空间角的概念与计算
高中数学精品课件：空间角
图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.
空间角的计算
课后作业：听课导案 1,2两题
学生活动：完成听课导案
课堂练习：
.如图，在四棱锥P—ABCD中， 平面PAB⊥平面ABCD，底 面ABCD是边长为2的正方 形，△PAB为等边三角形.
（1）求PC与平面ABCD所成 角的大小；
P A
（2）求二面角B—AC—P的大 小；
B
D C
规律方法揭示
求空间角
传统方法：根据条件分析几何体的结构特征，探究几何体 中点线面的空间特征，根据空间角的概念找到空间角的平 面角所在的三角形（可求解），在三角形中求角，要求位 置要尽可能的特殊便于计算。
如何找到？难点是什么？ 上述问题用传统方法做显然有一定困难，如何
突破难点，就需要我们用一种新的数学工具 来解决。
空间向量求空间角
知识点回顾：学生活动：完成听课导案空间角（夹角，所成角）问题
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直
线面垂直
空间向量计算空间角（二）
授课班级：高三（8）班 授课教师：高 峰
高考导向：空间角计算是这几年空间几何体中比较 常见的问题，常见于空间几何体大题中。题目难度 适中，是高考必考知识内容。
温故知新：完成听课导案
空间角
1.异面直线所成角 2.直线与平面所成角 3.异面直线所成角 传统方法求空间角的步骤：，分析几何体结构特征，找到空
空间向量法：根据条件分析几何结构体特征，探究几何体 中点线面的空间特征，建立空间直角坐标系，准确的给出 点坐标，确定直线的法向向量，求出平面的一个法向量， 利用相关计算公式得到结果，并对结果进行有效处理。
课堂寄语
关于空间角的计算，不能拘泥于一种思想方法，善于对 几何体的结构进行剖析，规避一些思维障碍，传统方法 注重对概念，定理的系统运用，逻辑性很强。难点就是 要在众多复杂的空间关系中探究出空间角的特殊位置。 而空间向量方法恰恰有效的规避了传统方法的难点，更 多地强调公式的运算和结果的处理，但很多结论完全依 赖每一个点坐标，向量坐标的准确性，这也是空间向量 解决空间角乃至空间几何体问题的缺点。充分利用事物 的两面性，在传统思想方法和空间向量方法之间找到一 种更适合解决问题思想方法。两者之间有着相辅相成的 关系，传统思想方法可以有效的揭示空间几何体中的线 线，线面关系，从而更快速有效的建立空间直角坐标系。
空间中的立体角的计算
空间中的立体角的计算主题：空间中的立体角的计算导语：在空间几何中，立体角是一种重要的概念，它用于描述物体的形状和方向。
立体角的计算涉及到几何图形的投影、体积和角度等知识。
本教案将以立体角的计算为主题，通过实际例子和具体计算方法，帮助学生理解和掌握立体角的概念和计算方法。
一、立体角的概念和性质1. 什么是立体角立体角是指由三个相交于一点的光线所张开的空间区域，用来度量物体在空间中占据的体积。
立体角的大小与光线的方向及夹角有关。
2. 立体角的特点立体角的大小与物体的形状、投影、角度等因素有关。
在立体角的计算中，我们需要考虑几何图形的高度、底面积、体积和角度等。
二、立体角的计算方法1. 立体角的计算公式a. 计算棱锥的立体角：对于一个棱锥，其立体角等于底面的面积与顶点处的球面的面积之比。
计算公式为：立体角 = 底面积 / （半径^2）。
b. 计算棱台的立体角：对于一个棱台，其立体角等于上底面的面积与下底面的面积之差除以顶点到底面的距离。
计算公式为：立体角= （上底面积- 下底面积）/ 距离。
2. 立体角的具体计算步骤以一个正方形金字塔为例，讲解立体角的具体计算步骤：a. 计算金字塔的底面积和高度。
b. 根据底面和高度计算金字塔的体积。
c. 根据金字塔的底面积和半径计算金字塔顶点处的球面的面积。
d. 根据计算结果可以得到金字塔的立体角。
三、立体角的应用举例1. 计算正方体的立体角以一个正方体为例，讲解立体角的应用：a. 计算正方体的体积和表面积。
b. 分析正方体中的一条对角线和一个表面的夹角，计算其立体角。
c. 利用立体角的计算结果，分析正方体的空间形状和方向。
2. 计算圆锥的立体角以一个圆锥为例，讲解立体角的应用：a. 分析圆锥的底面、侧面和顶点，计算其立体角。
b. 利用立体角的计算结果，描绘圆锥的空间位置和方向。
四、立体角的深入研究1. 立体角与空间几何的关系立体角作为空间几何的重要概念，与其他几何图形的性质有着密切的关系。
空间几何角度计算公式
空间几何角度计算公式在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两条线、平面或多个向量之间的夹角。
计算空间几何角度的公式可以根据具体情况而变化，下面将介绍几种常见的计算公式。
1. 点和直线的夹角设直线L上有一点A，过点A引一直线与直线L相交于点B，计算点A和直线L之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |AB| / |OB|其中θ表示点A和直线L的夹角，|AB|表示线段AB的长度，|OB|表示向量OB的长度。
2. 直线与直线的夹角设两条直线L1和L2，如果它们的方向向量分别为a和b，计算直线L1和直线L2之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |a·b| / (|a| |b|)其中θ表示直线L1和直线L2的夹角，|a·b|表示向量a与向量b的点乘的绝对值，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
3. 平面和平面的夹角设两个平面α和β，它们的法线向量分别为n1和n2，计算平面α和平面β之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|)其中θ表示平面α和平面β的夹角，|n1·n2|表示向量n1与向量n2的点乘的绝对值，|n1|和|n2|表示向量n1和向量n2的长度。
