微分几何第四版习题答案解析梅向明
微分几何课后答案
r r r r r r r r r 量，且 r (t ) · n = 0 。两次求微商得 r ' · n = 0 ， r ' ' · n = 0 ，即向量 r ， r ' ， r ' ' r r r r 垂直于同一非零向量 n ，因而共面，即（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r r r r r r r r r r r 反之, 若（ r r ' r ' ' ）=0，则有 r × r ' = 0 或 r × r ' ≠ 0 。若 r × r ' = 0 ，由上题
}
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ，
解 r ' ={
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
y − a sin t a cos t − a sin t
r
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x − a cos t − a sin t − a cos t
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
29
微分几何主要习题解答
τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t
微分几何习题解答(曲线论)
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何习题解答(曲线论)
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
最全 解析几何第四版习题答案第四章(完整版)
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。
解析几何第四版习题答案第四章[1]讲解
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第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1柱面1、已知柱面的准线为：'(X—1)2+(y+3)2+(z-2)2=25 x+y—z+2=0且(1)母线平行于X轴；(2)母线平行于直线X = y, z = c，试求这些柱面的方程。
解：(1)从方程'(x_1)2 十(y+ 3)2 +(z_2)2=25<x+y-z+2=0中消去X，得到：(Z 一y 一3)2 (y 3)2 (Z-2)2 =25即：y2 z2_ yz _6y _5z「3二02此即为要求的柱面方程。
x = y(2)取准线上一点M 0(x0,y0,z0)，过M 0且平行于直线丿'的直线方程为：jZ = CX = X o t X o 二X - t“y = y° +t 二彳y° =y-1z = z°= z而M o在准线上，所以7x_t _1)2 +(y _t +3)2 +(z_2)2=25 、x+y-z-2t+2 = 0上式中消去t后得到：x2 y2• 3z2 -2xy-8x • 8y-8z-26 =0此即为要求的柱面方程。
2而M。
在准线上，所以：厂 2 2』x -t = y +(z + 2t)、x-t = 2(z+2t)消去t,得到：4x225y2 z2 4xz-20x -10z =0此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线x=y=乙x ^^^1,与x-1=y /二乙- 2的圆柱面方程。
解：过又过准线上一点M/x^y—zJ，且方向为1,1,1的直线方程为:= x1t X\ =x-ty = y i t 二y i = y -1z = z t z = z -t将此式代入准线方程，并消去t得到：2 2 25( x y - z - xy - yz - zx) 2x 11y - 13z = 0此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为(u) —x(u), y(u), z(u)1,母线的方向平行于矢量S —X,Y,Z?，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：x = Y(u) vS与x 二 x(u) Xv« y = y(u)+Yvz = z(u) +Zv式中的u, v为参数。
微分几何习题及答案解析
、第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
解析几何第四版习题答案
解析几何第四版习题答案解析几何是一门研究几何图形的数学分支，它使用代数方法来描述几何对象。
解析几何第四版习题答案通常包含了各种几何问题的解答，这些解答帮助学生理解如何使用代数工具来解决几何问题。
以下是一些习题的解答示例：1. 直线的方程：- 给定两点 \( P_1(x_1, y_1) \) 和 \( P_2(x_2, y_2) \)，直线的斜率 \( m \) 为 \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)。
直线的点斜式方程为 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)。
如果直线通过原点，则其方程为 \( y = mx \)。
2. 圆的方程：- 圆的标准方程为 \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)，其中\( (h, k) \) 是圆心的坐标，\( r \) 是半径。
3. 椭圆的方程：- 椭圆的标准方程为 \( \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y -k)^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 是椭圆的长半轴，\( b \) 是短半轴，\( (h, k) \) 是椭圆的中心。
4. 双曲线的方程：- 双曲线的标准方程为 \( \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \)，其中 \( a \) 是实轴的半长，\( b \) 是虚轴的半长，\( (h, k) \) 是双曲线的中心。
5. 抛物线的方程：- 抛物线的标准方程为 \( y^2 = 4ax \) 或 \( x^2 = 4ay \)，其中 \( a \) 是抛物线的焦距。
6. 圆锥曲线的交点问题：- 当两个圆锥曲线相交时，可以通过联立它们的方程来求解交点。
例如，如果有两个圆 \( (x - h_1)^2 + (y - k_1)^2 = r_1^2 \) 和\( (x - h_2)^2 + (y - k_2)^2 = r_2^2 \)，它们的交点可以通过解这个方程组来找到。
解析几何第四版习题答案第四章
