理论力学5—点的运动学解析
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运动学
运动学是研究物体运动的几何性质的科学。 也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和 加速度。
运动学
学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下 必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。
由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在 的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系 称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体 的运动才有意义。
x B
柄的转动中心O为坐标圆点。M点
的坐标为：x OM OAsinj r sinj
K
M BA K
将j =wt带入上式，得M点的运动方程：
x r sinwt
w
x
将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：
Oj
v dx rw coswt
dt
a
dv dt
d2x dt 2
rw 2
sin wt
例2 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面 的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。
在轨迹上任选一点O为参考点，并设O的某一侧为正向。
动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量， 称它为动点M在轨迹上的弧坐标。
当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连
续函数，即
s f (t)
(+)
O
M
(-)
s
这就是自然坐标形式的点的运动方程。
5.3 自然法
2 自然轴系
在点的运动轨迹
表示点的位置随时间变化的规律的数学方程 称为点的运动方程。
本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速 度和加速度，以及它们之间的关系。
5.1 矢量法
1.运动方程
M r
O
选取参考系上某确定点O为坐标原点，自 点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的 位置矢量，简称矢径。当动点 M运动时，矢径 r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数， 即
解: 取坐标系x如图所示，由几何关系得:
h1 xM h2 xM x2
xM
h1 x2 源自文库1 h2
h1
上式对t求一阶导数，得 M 点 的速度为:
v
.
xM
h1 h1 h2
.
x2
h1 h1 h2
v1
h2
x2 xM
Mx
5.3 自然法
1 弧坐标 设动点M的轨迹为如图所示的曲线。 则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：
的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对
时间的二阶导数。
a
lim
t 0
v t
dv dt
d2r dt 2
有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的 一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。
avr
5.1 矢量法
加速度的方向确定
如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时 的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到点O，连接各矢量 的端点M1，M2，M3，…，就构成了矢量v端点的连续 曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。
b t n
副法线
主法线
法面 密切面
n
M
b
t
切线
5.3 自然法
曲率
曲线切线的转角对弧 长一阶导数的绝对值 称为曲线在M点的曲 率。曲率的倒数称为 M点的曲率半径。
1 lim j dj s0 S dS
r r(t)
5.1 矢量法
2. 速度
M
v
A r(t)
Δr M'
v*
r(t+Δt)
O
B
动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。
lim v
r dr
t0 t dt
动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿 动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。
5.1 矢量法
3. 加速度
点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加 速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点
曲线上取极为接
近 的 两 点 M 和 M1 。
M1
这两点切线的单位
矢量分别为t 和t1。
其指向与弧坐标 正向一致。
t t1 t'1
将t 1 平移到点M。
则 t 和t 1决定一平面。
令M1 无限趋近点M，则此平面趋近于某一极限位置， 此极限平面称为曲线在点M的密切面。
过点M并与切 线垂直的平面 称为法平面。
v
v
v
5.2 直角坐标法
加速度 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标
对时间的二阶导数。
a axi ay j azk ax vx x, ay vy y, az vz z
若已知加速度的投影，则加速度的大小为
a
ax2
a
2 y
az2
x2 y2 z2
其方向余弦为
cos(a, i) x , cos(a, j) y , cos(a, k) z
法平面与密切 面的交线称主 法线。
令主法线的单 位矢量为n，指 向曲线内凹一 侧。
M1
t t1 t'1
过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，
其单位矢量为b，指向与t 、 n构成右手系。
5.3 自然法
即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐 标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系， 这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法 则，即
时间概念要明确：瞬时和时间间隔。
运动学所研究的力学模型为：点和刚体。
5 点的运动学
本章将介绍研究点的运动的三种方法，即： 矢径法、直角坐标法和自然法。
点运动时，在空间所占的位置随时间连续变 化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运 动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当 轨迹为圆时称为圆周运动。
速度矢端曲线
M1
动点的加速度矢a的方向
M2
与速度矢端曲线在相应点
v0 O
v1 v2
a M的切线相平行。
M3
5.2 直角坐标法
如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r
可表示为：
z
M
r xi yj zk x f1(t) y f2 (t)
kr z
O i
j
x
y
xy
z f3 (t)
这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。
5.2 直角坐标法
速度 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对
时间的一阶导数。
v r xi yj zk vxi vy j vzk
若已知速度的投影，则速度的大小为
v x2 y 2 z2
其方向余弦为
cos(v, i) x , cos(v, j) y , cos(v, k) z
a
a
a
例1 下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为r ，
自水平位置开始以匀角速度w 转动，即j =wt，滑槽K-K与导杆
B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄
带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加
速度。 解：取M点的直线轨迹为 x 轴，曲
运动学是研究物体运动的几何性质的科学。 也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。 运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和 加速度。
运动学
学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下 必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。
由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在 的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系 称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体 的运动才有意义。
x B
柄的转动中心O为坐标圆点。M点
的坐标为：x OM OAsinj r sinj
K
M BA K
将j =wt带入上式，得M点的运动方程：
x r sinwt
w
x
将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：
Oj
v dx rw coswt
dt
a
dv dt
d2x dt 2
rw 2
sin wt
例2 一人高 h2 ，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面 的高为h1 ，求人影的顶端M沿地面移动的速度。
在轨迹上任选一点O为参考点，并设O的某一侧为正向。
动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量， 称它为动点M在轨迹上的弧坐标。
当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连
续函数，即
s f (t)
(+)
O
M
(-)
s
这就是自然坐标形式的点的运动方程。
5.3 自然法
2 自然轴系
在点的运动轨迹
表示点的位置随时间变化的规律的数学方程 称为点的运动方程。
本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速 度和加速度，以及它们之间的关系。
5.1 矢量法
1.运动方程
M r
O
选取参考系上某确定点O为坐标原点，自 点O向动点M作矢量r，称为点M相对原点O的 位置矢量，简称矢径。当动点 M运动时，矢径 r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数， 即
解: 取坐标系x如图所示，由几何关系得:
h1 xM h2 xM x2
xM
h1 x2 源自文库1 h2
h1
上式对t求一阶导数，得 M 点 的速度为:
v
.