4. 空间向量的夹角设两个非零向量a和b，计算向量a和向量b之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中θ表示向量a和向量b的夹角，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
以上就是在空间几何中常用的几种角度计算公式。
根据具体情况，选择适合的公式进行计算，可以帮助我们解决空间几何问题。
空间角及其计算
0° .
记任一直线与平面所成的角为 θ， 则 θ∈ [0°，90°] .
3．二面角 从一条直线 l 出发的两个半平面(α 和β )所组成的图形叫 作 二面角 .记作二面角α lβ，l 叫作二面角的 棱 ，两个 半平面(α 和 β)叫作二面角的
面
.
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O 分别在二面角的两个面α ， β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
外心 垂心
4．如图，棱长都为 a 的正四棱锥中． (1)侧棱与底面所成的角为 为 . ； (2) 侧面 与 底面 所成的 锐 二面 角 的平 面角 的 正弦 值
2 解：(1)此正棱锥的高为 a，故侧棱与底面所成的角 2 为 45° . 2 a 2 6 (2)设侧面与 2
90° 时，这两条异面
2．直线与平面所成的角 (1)射影 自一点 P 向平面α 引垂线， 垂足 P′叫作点 P 在平面α 内的 正射影 (简称 射影 )．PP′的长度称为点 P 到平面 α 的 距离 .图形 F 上所有点在平面α 上的射影构成的图形 F′，叫作图形 F 在平面 α 上的 射影 . (2)平面的斜线
第52讲
空间角及其计算
1．理解两异面直线所成角、直线与平面所成角及二 面角的平面角的概念． 3．会解决一些关于异面直线所成角、线面角及二面 角的简单问题．
1．两条异面直线所成的角 过空间
任意 一点分别引两条异面直线的 平行 直
线， 那么这两条相交直线所成的 锐角或直角 叫作这两条异 面直线所成的角，若记这个角为 θ，则 θ∈(0°，90°] . 当两条异面直线所成的角为 直线互相垂直．
6 答案: 45° 3
5．如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中． (1)B1B 与平面 A1BC1 所成的角的余弦 值为 ； . (2)二面角 D1BCA 的大小为
空间中角的范围
空间中角的范围
【实用版】
目录
1.空间中角的概念
2.角的范围及其分类
3.空间角的性质和应用
正文
一、空间中角的概念
在数学中，角是由两条射线共同确定的图形部分，通常用一个小圆圈表示。
在空间中，角是由两个射线或两个向量所围成的部分。
与平面上的角类似，空间中的角也可以分为锐角、直角、钝角等不同类型。
二、角的范围及其分类
1.锐角：锐角是指小于 90 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是锐角，那么这两个向量之间的夹角一定是锐角。
2.直角：直角是指等于 90 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是直角，那么这两个向量之间的夹角一定是直角。
3.钝角：钝角是指大于 90 度小于 180 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是钝角，那么这两个向量之间的夹角一定是钝角。
4.平角：平角是指等于 180 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是平角，那么这两个向量之间的夹角一定是平角。
5.优角：优角是指小于 180 度且大于 90 度的角。
在空间中，两个向量所围成的角如果是优角，那么这两个向量之间的夹角一定是优角。
三、空间角的性质和应用
空间角具有许多重要的性质，例如，任意两个角之和等于它们所夹的
平面角的度数，任意两个角的差等于它们所夹的平面角的补角的度数等。
这些性质在解决空间几何问题时非常有用。
此外，空间角还可以用于解决一些实际问题，例如，在计算机图形学中，空间角常用于计算物体的旋转和翻转，以及确定物体之间的相对位置等。
空间角的概念和应用
空间角的概念和应用空间角是指两个射线在平面内的夹角。
它是几何学中一个非常基础的概念，但在实际应用中也有着广泛的作用。
本文将系统地介绍空间角的定义和性质，并讨论其在不同领域中的应用。
一、空间角的定义和性质在平面几何中，我们常见的角度分为两类：一个端点是顶点的角称为尖角，两个端点在一条直线上的角称为平角，两个端点分别位于两条相交直线上的角称为锐角或钝角。
而在三维几何中，射线可以在任意方向上延伸，在这种情况下，我们需要使用更为复杂的空间角概念。
具体来说，如果空间中有两个射线OA和OB，其中O是它们的公共起点，那么我们可以定义它们之间的空间角为AOB所在的平面与由OA和OB张成的空间角度量之间的夹角。
在大多数情况下，我们通常选取OA和OB所在的平面作为一个基准面，这样就可以将空间角化为一个平面角，方便我们进一步计算。
空间角的性质类似于平面角。
它们有一个共同的基本量度单位——弧度。
一个完整的圆周对应的弧度数为2π，任意角的弧度数等于它所对应的弧长与圆的半径之比。
此外，空间角也具有可加性、可减性、开放性和大小比较等性质。
二、空间角在物理学中的应用空间角在物理学、力学、天文学等领域中具有非常广泛的应用。
在物理学中，我们经常会利用空间角辅助描述一个系统中的物理过程。
例如，在热力学中，我们可以使用相角来描述多组态系统中的相变行为。
这是因为相角可以一目了然地表明不同相之间的相对状况，从而帮助我们更好地理解和说明相变热力学行为。
在力学中，相角还可以帮助我们描述复杂的运动状态。
