(完整版)圆锥曲线的切线方程总结(附证明)
圆锥曲线题型总结：切线问题【自己整理】
高考数学圆锥曲线专题突破：切线问题【2017•新课标Ⅰ文】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解析】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y=上两点，则直线AB的斜率为k==（x1+x2）=×4=1；（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=，可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，再由y=的导数为y′=x，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1，解得m=2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，k AM•k BM=﹣1，即为•=﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为﹣4t+8+20=0，解得t=7．则直线AB的方程为y=x+7．【2014•广东理】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的每一个焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．【解析】（1）依题意知，求得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1．（2）当过点P的直线斜率不存在时，P的坐标为（±3，±2）时符合题意，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]，∴（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，∴﹣1=k1•k2==﹣1，∴x02+y02=13．把点（±3，±2）亦成立，∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．【2014•湖北理】在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．【解析】（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点． 当时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k ＜﹣或0＜k ＜．即当﹣1＜k ＜﹣或0＜k ＜时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点． 此时直线l 与C 恰有三个公共点． 综上，当k ∈∪{0}时，直线l 与C 恰有一个公共点；当k ∪{﹣1，}时，直线l 与C 恰有两个公共点；当k ∈时，直线l 与轨迹C 恰有三个公共点．【2013广东理20】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c ＞0)到直线l ：x －y －2＝0.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 【解析】(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，2=，结合c ＞0，解得c ＝1. 所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)221212,44x x y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭其中，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝12x(x －x 1)，即y ＝12x x －212x ＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0，同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0.所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解． 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程002220,4,x x y y x y --=⎧⎨=⎩消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 02)y ＋y 02＝0.由一元二次方程根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 02－2y 0，y 1y 2＝y 02， 所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 02＋x 02－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2. 所以y 02＋x 02－2y 0＋1＝2y 02＋2y 0＋5＝2019222y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.所以当y 0＝12-时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.【2008山东理22】如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，AB =（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）证明：由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-＜由22x py =得22x y p=，则,x y p'=所以12,.MAMB x x k k p p== 因此直线MA 的方程为102(),x y p x x p+=- 直线MB 的方程为202().x y p x x p+=-所以211102(),2x xp x x p p+=- ①222202().2x xp x x p p+=- ②由①、②得212120,2x x x x x +=+- 因此21202x x x +=，即0122.x x x =+所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x 0=2时， 将其代入①、②并整理得： 2211440,x x p --=2222440,x x p --=所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根，因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p-+===-所以2.ABk p=由弦长公式得AB ==又AB =所以p =1或p =2，因此所求抛物线方程为22xy =或24.x y =（Ⅲ）解：设D (x 3,y 3)，由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB 的方程为11(),x y y x x p-=-由点Q 在直线AB 上，并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上， 代入得33.x y x p=若D （x 3,y 3）在抛物线上，则2330322,x py x x ==因此 x 3=0或x 3=2x 0.即D (0，0)或2002(2,).x D x p（1）当x 0=0时，则12020x x x +==，此时，点M (0,-2p )适合题意.（2）当00x ≠，对于D (0，0)，此时2212222212120002(2,),,224CDx x x x x x pC x k px px +++==又0,ABx k p=AB ⊥CD ， 所以222201212201,44AB CDx x x x x k k p px p++===- 即222124,x x p +=-矛盾.