解析⼏何第四版习题答案第四章第四章柱⾯、锥⾯、旋转曲⾯与⼆次曲⾯§ 4、1柱⾯1、已知柱⾯得准线为:且(1)母线平⾏于轴;(2)母线平⾏于直线,试求这些柱⾯得⽅程。
解:(1)从⽅程中消去,得到:即:此即为要求得柱⾯⽅程。
(2)取准线上⼀点,过且平⾏于直线得直线⽅程为:⽽在准线上,所以上式中消去后得到:此即为要求得柱⾯⽅程。
2⽽在准线上,所以:消去,得到:此即为所求得⽅程。
3、求过三条平⾏直线得圆柱⾯⽅程。
解:过⼜过准线上⼀点,且⽅向为得直线⽅程为:将此式代⼊准线⽅程,并消去得到:此即为所求得圆柱⾯得⽅程。
4、已知柱⾯得准线为,母线得⽅向平⾏于⽮量,试证明柱⾯得⽮量式参数⽅程与坐标式参数⽅程分别为:与式中得为参数。
证明:对柱⾯上任⼀点,过得母线与准线交于点,则,即1、求顶点在原点,准线为得锥⾯⽅程。
解:设为锥⾯上任⼀点,过与得直线为:设其与准线交于,即存在,使,将它们代⼊准线⽅程,并消去参数,得:即:此为所要求得锥⾯⽅程。
2、已知锥⾯得顶点为,准线为,试求它得⽅程。
解:设为要求得锥⾯上任⼀点,它与顶点得连线为:令它与准线交于,即存在,使将它们代⼊准线⽅程,并消去得:此为要求得锥⾯⽅程。
4、求对锥⾯上任⼀点,过与顶点得母线为:令它与准线得交点为,即存在,使,将它们代⼊准线⽅程,并消去得:此即为要求得圆锥⾯得⽅程。
5、求顶点为,轴与平⾯垂直,且经过点得圆锥⾯得⽅程。
解:轴线得⽅程为:过点且垂直于轴得平⾯为:即:该平⾯与轴得交点为,它与得距离为:要求圆锥⾯得准线为:得径⽮为,试证明锥⾯得⽮量式参数⽅程与坐标式参数⽅程分别为: 与式中,为参数。
证明:对锥⾯上任⼀点,令,它与顶点得连线交准线于,即。
,且(顶点不在准线上)即亦即此为锥⾯得⽮量式参数⽅程。
若将⽮量式参数⽅程⽤分量表⽰,即:此为锥⾯得坐标式参数⽅程,为参数。
§ 4、3旋转曲⾯1、求下列旋转曲⾯得⽅程:(1);绕旋转(2);绕旋转(3)绕轴旋转;(4)空间曲线绕轴旋转。
解析几何第四版课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .（1）22221x y a b +=；（2）22221x y a b-=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++=（5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）22100100001a A b ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；121(,)F x y x a =；221(,)F x y y b =；3(,)1F x y =-； （2）22100100001a A b ⎛⎫ ⎪⎪⎪=-⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-. （3）0001000p A p -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020305022A ⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+；（5）1232171227342A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=-⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342F x y x y =-+-.2. 求二次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点. （1）550x y --=； （2）220x y ++=； （3）410x y +-=； （4）30x y -=； （5）2690x y --=.解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）15(,),(1,0)22-；（2）47,55⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭，47,55⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭； （3）二重点(1,0)；（4）11,26⎛⎫⎪⎝⎭； （5）无交点.3. 求直线10x y --=与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点；（2）直线1,{x kt y k t=+=+与二次曲线22430x xy y y -+-=交于一点；（3）10x ky --=与二次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点； （4）1,{1x t y t=+=+与二次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k >.§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的.（1）22230x xy y x y ++++=； （2）22342250x xy y x y ++--+=； （3）24230xy x y --+=.解：（1）由22(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物型的；（2）由22(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(2:3X Y =-且属于椭圆型的；（3）由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）22224630x xy y x y -+--+=； （2）22442210x xy y x y -++--=； （3）2281230y x y ++-=； （4）2296620x xy y x y -+-+=. 解：（1）因为2111012I -==≠-，所以它为中心曲线；（2）因为212024I -==-且121241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为200002I ==且004026=≠，所以它为无心曲线； （4）因为293031I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线； 3. 求下列二次曲线的中心.（1）225232360x xy y x y -+-+-=； （2）222526350x xy y x y ++--+=； （3）22930258150x xy y x y -++-=.解：（1）由510,3302x y x y --=⎧⎪⎨-++=⎪⎩得中心坐标为313(,)2828-； （2）由5230,2532022x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩得中心坐标为(1,2)-；（3）由91540,15152502x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩知无解，所以曲线为无心曲线. 