例如，我们可以利用相角来表征旋转物体的自转轴和公转轴之间的夹角，从而更好地控制和预测它的运动状态。
此外，相角还可以用于描述阻力、电阻、电容、电感等物理量的相角特性。
三、空间角在计算机科学中的应用空间角在计算机科学中也有着非常广泛的应用。
例如，在计算机视觉和模式识别中，我们常常需要利用空间角计算两幅图像或对象之间的相似性。
在机器学习和自然语言处理中，两个向量的空间角可以作为它们之间相似性的一种度量方式。
空间角
空间角学习目标理解空间角的概念，能辨认各种空间角并能利用定义解决一些常见问题。
学习过程1、两条异面直线所成的角过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a、b平行的直线a′、b′,形成两条相交)直线，这两条相交直线所成的角（不大于直角的角）叫做这两条异面直线所成的角.2、平面的斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.3、二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（如图：可表示为βα--l）4、二面角的平面角AB面面棱lαβC1B1A1CDC1B1CD以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫做直二面角。
二面角的取值范围是(0，π］，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角。
练习：1、已知1111DCBAABCD-是棱长为a的正方体：（1）、正方体的哪些棱所在的直线与直线1BC是异面直线？（2）、求异面直线1AA与BC所成的角；（3）、求异面直线1BC与AC所成的角；2、已知正方体1111DCBAABCD-中，求：（1）、1AA与平面ABCD所成的角；（2）、求1BD和平面ABCD所成的角的正弦值；（3）、BA1和平面CDBA11所成的角。
3如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB=4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于直线l，并且AC=3，BD=12，求CD的长。
lβαCDABVAC课后练习：1、正方体ABCD A B C D''''-中，AB的中点为M ，DD'的中点为N，异面直线B M'与CN所成的角是（）A．30B．90C．45D．602、在正方体CA'中，直线DDBBCB'''与面所成的角3、、如图，在三棱锥ABCV-中，V A=VB=CA=CB=2，AB=32，VC=1。
2017-2018版高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学案版2-1
3.2。
3 空间的角的计算［学习目标] 1。
理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题。
3。
掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一 两条异面直线所成的角（1）定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做a 与b 所成的角．（2）范围:两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝｜cos φ|＝错误!.知识点二 直线与平面所成的角(1）定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤错误!.(3）向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝｜cos φ｜＝错误!或cos θ＝sin φ。
知识点三 二面角(1)二面角的取值范围：［0，π］．（2）二面角的向量求法：①若AB，CD分别是二面角α—l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A，C),如图,则二面角的大小就是向量错误!与错误!的夹角．②设n1、n2是二面角α-l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图,在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．解以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0,0，0)，B（2，0，0），C(0，2,0），D(1,1，0)，A1(0,0,4)，C1(0，2,4)，所以错误!＝(2,0，－4），错误!＝（1，－1，－4）．因为cos〈错误!，错误!>＝错误!＝错误!＝错误!,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为错误!。
85、空间角的计算
第84课时 空间角的计算【教学目标】1．理解两条异面直线所成角的概念，会用等角定理求两条异面直线所成的角． 2．会在简单情形下求直线与平面所成的角．3．理解二面角的概念，会求简单情形下二面角的大小．【教学重点】1．异面直线所成的角． 2．直线与平面所成的角．【教学难点】求异面直线所成角的过程中，异面直线所成角的寻找．【教学过程】一．知识整理1．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；空间两条异面直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π．2．若直线与平面垂直或直线在平面上时，则直线与平面所成的角等于0；若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角等于2π；若直线与平面斜交，则直线与平面所成的角是指直线与它在平面内的射影所成的角，平面的斜线与平面所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π．