对于2002(2,),x D x p 因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴， 又00,ABx k p=≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与题设矛盾， 所以00x ≠时，不存在符合题意的M 点.综上所述，仅存在一点M (0，-2p )适合题意.【2007江苏理19】如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，． （1）若2OA OB =，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）【解析】（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫-⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，． 若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=． 故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点． 【2005江西理22】如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.【解析】（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x x x x x x x 由于P 点在抛物线外，则.0||≠∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠ ∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(041411121121=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.【2006全国卷Ⅱ理21】已知抛物线y x 42=的焦点为B A F ,,是抛物线上的两动点，且).0(>=λλ过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（Ⅰ）证明⋅为定值； （I ）由已条件，得F （0，1），0>λ. 设,).,(),,(2211y x B y x A λ=由 即得),1,()1,(2211-=--y x y x λ ⎩⎨⎧-=-=-∴).1(12121y y x x λλ将①式两边平方并把22221141,41x y x y ==代入得221y y λ=， ③ 解②、③式得λλ1,21==y y ，且有.4422221-=-=-=y x x x λλ抛物线方程为.412x y = 求导得.21x y =' 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是,)(21)(21222111y x x y y x x x y +-=⋅+-=即.4121,4121222211x x x y x x x y -=-=① ②陈爱梅老师资料 版权所有 违版必究解出两条切线的交点M 的坐标为).1,2()4,2(212121-+=+x x x x x x …………4分 所以 ),()2,2(121221y y x x x x AB FM --⋅-+=⋅ =)4141(2)(2121222122x x x x --- =0 所以⋅为定值，真值为0. ………………7分。
(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结
圆锥曲线知识点总结_高三数学知识点总结圆锥曲线是由平面上直线与一个定点及一定曲线相交而形成的曲线，分为圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。
在高三数学中，学习圆锥曲线是必不可少的。
以下为圆锥曲线的相关知识点总结。
一、坐标系下的圆锥曲线方程式1.圆的方程所谓圆，是指平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。
设圆心为$O({{x_0},{y_0}})$，半径为 $r$，则圆的方程为$${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} = {r^2}$$3.双曲线的方程二、圆锥曲线的性质（1）对圆上任意一点，作圆的切线，它垂直于切点与圆心的连线。
（2）两个数轴上投影相等的两点与圆心之间的距离相等（称为圆的两点定理）。
（3）圆心为原点的圆，其半径为 $r$，横轴方程为 $x^2 + y^2 = r^2$，纵轴方程为$x^2 + y^2 = r^2$。
2.椭圆（1）椭圆的两个焦点与中心 $O$ 在一条直线上。
（2）椭圆的上下两支称为上半部和下半部，椭圆与 $x$ 轴的交点称为顶点。
（4）椭圆的到两个焦点分别距离和为定值，等于两倍的圆长轴长。
（2）双曲线的两支曲线称为左半支和右半支，曲线的两个交点称为顶点，与左右两支连接的两条直线称为渐近线。
4.抛物线（1）抛物线是关于顶点对称的曲线。
（2）抛物线与横轴交于顶点 $O$。
（3）抛物线与纵轴垂直。
三、曲线的参数方程如果把圆的中心移到原点，半径为 $r$，则圆的参数方程为$$\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$$如果双曲线的中心移到原点，且 $a>b$，则双曲线的参数方程为$$\begin{cases}x=c\cosh \theta \\y=b\sinh \theta\end{cases}$$其中，$c=\sqrt{{a^2} + {b^2}}$，$\cosh \theta = \frac{{{e^\theta } + {e^{ - \theta }}}{2}}$，$\sinh \theta = \frac{{{e^\theta } - {e^{ - \theta }}}{2}}$。
探圆锥曲线的切线方程及应用
的提 升。用 充实的教研 活动 ，使教 师 由 归属感
尊 重每一 位教 师，满足 每个 教 师 自尊 自
。经 验型 向 。研 究型“转化。让 教研走
要让 教 师有 幸福 感 ，首 先要 让教 师 信 的情 感需 要 ，在 其 受 到挫 折 、委 屈 、
进 教 师，让 教师在 不断提 出问题、解 决 对幼儿 园有认 同感 ，对教 育生 活有 自豪 产 生情绪 波动时 ，及 时帮助 他们 解决 学
作 为园长要 善于 了解 并掌握 教 师的 关心教职 工生活 ，满 足教职 工物质 和 文
学 习与 交流 ，教 师的专业成长 就拥 有 了 各种 思想动 态，在 日常管 理 中，多一 些 化 生活 的需要。 园里 给每位 教职 工都 办
不竭的源泉 ；因为有了实践活动 的依 托 ， 人 文情怀和 主动意 识 ，多一 些赏识 眼光 理 了保 险 ，定期 进行 健康 检查 ，定 期发
证 明同定理 １（略 。
意 两点 Ⅳ 的切 线相 交 于点 Ｐ，且直
得 √ａ 一ｘ ， 故 点 Ｐ（ｘ。，ｙｏ）处 的
推论：过双曲线告－吾＝ｌ（ａ＞Ｏ， 线 删 与抛物线的准 线交于点 Ｑ，Ｆ为
６＞０）上一点 ｏ，Ｙｏ）的双 曲线的切 线方 抛物线 的焦点 ，设直线 ＰＦ和 的斜率
的 轨 道 。
度约 束转 向引导教 师 关爱 自重 ，道 德 自 到管理 中来。
十
．ｌ 。
定 理 ２．． 过双曲线吾－吾＝ｌ（ａ＞Ｏ， 于圆锥曲线的切线方面的问题就可以很
容 易解决 了，下面 我们 通过 一个 例题 来
６ ）上一 点 Ｐ（ｘｏ， Ｄ）的双曲线 的切 线方
体 会一下。
程为詈．警 ．
圆锥曲线192条结论(清晰版本) (1)
结论
16：点
M
（
x0
，
y
0
）在椭圆
x
a
m2
2
y
n2
b2
1外，过点 M
作椭圆的两条切线，
切点分别为
A
，
B
，则切点弦
AB
的直线方程为
(x0
m)( x a2
m)
( y0
n)( y b2
n)
1．
结论 17：点 M
（
x0
，
y
0
）在双曲线
x
a
m2
2
y n2
b2
1外，过点 M
作双曲线的两条
