初中数学题—解方程(1)
解一元一次方程的练习题
解下列方程：（每题4分）
（1）3（x-2）=2-5(x-2) (2) 2(x+3)－5(1－x)=3(x －1)
(3) 3(1)2(2)23x x x +-+=+ (4) 3(2)1(21)x x x -+=-- (5) 2x －13 =x+22 +1 (6) 12
1
31=--x (7) x x -=+3
8
(8) 12542.13-=-x x
(9 ) 310.40.342x x -=+ (10) 3142125x x -+=-
(11) 3125724
3
y y +-=- (12)
57
6132
x x -=-+
(13) 143321=---m m (14) 5
2
221+-=--y y y
(15)12136x x x -+-=- (16) 38
123
x x ---=
(17) 12(x-3)=2-12(x-3) (18)35.012.02=+--x x
(19) 301.032.01=+-+x x (20) 223146
x x +--=
（21）124362x x x -+--= (22) x x 23231423 =??
?
???-??? ??-
(23) 112
[(1)](1)223x x x --=- （24）27(3y+7)=2 - 32y
(25)设k 为整数，方程kx=4-x 的解x 为自然数，求k 的值。
练习二
1、12-3(9-x)=5(x-4)-7(7-x);
2、6x-17=13
3、9-10x=10-9x
4、2(x－1)=4．
5、13x-26=13
6、75－5x=70
7、2（6x-2）=8 8、25x（12-6）=300 9、24x+12=132
10、56=12x+8 11、2x+4=30 12、12x=11x－79 13、13x－12（x+2）=0 14、67－12x=7 15、（x-1）－（3x+2）= - （x-1）
16、18x-16x+18×1+50=70 17、14×（60-x）×2=20x 18、4x+9(x+2)=200
19、100（x+1）+10x+（3x-2）+100（3x-2）+10x+（x+1）=1171
二元一次方程组练习题
一、选择题：
1．下列方程中，是二元一次方程的是（）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．1
x
+4y=6 D．4x=
2
4
y-
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）
A．
2
2
8 423119
(23754624)
x y
x y a b x
B C D
x y b c y x x y
+= +=-=??
=
??
????+=-==-=????
3．二元一次方程5a－11b=21 （）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（）
A．
3333
...
2422 x x x x
B C D
y y y y
==-==-????
????===-=-????
5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）
A．－1 B．－2 C．－3 D．3 2
6．方程组
43
235
x y k
x y
-=
?
?
+=
?
的解与x与y的值相等，则k等于（）
7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）
①xy+2x－y=7；②4x+1=x－y；③1
x
+y=5；④x=y；⑤x2－y2=2
⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，?则下面所列的方程组中符合题意的有（）
A．
246246216246
... 22222222 x y x y x y x y
B C D
y x x y y x y x
+=+=+=+=
????
????=-=+=+=+????
二、填空题
9．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x 为：x=________．
10．在二元一次方程－1
2
x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．
11．若x3m－3－2y n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．
12．已知
2,
3
x
y
=-
?
?
=
?
是方程x－ky=1的解，那么k=_______．
13．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．14．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．
15．以
5
7
x
y
=
?
?
=
?
为解的一个二元一次方程是_________．
16．已知
23
16
x mx y
y x ny
=-=
??
??
=--=
??
是方程组的解，则m=_______，n=______．
三、解答题
17．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）?有相同的解，求a的值．
18．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件
19．二元一次方程组
437
(1)3
x y
kx k y
+=
?
?
+-=
?