因此空间的直线与平面所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π．3．二面角的取值范围是[]π,0．二．例题解析【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，解答题，易，运算与逻辑思维【题目】在正三棱柱111C B A ABC -中，3=AB ，41=AA ，求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小（结果用反三角函数值 表示）．【解答】解：设1BC 与C B 1交于点E ，取AC 中点F ，连接BF ，EF ，则EF ∥1AB ，所以BEF ∠就是异面直线1AB 与1BC 所成的角．在△BEF 中，25==EF BE ，233=BF ，由余弦定理，50232cos 222=⋅⋅-+=∠EF BE BF EFBEBEF ，所以5023arccos =∠BEF ．因此异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为5023arccos ．【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】如图所示，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===SA BC AC ．求异面直线AB 与SC 所成角的大小．【解答】解：取SB 中点E ，SA 中点F ，BC 中点G ，连结EF ，EF ，FG ，则EF ∥AB ，EG ∥SC ， 所以FEG ∠（或其补角）就是异面直线AB 与SC 所成的角．连结AG ，则522=+=CGACAG ，AB CA 1B 1C 1A BCA 1B 1C 1FE AEF S CB G ASB因为22==SC AB ，所以2==EG EF ，622=+=AGAFFG ．在△EFG 中，由余弦定理，212cos 222-=⋅-+=∠EGEF FGEGEFFEG ．所以︒=∠120FEG ，于是异面直线AB 与SC 所成角的大小为︒60．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】例3．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB PA =，︒=∠60ABC ，︒=∠90BCA ，点D 为PB 的中点．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）求AD 与平面PAC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）因为⊥PA 平面ABC ，所以BC PA ⊥， 又BC AC ⊥，所以⊥BC 平面PAC ． （2）取PC 中点E ，连结DE ，AE ， 因为D 为PB 中点，所以DE ∥BC ，因为⊥BC 平面PAC ，所以⊥DE 平面PAC ， 故DAE ∠就是AD 与平面PAC 所成的角． 设a AB =，则2a BC =，4a DE =，a AD 22=，所以42sin ==∠ADDE DAE ．所以AD 与平面PAC 所成角的大小为42arcsin．【属性】高三，空间图形与简单几何体，二面角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】例4．在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）二面角C AB C --1的大小是________________； （2）二面角C BD C --1的大小是________________；APBDE ACPB D（3）二面角11C BD A --的大小是________________．【解答】解：（1）AD D 1∠是二面角C AB C --1的平面角， 所以二面角C AB C --1的大小是4π．（2）取BD 中点O ，则OC C 1∠是二面角C BD C --1的平面角， 所以二面角C BD C --1的大小是2arctan．（3）因为二面角A BD A --1与二面角C BD C --1大小相等，所以二面角11C BD A --的大小是2arctan 2-π．三．课堂反馈【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】A 、B 是直线a 上两点，直线b 与a 异面，C 、D 是直线b 两点，8=AB ，6=CD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则a ，b 所成角的大小为_______________．【解答】答案：︒90【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维 【题目】A 是△BCD 所在平面外一点，BC AD =，E 、F分别是AB 、CD 的中点．且AD EF 23=，求异面直线AD 和BA 1CD AB 1C 1D 1ED FBCABC 所成角的大小．【解答】答案：︒60．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】如图，在矩形ABCD 中，2=AB ，3=AD ，沿BD 折叠后点C 在平面ABD 上的射影M 恰好落在AD 上． （1）求证：AB CD ⊥；（2）求CD 与平面ABD 所成角的余弦值．【解答】解：（1）因为⊥CM 平面ABD ，所以AB CM ⊥， 又AB AD ⊥，所以⊥AB 平面CDM ，所以CD AB ⊥． （2）32．四．课堂小结1．求两条异面直线所成的角，关键是要在空间找一点，过该点作两条异面直线的平行线．