高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》全集汇编附答案
新高考数学《不等式》练习题
一、选择题
1.已知实数0x >,0y >,则“224x y +≤”是“1xy ≤”的( )
A .充要条件
B .必要不充分条件
C .充分不必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分,必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ,
422x y ∴≤≤?+≤ , 等号成立的条件是x y =,
又x y +≥Q ,0,0x y >>
21xy ∴≤?≤ , 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤?≤,
反过来,当1
2,3
x y ==
时,此时1xy ≤,但224x y +> ,不成立, ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断,属于基础题型.
2.若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥??
+-≤??≥?
则z x y =-的最小值为( )
A .4
B .0
C .2-
D .4-
【答案】D 【解析】 【分析】
画出约束条件所表示的平面区域,结合图象确定目标函数的最优解,代入即可求解. 【详解】
由题意,画出约束条件360601x y x y y -+≥??
+-≤??≥?
所表示的可行域,如图所示,
目标函数z x y =-,可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时,z 取得最小值, 又由360
1
x y y -+=??
=?,解得(3,1)A -,
所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选:D .
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力.
3.关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞,则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是( ) A .(,1)(3,)-∞-+∞U B .(1,3)- C .(1,3) D .(,1)(3,)-∞+∞U
【答案】A 【解析】 【分析】
由0ax b ->的解集,可知0a >及
1b
a
=,进而可求出方程()()30ax b x +-=的解,从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】
由0ax b ->的解集为()
1,+?
,可知0a >且
1b
a
=, 令()()30ax b x +-=,解得11x =-,23x =,
因为0a >,所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U , 故选:A. 【点睛】
本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于基础题.
4.已知,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥??
-+≤??≥?
,若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1
(其中0,0m n >>),则11
2m n
+的最小值为( ) A .3 B .1
C .2
D .
3
2
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域,根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=,再利用基本不等式
求得
11
2m n +的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示,由于0,0m n >>,所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数,故目标函数在点()1,2A 处取得最大值,即221m n +-=,所以23m n +=.
()111111515193222323232322
n m n m m n m n m n m n m n ??????+=?+?+=?++≥?+?=?= ? ? ? ???????,当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立,所以
112m n +的最小值为3
2
. 故选:D
【点睛】
本小题主要考查根据目标函数的最值求参数,考查基本不等式求最值,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.
5.已知点P ,Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点,点(0,4)A ,则
2
||||
PA PQ 的最小值为( ) A .10 B .4
C
.2 D
.1
【答案】B 【解析】 【分析】
设出点P 的坐标()00,x y ,用0y 表示出PA ;根据圆上一点到定点距离的范围,求得PQ 的最大值,再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】
设点()00,P x y ,因为点P 在抛物线上,所以()2
00080x y y =≥,
因为点(0,4)A ,则()()2
2
222
00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.
又知点Q 在圆22
(2)1x y +-=上,圆心为抛物线的焦点(0,2)F ,
要使2||||
PA PQ 的值最小,则||PQ 的值应最大,即0max 13PQ PF y =+=+.
所以()()2
2
2
000
003632516||
||33
y y y PA PQ y y +-+++==
++ ()
0025
36643
y y =++
-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.
所以2
||||
PA PQ 的最小值为4.
故选:B. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到定点距离的求解,以及圆上一点到定点距离的最值,利用均值不等式求最值,属综合中档题.
6
.已知函数())
2
log f x x =,若对任意的正数,a b ,满足
()()310f a f b +-=,则31
a b
+的最小值为( )
A .6
B .8
C .12
D .24
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定函数奇偶性与单调性,再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=,最后根据基本不等式求最值.
【详解】
0,x x x x ≥-=所以定义域为R ,
因为(
)2log f x =,所以()f x 为减函数 因为(
)2
log f x =,(
))
2
log f x x -=,所以
()()()f x f x f x =--,为奇函数,
因为()()310f a f b +-=,所以()()1313f a f b a b =-=-,,即31a b +=, 所以
()3131936b a a b a b a b a b
??+=++=++ ???,
因为
96b a a b +≥=, 所以
3112a b +≥(当且仅当12a =,1
6b =时,等号成立),选C. 【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.
7.已知α,β均为锐角,且满足()
sin 2cos sin αβαβ
-=,则αβ-的最大值为( )
A .
12
π
B .
6
π C .
4
π D .
3
π 【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式,将已知等式化简得到tan 3tan αβ=,由α,β均为锐角,则
,22
ππαβ??
-∈- ??
?
,要求出αβ-的最大值,只需求出tan()αβ-的最大值,利用两角差
的正切公式,将tan()αβ-表示为tan β的关系式,结合基本不等式,即可求解. 【详解】 由
()
sin 2cos sin αβαβ
-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=,
即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=,
化简得sin cos 3cos sin αβαβ=,则tan 3tan αβ=, 所以
()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββ
αβαββ
ββ
--=
==
+++,
又因为β为锐角,所以tan0
β>,
根据基本不等式
2
13
3tan
tan
β
β
≤=
+
,
当且仅当tan
3
β=时等号成立,
因为,
22
ππ
αβ??