的解x，y的值相等，求k．
初中数学十大常见解题方法 1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，a≠0)根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，
而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的重要方法之一。 6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的
代数部分 第三章：方程和方程组 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （ 1）一元一次方程的标准形式： ax+b=0 （其中 x 是未知数， a 、b 是已知数， a ≠ 0） （ 2）一元一次方程的最简形式： ax=b （其中 x 是未知数， a 、 b 是已知数， a ≠ 0） （ 3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为 1。 （ 4）一元一次方程有唯一的一个解。 例题 ：.解方程： （ 1） 1 x 1 x 2 x 1 x x 3 3 （ 2） 3 2 2 解： 解： （ 3）【05 湘潭】 关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1 ，则 m= 。 2、一元二次方程 （ ） 一般形式： 2 bx c 0 a 1 ax （ 2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 求根公式 ax 2 bx c 0 a 0 x bb 2 4ac b 2 4ac 0 2a 错误 !未找到引用源。 、 解下列方程： （ 1） x 2 －2x ＝ 0； （2）45－x 2＝0； （ 3） (1－3x)2＝1； （ 4） (2x ＋ 3)2－25＝0. （ 5）（t －2）（t+1） =0； （6）x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2 －6x －3＝0； （8）3（x － 5） 2 ＝2（5－x ） 解： 错误 !未找到引用源。 填空： （ 1） x 2 ＋6x ＋（ ）＝（ x ＋ ）2 ； （ 2） x 2 －8x ＋（ ）＝（ x － ）2 ； （ 3） x 2 ＋ 3 x ＋（ ）＝（ ＋ ）2 x 2
初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 10、不完全归纳法： 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。 以上是我们给同学们介绍的选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。 初中填空题解法大全 一.数学填空题的特点： 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比择题略大。 二.主要题型： 初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时
【关键字】初中 第7讲方程组的解法及应用 ◆考点链接 1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义． 2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组． 3．会解简单的三元一次方程组． ＊4．会解简单的二元二次方程组． 5．能利用方程组解应用题． 注：标有“＊”号的是选讲内容． ◆典例精析 【例题1】已知的解，求a，b的值． 解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组． 答案：a=2，b=－3 【例题2】解方程组： （1） 解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x． 答案：（1） 【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围． 解：由原方程组得，解得 4 000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：?已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的，公司第二次再改造同样多的车辆后，所有改造后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的． 问：（1）公司共改装了多少辆出租车？?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了多少？ （2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节约的燃料费中收回成本？ 解题思路：抓住改装后的车辆每天的燃料费占未改装车辆每天燃料费的分率，建立方程组是解此题的关键． 解：设公司第一次改装了y辆出租车，?改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x． 答：公司第一次改装了20辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%． （2）设公司一次性将全部出租车改装，m天后就可以从节约的燃料费中收回成本．则100×80×40%×m=4000×100，解得m=125． 答：125天后，就可以从节省的燃料费中收回成本． 【问题2】（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 张强两次共购买香蕉（第二次多于第一次），共付款264元，?请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？ 解：设张强第一次购买香蕉x（kg），第二次购买香蕉y（kg），由题意，得0 C B A S 2 S 3 S 1 C B A S 3 S 2 S 1 S 3 S 2S 1 C B A 一题多解、一题多变 原题条件或结论的变化 所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。 例1 求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？ 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？ 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？ …… 通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化 如图1，分别以Rt ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则 321S S S 、、之间的关系是 图1 图2 图3 E S 3 S 2 S 1 D C B A S 3S 2 S 1 A B C D A B C D S 3S 2 S 1 变式1：如图2，如果以Rt ?ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是 变式2：如图3，如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为 321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是 变式3：如果以Rt ?ABC 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为321S S S 、、，为使321S S S 、、之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。 ,2,90,//,44321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为边向梯形外作正方形、、分别以且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 图4 图5 图6 ,2,90,//,55321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、形，其面积分别为为边向梯形外作正三角、、分别以 且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 ,2,90,//,66321321S S S S S S BC AB DA AB DC BCD ADC DC AB ABCD 、、，则、、，其面积分别为为直径向梯形外作半圆、、分别以且中，梯形：如图变式=?=∠+∠之间的关系是 上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化 例2.已知：如图7，点C 为线段AB 上一点，?ACM 、?CBN 是等边三角形。 基础知识点： 一、方程有关概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0） （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。 （4）一元一次方程有唯一的一个解。 例题：.解方程：（1）（2） （3）关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。 2、一元二次方程 （1）一般形式： （2）解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法、十字相乘法求根公式 、解下列方程： （1）x2－2x＝0；（2）45－x2＝0； （3）(1－3x)2＝1；（4）(2x＋3)2－25＝0. （5）（t－2）（t+1）=0；（6）x2＋8x－2＝0 (7 )2x2－6x－3＝0；（8）3（x－5）2＝2（5－x）（3）判别式△＝b2－4ac的三种情况与根的关系 当时有两个不相等的实数根， 当时有两个相等的实数根 当时没有实数根。 当△≥0时有两个实数根 1、解下列方程： （1）；（2）；（3） 2、解下列方程： （1）；（2） 3．若关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足 ( ) A.k＞1 B.k≥1 C.k＝1 D.k＜1 4.关于的一元二次方程根的情况是（） （A）有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根 （C）没有实数根（D）根的情况无法判定 5.已知关于x的方程：有两个相等的实数根，求p的值。 中考数学解方程（组）测试题 1．已知3是关于x 的方程12=-a x 的解，则a 的值是（ ） A ．5- B ．5 C ．7 D ．2 【答案】B 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A ．???=+=21y x xy B ．?????=+=-31325y x y x C ．?????=-=-51302y x z x D ．?????=+=+73 25 y x y x 【答案】D 3．二元一次方程12=-y x 有无数多个解，下列四组值中不是．． 该方程的解的是（ ） A ．?? ? ??-==210 y x B ．?? ?==11y x C ．???==01y x D ．???-=-=11y x 【答案】B 4．若? ? ?==21 y x 是关于x 、y 的二元一次方程13=-y ax 的解，则a 的值为（ ） A ．5- B ．1- C ．2 D ．7 【答案】D 5．方程组? ? ?=+=-422 y x y x 的解是（ ） A ．???==21y x B ．???==13y x C ．? ??-==20y x D ．???==02y x 【答案】D 6．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2 21 0x x += B ．20ax bx c ++= C ．(1)(2)1x x -+= D ．223250x xy y --= 【答案】C 7．用配方法解方程0522 =--x x 时，原方程应变形为（ ） A ．()612 =+x B ．()922 =+x C ．()612 =-x D ．()922 =-x 【答案】C 8．一元二次方程21 04 x x -+ =的根（ ） A ．121122x x ==-， B ．1222x x ==-， C ．1212x x ==- D ．1212 x x == 【答案】D 9．关于x 的方程2220x mx m +-=的一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1 B ．21 C ．1或21 D ．1或2 1- 【答案】D 10．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A ．210x += B ．2210x x -+= C ．210x x ++= D ．2 210x x +-= 【答案】D 11．若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 【答案】D 12．已知12x x 、是方程2 630x x ++=的两个实数根，则 21 12 x x x x +的值等于（ ） A ．6- B ．6 C ．10 D ．10- 【答案】C 13．二次函数2 2y x x k =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元 二次方程220x x k -++=的一个解13x =，另一个解=2x （ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．0 【答案】B 14．下面是四位同学解方程 1112=-+-x x x 过程中去分母的一步，其中正确的是（ ） A ．