转化与化归思想

虞红燕

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.

1.转化与化归的原则

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.

（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

（3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.

（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解.

2.常见的转化与化归的方法

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径.

（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.

（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.

（6）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.

（7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.

（8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.

（9）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.

（10）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集 UA

获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.

3.转化与化归的指导思想

（1）把什么问题进行转化，即化归对象.

（2）化归到何处去，即化归目标.

（3）如何进行化归，即化归方法.

化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.

解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难.通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.

2. 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.

3.转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等

价性，或对所得结论进行必要的验证.

4.化归与转化应遵循的基本原则：

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其变为有利于运用某种数学方法或使其方法符合人们的思维规律.

（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

数学转换思想与化归思想的怎样区别。

数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；

函数与方程函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解，有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的，

1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.

数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.

2.转化包括等价转化和非等价转化

等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改.

3.转化与化归的原则

将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.

4.转化与化归的基本类型

（1）正与反、一般与特殊的转化；

（2）常量与变量的转化；

（3）数与形的转化；

（4）数学各分支之间的转化；

（5）相等与不相等之间的转化；

（6）实际问题与数学模型的转化.

两者还是有一些细微差别的

化归是“转化归结”的简称，是转化的一种，将一个未解决的问题通过转化归结为一个已经被解决的问题（通常是教材已经讨论过其一般解法的典型问题、基本问题或者研究之前已经解决的问题），它比一般的转化更强调转化的目标。

转化强调的是变换问题，与化归相比，目标相对模糊一点。

数形结合是代数问题与几何问题之间的相互转化，转化后的问题未必直接就是一个已经被解决的问题，还需要进一步地转化（当然最后问题的解决肯定是通过一系列的转化归结为一个或者若干个已经解决的问题）

方程思想是将问题化归为方程问题一种解题思想，可以看成一种比较典型的化归。

举一对例子，在数列求和中，典型的错位相减法是将一个不是等比数列求和问题化归为已经有公式可套的等比数列求和问题，是一种比较典型的化归；而裂项法是把求和问题转化为一串可以正负消的项，这种方法说成化归就比较勉强