4. 当,a b 满足什么条件时，二次曲线226340x xy ay x by ++++-=（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.解：（1）由330,2302x y b x ay ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩知，当9a ≠时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；（2）当9,9a b =≠时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当9a b ==时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.5. 试证如果二次曲线22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=有渐进线，那么它的两个渐进线方程是Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=式中00(,)x y 为二次曲线的中心.证明：设(,)x y 为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为00:():()X Y x x y y =--，所以Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=.6. 求下列二次曲线的渐进线.（1）226310x xy y x y --++-=； （2）2232340x xy y x y -++-+=； （3）2222240x xy y x y ++++-=.解：（1）由1360,2211022x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩得中心坐标13(,)55-.而由2260X XY Y --=得渐进方向为:1:2X Y =或:1:3X Y =-，所以渐进线方程分别为210x y -+=与30x y +=（2）由310,22332022x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩得中心坐标13(,)55-.而由22320X XY Y -+=得渐进方向为:1:1X Y =或:2:1X Y =，所以渐进线方程分别为20x y -+=与210x y --=（3）由10,10x y x y ++=⎧⎨++=⎩知曲线为线心曲线，.所以渐进线为线心线，其方程为10x y ++=.7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是230I I ==，成为无心曲线的充要条件是230,0I I =≠.证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是131112122223a a a a a a ==也即230I I ==； 为无心曲线的充要条件是131112122223a a a a a a =≠也即230,0I I =≠. 8. 证明以直线1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线方程总能写成111()()0A x By C Ax By C D +++++=.证明：设以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则它的渐进线为Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=，其中00(,)x y 为曲线的中心，从而有Φ00(,)x x y y --=111()()0A x By C Ax By C ++++=而Φ00(,)x x y y --=22110120022022111222110120221202201101200220()2()()()22()2()2,a x x a x x y y a y y a x a xy a y a x a y xa x a y y a x a x y a y -+--+-=++-+-++++因为00(,)x y 为曲线的中心，所以有11012013a x a y a +=-，12022023a x a y a +=- 因此Φ000033(,)(,)(,)x x y y F x y x y a φ--=+-，令0033(,)x y a D φ-=-，代入上式得00(,)(,)F x y x x y y D φ=--+即111(,)()()F x y A x By C Ax By C D =+++++，所以以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线可写为111()()0A x By C Ax By C D +++++=.9.求下列二次曲线的方程.（1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线10x y +-=为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得：（1）40xy x --=；（2）2223570x xy y x ---+=.§5.3二次曲线的切线1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线223457830x xy y x y ++---=在点（2，1）； （2）曲线曲线223457830x xy y x y ++---=在点在原点； （3）曲线22430x xy y x y +++++=经过点（-2，-1）；（4）曲线225658x xy y ++=经过点；（5）曲线222210x xy y x y -----=经过点（0，2）. 解：（1）910280x y +-=； （2）20x y -=；（3）10,30y x y +=++=；（4）1150,0x y x y +-=-+=； （5）0x =.2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.（1）曲线2243530x xy y x y ++--+=的切线平行于直线40x y +=； （2）曲线223x xy y ++=的切线平行于两坐标轴. 解：（1）450x y +-=，(1,1)和480x y +-=，(4,3)-； （2）20y ±=，(1,2),(1,2)--和20x ±=，(2,1),(2,1)--. 3. 求下列二次曲线的奇异点. （1）22326410x y x y -+++=； （2）22210xy y x +--=； （3）2222210x xy y x y -+-++=.