-∈-
?
??
,且函数tan
y x
=在区间,
22
ππ
??
-
?
??
上单调递增,
则αβ
-的最大值为
6
π
.
故选:B.
【点睛】
本题考查两角差最值,转化为求三角函数最值是解题的关键,注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值,考查计算求解能力,属于中档题.
8.已知不等式240
x ax
-+≥对于任意的[1,3]
x∈恒成立,则实数a的取值范围是()A.(,5]
-∞B.[5,)
+∞C.(,4]
-∞D.[4,)
+∞
【答案】C
【解析】
若不等式240
x ax
-+≥对于任意的[1,3]
x∈恒成立,则
4
a x
x
≤+对于任意的[1,3]
x∈恒成立,∵当[1,3]
x∈时,
4
[4,5]
x
x
+∈,∴4
a≤,即实数a的取值范围是(,4]
-∞,故选C.
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数()
a f x
≥恒成立(()
max
a f x
≥即可)或()
a f x
≤
恒成立(()min
a f x
≤即可);② 数形结合(()
y f x
=图象在()
y g x
=上方即可);③ 讨论最值()min0
f x≥或()max0
f x≤恒成立;④ 讨论参数. 本题是利用方法① 求得a的取值范围的.
9.若x,y满足约束条件
40,
20,
20,
x y
x
x y
-+≥
?
?
-≤
?
?+-≥
?
且z ax y
=+的最大值为26
a+,则a的取值范
围是()
A.[1,)
-+∞B.(,1]
-∞-C.(1,)
-+∞D.(,1)
-∞-
【答案】A
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a 的范围即可. 【详解】
作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +,所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值,则1a -≤,即1a ≥-.
故选:A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用,利用z 的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.
10.抛物线的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满
足23
AFB π
∠=
,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则MN AB 的最大值是( )
A 3
B 3
C 3
D 3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析:设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ,则1AF AA =,1BF BB =,又M 是AB 中点,所以111
()2
MN AA BB =
+,则1112MN AA BB AB AB +=?2AF BF AB +=,在ABF ?中
222
AB AF BF =+22cos
3
AF BF π-22
AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2
AF BF +-2
3()4AF BF =+,所以
2
2
()43AF BF AB
+≤
,即233AF BF AB +≤,所以3
3
MN AB ≤,故选B .
考点:抛物线的性质. 【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中,涉及到抛物线上的点到焦点的距离,焦点弦长,抛物
线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时,常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半,然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离,从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系.
11.在三角形ABC 中,给出命题:p “2ab c >”,命题:q “3
C π
<”,则p 是q 的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-,整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>,求出C 范围,即可判断充分性,取4a =,7b =,6c =,则可判断必要性不成立,两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性:由余弦定理,2222cos c a b ab C =+-, 所以2ab c >,即222cos ab a b ab C >+-,
整理得,22
12cos a b C ab
++>,
由基本不等式,222a b ab ab
+≥=,
当且仅当a b =时等号成立, 此时,12cos 2C +>,即1
cos 2C >,解得3
C π<, 充分性得证;
必要性:取4a =,7b =,6c =,则164936291
cos 247562
C +-==>??,
故3
C π
<
,但228ab c =<,故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立; 故p 是q 的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用,考查学生分析转化能力,属于中档题.
12.若变量x ,y 满足2,
{239,0,
x y x y x +≤-≤≥则x 2+y 2的最大值是
A .4
B .9
C .10
D .12
【答案】C 【解析】
试题分析:画出可行域如图所示,点A (3,-1)到原点距离最大,所以
22max ()10x y +=,选C.
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用,是一道基础题目.从历年高考题目看,简单线性规划问题是不等式中的基本问题,往往围绕目标函数最值的确定,涉及直线的斜率、两点间的距离等,考查考生的绘图、用图能力,以及应用数学知识解决实际问题的能力.
13.已知函数1
()cos 2(2)sin 2
f x m x m x =
+-,其中12m ≤≤,若函数()f x 的最大值记为()g m ,则()g m 的最小值为( ) A .14
-
B .1
C .3-
D 31
【答案】D 【解析】 【分析】
2()sin (2)sin 2
m
f x m x m x =-+-+
,令sin [1,1]x t =∈-,则2(2)2
m
y mt m t =-+-+,结合12m ≤≤可得()2211
2
2(2)31144t m m m g m y m m m
=-+-===+-,再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】
由已知,221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22
m f x m x m x m x m x =
-+-=-+-+, 令sin [1,1]x t =∈-,则2
(2)2
m
y mt m t =-+-+,因为12m ≤≤, 所以对称轴为2111
[0,]222
m t m m -=
=-∈,所以 (
)22112
2(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=,当且仅当
3
m =
时,等号成立. 故选:D 【点睛】
本题考查换元法求正弦型函数的最值问题,涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.