12-=+x x B ．12=-x C ．x x -=+12 D ．12-=-x x 【答案】D 15．对于非零的两个实数a 、b ，规定11 a b b a ?= -.若1(1)1x ?+=，则x 的值为（ ） A ． 23 B ．31 C ．21 D ．2 1- 【答案】D ____________________________________________________________________________________________ 初中数学一题多解与一题多变 时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。 一、一题多解，多解归一 对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。 例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， E D C B A 求证：BD=CE. （本题来自《几何》第2册69页例3） 思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。 例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 添加字母，不写推理过程） D 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； ____________________________________________________________________________________________ 初一数学解方程 行船问题：流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。 流水问题有如下两个基本公式：顺水速度=船速+水速 （1）逆水速度=船速-水速 （2）水速=船速-逆水速度 （3）船速=逆水速度+水速 (4) 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 (5) 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 练习： 1. 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行 需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？ 2.一艘船从A港到B港顺流行驶，用了5小时；从B港返回A港逆流而行，用 了7.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。 3.某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时， 已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A、C两 地距离为2千米，求A、B两地之间的距离。 4.一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时 50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离。 5.一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时。顺风飞行需要2小时50 分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的航速和两城之间的航程。 数字问题数字问题是常见的数学问题。 一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数 值三者间的关系：任何数=∑（数位上的数字×位权），如两位数ab=10a+b； 三位数abc=100a+10b+c。在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。 例. 一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位 上的数是十位上的数的3倍。求这个数。 例13. 一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右 边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。讲评：这个六位数最高位上 的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1位，即每个数位上的数字被扩大 10倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。设除去最高位上数字1后的5位 数为x，则原数为10+x，移动后的数为10x+1，依题意有 10x+1=10+x ∴x = 42857 则原数为142857 初中数学中一题多解的能力培养分析 一、前言 随着教育改革的步伐不断深入，初中学校均纷纷进行教学改革，在初中数学教学改革中，已经逐渐将传统的教学方式摒弃，开始应用现代化教学模式，例如多媒体教学模式、小组合作模式、一题多解模式等，为了探索初中数学教学方法，为今后提高今后教学水平，本文就一题多解教学模式在初中数学中的应用展开探究。一题多解教学方法的本质是通过让学生去探究发现解题方法，进而掌握解题的关键。一题多解有利于锻炼学生思维的灵活性，活跃思路，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点；一题多解有利于调动学生的学习积极性，在初中数学教师的启发、引导下，学生主动探究一道题的解法，进而可能提出两种、三种甚至更多种解法，使课堂成为同学们合作、竞争、探究、互助的场所，大大地提高学生学习数学的兴趣；一题多解有利于学生积累解题经验，丰富解题方法，学会如何综合运用已学的知识不断提高自身解题能力；一题多解有利于培养学生的创新思维，使学生不满足于得出一道习题的答案，进而去追求更快捷、更简单的解题方法[1]。总而言之，一题多解有利于提高学生数学思维能力。 二、一题多解在初中数学教学中的应用 （一）激发学生学习兴趣 一题多解可以充分调动学生参与课堂讨论的积极性，激发学生的学习兴趣，通过营造一个活跃的课堂氛围，让学生更加投入到一题多解方法当中。初中数学教师可以适当收集一些一题多解的题目，然后让学生进行解题方法探讨，最后选出最适合自己掌握的且简单的解题方法。例如，教师可以出一个这样的题目：小夏是一名初中生，她们宿舍一共有8个女生，根据小夏调查发现，大家的体重都差不多，分别是44kg、40kg、46kg、43kg、47kg、40kg、44kg，加上小夏自己是42kg，请计算一下小夏宿舍女生的平均体重。首先，教师应让学生提出自己的思路，然后由学生自行探究寻找多种解题方法。最后将学生的解题方法罗列出来，一共有两种解法，一种是直接将所有的体重相加然后除以8得出答案，另一种是通过观察发现8个女生的体重都是在40kg幅度围绕，因此，分别将8个女生的体重减去40kg所得的数相加起来再除以8，最后得到的数加上40kg就是所要求的平均数。