高考理科数学数学导数专题复习(1)

高考数学导数专题复习

考试内容

导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．

利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立

考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义．

（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变

量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00

x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)

(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000存在，则称函数)

(x f y =在点0

x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0

x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'

x x y =，即

)(0'

x f =x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000. 注： ①

x

∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.

②以知函数

)(x f y =定义域为A ，)('

x f y =的定义域为B ，则A

与B 关系为B A ⊇.

导

数

导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意函数的单调性 函数的极值 函数的最值

常见函数的导数 导数的运算法则

2. 函数

)

(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：

⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么

)

(x f y =点0x 处连续.

事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x . 于是)]

()()([lim )(lim )(lim 0000

00

x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→

).

()(0)()(lim lim )

()(lim )]()()([

lim 000'0000000000

x f x f x f x f x

x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.

例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ∆∆=∆∆|

|，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x y ，故x y x ∆∆→∆0lim

不存在.

注：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义：

（1）几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点

))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点

P ))(,(0x f x 处的切线的斜

率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-

（2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。 4. 求导数的四则运算法则：

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）

注：

①v u ,必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导.

例如：设

x x x f 2sin 2)(+

=，x x x g 2

cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它

们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.

5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('

x f =0，则)(x f y =为常数.

注：

①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时：

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；

②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('

x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

也就是说0x 是极值点的充分条件是

x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此

外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注