简言之，是将这两条异面直线“平移”后使之相交．2．求直线与平面所成的角，关键是找出直线在平面内的射影，即找到斜线、垂线、射影所组成的直角三角形．五．课后作业【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】正方体1111D C B A ABCD -中，与1AD 异面，且与1AD 所成角等于︒60的面对角线有_____________条．【解答】答案：4．【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】若正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的AMBCD大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．【解答】答案：5arctan ．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】在长方体ABCD 中，2==BC AB ，11=AA ，则直线1BC 与平面D D BB 11所成角的正弦值为_________________．【解答】答案：510．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，填空题，中，运算与逻辑思维【题目】在长方体1111D C B A ABCD -中，设对角线1BD 与长方体过B 的三个面所成的角分别为α、β、γ，则=++γβα222sin sinsin ___________．【解答】答案：1【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，选择题，中，运算与逻辑思维【题目】在四面体ABCD 中，AD AB =，CD BC =，且E 、F 分别为棱AB 、CD 的中点，设EF 与AC 所成的角为θ，EF 与BD 所成的角为ϕ，则ϕθ+等于（ ） （A ）︒45 （B ）︒60 （C ）︒75 （D ）︒90【解答】答案：D【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，1==BC AC ．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【解答】解：由体积11=⋅=∆CC S V ABC ，即1211=⋅⋅⋅CC BC AC ，故21=CC ．连结1BC ，由1111C B C A ⊥，111CC C A ⊥，得⊥11C A 平面C C BB 11，故就是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 在直角△11BC A 中，51=BC ，所以55tan 11111==∠BC C A BC A ，55arctan11=∠BC A ．所以直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan ．【属性】高三，空间图形与简单几何体，点到平面的距离，解答题，难，运算与逻辑思维【题目】在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为1的正方形，⊥PA 平面ABCD ，2=PA ． （1）求异面直线AB 与PD 所成角的大小； （2）求点B 到平面PCD 的距离．【解答】解：（1）如图，因为CD ∥AB ，所以PDC ∠就是异面直线 AB 与PD 所成的角．因为⊥PA 平面ABCD ，所以CD PA ⊥，又AD CD ⊥， 所以⊥CD 平面PAD ，故PD CD ⊥．所以异面直线AB 与PD 所成角的大小为︒90．（2）因为AB ∥CD ，所以AB ∥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离就是点B 到平面PCD 的距离．ACA 1BB 1C 1DEBAP作PD AE ⊥，E 为垂足，由⊥CD 平面PAD ，得AE CD ⊥， 所以⊥AE 平面PCD ，故AE 就是点A 到平面PCD 的距离． 在Rt △PAD 中，PA AD PD AE ⋅=⋅，所以552=⋅=PBPA AD AE ．所以，点B 到平面PAD 的距离为552．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，难，运算与逻辑思维【题目】如图，在四面体ABC P -中，所有棱长都相等，D 为PB 的中点．求： （1）异面直线AD 与BC 所成角的大小； （2）直线AD 与平面ABC 所成角的大小． （结果均用反三角函数值表示）【解答】解：（1）取PC 点E ，连结DE 、AE ，则DE ∥BC ， 所以ADE ∠就是异面直线AD 与BC 所成的角． 设四面体棱长为a ，在△ADE 中，a AE AD 23==，2a DE =，则63cos =∠ADE ．故异面直线AD 与BC 所成角的大小为63arccos．（2）作⊥PO 平面ABC ，O 为垂足，因为PC PB PA ==，所以OC OB OA ==，即O 是正三角形ABC 的中心，所以a OA 33=，a aa PO 36322=-=．作⊥DH 平面ABC ，H 为垂足，则ADH ∠为AD 与平面ABC 所成的角． 因为D 是PB 中点，故a PO DH 6621==，所以32sin ==∠DADH DAH ．E DACBPOHDACBP所以直线AD 与平面ABC 所成角的大小为32arcsin ．【题目资源】【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】若正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是__________________（结果用反三角函数值表示）．【解答】答案：5arctan【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线AC 与1BC 所成角的大小为___________．