天津理工电路习题及解答 第八章 相量法

第八章 相量法 8.1 学习指导 8.1.1 学习要点 (1)正弦量及其三要素。 (2)相位差的概念。 (3)相量的概念及其性质。 (4)KCL、KVL的相量形式。 (5)R、L、C元件VAR的相量形式。

8.1.2内容概述 1．正弦量 1)正弦量的时域表达式(以i为例)： )tcos(Iim ①

2)正弦量的三要素、有效值的定义 (1)角频率、频率、周期(要素之一)

角频率：dt)t(d，即正弦量单位时间内变化的电角度， 单位：rad／s(弧度/秒)。

频率：f—单位时间内正弦量变化的周波数，单位：ZH 周期：T—正弦波变化一次所需要的时间，即一个完整周波在时间轴 上的宽度，单位：s、ms、s 、f、T之间的关系：f2

T1f 或 f1T

(2)最大值、有效值(要素之二) 式①中：mI—最大值；I—有效值。

有效值的定义：若i为周期性电流函数(不一定是正弦量)，则i有效值的定义式为

T02dtiT1I

上式可写成：含义是：对同一电阻R，在周期T内，i通过R时产生的热量与恒定电流I通过R时产生的热量相等。 正弦量：I2Im 对电压等量有效值的定义式在形式上与电流i的定义式相同。 (3)相位角、初相角(要素之三) 相位角： t ，单位：rad或(o)(弧度或度)。 初相角：，单位：rad或(o)(弧度或度)。 注意：正弦量的一个周期对应的相位角为2rad或360o 3)相位差 相位差是正弦稳态电路中的一个重要概念，设两个正弦量分别为 )tcos(ff1m11 )tcos(ff2m22

则1f与2f之间的相位差定义为 )t(112-)t(2=21 ②

设12则： (1)当12＞0时，称1f越前(超前) 2f (12角)，或2f滞后1f (12角)。 (2)当12＜0时，称1f滞后2f (12角)，或2f越前1f (12角) (3)特例： 当12=0o与2f同相。 当12=±90o时，称1f与2f正交。 当12=±180o时，称1f与2f反相。 注意：(1)一般情况下只有两个正弦量同频时，求相位差或进行相位比较才 有实际意义。 (2)利用式②求相位差时，两个正弦量的表达形式要一致，同为正弦形 式或余弦形式，且m1f＞0，m2f＞0

2．相量法的基本概念 线性动态电路的描述方程是微分方程，求解微分方程的正弦稳态解(特解)，在高等数学微分方程求解中是通过待定系数法进行的。这种方法非常繁琐，为此，电路中引入相量概念，通过相量法使常微分方程的正弦稳态求解问题变为复数的代数方程求解问题，这不仅计算简化，书写方便，而且使正弦稳态电路物理概念更加突出。 1)正弦量的相量

设正弦量：)tcos(U2uu 将u的有效值作为幅值，，u的初相角作为辐角所构成的复数： ujUe简记为 UU.∠u ②

则称.U是正弦量u的有效值相量，简称相量。 相量是一个特殊的复数，它与一个正弦量相对应，其代表符号为在对应正弦量有效值U上加“.” 2) 相量的正弦量

设相量UU.∠u，正弦量u的角频率为 (已知)。 若将.U的幅值U作为正弦量u的有效值， .U的轴角u作u的初相角而构成的正弦量： )tcos(U2uu ③

则称u是相量.U对应的正弦量。 可以将正弦量与相量的关系看成是一种数学变换。为了叙述方便，将这种变换称为M 变换。正弦量 相量是M正变换；相量 正弦量是M反变换。

3) u与.U关系 u与.U的关系式为

)tcos(U2Ue2ReUe2Reuu)t(j.tju ④

式中：Re—表示取实部。 UU.∠u是复指数函数ujtjUe.e2复常数部分，而u是复指数函数ujtjUe.e2的实部。

4)M变换(正弦量 相量)的性质 表8—1列出了M变换(正弦量 相量)的几条常用性质，这些性质可以用式④证明。 表8—1 性质名称 正弦量 相量 假设条件

微分性质 dt

df .