通过学生的发言发现，绝大多数学生都是想到第一种方法，只有少数学生想到第二种方法，经过大家讨论认为第二种解法比第一种解法较为简单便捷，因此，最后一致选择第二种解法当做今后解题的主要解法。通过一题多解方法可以激发学生对问题的思考，相互学习，取长补短，不但可以锻炼学 例题一、如图1，已知AB//CD ，试找出B ∠、BED ∠和D ∠的关系并证明。 我们找出他们的关系是：D B BED ∠+∠=∠。证明如下： 方法一：如图2，过点E 作EF//AB 。因为EF AB //，所以B BEF ∠=∠；因为CD AB //， EF AB //，所以 CD EF //，所以D FED ∠=∠，所以 D B F E D B E B E D ∠+∠=∠+∠=∠。 方法二：如图3，过点E 作EF//AB 。 因为EF AB //，所以 180=∠+∠B BEF ，即B BEF ∠-=∠ 180；因为CD AB //， EF AB //，所以CD EF //，所以 180=∠+∠D FED ，即D FED ∠-=∠ 180；因为 ? =∠+∠+∠360FED BED BEF ， 所 以 )180180(360)(360D B FED BEF BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠?? D B ∠+∠=。 方法三：如图4，连接BD 。因为CD AB //，所以 180=∠+∠BDC ABD ，即 ) (180EDB EBD EDC ABE ∠+∠-=∠+∠ ；在ΔBED 中， )(180EDB EBD BED ∠+∠-=∠ ，所以EDC ABE BED ∠+∠=∠。 方法四：如图5，过点E 做AB FG ⊥，垂足为点F ，交CD 于点G 。因为CD AB //，所以 90180=∠-=∠EFB EGD ；在直角ΔEGD 中，D GED ∠-=∠ 90，在直角ΔEFB 中，B F E B ∠-=∠ 90，所以 )9090(180)(180B D FEB GED BED ∠-+∠--=∠+∠-=∠ D B ∠+∠=。 方法五：如图6，延长BE 交CD 于点F 。因为CD AB //，所以B EFD ∠=∠；在ΔEFD 中，F E D D E F D ∠-=∠+∠ 180，又因为FED BED ∠-=∠ 180，所以D B D E F D B E D ∠+∠=∠+∠=∠。 例题二、证明： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图1，在△ABC 中，AD=BD=CD ． 求证：△ABC 是直角三角形． 证法1 如图1，利用两锐角互余． ∵AD=CD ，CD=BD ， ∴∠1=∠A ，∠2=∠B 。 在△ABC 中，∵∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180°， ∴2（∠A+∠B ）=180°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=90°，∴△ABC 是直角三角形。 证法2 如图2，利用等腰三角形的三线合一． 延长AC 到E 使CE=AC ，连接BE ． ∵AD=BD ， ∴CD 是△ABE 的中位线． ∴BE 2 1 CD =。 代数部分 第三章:方程与方程组 基础知识点: 一、方程有关概念 1、方程:含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解,含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。 3、解方程:求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。 4、方程的增根:在方程变形时,产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。 二、一元方程 1、一元一次方程 (1)一元一次方程的标准形式:ax+b=0(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0) (2)一元一次方程的最简形式:ax=b(其中x 就是未知数,a 、b 就是已知数,a ≠0) (3)解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项与系数化为1。 (4)一元一次方程有唯一的一个解。 例题:、解方程: (1) 3131=+- x x (2)x x x -=--+22 1 32 解: 解: (3)【05湘潭】 关于x 的方程mx+4=3x+5的解就是x=1,则m= 。 2、一元二次方程 （1） 一般形式:()002 ≠=++a c bx ax （2） 解法:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 求根公式()002 ≠=++a c bx ax () 042422 ≥--±-= ac b a ac b b x ①、解下列方程: (1)x 2－2x ＝0; (2)45－x 2＝0; (3)(1－3x )2＝1; (4)(2x ＋3)2－25＝0、 (5)(t －2)(t +1)=0; (6)x 2＋8x －2＝0 (7 )2x 2－6x －3＝0; (8)3(x －5)2＝2(5－x ) 解: ② 填空: (1)x 2＋6x ＋( )＝(x ＋ )2; (2)x 2－8x ＋( )＝(x － )2; (3)x 2＋2 3 x ＋( )＝(x ＋ )2 (3)判别式△＝b 2－4ac 的三种情况与根的关系 当0>?时有两个不相等的实数根 , 当0=?时有两个相等的实数根 当0 初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一） 方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 一、知识要点 1.形如方程的解的讨论： ⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解； ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。 2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。 ⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。 ⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数( ≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。 3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。 4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。 