【解答】答案：︒60【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】在正方体1111D C B A ABCD -中，1O 是面1111D C B A 的中心，则异面直线1AO 与1BC 所成角的大小是_____________________．【解答】答案：︒30【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1CC 的中点，则异面直线E D 1与1BC 所成角的余弦值为__________________．【解答】答案：1010【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，选择题，易，逻辑思维【题目】设两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π B ．⎪⎭⎫⎝⎛2,0π C ．),0(π D ．⎥⎦⎤⎝⎛2,0π【解答】答案：D【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】在正方体1111D C B A ABCD -中，1BD 与平面ABCD 所成角的大小为_____________（结果用反三角函数值表示）．【解答】答案：22arctan【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】在直三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都相等，点D 是侧面C C BB 11的中心，则直线AD 与平面C C BB 11所成角的大小是_________________．【解答】答案：︒60．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，填空题，易，运算与逻辑思维【题目】在长方体1111D C B A ABCD -中，4==BC AB ，51=A A ，M 是AB 的中点，则直线M C 1与平面ABCD 所成角的大小是___________________（结果用反三角函数值表示）．【解答】答案：25arctan【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，解答题，易，运算与逻辑思维【题目】在长方体1111D C B A ABCD -中，已知11==AA AB ，2=BC ，求异面直线AC 与1DB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】答案：1030arccos【属性】高三，空间图形与简单几何体，空间中的距离，填空题，易，逻辑思维【题目】在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中， （1）点A 到1CD 的距离为_________________； （2）点A 到1BD 的距离为________________； （3）点A 到面D D BB 11的距离为___________； （4）1AA 到面D D BB 11的距离为___________．CD 1DBA 1B 1C 1【解答】答案：（1）a 26；（2）a 36；（3）a 22；（4）a 22．【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】如图，在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为BC 与AD 的 中点，求异面直线DE 与BF 所成角的大小（结果用反三 角函数值表示）．【解答】答案：32arccos【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】在正四面体ABCD 中，求AB 与平面BCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】答案：33arccos【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】在正方体1111D C B A ABCD 中，P 、Q 分别为11B A 、1BB 的中点． （1）求异面直线AP 与CQ 所成角的大小； （2）求异面直线AP 与BD 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示）DBC FAECQ DAA 1B 1C 1D 1 B P【解答】答案：（1）510arccos ；（2）1010arccos．【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】 14．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BD 、 C B 1上的点，且C B F B BE 1132==，求异面直线EF与CD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】答案：21arctan解：设正方体棱长为3，由题意，E 、F 分别为BD 与C B 1的三等分点． 在BC 上取点G ，使2=BG ，连结EG 、FG ． 因为32==BCBG BDBE ，所以EG ∥CD ，同理FG ∥C C 1，且FEG ∠就是异面直线EF 与CD 所成的角．在直角三角形EFG 中，21tan ==∠EGFG FEG ．所以异面直线EF 与CD 所成的角的大小为21arctan ．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】 已知P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，32===PC PB PA ，△ABC 的边长为1，求PC 和平面ABC 所成角的大小．