高考数学大一轮复习课时限时检测(七十)数系的扩充与复数的引入
2020版高考数学大一轮复习 第四章平面向量数系的扩充与复数的引入 课时达标理含解析
第24讲 平面向量的概念及其线性运算课时达标一、选择题1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →相等．则所有正确命题的序号是( )A ．①B ．③C ．①③D ．①②A 解析 ①正确；②中单位向量只是长度为1，但方向不一定相同，故②错误；③中AB →与BA →是相反向量，故③错误．2．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λbD 解析 因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则a 与b 共线同向，故D 项正确．3．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( )A ．23AB →＋13AC → B ．23AB →－13AC →C ．13AB →＋23AC → D ．13AB →－23AC → C 解析 AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →.故选C ．4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对C 解析 由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形．5．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点O ，若OA →＋OB →＋OC →＝AB →，则点O 与△ABC 的位置关系是( )A ．点O 在AC 边上B ．点O 在AB 边上或其延长线上C ．点O 在△ABC 外部D ．点O 在△ABC 内部A 解析 因为OA →＋OB →＋OC →＝AO →＋OB →，所以OC →＝2AO →，所以点O 在边AC 上．6．已知O 是△ABC 所在平面外一点且满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ为实数，则动点P 的轨迹必须经过△ABC 的( )A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心B 解析 如图，设AB→|AB →|＝AF →，AC →|AC →|＝AE →，已知AF →，AE →均为单位向量，且四边形AEDF 为平行四边形，故▱AEDF 为菱形，所以AD 平分∠BAC ．由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，得AP →＝λAD →，又AP →与AD →有公共点A ，故A ，D ，P 三点共线，所以点P 在∠BAC 的平分线上，故动点P 的轨迹经过△ABC 的内心．二、填空题 7．给出下列说法：①若两个单位向量的起点相同，则终点也相同； ②若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ； ③0·a ＝0.其中说法错误的序号是________．解析 对于①，单位向量只是长度为1，起点相同，终点不一定相同；对于②，向量不可比较大小；对于③，0·a ＝0.因此③正确．答案 ①②8．(2019·鄂州二中阶段测试)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于M ，设OA →＝a ，OB →＝b .则用a 和b 表示向量OM →＝________.解析 因为A ，M ，D 三点共线，所以OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，①因为C ，M ，B 三点共线，所以OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋(1－λ24)a ，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝67，λ2＝37.故OM →＝17a ＋37b .答案 17a ＋37b9．已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在边DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．解析 由5AM →＝AB →＋3AC →及D 为AB 的质点得及D 为边AB 的中点2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.答案 3∶5 三、解答题10．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解析 (1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ， 所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ， BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．11．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，是否存在实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解析 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ，μ，当λ＝－2μ且λ≠0，μ≠0时，d 与c 共线．12．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解析 由N 是OD 的中点得AN →＝12A D →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD→＋14AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.13．[选做题](2019·扬州中学月考)已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF∥BC ，实数x ，y 满足PA →＋xPB →＋yPC →＝0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S＝λ3，则λ2λ3取最大值时，3x ＋y 的值为( )A ．12 B ．32 C ．1D ．2D 解析 由题意可知λ1＋λ2＋λ3＝1.因为P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，所以λ1＝12，所以λ2＋λ3＝12，所以λ2λ3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋λ322＝116，当且仅当λ2＝λ3＝14时，等号成立，所以λ2λ3取最大值时，P 为EF 的中点．延长AP 交BC 于M ，则M 为BC 的中点，所以PA ＝PM ，所以PA →＝－PM →＝－12(PB →＋PC →)，又因为PA →＋xPB →＋yPC →＝0，所以x ＝y ＝12，所以3x ＋y ＝2.故选D ．第25讲 平面向量的基本定理及坐标表示课时达标一、选择题1．若向量AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BC →＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7)D ．(－3，－7)B 解析 因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B ．2．已知向量m ＝(a ，－2)，n ＝(1,1－a )，且m ∥n ，则实数a ＝( ) A ．－1 B ．2或－1 C ．2D ．－2B 解析 因为m ∥n ，所以a (1－a )＝－2，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2.故选B ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0,0)，A (0,1)，B (1，－2)，C (m,0)．若OB →∥AC →，则实数m 的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12.故选C ．4．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A ．23B ．33C ．23D ．13A 解析 设M 为AC 的中点，则AO →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋2yAM →.因为x ＋2y ＝1，所以O ，B ，M 三点共线．又因为O 是△ABC 的外接圆圆心，所以BM ⊥AC ，从而cos ∠BAC ＝23.故选A ．5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，O P →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14A 解析 由题意知O P →＝OB →＋B P →，又B P →＝2P A →＝23BA →，所以O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，所以x ＝23，y ＝13.6．(2019·忻州二中期中)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为( )A ．3B ．13C ．2D ．12B 解析 (特值法)利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC 的直线，得x ＝y ＝23，则xy x ＋y ＝13. 二、填空题7．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析 因为a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)． 因为(a －c )∥b ，所以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5. 答案 58．已知向量a ＝(λ＋1,1)，b ＝(λ＋2,2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________. 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3,3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )， 所以2λ＋3－1＝3－1，所以λ＝0.答案 09．