5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。 二、例题选讲 1.方程整数根的讨论 例 1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根 是。 解：设方程的两个实数根为、，则，所以。因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。 评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如： 类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于( ) A.1； B.2； C.±1； D.±2. 分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得 ，或，或，或，所以－=±1。 例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。 解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。 ①当时，，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。设是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得。因为是整数，所以 ±1，或±2，∴=－1，0，2，3。 结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。 评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。对于时方程解的讨论方法具有一般性，即由是整数判断得±1，或±2。 延伸拓展：例2关于一元二次方程整数解的讨论方法应用到整除知识与分解变形技巧，是初中数学竞赛常考的内容，如： (2004年信利杯)已知、是实数，关于、的方程组有整数解(，)，求、满足的关系式。 解：原方程组可化为，所以，显然方程中≠－1， 因此。因为、是整数，所以，即=0，或－2。 0.5x-0.7=6.5-1.3x 1－2（2x+3）= －3（2x+1）2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 2(x-2)+2=x+1 5x^2+3x+1=0 7x^2+x+12=0 2x^2+4x+4=0 8x^2+3x+1=0 5x^2+3x+2=0 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x 15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 2(x-2)+2=x+1 5x^2+3x+1=0 7x^2+x+12=0 2x^2+4x+4=0 8x^2+3x+1=0 5x^2+3x+2=0 45x^2+3x+100=0 89x^2+335x+1=0 x+1=3 2x+3=5 3x+5=8 4x+8=12 5x-6=9 2x-x=1 x+3=0 5x+3x=8 3x+1=2x x-7=6x+2 5x+1=9 9x+8=24 55x+54=-1 23+58x=99 29x-66=21 0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38 x=6 30x-10(10-x)=100 x=5 4(x+2)=5(x-2) x=18 120-4(x+5)=25 x=18.75 15x+863-65x=54 x=16.18 3(x-2)+1=x-(2x-1) x=3/2 11x+64-2x=100-9x x=2 x/3 -5 = (5-x)/2 2(x+1) /3=5(x+1) /6 -1 (1/5)x +1 =(2x+1)/4 (5-2)/2 - (4+x)/3 =1 x/3 -1 = (1-x)/2 (x-2)/2 - (3x-2)/4 =-1 解方程综合练习 一．一元一次方程 1．17(2-3y)-5(12-y)＝8(1-7y)； 2．5(z-4)-7(7-z)-9＝12-3(9-z)； 3．3(x-7)-2［9-4(2-x)］=22； 4．3{2x-1-［3(2x-1)+3］}=5； (3)2(3y-4)+7(4-y)=4y ； (4)4x-3(20-x)=6x-7(9-x)； (5)3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3)． 二．二元一次方程组 1．（1）?? ?=+=-13y x y x （2）?? ?=+=-83120 34y x y x （3）?? ?=+=-14645 34y x y x （4）?? ?=-=+1 235 4y x y x （5）?? ?=+=+132645y x y x （6）?? ?=+=-17327 23y x y x （1）23321y x x y =-?? +=? （2）?? ?-=-=+4 23 57y x y x （3） 23 3418x y x y ?=? ??+=? （4）56 3640x y x y +=?? --=? .（1）?? ?-=-+=-8 5)1(21 )2(3y x x y （2）?????=+= 18 433 2y x y x （3）?? ?=--=--0232560 17154y x y x （4）???? ?=-=+2 3432 1332y x y x （5）?????=-+= +1 323 241y x x y （6）?? ?=+=+241 2123243 2321y x y x （7）???? ?=+-+=-+-0 4235 132423512y x y x （8）???? ?=+--=++-5 7326 231 732623y x y x y x y x 三．分式方程 1. 423-x -2-x x =21 。 2. 31144x x x -=--- 列方程解应用题 一元一次方程应用题： 1．列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，?是否符合实际，检验后写出答案． 2.和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量 3.等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变． ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝r2h ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 4．数字问题 一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c． 十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a． 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程． 5．