14.若、a b 均为实数,则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
通过列举,和推理证明可以推出充要性. 【详解】
若()0ab a b ->中,取12a b --=,=,则推不出0a b >>; 若0a b >>,则0a b ->,则可得出()0ab a b ->; 故“()0ab a b ->”是“0a b >>”的必要不充分条件, 故选:B. 【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质,可通过代入特殊值解决.
15.若均不为1的实数a 、b 满足0a b >>,且1ab >,则( ) A .log 3log 3a b > B .336a b +>
C .133ab a b ++>
D .b a a b >
【答案】B 【解析】 【分析】
举反例说明A,C,D 不成立,根据基本不等式证明B 成立. 【详解】
当9,3a b ==时log 3log 3a b <; 当2,1a b ==时133ab a b ++=; 当4,2a b ==时b a a b =; 因为0a b >>,1ab >
,所以336a b +>=>>,
综上选B. 【点睛】
本题考查比较大小,考查基本分析论证能力,属基本题.
16.已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-+的交点位于第一象限,则实数k 的取值范围是( )
A .1
2
k >
B .16k <-
或1
2
k > C .62k -<< D .1162
k -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
联立21
1
22y kx k y x =++???=-+??
,可解得交点坐标(,)x y ,由于直线21y kx k =++与直线1
22y x =-
+的交点位于第一象限,可得00x y >??>?
,解得即可. 【详解】
解:联立211
22y kx k y x =++???=-+??,解得2421
6121k x k k y k -?
=??+?+?=?+?, Q 直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限, ∴24021610
21
k
k k k -?>??+?+?>?+?,解得:11
62k -<<.
故选:D . 【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法,以及点所在象限的特征.
17.若实数x ,y 满足不等式组11y x
x y y ≤??
+≤??≥-?
,则2x y +的最小值是( )
A .3
B .
32
C .0
D .3-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域,再由目标函数2z x y =+可得
2y x z =-+,此时Z 为直线在y 轴上的截距,根据条件可求Z 的最小值.
【详解】
解:作出不等式组所表示的平面区域,如图所示得阴影部分的ABC ?, 由2z x y =+可得2y x z =-+,则z 为直线在y 轴上的截距
把直线:2l y x =-向上平移到A 时,z 最小,此时由1
y x
y =??=-?可得(1,1)A --
此时3z =-, 故选:D .
【点睛】
本题考查用图解法解决线性规划问题,分析题目的已知条件,找出目标函数中的z 的意义是关键,属于中档题.
18.设集合{}
20,201x M x N x x x x ??
=≤=-?-??
,则M N ?为( )
A .{}
01x x ≤< B .{}
01x x <<
C .{}
02x x ≤<
D .{}
02x x <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分式不等式和一元二次不等式的解法,求得集合
{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<,再结合集合交集的运算,即可求解.
【详解】
由题意,集合{}
20{01},20{|02}1x M x
x x N x x x x x x ??
=≤=≤<=-<=<?-??
,
所以{}
01M N x x ?=<<. 故选:B . 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算,其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法,准确求解集合,A B 是解答的关键,着重考查了计算能力.
19.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且1313,,a a a 成等比数列,若11a =,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则26
3
n n S a ++的最小值为( )
A .4
B .3
C
.2
D .2
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得2
(12)112d d +=+,求出公差d 的值,得到数列{}n a 的通项公式,前n 项和,
从而可得26
3
n n S a ++,换元,利用基本不等式,即可求出函数的最小值.
【详解】
解:11a =Q ,1a 、3a 、13a 成等比数列,
2(12)112d d ∴+=+. 得2d =或0d =(舍去),
21n a n ∴=-,
2(121)
2
n n n S n +-∴=
=, ∴()()2
221142626332211
2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++. 令1t n =+
,则
2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =,即1n =时,∴26
3
n n S a ++的最小值为2.
故选:D . 【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,考查基本不等式,属于中档题.
20.已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()2
2
125x y -+-=的圆心,则
11m n
+的最小值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4
【答案】D 【解析】 【分析】
圆心坐标为(1,2),代入直线方程,再由乘1法和基本不等式,展开计算即可得到所求最小值. 【详解】
圆2
2
(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2),
由题意可得222m n +=,即1m n +=,m ,0n >,
则
1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…,当且仅当n m
m n =且1m n +=即12m n ==时取等号, 故选:D . 【点睛】
本题考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,注意满足的条件:一正二定三等,同时考查直线与圆的关系,考查运算能力,属于基础题.