解：（1）解方程组330,220x y +=⎧⎨-+=⎩得奇异点为(1,1)-；（2）解方程组10,0y x y -=⎧⎨+=⎩得奇异点为(1,1)-.4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点（1，-2）及切直线10x y --=于点（0，-1）的二次曲线方程.解：利用（5.3-5）可得226320x xy y x y +-+-=.5.设有共焦点的曲线族2222221x y a h b h+=++，这里h 是一个变动的参数，作平行于已知直线y mx =的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程. 解：设切点坐标为00(,)x y ，则由（5.3-4）得曲线的切线为0022221x x y ya hb h+=++，因为它平行与y mx =，所以有2220000x b my a h x my +=-+，代入220022221x y a h b h +=++整理得 222220000(1)()0mx m x y my m a b +----=，所以切点的轨迹为22222(1)()0mx m xy my m a b +----=.§5.4二次曲线的直径1. 已知二次曲线223754510x xy y x y +++++=.求它的（1）与x 轴平行的弦的中点轨迹； （2）与y 轴平行的弦的中点轨迹；（3）与直线10x y ++=平行的弦的中点轨迹.解：（1）因为x 轴的方向为:1:0X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程6740x y ++=； （2）因为y 轴的方向为:0:1X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程71050x y ++=； （3）因为直线10x y ++=的方向为:1:1X Y =-代入（5.4-3）得中点轨迹方程310x y ++=.2.求曲线224260x xy x y +---=通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入(2)(21)0X x Y y -+-=得:1:6X Y =，再代入上式整理得直径方程为1280x y +-=，其共轭直径为122230x y --=.3.已知曲线22310xy y x y --+-=的直径与y 轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.解：直径方程为10x -=，其共轭直径方程为230x y -+=. 4.已知抛物线28y x =-，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分. 解：430x y ++=.5. 求双曲线22164x y -=一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度. 解：设直径和共轭直径的斜率分别为',k k ，则'23kk =.又因为它们交角45度，所以''11k k kk -=+，从而13k =-或2，'2k =-或13，故直径和共轭直径的方程为30x y +=和20x y -=或20x y +=和30x y -=.6.求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 证明：因为中心曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向，所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.7．求下列两条曲线的公共直径.（1）223234440x xy y x y -+++-=与2223320x xy y x y --++=； （2）220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=. 解：（1）210x y -+=；（2）5520x y ++=. 8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线320,5540x y x y --=⎧⎨--=⎩与530,210y x y +=⎧⎨--=⎩ 为它的两对共轭直径，求该二次曲线的方程.解：设曲线的方程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得1112221323331111,,1,,,0222a a a a a a ==-=-=-=-=，所以曲线的方程为220x xy y x y ----=.§5.5二次曲线的主直径与主方向1.分别求椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=，抛物线22y px =的主方向与主直径.解：椭圆的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；双曲线的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；抛物线的主方向分别为0：1和1：0，主直径分别为0y =.2. 求下列二次曲线的主方向与主直径. （1）22585181890x xy y x y ++--+=； （2）22210xy x y -+-=；（3）229241618101190x xy y x y -+--+=.解：（1）曲线的主方向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为0,20x y x y -=+-=； （2）其主方向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为0,20x y x y +=-+=； （3）其主方向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为3470x y -+=； （4）任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径.3.直线10x y ++=是二次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的方程.解：设二次曲线方程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，把点坐标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代入上面方程同时利用直线10x y ++=为其主直径可得111222132333774,,4,,4,022a a a a a a ==-==-==，所以所求曲线方程为22474780x xy y x y -+-+=. 4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.