第八章统计回归模型
第八章 时间序列的回归分析 残差序列相关
ˆ
t2
n
et2
n 2 e e t1
t2
n 2
t 1
t2
t2
t2
n
r sxy
(xi x)( yi y)
i1
s
2 x
s
2 y
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
5
3杜宾-沃森检验法（DW检验）
DW检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃 特森)于1951年提出的一种适用于小样本 的检验方法。DW检验只能用于检验随机 误差项具有一阶自回归形式的序列相关 问题,随机误差项的一阶自回归形式为
（假设 已知,等于1）
• 一阶差分法是将原模型 原模型存在完全一阶正自相关，即
Yt 0 1X1
• 变换为
t t1 t
Y Yt1 (0 0 ) 1(1 X t1) (t t1)
Yt 1X1 t
(该模型没有常数项)
• 其中，为经典误差项。则应满足应用普通最小二乘法
的经典假定，用普通最小二乘法估计差分模型，得到
主成分法，偏最小二乘法。
19
• 序列相关性带来的问题 1 参数的估计量不再具有最小方差 线性无偏性 2 均方误差可能严重低估误差项的 方差 3 F检验、T检验失效
第八章 时间序列的回归分析
残差序列相关
对回归方程随机部分的假定： 是一个随机变量,通常满足: 1: 服从正态分布,Y也服从正态分布 2：E ( ) 0,即E(0 ) 0, E(1) 1 3 :Var( ) 2 常数 方差齐性 4 : Cov(i , j ) 0， 相互独立 ~ N (0, 2 ), y ~ (0 1X , 2 ) 5 : 在多元中， 诸自变量相互独立
8.2一元线性回归模型及其应用(2)课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选
i1
i1
n
n
[( yi y) b(xi x)][( y bx) a] ( y bx a) [( yi y) b(xi x)]
i1
i1
n
n
( y bx a)( ( yi y) b (xi x))
i1
i1
( y bx a)[(n y n y) b(nx nx)] 0
i1
i1
i1
i1
上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为
n
( xi x)( yi y)
b i1 n
( xi x)2
i 1
新知探索
3.最小二乘法
n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
b i1
n
(xi x)2
aˆ
i 1
ˆy bˆx
新知探索
问题2:依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式,求出儿子身高Y 关于父亲身高x的经验回归方程.
ˆy 0.839x 28.957
1). 当x=176时，y 177 ,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后
身高一定能长到177cm吗？为什么？
儿子的身高不一定会是177cm，这是因为还有其他影响儿子 身高的因素，回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响,父亲 的身高不能完全决定儿子的身高，不过，我们可以作出推测，当 父亲的身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右.
n
因此可用 yi -(bxi a)来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的整体接近程度. i 1
新知探索
n
| yi (bxi a) |
i 1
n
残差平方和：Q(a,b) yi (bxi a)2 i1
第八章成对数据的统计分析小结课件(人教版)
R 1
2
i
y y
【参考数据】 y y 226 .
8
—0.5
i
i 1
n
2
N
i 1
n
yi y i
y
i 1
i
y
2
2
1
21.2
0.91 .
226
所以解释变量（身高）对于响应变量（体重）变化的决定系数 R 2 约为 0.91.
