《运筹学》第六章 图与网络分析

奇偶点图上作业法
奇偶点图上作业法 （1）找出图G中的所有的奇顶点，把它们两两配 成对，而每对奇点之间必有一条通路，把这条通路 上的所有边作为重复边追加到图中去，这样得到的 新连通图必无奇点。 （2）如果边e=（u,v）上的重复边多于一条，则 可从重复边中去掉偶数条，使得其重复边至多为一 条，图中的顶点仍全部都是偶顶点。 （3）检查图中的每一个圈，如果每一个圈的重复 边的总长不大于该圈总长的一半，则已经求得最优 方案。如果存在一个圈，重复边的总长大于该圈总 长的一半时，则将这个圈中的重复边去掉，再将该 圈中原来没有重复边的各边加上重复边，其它各圈 的边不变，返回步骤（2）。
e9 {v 6 , v 6 }
e9
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无 向图，记作 G = (V，E)， 连接点的边记作 [vi , vj]， 或 者[vj , vi]。 3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为 有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示有向图D 的点集合， A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧， 记作(vi , vj)。
D
E
一、图与网络的基本知识
（一）图与网络的基本概念
E A
D
B
C
1、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头，也 可不带，前者叫弧，后者叫边）
一个图是由点集 V v 和 V 中元素的无序对的 集合 E { e } 构成的二元组，记为G =(V，E)，其中 V 中的元素 v j 叫做顶点，V 表示图 G 的点集合； E 中的元素 e k 叫做边，E 表示图 G 的边集合。
图2
e1
4、一条边的两个端点是相同的, 称此边为环。
v1 e10
e2 e5 e8 v5 e6
v2 e3 e v4 4 e7 v3
5、如果两个端点之间有两条 以上的边，称为多重边。
v6 e9
6、一个无环、无多重边的图称为简单图， 含有多重边的图称为多重图。 7、无向完全图——每一对顶点间都有边相连的简单图； 有向完全图——指每一对顶点之间有且仅有一条有 向 边的简单图。
v4
邻接矩阵
v1 0 v2 1 v 3 0 B v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 0 0 v2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0
v3 v4
v5 v6
v3 v4
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }， A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , (v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) ,
v1 v3 v5 v2
v4 v6
(v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
定理1
定理2
任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
在任一图中，奇点的个数必为偶数。
有向图中： 以vi 为始点的边数称为点vi 的出次，用 以vi 为终点的边数称为点vi 的入次，用 vi 点的出次和入次之和就是该点的次。
d (v i )
d


(v i
表示； ) 表示；
所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
（2）设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 ( v i , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
T ( v j ) min[ T ( v j ) , P ( v i ) l i j ]
（3）比较所有具有T标号的节点，把最小者改为P标号，
即：
P ( v k ) min[ T ( v i )]
ai j
称矩阵A为网络G的邻接矩阵
例
v6
v1
4
v2
7 3 2 v3 5
3
6
3
4 2
权矩阵
v1 0 v2 4 v3 0 A v4 6 v5 4 v6 3 v1 4 0 2 7 0 0 v2 0 2 0 5 0 3 6 7 5 0 2 0 4 0 0 2 0 3
v5
3 0 3 0 3 0
v5 v6
二、中国邮递员问题
一、欧拉回路与道路 定义 连通图G中，若存在一条道路，经过每边 一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在 一条回路，经过每边一次且仅一次，则称这条回 路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图。 定理 一个多重连通图G是欧拉图的充分必要条件 是G中无奇点。 推论 一个多重连通图G有欧拉道路的充分必要 条件是G有且仅有两个奇点。
二、中国邮路问题 一个邮递员，负责某一地区的信件投递。他每天要 从邮局出发，走遍该地区所有街道再返回邮局，问 应如何安排送信的路线可以使所走的总路程最短？
图论语言描述：给定一个连通图G，每边有非负权l(e)， 要求一条回路过每边至少一次，且满足总权最小。
中国邮路问题可转化为如下问题：
在连通图G=(V,E)中，求一个边集E1 ∈E ，把G中
（2） T ( v 2 )
min[ T ( v 2 ) , P ( v 1 ) l 12 ] min[ , 0 3 ] 3
T ( v 3 ) min[ T ( v 3 ) , P ( v 1 ) l 13 ] min[ , 0 5 ] 5
（3） P ( v 2 ) 3 （4） T ( v 3 ) min[
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识
中国邮路问题
最短路问题 最大流问题
A
C
D
B A
哥尼斯堡七桥问题
C D
B
一笔画问题
引论 图的用处
• A、B、C、D、E 五支球队进行循环赛
A B C
某公司的 组织机构设置图
总公司 分公司 工厂或 办事处
v2
5 v1
4
v4
v5
9 v4
4
4
v8 4
v7
v3
2 6 3 v5 4
v6 4 4
v9 3 v8 4 4 v7
5
v2
5 v1 9
v4
三 、最短路问题