已知向量OA →＝(3,4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是________．解析 因为AB →＝OB →－OA →＝(3，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，－7－m )，点A ，B ，C 能构成三角形，所以点A ，B ，C 不共线，即AB →与AC →不共线，所以3×(－7－m )－(－7)×(2－m )≠0，解得m ≠－710，故实数m 应满足m ≠－710.答案 m ≠－710三、解答题10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解析 (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)．故|a ＋3b|＝72＋32＝58. (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)．因为k a －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．11．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解析 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为a ＝m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，所以M (0,20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，所以N (9,2)．所以MN →＝(9，－18)．12．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值；(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．解析 (1)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，又a ＋b ＝(2,4)，|d －c |＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －－y －＝0，x －2＋y －2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.所以d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．13．[选做题]在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2C ． 5D ．2A 解析 建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD ．因为CD ＝1，BC ＝2，所以BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，所以P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．因为AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，所以μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A ．第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时达标一、选择题1．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0D 解析 由向量垂直的充要条件得2(x －1)＋2＝0，解得x ＝0.2．已知非零向量a ，b ，|a|＝|b|＝|a －b|，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32C 解析 设|a|＝|b|＝|a －b|＝1，则(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1，所以a·b ＝12，所以a·(a ＋b )＝a 2＋a·b ＝1＋12＝32.因为|a ＋b|＝a 2＋b 2＋2a·b ＝3，所以cos 〈a ，a ＋b 〉＝321×3＝32. 3．已知向量|OA →|＝2，|OB →|＝4，OA →·OB →＝4，则以OA →，OB →为邻边的平行四边形的面积为( )A ．4 3B ．2 3C ．4D ．2A 解析 因为有cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝42×4＝12，所以sin ∠AOB ＝32，所以所求的平行四边形的面积为|OA →|·|OB →|·sin∠AOB ＝4 3.故选A ．4．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 的度数成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形C 解析 因为(AB →＋AC →)·BC →＝0，所以(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以AC →2－AB →2＝0，即|AC →|＝|AB →|，又A ，B ，C 度数成等差数列，故2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝3B ＝π，所以B ＝π3，故△ABC 是等边三角形．5．(2019·鄂州二中期中)已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE →·BF →＝－9，则λ的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B 解析 依题意得AE →＝AB →＋BE →＝12BC →－BA →，BF →＝BC →＋1λBA →，因此AE →·BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λBA →＝12BC →2－1λBA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1BC →·BA →，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1λ×62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－1×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3.6．(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3C 解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易知AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理可得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0， 所以OA →·OB →>O C →·O D →，即I 1>I 3，所以I 3<I 1<I 2.故选C ． 二、填空题7．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 解析 因为a ⊥b ，所以a·b ＝－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2. 答案 28．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则 AB →与 A C →的夹角为________．解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以 AB → 与 AC →的夹角为90°.答案 90°9．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1. 若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．解析 如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则A E →＝(－1，y )，B E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，所以A E →·B E →＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，所以当y ＝34时，A E →·B E →有最小值2116.答案 2116三、解答题10．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)求|a ＋b|和|4a －2b|；(2)当k 为何值时，a ＋2b 与k a －b 垂直．解析 易得a·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)因为|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a ＋b|＝4 3.因为|4a －2b|2＝16a 2－16a·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a －2b|＝16 3.(2)因为(a ＋2b )⊥(k a －b )，所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，所以k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，所以k ＝－7.故k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．11．(2019·惠州调考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解析 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →·OC →＝tOC →2， 所以t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.12．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4 .(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cosB ＝b cosC ，求函数f (A )的取值范围．