xM
h1 h1 h2
.
x2
h1 h1 h2
v1
h2
x2 xM
Mx
5.3 自然法
1 弧坐标 设动点M的轨迹为如图所示的曲线。 则动点M在轨迹上的位置可以这样确定：
的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对
时间的二阶导数。
a
lim
t 0
v t
dv dt
d2r dt 2
有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的 一阶导数，加“..”表示该量对时间的二阶导数。
avr
5.1 矢量法
加速度的方向确定
如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时 的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到点O，连接各矢量 的端点M1，M2，M3，…，就构成了矢量v端点的连续 曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。
b t n
副法线
主法线
法面 密切面
n
M
b
t
切线
5.3 自然法
曲率
曲线切线的转角对弧 长一阶导数的绝对值 称为曲线在M点的曲 率。曲率的倒数称为 M点的曲率半径。
1 lim j dj s0 S dS
r r(t)
5.1 矢量法
2. 速度
M
v
A r(t)
Δr M'
v*
r(t+Δt)
O
B
动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。
lim v
r dr
t0 t dt
动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿 动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。
5.1 矢量法
3. 加速度
点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加 速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点
曲线上取极为接
近 的 两 点 M 和 M1 。
M1
这两点切线的单位
矢量分别为t 和t1。
其指向与弧坐标 正向一致。
t t1 t'1
将t 1 平移到点M。
则 t 和t 1决定一平面。
令M1 无限趋近点M，则此平面趋近于某一极限位置， 此极限平面称为曲线在点M的密切面。
过点M并与切 线垂直的平面 称为法平面。
v
v
v
5.2 直角坐标法
加速度 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标
对时间的二阶导数。
a axi ay j azk ax vx x, ay vy y, az vz z
若已知加速度的投影，则加速度的大小为
a
ax2
a
2 y
az2
x2 y2 z2
其方向余弦为
cos(a, i) x , cos(a, j) y , cos(a, k) z
法平面与密切 面的交线称主 法线。
令主法线的单 位矢量为n，指 向曲线内凹一 侧。
M1
t t1 t'1
过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，
其单位矢量为b，指向与t 、 n构成右手系。
5.3 自然法
即以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐 标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系， 这三个轴称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法 则，即
时间概念要明确：瞬时和时间间隔。
运动学所研究的力学模型为：点和刚体。
5 点的运动学
本章将介绍研究点的运动的三种方法，即： 矢径法、直角坐标法和自然法。
点运动时，在空间所占的位置随时间连续变 化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运 动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当 轨迹为圆时称为圆周运动。
速度矢端曲线
M1
动点的加速度矢a的方向
M2
与速度矢端曲线在相应点
v0 O
v1 v2
a M的切线相平行。
M3
5.2 直角坐标法
如以矢径r的起点为直角坐标系的原点，则矢径r
可表示为：
z
M
r xi yj zk x f1(t) y f2 (t)
kr z
O i
j
x
y
xy
z f3 (t)
这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。
5.2 直角坐标法
速度 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对
时间的一阶导数。
v r xi yj zk vxi vy j vzk
若已知速度的投影，则速度的大小为
v x2 y 2 z2
其方向余弦为
cos(v, i) x , cos(v, j) y , cos(v, k) z
a
a
a
例1 下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为r ，
自水平位置开始以匀角速度w 转动，即j =wt，滑槽K-K与导杆
B-B制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲柄
带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加
速度。 解：取M点的直线轨迹为 x 轴，曲