最短路的一般提法为：设 G (V , E ) 为连通图，图 中各边 ( v i , v j )有权 l i j（l i j 表示 v i , v j 之间没有边 ），v s , v t 为图中任意两点，求一条路 ，使它为 从 v s 到 v t 的所有路中总权最短。即：
判定标准1: 在最优邮递路线上，图中的每一条边 至多有一条重复边。 判定标准2 : 在最优邮递路线上，图中每一个圈 的重复边总权小于或等于该圈总权的一半。
例：求解下图所示网络的中国邮路问题，图中数字 为该边的长。
v3 5 v2 5 v1 9 2 6 v6 3 v5 4 4 4 v9 3 v8 4
v4
属于E1的边均变为两重边得到图G*=G+E1，使其满
足G*无奇点，且 L ( E ) = 1
∑l ( e ) 最小。
e∈ E 1
定理：已知图G*=G+E1无奇点，则 L ( E 1 ) =
∑l ( e )
e∈ E 1
最小的充分必要条件为： （1）每条边最多重复一次； （2）对图G中每个初等圈来讲，重复边的 长度和不超过圈长的一半。
10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列 称为链。
(vi , ei , vi , ei , , vi
0 1 1 2 k 1
, e i , v i )，且 e i ( v i
k k t
t 1
, v i )( t 1, , k )
t
链长为 k ， v i 、 v i 分别为链的起点和终点
e1 {v1 , v 2 }
e 3 {v 2 , v 3 }
e 2 {v1 , v 2 }
e4 {v 3 , v 4 } e6 {v 3 , v 5 } e8 {v 5 , v 6 } e 10 { v 1 , v 6 }
e5 {v1 , v 3 }
e7 {v 3 , v 5 }
j
k
例
V v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6
e1
E { e 1 ， 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 , e 9 , e 10 } e
v1
e10 v6 e8
e2 e5 e6 v5
v2 e3 e v4 4 e7 v3
ai j wi j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
称矩阵A为网络G的权矩阵 设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个
矩阵
A ( a i j ) nn
，其中：
1 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
T ( v 3 ) , P ( v 2 ) l 23 ] min[ 5 , 3 1] 4
T ( v 4 ) min[ T ( v 4 ) , P ( v 2 ) l 24 ] min[ , 3 2 ] 5
T ( v 5 ) min[ T ( v 5 ) , P ( v 2 ) l 25 ] min[ , 3 2 ] 5
L( )
最小。
( v i , v j )
l
i j
(一) 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： （1）给始点vs以P标号 P ( v s ) 0 ，这表示从vs到vs的最 短距离为0，其余节点均给T标号，
P ( v i ) (i 2 , 3 , , n )
v2 3 v1 1
2 2
v4 4 2 2 v5
v6
5
v3
4
（5）
P (v 3 ) 4
) min[ T ( v 5 ) , P ( v 3 ) l 35 ] min[ 5 , 4 4 ] 5
（6）T ( v 5 （7） （8）
P (v 4 ) 5
P (v 5 ) 5
T ( v 6 ) min[ T ( v 6 ) , P ( v 4 ) l 46 ] min[ , 5 4 ] 9 T ( v 6 ) , P ( v 5 ) l 56 ] min[ , 5 2 ] 7
当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。若全部节 点均为P标号，则停止，否则用vk代替vi，返回步骤（2）。
例：用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。
v2 3 v1 5 2 2 v4 4
1 v3
4
2
2
v6
v5
解：（1）首先给v1以P标号，给其余所有点T标号。
P (v1 ) 0
T ( v i ) (i 2 , 3 , , 6 )
9、在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向图 D=（V，A），在V中指定两个点: 一个称为始点（或发点），记作v1 ， 一个称为终点（或收点），记作vn ， 其余的点称为中间点。 对每一条弧 ( v , v ) A ，对应一个数 w ，称为弧上的 “权”。通常把这种赋权的图称为网络。
i j i j
0 k
。
若链中所含的边均不相同，称为简单链 所含的点均不相同的链称为初等链 , 也称通路。
v2 e1 e4 e5 e6 e7 v5 v4 e9 e8 v6
v1
e2
e3 v3
e10
11、图中任意两点之间均至少有一条通路，则称此图 为连通图，否则称为不连通图。
（二）图的矩阵表示 对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 ( v i , v j ) 有权 w i j ，构造矩阵 A ( a i j ) n n ，其中：
4
wk.baidu.com
v7
v3 5 v2 5 v1
2
v6
3 v5 4
4 4
v9 3 v8 4 4 v7
6
v3 5 v2
2
v6
3 v5 4 v4
4 4
v9 3 v8 4 v7
6
9
5
v1
9
v4
4
l12+2 l23+2 l36+ l89+2 l78+l69+l14+2 l47=51
v3 5 v2 5 v1 9 6 2 v6 3 v5 4 4 v9 3 v8 4 4 v7 v3 5 2 6 v6 3 4 4 v9 3
8、以点v为端点的边的个数称为点v 的次，记作 d ( v )
图中 d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两次）
e1
次为零的点——弧立点 次为1的点——悬挂点 悬挂点的关联边——悬挂边 次为奇数的点——奇点 次为偶数的点——偶点
v1 e10
v6 e9 e8
e2 e5 e6 v5
v2
· v7
e3 e v4 4 e7 v3