解析 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)因为m ·n ＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12.(2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，所以cos B ＝12，B ＝π3.所以0＜A ＜2π3.所以π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1.又因为f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，所以f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故1＜f (A )＜32.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.13．[选做题](2019·福州一中模拟)已知非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|a －b|，－a ，c －＝2π3，则|c||a|的最大值为________． 解析 设O A →＝a ，O B →＝b ，则B A →＝a －b .因为非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，所以△OAB 是等边三角形．设O C →＝c ，则A C →＝c －a ，B C →＝c －b .因为〈c －a ，c －b 〉＝2π3，所以点C 在△ABC 的外接圆上，所以当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案 233第27讲 数系的扩充与复数的引入课时达标一、选择题1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．－3－2iD ．－3＋2iD 解析 依题意得i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i.故选D ．2．若复数z 满足方程z ＋2＝z i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1＋iD ．1－iB 解析 因为z ＋2＝z i ，所以z (1－i)＝－2，所以z ＝－21－i ＝－＋2＝－1－i ，所以z ＝－1＋i.故选B ．3．i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．12C 解析 因为＋－＋－＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，所以lg(a ＋b )＝lg 1＝0.故选C ．4．已知复数z ＝(a 2－1)＋(a －1)i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．±1C 解析 易得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a ＝－1.5．满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A ．12＋12i B ．12－12iC ．－12＋12iD ．－12－12iB 解析 易得z ＋i ＝z i ，所以(1－i)z ＝－i ，解得z ＝－i 1－i ＝12－12i.故选B ．6．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )(i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．－12B 解析 由题意可得1－a i 1＋a i ＝－35＋45i ，即－a21＋a2＝1－a 2－2a i 1＋a 2＝－35＋45i ，所以1－a 21＋a2＝－35，－2a 1＋a 2＝45，所以a ＝－2.故选B ．二、填空题7．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析 因为z ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 答案 68．(2017·浙江卷)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.解析 因为(a ＋b i)2＝a 2－b2＋2ab i ＝3＋4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.答案 5 29．若复数z 满足(1＋2i)z ＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数z ＝________. 解析 因为(1＋2i)z ＝|3＋4i|＝5， 所以z ＝51＋2i ＝－2＋－＝1－2i.答案 1－2i 三、解答题 10．计算：(1)－1＋＋i 3；(2)＋2＋－2＋i；(3)1－i ＋2＋1＋i －2；(4)1－3i 3＋2.解析 (1)－1＋＋i3＝－3＋i －i ＝－3＋－i·i＝－1－3i.(2)＋2＋－2＋i＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i＝－5＝15＋25i. (3)1－i ＋2＋1＋i－2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i 3＋2＝3＋－3＋2＝－i 3＋i＝－3－3＋3－＝－1－3i 4＝－14－34i. 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示复数0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数； (3)B 点对应的复数．解析 (1)AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i.因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.12．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解析 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b a 2＋b 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i.因为z ＋5z是实数，所以b －5ba 2＋b2＝0.又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.① 又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，所以a ＋3＋b ＝0.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ＝－1－2i或z ＝－2－i.13．[选做题](2019·巴蜀中学检测)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B 解析 由新定义可知e 2i＝cos 2＋isin 2，而2弧度为第二象限的角，所以cos 2＜0，sin 2＞0，对应点(cos 2，sin 2)在第二象限．。
高考数学大一轮复习 12 数系的扩充与复数的引入课件
解析
由已知可得
m m
3 1
0,⇒
0
m m
13,⇒-3<m<1.故选A.
答案 A
(1)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量 OZ1 、 OZ2 不共线,则复数z1+z2是以 OZ1 、 OZ2 为
两邻边的平行四边形的对角线 OZ 所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数z1-z2是 OZ1 - OZ2 = Z2Z1 所对应的复数.
知识拓展 1.复数实数化问题 复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法,其依据 是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质.应用复数的实数化策 略可解决求复系数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题. 2.在进行复数的代数运算时,记住以下结论可提高计算速度.
共轭复数 a+bi与c+di共轭⇔⑤ a=c且b=-d (a,b,c,d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面,⑥ x轴 叫实轴,y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上 的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数
复数的模
设 OZ 对应的复数为z=a+bi,则向量 OZ 的长度叫做 |z|=|a+bi|=⑦ a2 b2 复数z=a+bi的模(a,b∈R)
4.复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的
向量也是一一对应的,因此复数加减法的几何意义可按平面向量的加减 法理解,利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.
例1 (2016课标Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第 四象限,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
高考数学第一轮总复习课件 推理与证明,数系的扩充与复数的引入 (2)
3, 4
x2
3（1－1） 49
2 3
,
▪
x3 (Ⅲ23（)将1－x1116）,x2,58x3, x,x4 4.的58（1值－分215）别变53形. 3为4: 5 6
▪ 猜想
,,, , 4 6 8 10
xn
n2
2n 1
.
▪
归纳推理分为完全归纳和不完
全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必
是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽
▪ 重点突破：演绎推理
▪ 增函例用数3 三. 段论证明函数f(x)=x3－2是R上的
▪
证明本例所依据的大前提是增函
数的定义,即函数y=f(x)满足:在给定区间内
任取自变量的两个值x1、x2，若x1<x2,则
有f(x1)<f(x2).小前提是f(x)=x3－2在R上满
足增函数的定义,这是证明本例的关键.
▪ (3)理解复数的基本概念、复数相等的充要 条件以及复数的代数表示法及其几何表示; 会进行复数代数形式的四则运算,了解复数 代数形式的加、减运算的几何意义.