【解答】答案：︒30ABC DA 1B 1C 1D 1EFA BC D A 1 B 1C 1D 1EF【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】已知PA 垂直于△ABC 所在的平面α，D 为BC 的中点，又PB 、PD 、PC 与平面α所成的角分别为︒60、︒45、︒30，求PA 的长．【解答】答案：a 263【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，选择题，中，运算与逻辑思维【题目】在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB 与平面ACD 所成角的正弦值为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）32 （D ）36【解答】答案：B【属性】高三，空间图形与简单几何体，异面直线所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】18．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为1，高21=AA ，求异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结 果用反三角函数表示）．ABCDA 1B 1C 1D 1AC DA 1B 1C 1D 1EF【解答】解：连结11D B ，1AD ，因为BD ∥11D B ，故11D AB ∠ 就是异面直线BD 与1AB 所成的角． 在△11D AB 中，511==AD AB ，211=D B ，所以101021cos 11111==∠AB D B D AB ，故异面直线BD 与1AB所成角的大小为1010arccos ．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，中，运算与逻辑思维【题目】如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BC 的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：过E 作BC EF ⊥，F 为垂足，连结DF ．因为EF ∥C C 1，⊥C C 1平面ABCD ，所以⊥EF 平面ABCD ，故EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角． 在△DEF 中，1211==C C EF ，5=DF ，所以55tan ==∠DFEF EDF ．所以直线DE 与平面ABCD 所成角的大小为55arctan ．D 1 A 11B 1ACD EA BCDA 1B 11D 1D 1 A 1C 1B 1AB C DEF【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，难，运算与逻辑思维【题目】如图，在三棱锥BCD A -中，⊥AC 平面BCD ，︒=∠90BCD ，8=BC ，34=CD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且8=EF ．（1）求EF 与平面ACD 所成角的大小； （2）求异面直线AD 与EF 所成角的大小．【解答】解：（1）取AC 中点M ，边结EM 、FM ，则EM ∥AC ，由AC BC ⊥，CD BC ⊥，得⊥BC 平面ACD ，故⊥EM 平面ACD ，即EFM ∠为EF 与平面ACD 所成的角． 因为421==BC EM ，21sin ==∠EFEM EFM ，故EF 与平面ACD 所成角为︒30．（2）因为MF ∥AD ，故EFM ∠也是异面直线AD 与EF 所成的角， 所以异面直线AD 与EF 所成角的大小为︒30．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，难，运算与逻辑思维【题目】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，41==AA BC ，3=AC ，︒=∠90ACB ，D 是11B A 的中点．（1）在棱1BB 上求一点P ，使BD CP ⊥； （2）在（1）的条件下，求DP 与平面C C BB 11 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）取11C B 中点E ，连结BE 、DE ，由已知， 有⊥DE 平面C C BB 11，所以BE 为BD 在平面C C BB 11 内的射影．若P 在1BB 上且BD CP ⊥，则DE CP ⊥，ABCDFEABC· D A 1B 1C 1AB C·D A 1B 1C 1 E故⊥CP 平面BDE ，所以只要过C 作BE 的垂线交1BB 于P ．即P 为1BB 的中点． （2）由（1），D P E∠为DP 与平面C C BB 11所成的角．由题设知23=DE ，22=PE ，所以823tan ==∠PEDE DPE ，即DP 与平面C C BB 11所成角的大小为823arctan．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，难，运算与逻辑思维【题目】如图，ABCD P -的底面是正方形，⊥PD 底面ABCD ， AB PD 2=，E 为PB 的中点，求AE 与平面PBD 所成角的大小．【解答】解：连结AC 、BD 交于点O ，连结OE ， 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥， 又⊥PD 底面ABCD ，所以AC PD ⊥，所以⊥AC 平面PBD ，所以∠AEO 为AE 与 平面PBD 所成的角．