4-4参数方程高中复习资料经典题型

4-4参数方程高中复习资料经典题型

第一节 坐标系

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考

1.理解坐标系的作用，了解平面直角坐标

系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．

3.能在极坐标系中用极坐标表示点位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程，通过比较这些图形在极坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

1.从知识点上看，主要考查极坐标方程与直角坐标的互化，考查点、曲线的极坐标方程的求法，考查数形结合、化归思想的应用能力以及分析问题、解决问题的能力．

2.以解答题形式出现，难度不大，如2012年新课标高考T23等.

[归纳·知识整合]

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：?

????

x ′＝λ·

x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O ，点O 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，Ox 叫做极轴；再确定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． (3)点与极坐标的关系

一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．

如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．

[探究] 1.极点的极坐标如何表示

提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

?

????

x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ； ?

???

?

ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0). [探究] 2.平面内点与点的直角坐标的对应法则是什么与点的极坐标呢 提示：平面内的点与点的直角坐标是一一对应法则，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．

4．常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的

圆

ρ＝r (0≤θ＜2π)

圆心为(r,0)，半径为r 的

圆

ρ＝2r cos_θ????－π2

≤θ≤π2 圆心为???

?r ，π

2，半径为r 的圆

ρ＝2r sin_θ(0≤θ＜π)

过极点，倾斜角为α的

直线

(1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )

(2)θ＝α和θ＝π＋α 过点(a,0)，与极轴垂直的

直线

ρcos_θ＝a ????－π2＜θ＜π

2 过点?

???a ，π2，与极轴平行的直线

ρsin_θ＝a (0＜θ＜π) [自测·牛刀小试]

1．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程．

2.(2013·北京模拟)在极坐标系中，求过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程．

3．在极坐标系中，求点A ????2，π

2关于直线l ∶ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标．

4．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，求AB的长．

5．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，求该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离．

伸缩变换的应用

[例1]求椭圆

x2

4＋y

2＝1，经过伸缩变换

??

?

??x′＝1

2x，

y′＝y

后的曲线方程．

若椭圆

x2

4＋y

2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为

x′2

16＋

y′2

4＝1，求满足的伸缩

的变换．

———————————————————

求经伸缩变换后曲线方程的方法

平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：

??

?

??x′＝λx，

y′＝μy

的作用下的变换方程的求法是将

?

?

?x＝x′

λ，

y＝

y′

μ

代入y＝f(x)，得

y′

μ＝f?

?

?

?

x′

λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求

变换之后的方程．

1．在同一坐标系中，曲线C经过伸缩变换

??

?

??x′＝x，

y′＝

1

2y

后得到的曲线方程

为y′＝lg(x′＋5)，求曲线C的方程．

极坐标与直角坐标的互化

[例2]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos????

θ－

π

4＝2.

(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

———————————————————

极坐标与直角坐标互化的注意点

(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范

围，否则点的极坐标将不惟一．

(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价

性．

2．(2013·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－

3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求点P的极坐标．

3．求以点A(2,0)为圆心，且过点B????

23，

π

6的圆的极坐标方程．

极坐标系的综合问题

[例3] 从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.

(1)求点P 的轨迹方程；

(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．

—————

—————————————— 求解与极坐标有关的问题的主要方法

一是直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用； 二是转化为直角坐标系后，用直接坐标求解．

使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．

4．(2013·西安五校联考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标．

5．(2012·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π

6(ρ

∈R )的距离．

1个互化——极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的三个前提条件 ①极点与原点重合； ②极轴与x 轴正方向重合； ③取相同的单位长度．

(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问

题转化为熟悉的问题．

5个步骤——求曲线极坐标方程的五步曲

易误警示——极坐标系中的解题误区

[典例] (2012·湖南高考改编)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值．

[易误辨析]

(1)因没有掌握极坐标与直角坐标的转化，无法把极坐标方程转化为普通方程．

(2)因不清楚题意，即直线与圆的交点实为直线与x 轴的交点，如果不会转化，导致计算加大，多走弯路．

(3)解答与极坐标有关的问题时，还易出现不注意极径、极角的取值范围等而致错的情况．

[变式训练]

已知两曲线的极坐标方程C 1：ρ＝2(0≤θ≤π)，C 2：ρ＝4cos θ，求两曲线交点的直角坐标．

1．已知直线的极坐标方程ρsin ????θ＋π4＝2

2，求极点到直线的距离．

2．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求

实数a的值．

3．(2012·江西高考改编)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

4．已知圆M的极坐标方程为ρ2

－42ρcos??

?

?

θ－

π

4＋6＝0，求ρ的最大值．

5．(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P????

2，

π

4，圆心为直线

ρsin????

θ－

π

3＝－

3

2与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

1．设直线l1的参数方程为

??

?

??x＝1＋t，

y＝a＋3t，

(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直线l1的方程为ρsin θ－3ρcos θ＋4＝0，若直

线l1与l2间的距离为10，求实数a的值．

2．(2011·江西高考改编)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cos θ，以极点为

原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求该曲线的直角坐标方程．

3．极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B为直线ρcos θ＋

ρsin θ－7＝0上的动点，求AB的最小值．

4．在极坐标系中，圆C的圆心C????

6，

π

6，半径r＝6.

(1)写出圆C的极坐标方程；

(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQ∶QP＝3∶2，求动点

P的轨迹方程．

第二节参数方程

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.了解参数方程，了解参数的意

义．

2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭

圆的参数方程.

