＝mg ，kmgx 20=，故振幅k g m M x x A 2)(0+=+=．在弹簧问题中，综合运用运动学、动力学和能的转化等方面的知识，学生在学习这些问题时，往往会出错，如果能运用其运动规律解题，那许多问题都会迎刃而解．。
弹簧振子模型解题赏析
OAD h m 弹簧振子模型解题赏析弹簧振子问题中涉及力和位移、力和运动、功和能等关系问题，能很好的考查学生对相关知识点的掌握及分析问题的能力以及迁移能力。
基本知识点：（1）平衡位置处合力为零，加速度为零，速度达到最大。
（2）正负最大位移处合力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。
（3）振动过程具有对称性 1.如图，在一直立的光滑管内放置一劲度系数为k 的轻质弹簧，管口上方O 点与弹簧上端初位置A 的距离为h ，一质量为m 的小球从O 点由静止下落，压缩弹簧至最低点D ，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。
小球自O 点下落到最低点D 的过程中，下列说法中正确的是A ．小球最大速度的位置随h 的变化而变化B ．小球的最大速度与h 无关C ．小球的最大加速度大于重力加速度D ．弹簧的最大压缩量与h 成正比答案：C 【解析】：小球从O 到A 做自由落体运动，刚接触弹簧时加速度为g 且有一定的速度，此后弹力逐渐增大合力逐渐减小，小球做加速度减小的加速运动，直至弹力与重力相等时速度达到最大故最大速度的位置为平衡位置与初始高度h 无关故A 错误。
因系统的机械能守恒故初始高度h 越大其最大速度越大故B 错误。
若小球从A 处由静止下落则初速度为零加速度为g 由对称性可知其最低点比D 点要高，此时加速度最大为g 方向向上；而此问题小球下落到A 时已有一定的速度故运动到最低点D 时其最大加速度要比重力加速度大，故C 正确。
最大压缩量与h 有关但不成正比故D 错误。
2．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列叙述中正确的是( )A ．小球的速度一直减小B ．小球的加速度先减小后增大C ．小球加速度的最大值一定大于重力加速度D ．在该过程的位移中点上小球的速度最大 图2答案：BC 【解析】：小球接触弹簧后，所受弹力逐渐增大，弹力大于重力时，小球加速度向下，仍加速．当弹力大于重力，合力向上，小球向下减速运动，加速度变大，速度变小，直到速度为零，可知BC 正确．3．如图所示，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系有质量为M 的圆板，处于平衡状态．开始一质量为m 的圆环套在弹簧外，与圆板距离为h ，让环自由下落撞击圆板，碰撞时间极短，碰后圆环与圆板共同向下运动，使弹簧伸长。
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双弹簧振子问题的处理
湖北省恩施高中 陈恩谱
如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。
现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：
① A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？
② A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？
本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为A
A m F a =，而
B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。
其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：
于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。
得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。
但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。
从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。
那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。
设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：
选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a B
B B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：
选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a A
B A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a ’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。
很容易证明A 、B 作简谐运动的周期是相同的*，设为T ，则图五、图六合在一起，如图七所示，其中实线表示a'A 随时间的变化曲线，虚线表示a'B 随时间的变化曲线。
由a 绝对=a 相对+a 牵连，可知A 、B 对地的加速度a A 、a B 随时间的变化图象如图八所示，其中实线表示a A 随时间的变化曲线，虚线表示a B 随时间的变化曲线。
若m A <m B ，则图八变为图九所示。
从上述讨论中还可以知道，在t=T /4时，A 、B 的加速度相等，且都等于a ；在t=T /2时，A 、B 都运动到距O 最近的位置，此时弹簧被压缩到最短。
则从0~T /2这段时间内A 、B 的速度随时间的变化曲线为：
而且当弹簧压缩到最短时，A 、B 的共同速度为2
T a v ⨯
=，a B =2a 等等。
若A 、B 的质量相等，则有：
当弹簧被压缩到最短时，A 的加速度恰好为零，弹簧弹力恰为F 。
*设A 到质心O 的距离为r A ，B 到质心O 的距离为r B ，则有
A
B B A m m r r =…………………………① OA 段的劲度系数为k A ，OB 段的劲度系数为k B ，则有：
A
B B A r r k k =…………………………② ① ②联立可得
B
B A A k m k m =…………………………③ 而弹簧振子的周期为k m T π
2=，则由③式可知T A =T B ，即A 、B 的振动周期相同。
陈恩谱
2006.4.1。