②通过残差分析，对于残差的绝对值最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过
善下列残差表，并求解释变量（身高）对于响应变量（体重）变化的决定系数（保留两位有效数字）R 2 ；
y y
n
编号
体重
残差
(kg ) y
e
1
2
3
4
5
6
7
8
57
58
53
61
66
57
50
66
0.1
0.3
0.9
—1.5
【参考公式】 R 1
2
i 1
解析: (2)
对编号为 6 的数据： e 6 57 0.8 169 75.9 2.3 ，
身高较矮
身高较高
合计
体重较轻
6
15
21
体重较重
6
5
11
合计
12
20
32
零假设 H0：男生的身高与体重的 BMI 指数无关
32(6 5 6 15) 2 160
由于 K
3 3.841 ，
12 20 21 11
薛薇,《SPSS统计分析方法及应用》第八章 相关分析和线性回归分析
以控制，进行偏相关分析。
偏相关分 析输出结 果;负的 弱相关
相关分析 输出结果 ;正强相 关
8.4.1
8.4.2
回归分析概述
线性回归模型
8.4.3
8.4.4 8.4.5 8.4.6
回归方程的统计检验
基本操作
其它操作
应用举例
线性回归分析的内容
能否找到一个线性组合来说明一组自变量和因变量
可解释x对Y的影响大小，还可 以对y进行预测与控制
目的是刻画变量间的相关 程度
8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4
散点图 相关系数 基本操作 应用举例
•
相关分析通过图形和数值两种方式，有效地揭示事物
之间相关关系的强弱程度和形式。
8.2.1 散点图 它将数据以点的的形式画在直角坐标系上，通过
Distances 过程用于对各样本点之间或各个变量之间 进行相似性分析，一般不单独使用，而作为聚类分
析和因子分析等的预分析。
1) 选择菜单Analyze Correlate Bivariate，出现 窗口：
2) 把要分析的变量选到变量Variables框。
3) 在相关系数Correlation Coefficents框中选择计算哪种
一元线性回归模型的数学模型：
y 0 1 x
其中x为自变量；y为因变量； 0 为截距，即常量；
1 为回归系数，表明自变量对因变量的影响程度。
用最小二乘法求解方程中的两个参数，得到
1
( x x )( y y ) (x x)
i i 2 i
0 y bx
概率论课件_高教版_第八章_方差分析与回归分析
MS A 168.00 F 20.56 MS e 8.17
查附表在f1=3，f2=12时， F0.05=3.49，F0.01=5.95 实得 F＞ F0.01或 P＜0.01，说明药剂处理有统计意义。
四、单因素方差分析模型参数的估计 当方差分析结果为否定原假设时，就需要估计模型的有 关参数 ，下面就讨论方差分析模型参数的估计。 单因素方差分析的模型 为 xij i ij i 1,2, , r 2 ~ N ( 0 , ), 且相互独立 j 1,2, , m ij 其中为总以平均效应， i为因素A的第i个水平Ai 对试验指标 的作用; ij为随机因素对试验指标 值的影响。需要估计的 参数 有 , i , 2。不难证明这些参数的 极大似然估计量为： 1 r m 1 m 1 r m ˆ i xij ˆ xij xij rm i 1 j 1 m j rm i 1 j 1 1 r m 1 2 2 ˆ ˆ) ( xij SSe rm i 1 j 1 rm
Tr
T
xr
x
其中xij是因素A第i水平下第j次重复试验结果 , m r m r T T Ti xij xi T xij Ti x . m rm j 1 i 1 j 1 i 1
单因素方差分析的统计模型
试验数据xij满足 xij i ij i 1,2,, r 2 ~ N ( 0 , ),且相互独立 j 1,2,, m ij 其中为总以平均效应， i为因素A的第i个水平Ai 对试验指 标的作用 ; ij为随机因素对试验指标 值的影响。
鸡重/g-1000
60 80 1 2 12 9 28
Ti
第八章 相关分析与回归分析习题答案
第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。
相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。
这种关系不能用完全确定的函数来表示。
相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。
回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。
其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。
单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。
复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。
正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。
负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。
线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。
非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。
相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。
取值在-1到1之间。
两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
第八章 回归分析的SPSS过程 实验
实验：回归分析的SPSS过程
一、实验目的与要求
1.学会在SPSS上实现一元及多元回归模型的计算与检验。
2.学会回归模型的散点图与样本方程图形。
3.学会对所计算结果进行统计分析说明。
4.要求实验前，了解回归分析的如下内容。
（1）参数α、β的估计
（2）回归模型的检验方法：回归系数β的显著性检验（t－检验）；回归方程显著性检验（F－检验）。
5. 学会利用回归分析方法解决身边的实际问题。
二、实验原理
相关关系不等于因果关系，要明确因果关系必须借助于回归分析。
回归分析是研究两个变量或多个变量之间因果关系的统计方法。
其基本思想是，在相关分析的基础上，对具有相关关系的两个或多个变量之间数量变化的一般关系进行测定，确立一个合适的数据模型，以便从一个已知量推断另一个未知量。
回归分析的主要任务就是根据样本数据估计参数，建立回归模型，对参数和模型进行检验和判断，并进行预测等。
三、实验内容与步骤
研究青春发育阶段的年龄与远视率的变化关系，测得数据如下表所示，请对年龄与远视率的关系进行曲线估计。
青春发育阶段年龄与远视率的变化关系
年龄（x）6789101112131415161718远视率（y）63.6461.0638.8413.7514.58.07 4.41 2.27 2.09 1.02 2.51 3.12 2.98
(1)对题目的分析：
(2)数据组织：
(3) 主要设置步骤：
(4)主要结果及分析：。
2024届高考数学一轮总复习第八章统计与统计分析第三讲成对数据的统计分析课件
b^＝x1yx1＋21＋xx2y22＋2＋……＋＋xx2n－nynn－－xn2x y ，a^＝－y －b^－x . 参考数据：15×16＋20×20＋35×40＋50×48＝4 440， 152＋202＋352＋502＝4 350.