证明：设12,λλ分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为11:X Y 与22:X Y 则1111211112122111,,a X a Y X a X a Y Y λλ+=⎧⎨+=⎩与1121222212222222,a X a Y X a X a Y Y λλ+=⎧⎨+=⎩， 所以 11211211112121212212()()X X YY a X a Y X a X a Y Y λλ+=+++11212211222221221221()(),a X a Y X a X a Y X X X Y Y λλ=+++=+从而有121212()()0X X YY λλ-+=，因为12λλ≠，所以12120X X YY +=，由此两主方向11:X Y 与22:X Y 相互垂直.§5.6二次曲线方程的化简与分类1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形. （1）225422412180x xy y x y ++--+=； （2）222410x xy y x y ++-+-=； （3）25122212190x xy x y +---=； （4）222220x xy y x y ++++=.解（1）因为二次曲线含xy 项，我们先通过转轴消去xy ，设旋转角为α，则324ctg α=，即21324tg tg αα-=，所以12tg α=或-2.取2tg α=-，那么sin α=，cos α=，所以转轴公式为''''2),2).x x y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入原方程化简再配方整理得新方程为''2''26120x y +-=；类似的化简可得（2）''2''250y +=；（3）''2''294360x y --=；（4）''2210x -=.2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.（1）22845816160x xy y x y +++--=； （2）22421040x xy y x y --++=； （3）22446830x xy y x y -++-+=； （4）2244420x xy y x y -++-=. 解：（1）已知二次曲线的距阵是8242584816⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭， 18513I =+=，2823625I ==，所以曲线的特征方程为213360λλ-+=，其特征根为14λ=，29λ=，两个主方向为11:1:2X Y =-，22:2:1X Y =；其对应的主直径分别为8200x y -+=，7740x y +-=. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式'''')1,2) 2.x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'294360x y +-=.（2）已知二次曲线的距阵是225222520-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭坐标变换公式''''2)1,) 2.x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'23210x y -+-=.（3）已知二次曲线的距阵是423214343-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭， 坐标变换公式''''92),101).5x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'50y x =. （4）坐标变换公式''''22),51).5x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2510y -=.3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式'2'22213231313a a a a +=+.证明：设旋转角为α，则''131323cos sin a a a αα=-，''231323sin cos a a a αα=+，两式平方相加得'2'22213231313a a a a +=+.3. 试证二次曲线222ax hxy ay d ++=的两条主直径为220x y -=，曲线的两半轴的长分别为. 证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.§5.7应用不变量化简二次曲线的方程1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方程.（1）2266210x xy y x y ++++-=； （2）223234440x xy y x y -+++-=； （3）2243220x xy y x y -++-=； （4）22442210x xy y x y -++--=； （5）222246290x xy y x y -+--+=； （6（7）2222240x xy y x y ++++-=； （8）224412690x xy y x y -++-+=.解：（1）因为12I =，213831I ==-，13331116311=-，322II =-，而特征方程2280λλ--=的两根为124,2λλ==-，所以曲线的简化方程（略去撇号）为224220x y --=，曲线的标准方程为2221012x y --=，曲线为双曲线； 类似地得下面：（2）曲线的简化方程（略去撇号）为222480x y +-=，曲线的标准方程为22142x y +=， 曲线为椭圆；（3）曲线的简化方程（略去撇号）为22(2(20x y ++=，曲线的标准方程为22011x y -=， 曲线为两相交直线；（4）曲线的简化方程（略去撇号）为250y =， 曲线的标准方程为2y =， 曲线为抛物线；（5）曲线的简化方程（略去撇号）为220x y +=， 曲线的标准方程为22011x y +=， 曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线； （6）曲线的简化方程（略去撇号）为220,0,0)y x a y a -=≤≤≤≤（，曲线的标准方程为2y =，0,0)x a y a ≤≤≤≤（曲线为抛物线的一部分；（7）曲线的简化方程（略去撇号）为2250y -=，曲线的标准方程为252y =， 曲线为两平行直线；（8）曲线的简化方程（略去撇号）为250y =，曲线的标准方程为20y =，曲线为两重合直线.2. 当λ取何值时，方程2244230x xy y x y λ++---=表示两条直线. 解：方程2244230x xy y x y λ++---=表示两条直线当且仅当3222110213I λ-=-=---，即4λ=.3. 按实数λ的值讨论方程2222250x xy y x y λλ-+-++=表示什么曲线.