切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为
线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2 y 2 a 2 b 2 ．
结论
6：过双曲线
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b
0 ）上任意不同两点 A ， B 作双曲线的切线，如
果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x 2 y 2 a 2 b 2 ．
结论 7：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）上，过点 M
作椭圆的切线方
程为
x0 x a2
y0 y b2
1．
结论 8：点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ）外，过点 M
作椭圆的两条切
线，切点分别为
A，B
，则切点弦
(完整版)圆锥曲线知识点总结(经典版)
圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221x y a b+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。
若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。
同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
(完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
圆锥曲线二级推论椭圆Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭 1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角，则焦 点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以 圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于 两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q3. 4. 5. 6.长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离.以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 . 2 若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x2 a 的椭圆的切线方程是 2 yb 2x 0x 2a2yb 21上，则过P 0 y 0y1. b 02 1.1外 ，则过2若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x2 a Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2， P 1P 2 的直线方程是 则切点弦x 0x y 0y22 ab 2 椭圆 x 2a 分别为 F 1， 点 F 1PF 2 积为 S F 1PF 222椭圆 x 2y 式：|MF 1 | a ex 0,|MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M (x 0,y 0)).1. 7. 8.交于点 N ，则 MF ⊥NF. 2y2 1的不平行于对称轴 b2 yb 2 1 (a >b > 0)的左右焦点 F2，点 P 为椭圆上任意一 ，则椭圆的焦点角形的面 b 2 tan . 22 1(a > b >0)的焦半径公 ab9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、2 11.AB 是椭圆 x2 a的弦， M (x 0,y 0)为 AB 的中点，则k OM k AB即 KABb 22， ab 2 x 02。
高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论
高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。
● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线的切线方程-2015年蒋石金
“圆锥曲线的切线”方程蒋石金内容摘要:圆锥曲线的切线方程的求解，特别是形如2ax y =型的切线方程是高考的重点和热点。
对椭圆和双曲线和抛物线能否像圆的切线一样进行公式化，使运算简化，从而提高运算的速度和准确性。
关键词：圆锥曲线；切线；方程在圆中有：已知圆方程222r y x =+，过圆上一点),(00y x P 其切线方程为200r yy xx =+；已知圆方程022=++++F Ey Dx y x ,过圆上一点),(00y x P 其切线方程为0220000=++++++F y y E x x D yy xx 。
其特点是将0xx 、0yy 、20x x +、20y y +分别去代换原方程中的2x 、2y 、x 、y 而得。
对圆锥曲线是否有类似的结论呢？由于导数的引入，可用导数方法推导，并公式化。
一、 对形如)0(2≠=a ax y 类型，高考的切线问题常考此类方程已知方程)0(2≠=a ax y ，设),(00y x P 为曲线上的一点，求过点P 的切线方程。
解：设切线的斜率为,k 则00'2ax k x x y k =⇒==.切线方程为200000022)(2ax axx y y x x ax y y -=-⇒-=-，200ax y = 000022axx y y axx y y =+⇒=+∴ 所求切线方程为002axx y y =+ 二、 对形如)0(2≠=a ax y 类型已知方程)0(2≠=a ax y ，设),(00y x P 为曲线上的一点，求过点P 的切线方程。
解：（1）设切线的斜率为,k 且0≠y ，由方程)0(2≠=a ax y 0'''222)()(y a k a y y ax y x =⇒=∙⇒=⇒，切线方程为 020000022)(2ax ax y yy x x y a y y -=-⇒-=-，020ax y = ⇒002ax ax yy +=（2）当0=y ，切线为y 轴。
用导数方法求圆锥曲线的切线
用导数方法求圆锥曲线的切线求解函数图象上过某点的函数图象的切线的方程，是导数的一个重要应用。
有心圆锥曲线一般情形下都不是函数图象，所以习惯上，一般我们不用导数方法求解圆锥曲线的切线问题，而是利用传统的方法，即判断直线和圆锥曲线方程所组成的方程组的解的情况来解决，但是有时候这种解法会比较烦琐，特别是含有参数的时候计算量较大。
而我们可以将圆锥曲线分成“几个函数”来分别讨论，这样就可以实现用导数的方法来求曲线的切线了。
本文将用导数的方法证明一个有心圆锥曲线的性质。