解：(1)散点图如图 D64：
(4)判断经验回归方程的拟合效果，可以利用样本相关系数判 断，|r|越趋近于 1，两变量的线性相关性越强.
【变式训练】
(2022 年金台区期中)某消费品企业销售部对去年各销售地的
居民年收入(即此地所有居民在一年内的收入的总和)及其产品销 售额进行抽样分析，收集数据整理如下：
销售地
A
B
C
D
年收入 x(亿元)
a^＝－y －b^－x ＝31－0.96×30＝2.2. ∴y 关于 x 的线性回归方程为^y＝0.96x＋2.2. (3)由题意，B 地今年居民收入为 20＋20×20%＝24， 把 x＝24 代入^y＝0.96x＋2.2， 得^y＝0.96×24＋2.2＝25.24(万元). ∴预测 B 地今年的销售额 y 将达到 25.24 万元.
答案：ABC
(2)某研究机构为调查人的最大可视距离 y(单位：米)和年龄 x(单位：岁)之间的关系，对不同年龄的志愿者进行了研究，收集 数据得到下表：
x
20
25
30
35
40
y
167
160
150
143
130
(1)根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程^y＝ b^x＋a^；
(2)根据(1)中求出的线性回归方程，估计年龄为 50 岁的人的 最大可视距离.
第三讲 成对数据的统计分析
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实用标准文案 精彩文档 第八章 统计回归模型 回归分析是研究一个变量Y与其它若干变量X之间相关关系的一种数学工具.它是在一组试验或观测数据的基础上，寻找被随机性掩盖了的变量之间的依存关系.粗略的讲，可以理解为用一种确定的函数关系去近似代替比较复杂的相关关系.这个函数称为回归函数. 回归分析所研究的主要问题是如何利用变量X、Y的观察值(样本)，对回归函数进行统计推断，包括对它进行估计及检验与它有关的假设等. 回归分析包含的内容广泛.此处将讨论多项式回归、多元线性回归、非线性回归以及逐步回归.
一、多项式回归 (1) 一元多项式回归 一元多项式回归模型的一般形式为mmxxy...10. 如果从数据的散点图上发现y与x呈现较明显的二次(或高次)函数关系，则可以选用一元多项式回归. 1. 用函数polyfit估计模型参数，其具体调用格式如下： p=polyfit(x,y,m) p返回多项式系数的估计值；m设定多项式的最高次数；x，y为对应数据点值. [p,S]=polyfit(x,y,m) S是一个矩阵，用来估计预测误差. 2. 输出预估值与残差的计算用函数polyval实现，其具体调用格式如下： Y=polyval(p,X) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y. [Y,DELTA]=polyval(p,X,S) p，S为polyfit的输出，DELTA为误差估计.在线性回归模型中，Y±DELTA以50%的概率包含函数在X处的真值. 3. 模型预测的置信区间用polyconf实现，其具体调用格式如下： [Y,DELTA]=polyconf(p,X,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在X处的预测值Y及预测值的显实用标准文案 精彩文档 著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.05. 4. 交互式画图工具polytool，其具体调用格式如下： polytool(x,y,m)； polytool(x,y,m,alpha)； 用m次多项式拟合x，y的值，默认值为1，alpha为显著性水平，默认值为0.05. 例1 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s. t (s) 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30 s (cm) 11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 t (s) 8/30 9/30 10/30 11/30 12/30 13/30 14/30 s (cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48
解 根据数据的散点图，应拟合为一条二次曲线.选用二次模型，具体代码如下： %%%输入数据 t=1/30:1/30:14/30; s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48]; %%%多项式系数拟合 [p,S]=polyfit(t,s,2); 则得回归模型为： 1329.98896.652946.489ˆ2tts.