▪ 本章是高中数学中基础性的一章,其中推理 与证明是数学的基本思维过程,是人们经常 使用的思维方式.在高考中,归纳推理、分析 与综合证明方法仍是高考的主要命题方向. 而近年来高考对复数的要求较低,考查难度 降低,题量减少,主要是化简、求模等计算题， 常以选择题、填空题形式出现，难度为容易 题.
▪ 重点突破：归纳推理 ▪ 例已1 知F1、F2分别是双曲线
右两个焦点,点M在双曲线上.
x 2－=y12 的左、
49
▪ (Ⅰ)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.
▪ (Ⅱ)若∠F1MF2=120°,求△F1MF2的面积是
【创新方案】高考数学(理)一轮复习配套文档：第9章第7节数系的扩充与复数的引入
答案 ： ( 3－1) ＋(1－ 3)i
i
－ a＝ 1，
b＝ 2，
即
从而 a＋ b＝ 1.
a＝－ 1.
答案： 1
5．设
a 是实数，且
a 1＋
＋ i
1＋ 2
i 是实数，则
a＝ ________.
解析：
a 1＋
＋ i
1＋ 2
i
＝
a－ 2
ai
＋
1＋ 2
i＝
a＋ 1
＋ 2
1－ a
i 为实数，
故 1－ a＝ 0，即 a＝ 1.
答案： 1
前沿热点 (十五 ) 与复数有关的新定义问题
1．复数的定义及运算的考查多以客观题的方式呈现， 度命制新定义问题．
也常从与实数的一些性质类比的角
2．解决此类问题的关键是抓住新定义或新运算的特征， 所给信息与所学相关知识结合．
对所给的新信息进行分析， 并将
[ 典例 ] (2014 ·南昌模拟 )在实数集 R 中，我们定义的大小关系 “ >为”全体实数排了一个 “序”．类似地，我们在复数集 C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为 “>．”定义如 下：对于任意两个复数 z1＝a1＋b1i， z2＝ a2＋ b2i(a1， a2， b1， b2∈ R)， z1>z2 当且仅当 “a1>a2” 或“ a1＝a2 且 b1>b2”．
(2) 复数的分类
复数 z＝ a＋ bi a，b∈ R
实数 b＝ 0 ， 纯虚数 a＝0， b≠ 0 ，
虚数 b≠ 0 非纯虚数 a≠ 0， b≠ 0 .
(3) 复数相等 a＋ bi＝ c＋ di ? a＝ c 且 b＝ d(a， b， c， d∈R )． (4) 共轭复数 a＋ bi 与 c＋ di 共轭 ? a＝ c 且 b＝－ d(a， b，c， d∈R )．
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课时限时检测(七十) 数系的扩充与复数的引入
(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2013·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】 A
2．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－45 C．4 D.45
【答案】 D
3．(2013·四川高考)如图11－5－4，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的
共轭复数的点是( )
图11－5－4
A．A B．B
C．C D．D
【答案】 B
4．若复数a＋3i1＋2i(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( )
A．－2 B．4
C．－6 D．6
【答案】 C
5．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2
B．若z1＝z2，则z1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2
D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22
【答案】 D
6．若z＝cos θ＋isin θ(i是虚数单位)，则z2＝－1的θ值可能是( )
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2013·重庆高考)设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
【答案】 5
8．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A、
B、C，若OC→＝λOA→＋μOB→，(λ，μ∈R)，则λ＋μ
的值是________．
【答案】 1
9．(理)已知复数z1＝cos 23°＋isin 23°和复数z2＝cos 37°＋isin 37°，则z1·
z
2
＝________.
【答案】 12＋32i
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，
且z1·z2是实数，求z2.
【解】 ∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1＝1－i1＋i＋2＝1－i22＋2＝2－i，
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
又z1·z2是实数，
∴a＝4，从而z2＝4＋2i.
11．(12分)复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一
个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【解】 如图，z1、z2、z3分别对应点A、B、C.
∵AB→＝OB→－OA→，
∴AB→所对应的复数为z2－z1＝(－2＋i)－(1＋2i)＝－3－i，
在正方形ABCD中，DC→＝AB→，
∴DC→所对应的复数为－3－i，
又DC→＝OC→－OD→，
∴OD→＝OC→－DC→所对应的复数为z3－(－3－i)＝(－1－2i)－(－3－i)＝2－i，
∴第四个顶点对应的复数为2－i.
12．(13分)已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在
复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【解】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由题意得y＝－2.
z2－i＝x
－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋1
5
(x－4)i，由题意得x＝4，∴z＝4－2i
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知 12＋4a－a2＞0，8a－2＞0，解得2＜a＜6.
∴实数a的取值范围是(2,6)．