引理1：过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点),(00y x P 的该椭圆的切线方程为12020=+by y a x x ； 证明：我们先考虑当的情形；0>y,022x a a b y y -=>时，，22'x a a bx y --=，20200|'x a a bx y x x --==bay x a x a a b y 0202220,=--=所以而 ,,|'0002020的斜率）的切线（即为椭圆过l y x P y a x b y x x -=∴= )(:002020x x y a x b y y l --=-∴切线 .1,20202202202020222022020202=++=++=+by y a x x b y a x b y y a x x b a y a x b y y a x x b ，即得两边同除以化简得 当0<y 时,22x a a b y --=，同理可得其过）（00,y x P 的切线方程为.12020=+b y y a x x时，或在点)0,()0,(a a P -，以上结论仍然成立或其切线方程为a x a x -==，从而引理1得证！引理2：过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的该双曲线的切线方程为12020=-by y a x x ； 证明：2200a x a b y y y -=>>时，的情形，先考虑, 2200220|','a x a bx y a x a bxy x x -=-== 而bay a x a x a b y 02202200=-∴-=， 02020|'y a x b y x x =∴=即为过）（00,y x P 的切线的斜率， 所以切线方程为)(002020x x y a x b y y -=- 整理得2022020202y a x b y y a x x b -=- 进而有1,20202202202020=--=-by y a x x b y a x b y y a x x 即； 类似的，当0<y 时,22a x ab y --=，其过点）（00,y x P 的切线方程仍然为12020=-by y a x x ， 时，或在点)0,()0,(a a P -，或其切线方程为a x a x -==以上结论仍然成立 ，从而 引理2成立！对于焦点在y 轴上的椭圆和双曲线，类似的可以得到相同的结论。
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运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2
22r y x =+上
一点),(00y x M 的切线方程为2
00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2
00r y y x x =+。
那么，在圆锥曲线中，又
将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点),(00y x M 切线方程为
1202
0=+b
y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122
22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b
y
y a x x
证明：（1）2222
1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b
'
+=，得020
2
x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20
0020
()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。
（2）设过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别
为),(11y x A 、),(22y x B 。
由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y
y a x x 、
12222=+b y
y a x x 。
又因),(0
0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120
2202=+b y y a x x 。
观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b
y
y a x x 。
评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b
y
a x 上的位置（在椭圆上或椭圆
外）的不同，同一方程12020=+b
y
y a x x 表示直线的几何意义亦不同。
联想二：（1）过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点),(00y x M 切线方程为
1202
0=-b
y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122
22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b
y
y a x x 。
（证明同上）
联想三：（1）过圆锥曲线2
2
0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点
),(00y x M 的切线方程为00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++=；（2）当
),(00y x M 在圆锥曲线220Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）的外部时，过M
引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++= 证明：（1）两边对x 求导，得220Ax Cyy D Ey ''+++=
得0
0022x x Ax D y Cy E
=+'
=-
+，由点斜式得切线方程为00002()2Ax D
y y x x Cy E +-=-
-+ 化简得22
00000022220Cy y Cy Ey Ey Ax x Dx Ax Dx -+-++--=………………….① 因为22
00000Ax Cy Dx Ey F ++++=………………………………………………… ②
由①－②×2可求得切线方程为：00
00022
x x y y Ax x Cy y D E F ++++++= （2）同联想一（2）可证。
结论亦成立。
根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点),(00y x M 的切线方程为：把原方程中的2
x 用0x x 代换，2
y 用0y y 代换。
若原方程中含有x 或y 的一次项，把x 用
02x x +代换，y 用0
2
y y +代换，得到的方程即为过该点的切线方程。
当点),(00y x M 在曲线外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++= 通过以上联想可得出以下几个推论：
推论1：（1）过抛物线)0(22
>=p px y 上一点),(00y x M 切线方程为)(00x x p y y +=；（2）过抛物线)0(22>=p px y 的外部一点),(00y x M 引两条切
线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00x x p y y +=
推论2：（1）过抛物线)0(22
>-=p px y 上一点),(00y x M 切线方程为)(00x x p y y +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p px y 的外部一点),(00y x M 引两条
切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00x x p y y +-=。
推论3：（1）过抛物线)0(22
>=p py x 上一点),(00y x M 切线方程为)(00y y p x x +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p py x 的外部一点),(00y x M 引两条
切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00y y p x x +-=。
推论4：（1）过抛物线)0(22
>-=p py x 上一点),(00y x M 切线方程为)(00y y p x x +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p py x 的外部一点),(00y x M 引两条
切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00y y p x x +-=。
在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。