本节考查的重点是参数方程和直角坐标

方程的互化，热点是参数方程、极坐标

方程的综合性问题，难度较小，主要考

查转化和化归的思想方法，如2012年新

课标T23等.

[归纳·知识整合]

1．参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 都可以

表示为某个变量t 的函数：?????

x ＝f (t )，

y ＝g (t )反过来，对于t 的每个允许值，由函数式

?????

x ＝f (t )，y ＝g (t )所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程?

????

x ＝f (t )，

y ＝g (t )叫做这条曲线C 的参数方程，变量t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

[探究] 1.平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程惟一吗

提示：不唯一，平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．

2．直线的参数方程

经过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????

?

x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0

＋t sin α(t 为参

数)．

3．圆的参数方程

圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为

?

????

x ＝a ＋r cos θ，

y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． 4．椭圆的参数方程

椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为

?

????

x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． [探究] 2.椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的参数

方程?

????

x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中，参数φ的几何意义是什么

提示：如图，取椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上任一点M 作x 轴垂线，交以原点为圆

心，a 为半径的圆于点A ，φ就是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角(或点M 的

离心角)即Ox 绕O 逆时针转到与OA 重合时的最小正角，φ∈[0,2π)．

[自测·牛刀小试]

1．若直线l 的参数方程为?

????

x ＝1＋3t ，

y ＝2－4t (t 为参数)，求直线l 倾斜角的余弦

值．

.

2．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线?

????

x ＝4t 2，

y ＝4t (t 为参数)上，求|PF |.

3．(2012·中山模拟)将参数方程?

????

x ＝cos α，

y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程．

4．求参数方程?????

x ＝t ＋1t ，

y ＝2(t 为参数)表示的曲线．

5．求椭圆(x －1)23＋(y ＋2)2

5＝1的参数方程．

参数方程与普通方程的互化

[例1] 将下列参数方程化为普通方程．

(1)???

x ＝3k 1＋k 2

，y ＝

6k

21＋k 2

，

(2)?

????

x ＝1－sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ.

—————

—————————————— 将参数方程化为普通方程的方法

(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．

(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．

1．将下列参数方程化为普通方程．

(1)???

x ＝1

t ，

y ＝1

t t 2

－1

(t 为参数)；

(2)????

?

x ＝1－t 21＋t 2

，y ＝t

1＋t

2

(t 为参数)．

[例2] (2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：?????

x ＝t ＋1，

y ＝1－2t (t

为参数)与曲线C 2：?????

x ＝a sin θ，

y ＝3cos θ

(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，求a

的值．

—————

——————————————

与参数方程有关的问题，求解时，一般是将参数方程化为普通方程，转化为我们熟悉的形式，利用直角坐标方程求解问题．

2．(2011·广东高考改编)已知两曲线参数方程分别为???

x ＝5cos θ，

y ＝sin θ

(0≤θ<π)

和?

??

??

x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，求它们的交点坐标．

3．(2013·扬州模拟)已知P (x ，y )是椭圆x 24＋y 2＝1上的点，求M ＝x ＋2y 的取

值范围．

极坐标方程和参数方程的综合

[例3] (2012·辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.

(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；

(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．

—————

—————————————— 求参数方程与极坐标问题的转化方法

在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同．

4．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

设点A ，B 分别在曲线C 1：?

????

x ＝3＋cos θ，

y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求|AB |

的最小值．

4种方法——化参数方程为普通方程的方法

消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：

①代入消元法； ②加减消元法； ③乘除消元法； ④三角恒等式消元法.

数学思想——参数方程中的转化思想

在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用

坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了等价转化的数学思想．

[典例] (2012·浙江高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数

方程分别为??? x ＝

t ，

y ＝t (t 为参数)和???

x ＝2cos θ，y ＝2sin θ

(θ为参数)，求曲线C 1与C 2的交

点坐标．

[题后悟道]

(1)本题是利用交轨法解决参数方程问题的常见题型，解题方法是将参数方程转化为普通方程，关键是消去参数，这里特别注意所给参数的取值范围．

(2)对于此类问题，熟练掌握将参数方程化为普通方程的方法，如代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角恒等式消元法等是必要的，也是必须的．

[变式训练]

(2012·朝阳模拟)在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别

为l ：????? x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：?

???

?

x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，求|AB |的长．

1．直线????? x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆?

????

x ＝3＋5cos θ，

y ＝－1＋5sin θ(θ为参数，求θ∈

[0,2π))所截得的弦长．

2．(2012·福州模拟)已知点P (x ，y )在曲线x 2a 2＋y 2

b 2＝1，且

a 2＋

b 2≤3，求x ＋y 的最小值．

3．已知曲线C 的参数方程为?

???

?

x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ???

?θ＋π

4＝－ 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线C 与曲线D 有无公共点试说明理由．

4．(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，????233，π2，圆C 的参数方程为???

x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ

(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．

5．(2012·新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是?

????

x ＝2cos φ，

y ＝3sin φ(φ为参数)，

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为???

?2，π

3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；

(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．

1．(2012·南京模拟)已知圆的极坐标方程为 ρ2＋4ρcos ???

?θ＋π

3－5＝0. (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋3y 的最大值和最小值．

2．(2013·厦门模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为

?????

x ＝2cos α，

y ＝sin α

(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ???

?θ－π

4＝2 2. (1)求直线l 的直角坐标方程；

(2)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．