解：因为12I λ=，2(1)(1)I λλ=-+，3(53)(1)I λλ=+-，12(51)K λ=-， 所以当λ的值变化时，1231,,,I I I K 也随着变化，它们的变化关系如下表：所以有对应于下面的结果：4. 设221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是d =证明：曲线的方程可简化为y =， 这里当曲线表示两条平行的实直线时，10K <. 所以这两条直线之间的距离是d =5. 试证方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=确定一个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.证明：当曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表示一个实圆的充要条件是其特征方程2120I I λλ-+=有相等实根且120I I <，即21240I I ∆=-=且120I I <，从而方程确定一个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.6. 试证如果二次曲线的10I =，那么20I <. 证明：因为111220I a a =+=即1122a a =-，所以1112222211221*********()a a I a a a a a a a ==-=-+，而111222,,a a a 不全0，所以有20I <.7. 试证如果二次曲线的230,0I I =≠，那么10I ≠，而且120I I <.证明：当230,0I I =≠时，由5.2节习题7知，曲线为无心曲线，从而有10I ≠，而且120I I <.。
微分几何_课后习题答案
13第一章 曲线论§2 向量函数向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r ×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t l )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t l 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t l )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t l e ，所以所以 r ×'r =l 'l （e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t l )(t e求微商得'r ='l e +l 'e ，于是r ×'r =2l （e ×'e ）=0 ，则有则有 l = 0 或e ×'e =0 。
当)(t l = 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当l¹0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以所以'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
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§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ+ycos ϑsin ϕ+zsin ϑ-a=0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
解 椭圆柱面22221x y a b+=的参数方程为x=cos ϑ, y=asin ϑ, z = t ,}0,cos ,sin {ϑϑθb a r -= ,}1,0,0{=t r。
所以切平面方程为：010cos sin sin cos =----ϑϑϑϑb a tz b y a x ，即xbcos ϑ+yasin ϑ － ab = 0 此方程与t 无关，对于ϑ的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而ϑ的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
5．证明曲面},,{3uva v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
证 },0,1{23vu a r u -= ，},1,0{23uv a r v -= 。
切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uva 23)。
于是，四面体的体积为：3329||3||3||361a uv a v u V ==是常数。
§２ 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==2222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=⋅=,∴I = +++2222)4(du v b a 2222222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。
２．求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -== ，12==u r E，0=⋅=v u r r F ，222b u r G v +==，∴I =2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I =222sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。
解 由条件=2ds 222sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2ds 得=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds=coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的弧长为|sinh sinh ||cosh |1221v v vdv v v -=⎰。
4．设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u+v=0,u –v=0的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，22a u G +=，曲线u+v=0与u –v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为1=E ，0=v F ，2a G =。