%%%y的拟合值及预测值y的置信半径delta [y,dalta]=polyconf(p,t,S); 得结果如下： y= Columns 1 through 11 11.8729 15.7002 20.6148 26.6168 33.7060 41.8826 51.1465 61.4978 72.9363 85.4622 99.0754 实用标准文案 精彩文档 Columns 12 through 14 113.7759 129.5637 146.4389 dalta= Columns 1 through 11 0.0937 0.0865 0.0829 0.0816 0.0817 0.0823 0.0827 0.0827 0.0823 0.0817 0.0816 Columns 12 through 14 0.0829 0.0865 0.0937 %%%交互式画图 polytool(t,s,2); polytool所得的交互式图形如图8-1所示.
图8-1 实用标准文案
精彩文档 (2) 多元二项式回归 多元二项式回归模型的一般形式为
mkjkjjkmmxxxxy,1110....
多元二项式回归命令：rstool(x,y,’model’,alpha) x表示nm矩阵；y表示n维列向量；alpha为显著性水平(缺省时为0.05)；model表示由下列4个模型中选择1个(用字符串输入，缺省时为线性模型)： linear(线性)：mmxxy110； purequadratic(纯二次)：njjjjmmxxxy12
110
；
interaction(交叉)：mkjkjjkmmxxxxy1110
；
quadratic(完全二次)：mkjkjjkmmxxxxy,1110
.
例2 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时的商品需求量.
需求量 100 75 80 70 50 65 90 100 110 60 收入 1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300
价格 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9 解 选择纯二次模型，即22222
11122110xxxxy.
%%%输入数据 x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300]; x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9]; x=[x1' x2']; y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; %%%多元二项式回归 rstool(x,y,'purequadratic'); 实用标准文案 精彩文档 得如下结果：
图8-2 得到一个如图所示的交互式画面，左边是x1（=1000）固定时的曲线y（x1）及其置信区间，右边是x2（=6）固定时的曲线y（x2）及其置信区间.用鼠标移动图中的十字线，或在图下方窗口内输入，可改变x1，x2.在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6，则画面左边的“Predicted Y1”下方的数据变为88.4791，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791. 在画面左下方单击”Export”，在出现的窗体中单击”ok”按钮，则beta、rmse和residuals都传送到Matlab工作区中. 在Matlab工作区中输入命令：beta,rmse，得结果： beta=110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 rmse =4.5362 故回归模型为：222
1218475.10001.05709.261464.05313.110xxxxy，
剩余标准差为4.5362，说明此回归模型的显著性较好.
二、多元线性回归 实用标准文案 精彩文档 多元线性回归模型的一般形式为011...mmyxx
.
在Matlab统计工具箱中使用函数regress实现多元线性回归.具体调用格式为： b=regress(Y,X) [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
其中nYYYY...21，nmnnmmxxxxxxxxxX...1..................1...1212222111211.对于一元线性回归，取1m即可.b为输出向量；b，bint表示回归系数估计值和它们的置信区间；r表示残差；rint表示残差的置信区间；stats表示用于检验回归模型的统计量，有四个数值：相关系数2R、F值、与F值对应的概率P、2s的值.相关系
数2R越接近1，说明回归方程越显著；)1,(1mnmFF时拒绝0H
，F越大，说明回归方程越
显著；与F对应的概率P时拒绝0H
，回归模型成立；alpha表示显著性水平(缺省时为0.05).
残差及其置信区间可以用命令rcoplot(r,rint)画出. 例3 已知某湖泊八年来湖水中COD浓度实测值(y)与影响因素，如湖区工业产值(x1)、总人口数(x2)、捕鱼量(x3)、降水量(x4)的资料，建立y的水质分析模型. 湖水浓度与影响因素数据表 x1 1.376 1.375 1.387 1.401 1.412 1.428 1.445 1.477 x2 0.450 0.475 0.485 0.500 0.535 0.545 0.550 0.575 x3 2.170 2.554 2.676 2.713 2.823 3.088 3.122 3.262 x4 0.8922 1.1610 0.5346 0.9589 1.0239 1.0499 1.1065 1.1387 y 5.19 5.30 5.60 5.82 6.00 6.06 6.45 6.95 解 作出因变量y与各自变量的样本散点图 作散点图的目的主要是观察因变量y与各自变量间是否有比较好的线性关系，以便选择恰当的数学