市场经济问题 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝ 商品利润 商品成本价 ×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售． 6．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间 （1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题：快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝ 1 8．储蓄问题 利润＝每个期数内的利息 本金 ×100% 利息＝本金×利率×期数 1．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？ :2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？ 初一下册青岛版数学解方程练习题 1．（每题5分，共10分）解方程组： （1）? ? ?=+=-17326 23y x y x ； （2 2．解方程组 ?? ? ??=-+=++=++1232721323z y x z y x z y x 3．解方程组： （1）3 3(1)0 22(3)2(1)10x y x y -?--=?? ?---=? （2）04239328a b c a b c a b c -+=??++=??-+=? 4．解方程(组) （1）3221+= --x x x （2）? ??-=+=+12332)13(2y x y x 5．???????=++-=+--3423 174 2 31y x y x 6．已知x ，y 是有理数，且（│x │－1）2+（2y+1）2 =0，则x －y 的值是多少？ 7．二元一次方程组437 (1)3 x y kx k y +=?? +-=?的解x ，y 的值相 等，求k ． 8．．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y －2ax=a+2（关于x ，y 的方程）?有相同的解，求a 的值． 9．?? ? ??=---=+-=+-．441454y x z x z y z y x 10．若42x y =?? =? 是二元一次方程ax －by=8和ax+2by=－4 的公共解，求2a －b 的值． 11．解下列方程： （1）． （2） （3） （4）?? ? ??=-+=+-=+321236z -y x z y x z y x 12．（开放题）是否存在整数m ，使关于x 的方程2x+9=2－（m －2）x 在整数范围内有解，你能找到几个m 的值？你能求出相应的x 的解吗？ 13．方程组25 28 x y x y +=?? -=?的解是否满足2x －y=8？满足2x －y=8的一对x ，y 的值是否是方程组25 28x y x y +=??-=? 的解？ 14．甲乙两车间生产一种产品，原计划两车间共生产300 件产品，实际甲车间比原计划多生产10%，乙车间比原计划多生产20%，结果共生产了340件产品，问原计划甲、乙两车间各生产了多少件产品？ 15．（本题满分14分） （1）解方程组25211x y x y -=-??+=? ， （2） 解方程组 ? ??=-=+)2.(633) 1(,844y x y x 16．??? ??=++-=+--． 6)(2)(315 2y x y x y x y x 初中数学一题多解题 例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数 方法一、 设较小的奇数为x,另外一个就是x+2 x(x+2)=323 解方程得：x1=17,x2=-19 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法二、 设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x 则有：x-323/x=2 解方程得：x1=19,x2=-17 同样可以得出这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法三、 设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为： 2x-1,2x+1 (2x-1)(2x+1)=323 即4x^2-1=323 x^2=81 x1=9,x2=-9 2x1-1=17,2x1+1=19 2x2-1=-19,2x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法四、 设两个连续奇数为x-1,x+1 则有x^2-1=323 x^2=324=4*81 x1=18,x2=-18 x1-1=17,x1+1=19 x2-1=-19,x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？ 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得 1359925 1243320 2x y z x y z ++=<> ++=<> ?? ?.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。 1. 凑整法 解1： <>+<> 123 ，得5344153x y z ++=<>. <>+<>23，得7735().x y z ++= ∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为 1342925 22320 ()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=?? ? 解之得：x y z ++=105. 2. 主元法 解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2> 得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105... 解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2> 得y x z x =+=-00512.， ∴++=+-+=x y z x x x 1052105.. 解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2> 得x y z y =-=-00511 2..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105... 3. “消元”法 解6：令x =0，则原方程组可化为 5992543320051y z y z y z +=+=????==?? ? ... ∴++=x y z 105. 解7：令y =0，则原方程组可化为 1399252332000511x z x z x z +=+=????=-=?? ? .... ∴++=x y z 105. 解8：令z =0，则原方程组可化为