曲线u+v=0的方向为du=-dv,u –v=0的方向为δu=δv, 设两曲线的夹角为ϕ，则有cos ϕ=22222211a a vG u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ。
5．求曲面z=axy 上坐标曲线x=x 0 ,y=0y 的交角. 解 曲面的向量表示为r ={x,y,axy}, 坐标曲线x=x的向量表示为r ={ x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r={0，1，ax 0}；坐标曲线y=0y 的向量表示为r ={x ,0y ,ax 0y }，其切向量x r={1，0，a 0y }，设两曲线x=x 0与y=0y 的夹角为ϕ，则有cos ϕ=20220200211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=⋅6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解 对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有Edu δu+F(du δv+dv δu)+Gd v δv=0,将dv=0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的微分方程为E δu+F δv = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu+G δv=0 .7.在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ+GP=0.证明 因为du,dv 不同时为零，假定dv ≠0，则所给二次方程可写成为P 2)(dv du +2Q dv du +R=0 ,设其二根dv du ,v u δδ, 则dv du v u δδ=P R ，dv du +vuδδ=P Q 2-……①又根据二方向垂直的条件知E dv du v u δδ+F(dv du +vuδδ)+G = 0 ……②将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .证 用分别用δ、*δ、d 表示沿u －曲线，v －曲线与其二等分角线的微分符号，即沿u －曲线δu ≠０，δv ＝０，沿v －曲线*δu ＝０，*δv ≠０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得222222)()(dsv G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu ***+=+δδδδδδ，即G Gdv Fdu E Fdv Edu 22)()(+=+。
展开并化简得E(EG-2F )2du =G(EG-2F )2dv ,而EG-2F >0，消去EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E 2du =G 2dv .9．设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++，求曲面上三条曲线u = a ±v, v=1相交所成的三角形的面积。
解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。
曲线围城的三角形的面积是S=⎰⎰⎰⎰+++--122122au aaaudv du a u dv du a u=2⎰⎰+1022au a dv du a u =2du a u a ua⎰+-022)1(=aa u u a a u u a u a0222222322|)]ln()(32[++++++-=)]21ln(322[2++-a 。
10．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 的面积。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a - E =2ϑr=2a ,F=ϑr ϕr = 0 , G = 2ϕr =ϑ22cos a .球面的面积为：S = 22222222024224|sin 2cos 2cos a a d ad a d πϑπϑϑπϕϑϑπππππππ===---⎰⎰⎰. 11.证明螺面r ={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r ={tcos ϑ,tsin ϑ,12-t } (t>1, 0<ϑ<2π)之间可建立等距映射 ϑ=arctgu+v ,t=12+u .分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射ϑ = arctgu+v ,t=12+u ,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有一样的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有一样的第一基本形式.证明 螺面的第一基本形式为I=22du +2 dudv+(2u +1)2dv , 旋转曲面的第一基本形式为I=ϑd t dt t t 2222)11(+-+ ,在旋转曲面上作一参数变换ϑ =arctgu+v ,t=12+u , 则其第一基本形式为:2222222)11)(1(1)11(2dv du uu du u u u u +++++++ =2222222)1(211)11(dv u dudv du udu u u +++++++=22du +2 dudv+(2u +1)2dv =I . 所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ϑ =arctgu+v ,t=12+u .§3曲面的第二基本形式1. 计算悬链面r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 u r={sinhucosv,sinhusinv,1},v r ={-coshusinv,coshucosv,0}uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r={-sinhusinv,sinhucosv,0},vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E == cosh 2u,v u r r F ⋅==0,2v r G==cosh 2u. 所以I = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .n =2F EG r r v u -⨯ =}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 12v u v u v u u--, L=11sinh cosh 2-=+-u , M=0, N=1sinh cosh 2+u =1 .所以II = -2du +2dv 。