Fj

)tcos(F2f FF.∠u

)tcos(F2f111 1.1

FF∠1

k、1k、2k—实常数

积分性质 .F

j

1

 dt)t(f

叠加性质 1f±2f 1F±2

F

比例性质 .Fk kf

线性性质 .11Fk±.22Fk

11fk±22fk

3、电路定律的相量形式 基尔霍夫定律（KCL、KVL）的时域形式与相量形式（频域形式）和元件R、L、C的伏安关系(VAR)的时域形式与相量形式如表8-2所示。表中的相量形式可用M变换(正弦量 相量)

的性质证明。 表8-2 KL和元件VAR的时域形式与相量形式 定律 时域形式 相量形式

KL KCL 0i 0i

KVL 0u

0U

.

元件的VAR R RRRiu 或GGGui R.R.IRU 或G.G.UGI L dtdiLuLL或dtuL1iLL L

.L.ILjU或L.L.ULj1I

C dtiC1u

CC

或dtduCiCC C

.C.ICj1U

或C.C.UCjI

8.2 例 题 8.2.1 正弦量 例题8-1 已知正弦电流的I=2A,i=30o , f=50HZ，求该正弦量的最大值、角频率；写出该电流的正弦量函数式；画出其波形图。 解：最大值：A22Im 角频率：=2πf≈314 rad/s

i=π/6

正弦量函数式： A)6/t314cos(22i i波形图如图L8-1所示。 例题8-2 求下面各组正弦量的相位差，并说明越前、滞后的关系。 （1）V)120tcos(2220u01 V)120tcos(2220u02 （2）A)130tcos(10i0 V)tsin(200u （3）A)20tsin(30i01 A)50t3sin(40i02 解：（1）12=－120o－120o=－240o 将12转化为：0~±180o范围，则有： 12=360o－240o =120o 所以1u越前2u120o，或者说2u滞后1u120o。 （2）计算相位差前，应先将两正弦量统一成余弦或正弦形式； )90tcos(200)tsin(200u0 图L8-1 UI.=i—u=－130o－（—90o）= —40o 所以i滞后u40o。 （3）由于i的角频率为=，而2i的角频率为=3，1i与2i的频率不同，相位差是一个时间函数，不能判定越前、滞后。

8.2.2 相量 例题8-3 求下列正弦量的相量；画出相量图；根据相量求其相位差，并说明越前、滞后的关系。 A)30tcos(14.14i01；

V)30tsin(202u01 解：（1）V)9030tsin(202u001 =V)60tcos(2020

1i的相量式 )414.1/14.14(I1.∠30oA=10∠30oA

1u的相量式 20U1.∠-60oV

（2）1.I、1.U的相量图如图L8-3所示。 （3）1i与1u的相位差为 =30o-（-60o）=90o

所以1i越前1u90o，或者说1u滞后1i90o。 例题8-4 在图L8-4所示电路中，已知V)10tsin(200u01s，V)tsin(300u1s，试求：（1）030时的ABu；（2）在可调时，AB两端电压为最大值和最小值时的值及相应的电压幅值ABmu。 解：（1）2s1sABuuu 用相量计算

V30300U,V10200U0m2s.0m1s.

m2s.m1s.ABm.UUU

=200∠-10o+300∠-30o =197+j17.4+259.8-j150 =456.8-j132.6 =475.8∠-16.2o（V）

ABu=V)2.16tsin(8.4750

（2）当1su与2su同相位时，即010时，AB间电压最大，其幅值为

ABmu=V500V)300200(UUm2Sm1S

当1su与2su反相位时，即10 o -0180，0170时，AB间电压最小，其幅值为

ABmu=V100V)300300(UUm1Sm2S

3. 电路定律的相量形式 例题 8-5 在图L8-5所示的RL串联电路中，已知：A)30tcos(22i0，R=100Ω，L=0.5H，f=50HZ。求总电压：LRuuu。

解：由KVL得 LRuuu=dtdiLRi 利用相量概念及性质： 2I.∠—30oV

图L8-3 图L8-4