因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点，故EO ∥PD ，且AB PD EO 2221==，而AB AO 22=，所以1tan ==∠EOAO AEO ，故AE 与平面PBD 所成角的大小为︒45．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，难，运算与逻辑思维【题目】如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，a BC =，又⊥PA 平面ABCD ，4=PA ．（1）若在边BC 上存在点Q ，使得QD PQ ⊥， 求a 的取值范围；AC DPEOACDPE（2）当边BC 上存在唯一一点Q ，使得QD PQ ⊥，求异面直线AQ 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；【解答】解：（1）设x CQ =（a x <<0），则x a BQ -=，由QD PQ ⊥得⊥QD 平面PAQ ，故QD AQ ⊥，从而222AD QDAQ=+，即222]3)[()3(a x a x =+-++，化简得032=+-ax x ，所以0122≥-a ，即32≥a ．（2）由题意，关于x 的方程032=+-ax x 有两个相等的根，所以32=a ，此时2a x =，即Q 为BC 的中点．6==DQ AQ ，延长BC 至M ，使QC CM =，连结DM ，则DM ∥AQ ，故PDQ ∠（或其补角）为异面直线AQ 与PD 所成角． 在△PDM 中，6=DM ，72=PD ，46=PM ，由余弦定理得，14426722466282cos 222-=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠PMPD PMPM PDPDQ ．所以，异面直线AQ 与PD 所成角的大小为1442arccos ．【属性】高三，空间图形与简单几何体，直线与平面所成的角，解答题，难，运算与逻辑思维【题目】在正方体1111D C B A ABCD -中，求直线1AA 与平面11D AB 所成角的正弦值．分析：过1A 作⊥O A 1平面D AB 1，O 为垂足，若设1AA 与平面11D AB 所成的角为θ，则11sin AA O A =θ，所以只要求出O A 1的长（即1A 到平面11D AB 的距离）．【解答】QBADP解：设正方体棱长为a ，作⊥O A 1平面11D AB ，O 为垂足，连结AO ，因为11111D A B A AA ==，1111AD D B AB ==， 所以D AB A 11-是正三棱锥，所以O 是△11D AB 的中心，所以a a AO 3622332=⋅⋅=，a O A 331=，设直线1AA 与平面11D AB 所成角为θ，则33sin 11==AA O A θ，故直线1AA 与平面11D AB 所成角的正弦值为33．BA 1CDA B 1C 1D 1O。
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空间角的概念与计算
在几何学中，角是一个基本的概念，用于描述物体之间的相对方向。
而空间角则是在三维空间中描述物体之间方向关系的重要指标。
本文
将介绍空间角的概念及其计算方法。
一、空间角的概念
空间角是用来描述三维空间中两个矢量之间的夹角关系。
在二维空
间中，我们可以通过一条射线和一条直线之间的夹角来描述角度，而
在三维空间中，空间角则需要考虑更多的因素。
具体而言，对于任意两个非零矢量a和b，它们之间的空间角被定
义为它们的夹角θ，满足0 ≤ θ ≤ π。
其中，θ=0时表示a和b共线，
θ=π/2时表示a和b正交，θ=π时表示a和b反向。
二、空间角的计算
1. 余弦定理计算空间角
余弦定理是空间角计算中常用的方法之一。
对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：
cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
其中，·表示矢量的点积，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长。
通过
求解上式，我们可以得到空间角θ的值。
2. 向量叉积计算空间角
另一种常用的空间角计算方法是利用向量的叉积。
对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：
sinθ = |a×b| / (|a|·|b|)
其中，×表示矢量的叉积。
通过求解上式，我们可以得到空间角θ的正弦值，进而计算出空间角的值。
三、实例演示
下面通过一个实例来演示如何计算空间角。
假设有两个矢量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)。
我们希望计算出它们之间的空间角θ。
首先，我们可以通过求解余弦定理来计算空间角的余弦值：
cosθ = (1×4 + 2×5 + 3×6) / √(1² + 2² + 3²) × √(4² + 5² + 6²)
= (4 + 10 + 18) / √14 × √77
= 32 / √1078 ≈ 0.979
然后，通过反余弦函数可以求得空间角的弧度值：
θ = arccos(0.979) ≈ 0.199 rad
最后，将弧度值转换为度数，即可得到空间角的度数表示：
θ ≈ 0.199 × (180/π) ≈ 11.4°
因此，矢量a和b之间的空间角约为11.4°。
结论：
空间角是用来描述三维空间中物体之间夹角关系的重要概念。
本文通过介绍空间角的概念和计算方法，帮助读者理解了空间角的基本概念以及如何计算空间角。
空间角的计算可以借助余弦定理或向量叉积等方法，具体选择方法取决于实际情况。
通过掌握空间角的概念和计算方法，可以更好地理解和分析物体之间的几何关系。